山东省滕州市第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份山东省滕州市第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．抛物线(其中)的焦点坐标是( )
A.B.C.D.
2．已知向量,,且与互相垂直,则( )
A.B.C.D.
3．双曲线上的点P到左焦点的距离为9,则P到右焦点的距离为( )
A.15B.3C.3或15D.5或12
4．若椭圆的长轴端点与双曲线的焦点重合,则m的值为( )
A.4B.C.D.2
5．设椭圆,双曲线,抛物线的离心率分别为,,,则( )
A.B.C.D.与大小不定
6．直线与抛物线交于A,B两点,AB中点的横坐标为2,则k为( )
A.B.2C.或2D.以上都不是
7．如果直线与曲线有两个不同的公共点,那么实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知点,,直线,点P在直线l上,则的最大值为( )
A.B.C.D.2
二、多项选择题
9．已知在数列中,,则数列的最小项是( )
A.第1项B.第2项C.第3项D.第4项
10．已知方程,则下列说法中正确的有( )
A.方程C可表示圆
B.当时,方程C表示焦点在x轴上的椭圆
C.当时,方程C表示焦点在x轴上的双曲线
D.当方程C表示椭圆或双曲线时,焦距均为10
11．下列选项正确的是( )
A.若直线l的一个方向向量是,则直线l的倾斜角是
B.“”是“直线与直线垂直”的充要条件
C.“”是“直线与直线平行”的充要条件
D.直线的倾斜角的取值范围是
12．过抛物线的焦点F且斜率为的直线l与抛物线交于P,Q两点(P在第一象限),以PF,QF为直径的圆分别与y轴相切于A,B两点,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.抛物线的焦点为
D.M为抛物线C上的动点,,则
三、填空题
13．经过,两点的直线的倾斜角是钝角,则实数m的范围是__________.
14．一动圆C与圆外切,同时与圆内切,则动圆C圆心的轨迹方程为______.
15．数列1,,,,,,,,,,…,则是数列的第__________项.
16．已知双曲线的左焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线于点,交双曲线的渐近线于点且.若,则双曲线的离心率是_________.
四、解答题
17．已知,,三点,求:
（1）的面积.
（2）外接圆的一般方程.
18．在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为,在y轴上截得线段长为2.
（1）求圆心P的轨迹方程;
（2）若P点到直线的距离为,求圆P的方程.
19．已知椭圆的左右顶点分别为A,B,经过左焦点的直线l与椭圆交于C,D两点,记,,求的最大值.
20．如图,三棱柱中,侧面,已知,,,点E是棱的中点.
（1）求证:平面;
（2）求直线AC与平面所成角的正弦值.
21．设双曲线与直线相交于不同的两点.
（1）若求直线l与双曲线C相交所得的弦长;
（2）求离心率e的取值范围.
22．已知抛物线过点.
（1）求抛物线C的焦点到准线的距离;
（2）已知点,过点的直线l交抛物线C于点M,N,直线MA,NA分别交直线于点P,Q.求的值.
参考答案
1．答案：D
解析：由可得,
所以,,
抛物线的焦点坐标是,
故选:D
2．答案：C
解析：由与互相垂直得,
解得
故选:C.
3．答案：A
解析：设C的左,右焦点分别为,,则.
因为,所以,则点P在左支上,
所以,故.
故选:A.
4．答案：D
解析：椭圆的长轴端点为,,
所以双曲线的焦点为,,
故.
故选:D.
5．答案：B
解析：不妨设
由题意,,,
所以,.
故选:B.
6．答案：B
解析：设,,因为AB中点的横坐标为,则,
可得,
又由,两式相减得到,可得,
可得,解得或,
联立方程组,整理得,
由,解得,所以.
故选:B.
7．答案：B
解析：由可得:,
则该曲线为以原点为圆心,以1为半径的x轴上方的半圆,
直线和曲线的图象如图所示:
当直线与圆相切于点C时满足:,解得,
当直线与半圆相交于AB两点时,把代入直线方程可得:,
则由数形结合可得直线与曲线有两个不同的交点时,m的取值范围为:,
故选:B
8．答案：C
解析：如图,作出点B关于直线l的对称点,连接延长交直线l于点P,此时点P使取得最大值.
(原因如下:根据点关于直线的对称图形特征,知,此时,
在直线l上另取点,连接,,,则,)
不妨设点,则有:解得:即,
故.
故选:C.
9．答案：BC
解析：依题意,,
函数的开口向上,对称轴为,
由于,所以当或时,取得最小值.
故选:BC
10．答案：BCD
解析：对于A,当方程C可表示圆时,,无解,故A错误;
对于B,当时,,,表示焦点在轴上的椭圆,故B正确;;
对于C,当时,,,表示焦点在x轴上的双曲线,故C正确;
对于D,当方程C表示双曲线时,得;由C可知,
,焦距为10,
当方程C表示椭圆时,,,则
,焦距为10,所以焦距均为10,故D正确.
故选:BCD
11．答案：ACD
解析：对于A项,在直线中,一个方向向量是,则直线l斜率为
直线l的倾斜角是,A正确;
对于B项,当时,直线与直线变为:与
显然垂直,充分性成立.
当直线与直线垂直时,
解得:或,必要性不成立,故B错误;
对于C项,当时,直线与直线化为:与
即与,两直线平行,充分性满足要求
若直线与直线平行
,解得:,必要性成立,故C正确;
对于D项,在直线中,该直线的斜率为
故倾斜角范围为.故D正确.
故选:ACD.
12．答案：AB
解析：对A,由题意可得抛物线的焦点,故C错误,
由题意设直线PQ的方程为:,
与抛物线联立整理可得:,解得:或6,
代入直线PQ方程可得y分别为:,,
由题意可得,;
所以,所以B正确;
由,所以PF,QF的中点分别为:,,
所以由题意可得,,
所以,所以A正确;
对C,如图M在抛物线上,ME垂直于准线交于E,可得,
所以,当N,M,E三点共线时,
即E在的位置时最小,且最小值为4,所以D错误;
故选:AB.
13．答案：
解析：根据题意,即,
且斜率,
即,
解得或.
实数m范围是.
故答案为:
14．答案：
解析：设动圆C的圆心,半径为r,
又由圆得,圆心,半径,
由圆得,圆心,半径,
由已知得,两式相加消去可得,
根据椭圆定义可得动圆C圆心的轨迹为以,为焦点的椭圆,设为
其中,,
所以,
所以动圆C圆心的轨迹方程为.
故答案为:.
15．答案：70
解析：数列,,,,,,,,,,…,
数列中,分子分母和为2的有一项,和为3的有两项,和为4的有三项……
且都是按照从小到大的顺序排列,
的分子分母和为13,
和为13有,,,,…,
是分子分母和为13的第4个,
前面分子分母和为12的有11项,
故共有项
则是数列的第70项.
故答案为:70
16．答案：
解析：过F且斜率为的直线,渐近线,
联立,得,由,得
而点A在双曲线上,于是,解得:,所以离心率.
故答案为:.
17．答案：（1）1
（2）
解析：（1）因为,,所以,,
故直线OA的方程为,即,
又,所以B到直线OA的距离为,
所以;
（2）设外接圆的一般方程为,
则,所以,
所以外接圆的一般方程为.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）设,圆C的半径为r,由题设,从而,故C的轨迹方程为.
（2）设,由已知得,又C点在双曲线上,从而得.由,得,此时,圆C的半径,
由,得,此时,圆C的半径,故圆C的方程为或.
19．答案：
解析：当直线斜率不存在时,直线方程为,此时与的面积相等,.
当直线斜率存在时,依题意知,设直线方程为,
由消去y整理得,
直线l过椭圆M焦点,恒成立,
设,,,,
由题意得
,
,当且仅当,即时等号成立,
当时,有最大值.
20．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）证明:,,,
由余弦定理可知,
,,
侧面,且面,
,
又,平面,
平面.
（2）由（1）知,以B为坐标原点,BC为x轴,为y轴,BA为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,
,,
设平面的法向量为,
由,得,取得;
设AC与平面所成角为,则
故直线AC与平面所成角的正弦值为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）由得
显然恒成立,设两交点分别为,,
所以,,
故弦长;
直线l与双曲线C相交所得的弦长.
（2）由双曲线与直线相交于两个不同的点,知方程组有两个不同的实数解.
消去并整理得:,
所以,解得且.
所以双曲线的离心率.
因为且,所以且.
故离心率e的取值范围为.
22．答案：（1）;
（2）1.
解析：（1）因为在抛物线上,即,抛物线C的焦点到准线的距离为.
（2）显然直线l的斜率不为0,故设直线l的方程为,
由得,
由得,
设,,则,,所以.
又,,
所以直线,,
令,得,,
所以
.