2023-2024学年河北省沧州市献县第五中学、第二中学八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省沧州市献县第五中学、第二中学八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了如图，在中，，，，则的长为，多项式与多项式的公因式为，下列正确的是，下列式子运算结果为的是，若m与n互为倒数，则的值为等内容，欢迎下载使用。

数学（人教版）
本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁．
2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍．
一、选择题（本大题共16个小题，共38分.1～6小题各3分，7～16小题各2分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若，则（ ）
A．3B．2C．1D．0
2．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．1B．C．1或D．0
3．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．1B．C．2D．
4．多项式与多项式的公因式为（ ）
A．B．C．D．
5．正六边形的一个内角是正m边形一个外角的4倍，则（ ）
A．6B．8C．D．
6．下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在中，是角平分线，，，则点D到边的距离为（ ）
A．6B．4C．3D．2
8．下列式子运算结果为的是（ ）
A．B．C．D．
9．从10米长的木条两边各截取一根x米长的木条．若得到的三根木条首尾顺次相接能组成三角形，则x的值可能为（ ）
A．2B．C．3D．6
10．若m与n互为倒数，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
11．如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．6
12．如图，依据尺规作图痕迹，计算（ ）
A．B．C．D．
13．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ）．
A．B．C．D．
14．《九章算术》中有题如下：把一封信送到里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送，则早3天送达，已知快马的速度是慢马的2倍．甲、乙两人所列方程如下，甲：设规定时间为x天，则；乙：设慢马的速度为y里/天，则，则正确的是（ ）
A．只有甲对B．只有乙对C．两人都对D．两人都错
15．如图，在等边三角形中，是中线，点P，Q分别在，上，且，动点E在上，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
16．如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（ ）

A．甲对乙错B．甲错乙对C．甲和乙都对D．甲和乙都错
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．在中，，要使为等腰三角形，写出一个可添加的条件： ．
18．已知关于x的分式方程.
（1）若，分式方程的解为 ；
（2）若分式方程无解，则m的值为 ．
19．如图，，与相交于点C．，．点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P，Q两点同时停止运动．
（1）的长为 ；
（2）连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为 s．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．按要求完成下列各小题．
(1)计算：；
(2)因式分解：；
(3)计算：
21．在平面直角坐标系中，四边形和四边形关于y轴对称，它们的顶点坐标如下表所示．
(1)将表格补充完整；
(2)在下图中画出四边形和四边形；
(3)直线与直线的交点M______（填“在”或“不在”）y轴上，点M的坐标为______．
22．如图，在中，是角平分线，是高，，，，垂足为F．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
23．如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，．
(1)求证：；
(2)求证：点O在的平分线上．
24．认真观察下面这些等式，按其规律，完成下列各小题：
①；
②；
③；
④______；
…
(1)将横线上的等式补充完整；
(2)验证规律：设两个连续的正偶数为，（n为正整数），则它们的平方差是4的倍数；
(3)拓展延伸：判断两个连续的正奇数的平方差是8的倍数吗？并说明理由．
25．嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和洪淇的对话如下．
设每支圆珠笔为元
(1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？
(2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确，若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数的值．
26．在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且．
(1)如下图，当动点E在边上时，连接，，求证：；
(2)如下图，当动点E是边的中点，判断的形状，并说明理由；
(3)如下图，当动点E在边上时，求证：；[提示：需作辅助线]
(4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查的是同底数幂的除法，直接根据同底数幂的除法运算法则即可得出答案．
【详解】解：，而，
∴，
故选B
2．A
【分析】分式的值为零的条件是：分子为零，分母不为零，由此列方程与不等式，从而可得答案．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，且，
由可得：，
由可得：，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，含的直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，含的直角三角形的性质是解题的关键．
由题意知，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了公因式，提公因式法、公式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解题的关键．
利用提公因式法、公式法进行因式分解，然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴公因式为，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了正多边形的内角和、外角和．熟练掌握正边形的内角和为、外角和为是解题的关键．
由题意知，正六边形的一个内角为，依题意得，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，正六边形的一个内角为，
依题意得，，
解得，，
故选：D．
6．D
【分析】根据单项式乘单项式，科学记数法，单项式乘以多项式，，多项式乘以多项式的计算法则计算即可．
【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意；
B、，故选项B错误，不符合题意；
C、，故选项C错误，不符合题意；
D、，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，科学记数法，单项式乘以多项式，，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则计算即可．
7．B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，即可得解．本题利用三角形的面积先求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
∵是的角平分线，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即点D到的距离．
故选B．
8．D
【分析】本题主要考查分式的约分以及计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别将式子进行约分计算即可得到答案．
【详解】解：，故选项A不符合题意；
，故选项B不符合题意；
，故选项C不符合题意；
，故选项D不符合题意．
故选D．
9．C
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边． 依据题意，三根木条的长度分别为x m，x m，，在根据三角形的三边关系即可判断．
【详解】解：由题意可知，三根木条的长度分别为x m，x m，，
∵三根木条要组成三角形，
∴，
解得：．
故选C．
10．A
【分析】本题考查的是倒数的含义，求解分式的值，先计算分式的乘法运算，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵m与n互为倒数，
∴，
∴
；
故选A
11．C
【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．由等边三角形有三条对称轴可得答案．
【详解】解：如图所示，n的最小值为3．
故选：C．
12．C
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，角平分线的作图，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，理解作图含义是解本题的关键．本题先证明，求解，结合角平分线的作图可得答案．
【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
由作图可得：是的角平分线，
∴；
故选C
13．D
【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键，根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可．
【详解】解：A选项：满足两边对应相等且夹角相等，所以剪下的两个三角形全等；不符合题意；
B选项：满足两边对应相等且夹角相等，所以剪下的两个三角形全等；不符合题意；
C选项：如图，
∵，，
∴，
而，
∴剪下的两个三角形全等；不符合题意；
D选项：如图，
同理可得：，而，
但是不是两个角的夹边相等，两个三角形不一定全等，符合题意；
故选D
14．A
【分析】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列分式方程．
设规定时间为x天，慢马用时天，快马用时天，根据速度关系列分式方程得，；设慢马的速度为y里/天，则快马的速度为里/天，根据时间关系列分式方程得，；然后进行判断作答即可．
【详解】解：设规定时间为x天，慢马用时天，快马用时天，
依题意得，；甲正确，故符合要求；
设慢马的速度为y里/天，则快马的速度为里/天，
依题意得，，乙错误，故不符合要求；
故选：A．
15．B
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点P关于的对称点，连接交于，此时的值最小．最小值．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，，，
，，
如图，作点P关于的对称点，连接交于，
此时的值最小．最小值，

，
∴，
∴，而，
是等边三角形，
，
的最小值为3．
故选B．
16．B
【分析】本题考查了整式的混合运算与图形面积，完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式；根据图形列出算式是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意可得，，然后进行化简计算即可解答．
【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图①得：
，
∴，
∴，
∴，
∴，（负根舍去）
由图②得：
，
∴，
∴，
∴，
∴图②所示的大正方形的面积

，
∴，（负根舍去），故甲的说法错误；
∴．
故选：B．
17．（或）
【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，熟记等腰三角形的定义与判定方法是解本题的关键．
【详解】解：∵中，，要使为等腰三角形，
∴可添加（或）．
故答案为：（或）
18． 3
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程无解．熟练掌握解分式方程，分式方程无解的情况是解题的关键．
（1）由题意知，，去分母化成整式方程，求解，然后检验即可；
（2）根据分式方程无解：分①分式方程转化为整式方程，整式方程无解；②分式方程转化为整式方程，整式方程有解，但分式方程的最简公分母为0，两种情况求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
，
解得，，
检验，将代入，
∴是原分式方程的解，
故答案为：；
（2）解：，
，
解得，，
∵分式方程无解，
将代入得，，
解得，，
故答案为：3．
19． 8 2或4
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论．
（1）证，可得答案；
（2）当线段经过点C时，证明，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
在和中，
，
，
，
（2）当线段经过点C时，如下图所示：
在和中，
，
，
，
当点P沿方向运动时，，，
，
，
解得；
当点P沿方向运动时，，，
，
，
解得；
综上可知，t的值为或，
故答案为：（1）8；（2）2或4．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先计算积的乘方运算，同底数幂的乘法运算，再合并同类项即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）先计算括号内的分式的减法运算，再计算分式的除法运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查的是积的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，因式分解，分式的混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．
21．(1)，
(2)画图见解析
(3)在；．
【分析】本题考查的是画轴对称，坐标与图形，轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键；
（1）根据关于y轴对称的图形的坐标性质补充表格即可；
（2）先根据坐标描点，再画图即可；
（3）根据轴对称的性质可得对称线段的交点位置，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵四边形和四边形关于y轴对称，
∴补充表格如下：
（2）如图，
（3）如图，

直线与直线的交点M在y轴上，点M的坐标为．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线等知识．熟练掌握角度之间的数量关系是解题的关键．
（1）由题意知，，根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
∵是角平分线，
∴，
∴；
（2）解：是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理是解题的关键．
（1）证明，则，根据，可证；
（2）由（1）可知，，证明，则，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
（2）证明：由（1）可知，．
∵，
∴，
∴，
∴点O在的平分线上．
24．(1)
(2)验证见解析
(3)是，理由见解析
【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，正确发现数字变化规律是解题关键．
（1）根据已知算式写出即可；
（2）利用平方差公式计算得出答案；
（3）这两个偶数为为和，利用平方差公式计算得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：．
为正整数，
为正整数，
若两个连续的正偶数为，（n为正整数），则它们的平方差是4的倍数；
（3）解：是；理由：
设两个连续的正奇数为，（m为正数）．
．
为正整数，
两个连续的正奇数的平方差是8的倍数．
25．(1)见解析
(2)整数的值为3
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
（1）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，进而求出圆珠笔的数量，即可解决问题；
（2）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，然后求出的值即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得，
经检验是分式方程的解．
此时圆珠笔的数量为，
圆珠笔的数量为整数，
不合题意，
嘉嘉搞错了；
（2）由题意可得，
解得：
中性笔和圆珠笔的单价均为整数，，
，
，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
整数的值为3．
26．(1)证明见解析
(2)是等腰三角形，理由见解析
(3)证明见解析
(4)的长为或．
【分析】（1）先证明是等边三角形，再证明，，即可得到结论；
（2）先证明，再证明，即可得到结论；
（3）过点E作，再证明即可得到结论；
（4）分两种情况画图讨论：如图2，当时， 如图3，当时，再结合图形性质可得答案．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，．
又，
是等边三角形，
，，
，，
即，．
在和中，
（2）是等腰三角形；理由如下：
为的中点，是等边三角形，
，．
又，
，
，
，
是等腰三角形；
（3）如图1，过点E作．
是等边三角形，
，．
∵，
，，
，
是等边三角形，
，
，即．
，
，
，即．
在和中，
，
，即；
（4）的长为或．理由如下：
如图2，当时，是的高，即是的中线，
．
由（1）可知，，
；
如图3，当时，则，
，
．
由（3）可知，，
∴；
综上：的长为或．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，清晰的分类讨论，利用数形结合的方法解题是关键．
四边形
C______
四边形
______
四边形
四边形