湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高三下学期月考（六）数学试卷及参考答案

长郡中学2022届高三月考试卷（六）

数  学

得分：           

本试卷共8页。时量120分钟。满分150分。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，B={0，1，2，4，8}，则（       ）

A．{1，2，4，8}  B．{0，1，2}

C．{1，2}  D．{0，1，2，4}

2．复数的共轭复数等于（       ）

A． B． C． D．

3．设是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的（       ）

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

4．设E是平行四边形ABCD所在平面内一点，，则（       ）

A． B．

C． D．

5．已知定义在R上的函数是偶函数，且在（0，）上单调递增，则满足的x的取值范围为（       ）

A．（2，）  B．

C．（，）  D．

6．长郡中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（       ）

A． B． C． D．

7．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为F1，F2，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形MF1NF2为矩形，且∠MAN=，则双曲线C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

8．若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知a，，下列命题为真命题的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，且，则

D．若，则

10．袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（       ）

A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．甲与乙独立 D．甲与乙对立

11．将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位，得到函数（）的部分图象（如图所示）．对于，且若，都有成立，则（       ）

A．

B．

C．在上单调递增

D．函数在的零点为，，…，，则

12．如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC、CD中点，若沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使得B、C、D三点重合于S，得到四面体S−AEF（图2），点G为SE中点．下列结论正确的是（       ）

A．四面体S−AEF的外接球体积为

B．顶点S在面AEF上的射影为△AEF的重心

C．SA与面AEF所成角的正切值为

D．过点G的平面截四面体S−AEF的外接球所得截面圆面积取值范围是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数的图象在点（1，）处的切线方程为         ．

14．若，则         ．

15．△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，c=2b，若△ABC的面积为1，则BC的最小值是         ．

16．已知数列对任意的，都有，且．

①当时，         ．

②若存在，当且为奇数时，恒为常数P，则P=         ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．

（1）求A；

（2）若D为BC上点，AD平分角A，且b=3，AD=，求．

18．（12分）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

（1）证明：数列是等差数列；

（2）求的通项公式．

19．（12分）接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A，B，C三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足．为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A，B，C三种号码（产生每个号码的可能性都相等），前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗（例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推）．若甲，乙，丙，丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗．

（1）求这四个人中恰有2个人接种A种疫苗的概率；

（2）记甲，乙，丙，丁四个人中接种疫苗的种数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

20．（12分）如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均为2，D为棱BB1（不包括端点）上一动点，E是AB的中点．

（1）若AD⊥A1C，求BD的长；

（2）当D在棱BB1（不包括端点）上运动时，求平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围．

21．（12分）已知椭圆C：（）的离心率，且经过点（1，），点F1，F2为椭圆C的左、右焦点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点F1分别作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与直线交于点P．若，且点Q满足，求△PQF1面积的最小值．

22．（12分）已知函数，，其中．

（1）求的最小值；

（2）记为的导函数，设函数有月只有一个零点，求a的取值范围．