专题14解答压轴题型之几何综合题-备战2022-2023学年江苏八年级（下）学期期末数学真题汇编

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（1）如图①，，，，连接、．
①求证；
②当点在边上运动时，线段的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出答案；若不存在，请说明理由；
（2）如图②，，连接，当点在边上运动时，线段的长度是否存在最小值，若存在，请用直尺与圆规作出此时点的位置；若不存在，请说明理由．
2．（2022春•江宁区期末）材料阅读：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，这一公式称为海伦公式．
我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边，，，求三角形面积的公式，被称之为秦九韶公式．
（1）海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．
如图①，在中，，，，求的面积．
（2）在（1）的基础上，作和的角平分线交于点．过点作，的长为 ．
3．（2022春•建邺区期末）如图，已知正方形的边长为，点从点出发，以的速度沿着折线运动，到达点时停止运动；点从点出发，也以的速度沿着折线运动，到达点时停止运动．点、分别从点、同时出发，设运动时间为．
（1）当为何值时，、两点间的距离为；
（2）连接、交于点，
①在整个运动过程中，的最小值为 ；
②当时，此时的值为 ．
4．（2022春•南京期末）在矩形中，是线段上的一个动点，将沿直线翻折，点的对应点为，直线与直线交于点．
（1）如图①，当点在的延长线上时，求证；
（2）若，足够长，当点到直线的距离等于3时，求的长；
（3）若，，当点、、在同一直线上（如图②时，点开始向点运动，到与重合时停止，则点运动的路程是 ．
5．（2022春•玄武区期末）我们知道，四边形有两组对边，两组对角，两条对角线．已经研究了，如果四边形满足下列条件之一：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．由此，进一步探究
（1）如图①，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形．
（2）命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形．如果这个命题是真命题，请证明；否则，请画出一个反例示意图，并标明所满足的条件．
（3）命题：如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形．
（Ⅰ）小明认为这是假命题，尝试画出反例．如图②，他先画出四边形的一条边，一条对角线．请你利用无刻度直尺和圆规在图②中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法）
（Ⅱ）小明进一步探索发现，在四边形中，，对角线、相交于点，且，，，对于满足条件的平行四边形的个数随着长度的变化而变化，直接写出平行四边形的个数及对应的的长的取值范围．
6．（2022春•南京期末）【提出问题】
求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和．
【探究问题】
小红在探究该问题时从特殊的矩形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题：
（1）如图①，在矩形中，，，则 （用含、的式子表示）；
【解决问题】
（2）如图②，已知．求证：；
【知识应用】
（3）如图③，在中，、、的长分别为6、9、5，是边上的中线，则 ．
7．（2022春•工业园区校级期末）如图，已知梯形中，，，，．
（1）求梯形的面积；
（2）动点从点出发，以的速度，沿方向，向点运动：动点从点出发，以的速度，沿方向，向点运动，过点作于点．若、两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为秒．问：
①在运动过程中，是否存在这样的，使得以、、为顶点的三角形恰好是以为底的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
②在运动过程中，是否存在这样的，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
8．（2022春•惠山区校级期末）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，联结并延长交边或边于点．
（1）当点在上，
①求证：；
②若，求的值；
（2）若，，求的长．
9．（2022春•惠山区校级期末）如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．
（1）当时， ；
（2）请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出的值
10．（2022春•工业园区校级期末）实践操作：
第一步：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕，交于点，交于点，再把纸片展平．
问题解决：
（1）如图1，填空：四边形的形状是 ；
（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
（3）如图2，若，，求的值．
11．（2022春•高新区校级期末）在中，的平分线交直线于点，交直线于点．
（1）在图1中证明；
（2）若，是的中点（如图，直接写出的度数；
（3）若，，，分别连接、（如图，求的度数．
12．（2022春•江阴市期末）如图，将一个长为9，宽为6的大矩形分割成如图所示的九个完全相同的小矩形、点、为的三等分点，点为线段上的动点．
请在图1、图2中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹．
（1）在图1中，当点与点重合时，过点画两条直线将矩形分成面积相等的三部分．
（2）在图2中，当点不与点、重合时，过点画两条直线、将矩形分成面积相等的三部分，且、在边上；在点运动的过程中，的周长的最小值为 ．
13．（2022春•工业园区期末）【基础回顾】（1）如图1，是正方形中边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转后得到，若连接，则的形状为 ；
【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，设与相交于点，在上取点，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明；
【联想拓展】（3）如图3，在中，，．点在上，求，，之间存在的数量关系．
14．（2022春•新吴区期末）在矩形中，，．
（1）将矩形折叠，使得顶点落在边上的处（如图，折痕与边交于点，连、、．求线段的长；
（2）在（1）的条件下，连（如图．动点在线段上（与点、不重合），动点在线段的延长线上，且，连交于点，作于点．试问点、在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度．
15．（2022春•惠山区期末）在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，与延长线相交于点，过作交于点，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）当时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
16．（2022春•宜兴市校级期末）定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．
（1）在三等角四边形中，，则的取值范围为 ．
（2）如图①，折叠平行四边形，使得顶点、分别落在边、上的点、处，折痕为、．
求证：四边形为三等角四边形；
（3）如图②，三等角四边形中，，若，，，则的长度为 ．
17．（2022春•如皋市期末）如图，在正方形中，，为上的动点，连接并延长交正方形的边于点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点．
（1）连接，求证：；
（2）当时，求的长；
（3）连接，请直接写出的最小值．
18．（2022春•梁溪区校级期末）（1）操作发现：如图1，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系？并证明你的结论．
（2）类比探究：
如图2，将（1）中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）解决问题：
保持（1）中的条件不变，若点是的中点，则矩形中，与的比值 ．
19．（2022春•太仓市期末）如图，在正方形中，，为正方形内一点，，，连结，，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连结．
（1）当时，求的度数；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）当时，求的长．
20．（2021秋•谷城县期末）综合与实践
问题情境
在综合实践课上，同学们以“矩形的旋转”为主题开展学习探究活动．如图1，在矩形中，，，在矩形中，，，点在上．
（1）探究发现
连接、，如图2，猜想与之间的位置关系，并说明理由；
（2）将矩形绕点顺时针旋转到如图3的位置，连接、，请求出的值；
（3）解决问题
将矩形绕点旋转，当点在落在直线上时，直接写出线段的长 ．
21．（2022春•姜堰区期末）如图，矩形中，为边上方一点，，．
（1）在图1中，请仅用无刻度的直尺作出边的中点；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接、、、，若四边形为菱形，请探究、之间的数量关系．
22．（2022春•工业园区校级期末）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；依此类推，若第次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为阶准菱形．如图1，中，若，，则为1阶准菱形．
（1）判断与推理：
①邻边长分别为2和3的平行四边形是 阶准菱形；
②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把沿折叠（点在上），使点落在边上的点，得到四边形．请证明四边形是菱形．
（2）操作、探究与计算：
①已知的邻边长分别为1，，且是3阶准菱形，请画出及裁剪线的示意图，并在图形下方写出的值；
②已知的邻边长分别为，，满足，，请写出是几阶准菱形．
23．（2022春•工业园区校级期末）如图，正方形的边与矩形的边重合，将正方形以的速度沿方向移动，移动开始前点与点重合，在移动过程中，边始终与边重合，连接，过点作的平行线交线段于点，连接．已知正方形的边长为，矩形的边，的长分别为，，设正方形移动时间为，线段的长为，其中．
（1）试求出关于的函数关系式，并求当时相应的值；
（2）记的面积为，的面积为．试说明是常数；
（3）当线段所在直线与正方形的对角线垂直时，求线段的长．
24．（2022春•锡山区期末）两个矩形如图1摆放在直线上，，，将矩形绕点顺时针旋转角，同时将矩形绕点逆时针旋转角，其中．
（1）如图2，当点和重合时， ；
（2）如图3，当两个矩形的重叠部分为正方形时， ，重叠部分的面积 ；
（3）如图4，当旋转到点与点重合时，设与交于，的延长线交于，线段与的关系是 ，利用你的结论（不用证明），计算两个矩形重叠部分的面积．
25．（2022春•广陵区期末）问题情境：
如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点．延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，当的长为 时，为等腰三角形，请直接写出结果．
26．（2022春•滨湖区期末）在正方形纸片中，点、分别是、上的点，连接．
问题探究：如图1，作，交于点，求证：；
问题解决：如图2，将正方形纸片沿过点、的直线折叠，点的对应点恰好落在上，点的对应点为点，若，，求线段的长．
27．（2022春•海陵区校级期末）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿边，向点运动，，关于直线的对称点分别为，，连结．
（1）如图，当在边上且时，求的度数．
（2）当在延长线上时，求的长，并判断直线与直线的位置关系，说明理由．
（3）当直线恰好经过点时，求的长．
28．（2022春•仪征市期末）在正方形中，点，在对角线上，．
（1）如图（1），若，则与相等吗？请说明理由；
（2）如图（2），若，，求的长；
（3）如图（3），若点，是的三等分点，点在正方形的边上从点开始按逆时针方向运动一周，直至返回点，试求此过程中满足为整数的点个数．
29．（2022春•宜兴市期末）已知结论：在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半，请利用这个结论进行下列探究活动．如图，在中，，，，为中点，从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向运动，设点运动时间为秒．连接，把沿翻折得到，连接．
（1）当时， ．
（2）当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求出的值．
（3）在点运动过程中，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
30．（2022•惠山区校级开学）定义：长宽比为为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图所示．
操作1：将正方形沿过点的直线折叠，使折叠后的点落在对角线上的点处，折痕为．
操作2：将沿过点的直线折叠，使点、点分别落在边，上，折痕为．则四边形为矩形．
（1）证明：四边形为矩形；
（2）点是边上一动点．
①如图，是对角线的中点，若点在边上，，连接．求的值；
②若，点在边上，当的周长最小时，求的值；
③连接，作，垂足为．若，则的最小值 ．
31．（2022春•泰州期末）在正方形中，．
（1）如图1，点、分别在、上，且，垂足为，求证：；
（2）点在上，是线段上一动点（不与端点重合）．
①如图2，过作交射线于，连结、，若，，，则与之间的函数关系式为 ；
②如图3，已知是的中点，若是等腰三角形，求的长．
32．（2022春•丹阳市期末）综合与实践
【问题背景】
矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处．
【初步认识】
（1）如图1，折痕的端点与点重合．
①当时， ；
②若点恰好在线段上，则的长为 ；
【深入思考】
（2）若点恰好落在边上．
①请在图2中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留作图痕迹）；
②如图3，过点作交于点，连接．请根据题意，补全图3并证明四边形是菱形；
③在②的条件下，当时，菱形的边长为 ，的长为 ；
【拓展提升】
（3）如图4，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ．
33．（2022春•吴江区期末）问题探究：
（1）如图1，，与交于点，若的面积为16，，则的面积为 ；（2）如图2，在矩形中，连接，于点，已知，求矩形面积的最小值；
问题解决：
（3）某地方政府欲将一块如图3所示的平行四边形空地改建为健身娱乐广场，已知米，，广场入口在上，且．根据规划，过点铺设两条夹角为的笔直小路、（即，点、分别在边、上（包含端点）区域拟建为健身广场，区域拟建为儿童乐园，其他区域铺设绿化草坪．已知建健身广场每平方米需0.8万元，建儿童乐园每平方米需0.2万元，按规划要求，建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用多少万元？（结果保留根号）
34．（2022春•泗阳县期末）如图，正方形的边长为4，是线段上动点，连接交于点，点在线段上，且．
（1）若，则 ；
（2）当与、两点不重合时，
①记，，在移动过程中是否为定值，如果是，请直接写出这个定值，如果不是，请求出它的取值范围；
②探究线段、、的数量关系，并说明理由．