乌鲁木齐市第二十三中学2024届高三上学期1月月考数学试卷(含答案)

这是一份乌鲁木齐市第二十三中学2024届高三上学期1月月考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足,其中i为虚数单位,则( )
A.B.1C.D.2
3．已知平面向量,,且,则( )
A.B.C.D.
4．若函数为奇函数,则( )
A.1B.-1C.0D.2
5．设,为椭圆C:的两个焦点,点P在椭圆C上,若,,成等差数列,则椭圆C的离心率为( )
A.1B.C.D.
6．黄金分割点是指将一条线段分为两部分,使得较长部分与整体线段的长的比值为的点．利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星,如图所示,已知C,D为AB的两个黄金分割点,研究发现如下规律：．若等腰△CDE的顶角,则( )
A.B.C.D.
7．已知命题,使得;命题若a,,则是成立的充要条件.下列命题为真命题的是( )
A.B.C.D.
8．若,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．新冠肺炎疫情防控期间,进出小区、超市、学校等场所,我们都需要先进行体温检测.某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计,其结果如图所示,则下列结论正确的是( )
A.甲同学体温的极差为0.4℃
B.乙同学体温的众数为36.4℃,中位数与平均数不相等
C.乙同学的体温比甲同学的体温稳定
D.甲同学体温的第80百分位数为36.5℃
10．已知,则下列不等关系一定正确的是( )
A.B.C.D.
11．下列说法正确的是( )
A.任意两个幂函数的图象最多只有两个交点和
B.当时,的最小值为
C.利用二分法求方程的近似解,可以取的一个区间是
D.定义域为R,若与都是奇函数,则也是奇函数
12．数学中有许多形状优美,寓意独特的几何体,“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分,且其体积小于正四面体外接球体积．如图,在勒洛四面体中,正四面体ABCD的棱长为4,则下列结论正确的是( )
A.勒洛四面体最大的截面是正三角形
B.若P、Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点,则PQ的最大值可能大于4
C.勒洛四面体ABCD的体积是
D.勒洛四面体ABCD内切球的半径是
三、填空题
13．将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里,每个盒子最多放入3个球,共有_________种不同的放法.
14．已知点Q是圆上任意一点,点,点,点P满足,则的最小值为___________.
15．对于函数,下列5个结论正确的是_________.
①任取,,都有;
②函数在区间上单调递增;
③对一切恒成立;
④函数有3个零点;
⑤若关于x的方程有且只有两个不同实根,,则.
16．已知双曲线的左、右焦点分别为,,P是C在第一象限上的一点,且直线的斜率为,点B为的内心,直线PB交x轴于点A,且,则双曲线C的渐近线方程为______________．
四、解答题
17．已知向量, ,且.
（1）的值;
（2）若,,且,求的值
18．如图所示,在正四棱锥中,O为底面正方形的中心,E为侧棱PB上的动点.侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角为.
（1）求侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值;
（2）若,问在棱AD上是否存在一点F,使侧面PBC,若存在,试确定点F的位置;若不存在,说明理由.
19．已知函数,若当时,,求a的取值范围.
20．已知等差数列,公差分别为,,,,.
（1）求数列,的通项公式,;
（2）求中既在数列中,又在数列中的所有数之和.
21．高二某班4名同学期末考完试后,商量购买一些学习参考书准备在高三时使用,大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪购买,掷出点数大于或等于5的人去图书批发市场购买,掷出点数小于5的人去网上购买,且参加者必须从图书批发市场和网上选择一家购买.
（1）求这4人中至多有1人去图书批发市场购买的概率;
（2）用、分别表示这4人中去图书批发市场和网上购买的人数,记,求随机变量X的分布列和数学期望.
22．已知函数,（其中e为自然对数的底数）．
（1）若,求函数在区间上的最大值．
（2）若,关于x的方程有且仅有一个根,求实数k的取值范围．
（3）若对任意的,,,不等式均成立,求实数a的取值范围．
参考答案
1．答案：A
解析：由题意可得,,即,所以
则
故选：A.
2．答案：C
解析：由题意知,复数,所以．
故选：C．
3．答案：A
解析：因为,,,
所以,所以,
所以,
故选：A.
4．答案：B
解析：因为函数为奇函数,
所以
即
整理得,
因为,
所以.
故选：B.
5．答案：B
解析：设,
因为,,成等差数列,
所以即,
所以椭圆C的离心率.
故选：B.
6．答案：B
解析：设,由已知可得,
则,
所以,.
如图,取CD中点为F,连接EF,则.
在中,有,,,
则,
所以,.
故选：B.
7．答案：B
解析：对命题p,因为,所以,
又因为,
所以不存在,使得成立,故命题p为假命题,为真命题;
对命题q,当时,当时,,所以,所以成立;
当,时,,所以成立;
当,时,,,因为,所以,所以成立;
当,时,,,因为,所以,所以成立;
所以是成立的充分条件;
当时,当时,可得;
当,时,可得;
当,时,则有,所以有;
当,时,则有,
即,所以;
所以必要性满足,
所以若a,,则是成立的充要条件,故q为真命题.
故选：B.
8．答案：C
解析：因为,所以,
所以
即,
由题意知,,
所以
即.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于A选项,甲同学体温的极差为,故A选项正确;
对于B选项,乙同学体温为36.4,36.3,36.5,36.4,36.4,36.3,36.5,其众数为36.4℃,中位数、平均数均为36.4℃,故B选项错误;
对于C选项,根据图中数据,甲同学的体温平均数为36.4℃,与乙同学的体温平均数相同,但甲同学的体温极差为℃,大于乙同学的体温极差℃,故乙同学的体温比甲同学的体温稳定,C选项正确;
对于D选项,甲同学的体温从小到大排序为36.2,36.2,36.4,36.4,36.5,36.6,,故甲同学体温的第80百分位数为36.5℃,故D选项正确.
故选：ACD.
10．答案：BD
解析：对A,取,,则,A错误;
对C,取,则,,C错误;
对B,由题意,,易知,所以,B正确;
对D,问题等价于,易知函数在上是增函数,而,则成立,故D正确.
故选：BD.
11．答案：CD
解析：对于A中,例如：幂函数和有三个交点,和,所以A错误;
对于B中,当时,可得,则,
当且仅当时,即时,等号成立,
因为,所以等号不成立,,所以B错误;
对于C中, 令,可得,
所以,所以利用二分法求方程的近似解,可以取的一个区间是,所以C正确;
对于D中,定义域为R,若为奇函数,可得,
由也为奇函数,可得,
所以函数关于点和点对称,所以函数的周期为,
可得,即也是奇函数,所以D正确.
故选：CD.
12．答案：BD
解析：对选项A：勒洛四面体最大的截面即经过四面体ABCD表面的截面,如图1所示,错误;
对选项B：如图2,设弧AB的中点是M,线段AB的中点是N,
设弧CD的中点是H,线段CD的中点是G,
则根据图形的对称性,四点M,N,G,H共线且过正四面体ABCD的中心O,
则,
,,
故,正确;
对选项C：如图3,由对称性可知内切球球心O是正四面体ABCD外接球的球心,
连接BO并延长交勒洛四面体的曲面于点E,则OE就是勒洛四面体内切球的半径,

如图4,M为的中心,O是正四面体ABCD外接球的球心,
连接BM,BO,AM,由正四面体的性质可知O在AM上.
因为,所以,则.
因为,
即,解得,
则正四面体ABCD外接球的体积是,
因为勒洛四面体的体积小于正四面体ABCD外接球的体积,错误;
对选项D：因为,所以,正确;
故选：BD.
13．答案：10
解析：将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里,每个盒子最多放入3个球,可分为以下三种情况：
①其中有两个盒子各放入3个小球,共有种不同放法;
②三个盒子中均放入2个小球,共有1种不同放法;
③一个盒子放入3个小球,一个盒子放入2个小球,最后一个盒子放入1个小球,共有种放法;
所以不同的放法共有种.
故答案为：10.
14．答案：2
解析：设,由可得,,化简得,,所以点P的轨迹为圆,圆心坐标为,点Q在圆上,两圆的圆心距为,所以两圆相离,故的最小值为．
故答案为：2．
15．答案：①④⑤
解析：对于①,由,
当,时,,此时,
所以任取,,都有,故①正确;
对于②,当时,,,所以非单调递增,故②错误;
对于③,,,所以,故③错误;
对于④,如图,
由数形结合可知有3个零点,故④正确;
对于⑤,如图,
由图可知,有且只有两个不同实根,时,两个根关于对称,所以,故⑤正确.
综上所述,正确结论是①④⑤.
故答案为：①④⑤.
16．答案：或
解析：如图所示,设内切圆B与的三边分别相切于D,E,G三点,
过P作轴于M点,因为,,,
又由双曲线定义得,即,
由,故,即B点横坐标为a,
因为直线的斜率为,所以,,
又因为,所以,故直线的方程为,
令,可得,即,
因为,且,所以,故,
可得,,
在中,由余弦定理得,
即,化简得,
即,解得,或（舍去）,所以,
故双曲线C的渐近线方程为或．
故答案为：或．
17．答案：（1）;
（2）
解析：（1）因为,,
所以
因为,所以,即.
（2）因为,,所以.
因为,,所以.
因为,所以,
所以.
因为,,所以,所以.
18．答案：（1）
（2）不存在,理由见解析
解析：（1）取AD的中点M,连接OM,PM,
可得,,
所以即为侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角,
所以,
设正四棱锥底面边长为2,则,所以,,
由平面ABCD,可得侧棱PA与底面ABCD所成的角为,
所以,
即侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为;
（2）假设存在,设,
如图,以点O为原点建立空间直角坐标系,
设正四棱锥底面边长为2,则,
则,,,,
则,,
,则,
因为,所以,
所以,
若侧面PBC,则,,即,
则有,即,无解,
所以与假设矛盾,
故棱AD上是不存在一点F,使侧面PBC.
19．答案：.
解析：（1）由,得.
当,即时,,
所以在上单调递增,所以.
（2）当时,令,则,
所以在上单调递增,于是.
①若,即时,,于是在上单调递增,于是.
②若,即时,存在,使得当时,,于是在上单调递减,所以,不符合题意.
综上所述,a的取值范围是.
20．答案：（1）;
（2）459.
解析：（1）由,可得,联立,可得,①,
令,可得,与联立,可得,与
联立得,②.
由①②得：.
（2）设,m,,则,m,得,
由m,,可得,.
所以,即,
设是由数列,公共项组成的数列,
则为首项为3,公差为12的等差数列,且.
在中有,,···,
所以的前9项和为.
21．答案：（1）;
（2）分布列见解析,.
解析：（1）由题意可知,4名同学中每名同学去图书批发市场购买的概率为,
所以,这4人中至多有人去图书批发市场购买的概率为;
（2）用、分别表示这4人中去图书批发市场和网上购买的人数,记,则X的可能取值为0、3、4,
则,
,
.
所以,随机变量X的分布列如下表所示：
因此,随机变量X的数学期望为.
22．答案：（1）1
（2）
（3）
解析：（1）当时, ,,
所以,当时,,时,,
所以,在上单调递减,上单调递增,
因为,当时,,当时,,
所以,在区间上的最大值为．
（2）当时, 关于的方程为有且仅有一个实根,
所以,有且仅有一个实根,
设,
则,
所以,当时,,当时,,
所以,在和上单调递减, 在上单调递增,
因为,
当x趋近于时,趋近于,x趋近于时,趋近于0,
所以,有且仅有一个实根, 则实数k的取值范围是．
（3）不妨设,则恒成立．
因此恒成立, 即恒成立,
且恒成立,
所以,函数和均在上单调递增,
设,
则在上上恒成立,
因此在上恒成立,因此,
因为在上单调递减,
所以,时,,即．
由在上恒成立,
因此在上恒成立, 因此,
设,则,解得
所以,当时,,单调递减;
当时,,单调递增．
所以,,即
综上,实数a的取值范围是.
X
0
3
4
P