初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.5 用二次函数解决问题习题

这是一份初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.5 用二次函数解决问题习题，共29页。试卷主要包含了5用二次函数解决问题，4mC．49mD．36，25），等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
【即学即练1】某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
【答案】售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润
【解析】解：设销售单价为x元，销售利润为y元，依题意得，单件利润为元，月销量为件，
月销售利润，
整理得，
配方得，
所以时，y取得最大值4500．
故售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润为4500元．
【即学即练2】某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：如果每件衬衫降价元，那么平均每天就可多售出件．若商场想平均每天盈利达元，那么每件衬衫应降价多少元？你若是商场经理，为获得最大利润，每件衬衫应降价多少元，此时最大利润是多少？
【答案】商场每天盈利达1200元，每件衬衫应降价20元；每件衬衫应降价元，此时最大利润是元．
【解析】解：（1）设每件衬衫应降价元，
由题意得：，
即，
，
，
解得：或，
为了减少库存，
∴，
每件衬衫应降价元；
（2）设商场获得的总利润为元，由题意得：


，
，
当时，有最大值，最大值为，
每件衬衫应降价元，此时最大利润是元．
知识点02 建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：
恰当地建立直角坐标系；
将已知条件转化为点的坐标；
合理地设出所求函数关系式；
代入已知条件或点的坐标，求出关系式；
利用关系式求解问题．
【微点拨】
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
①首先必须了解二次函数的基本性质；
②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
③借助二次函数的性质来解决实际问题.
【即学即练3】某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为．
(1)求落水点C、D之间的距离；
(2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高．
【答案】(1)22米
(2)雕塑EF的高为米
【解析】（1）解：当y＝0时，，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（2）解：∵，，
当x＝10时，，
∴点F（10，）
∴雕塑EF的高为米．
【即学即练4】王老师对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进的高度与水平距离之间的关系可以表示为，铅球从出手到落地的路线如图所示．
（1）求铅球出手点的离地面的高度为多少米；
（2）求铅球推出的水平距离是多少米？
【答案】（1）米 （2）米
【解析】解：（1）令，则，
所以求铅球出手点的离地面的高度为米．
（2）令函数式中，y=0，，
所以
所以
解得（舍去），
即铅球推出的距离是10m．
能力拓展
考法01 图形问题
【典例1】如图，墙壁EF长24米，需要借助墙壁围成一个矩形花园ABCD，现有围栏40米，设AB长x米．
(1)BC的长为 米（用含x的式子表示）；
(2)求这个花园的面积最大值．
【答案】(1)（40-2x）；(2)200平方米
【解析】(1)解：由题意知AB+BC+CD=40米，AB=CD=x米，
所以BC的长为（40-2x）米，
故答案为：（40-2x）；
(2)解：设这个花园的面积为y 平方米，由题意得：
y=x（40-2x）
=-2x2+40x
=-2（x-10）2+200，
∵-2＜0，
∴当x=10时，y取得最大值，最大值为200，
答：这个花园的面积最大值为200平方米．
考法02 拱桥问题
【典例2】如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面2米时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
(1)如图2，求该抛物线的函数解析式．
(2)当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
(3)当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？（保留根号）
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为，∵当拱顶高水面2米时，水面宽4米．∴点A（-2，-2），B（2，-2），把点A（-2，-2）代入得：，解得：，∴该抛物线的函数解析式为；
（2）解：∵水面AB下降1米，到CD处，∴点D的纵坐标为-3， 当y=-3时，，解得：，∴此时水面宽度为米，∴水面宽度增加米；
（3）解：当水面AB上升1米时，水位线对应的纵坐标为-1，当y=-1时，，解得：，∴此时水面宽度为米，∴水面宽度减少米．
考法03 销售问题
【典例3】某件产品的成本是每件10元，试销售阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表所示．
(1)观察以上数据，根据我们所学到的一次函数、二次函数，回答：y是x的什么函数？并求出解析式．
(2)要使得每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少？此时每日的销售利润是多少？
【答案】(1)y是x的一次函数，
(2)产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润最大，为225元
【解析】（1）解：由表中数据可知，y是x的一次函数． 设此一次函数关系式为，则，解得，，故一次函数的关系式为；
（2）解：设所获利润为W元，则，所以产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润最大，为225元．
考法04 投球问题
【典例4】从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．
(1)小球从抛出到落地经过了多少秒？
(2)当小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
【答案】(1)6秒；(2)3s；45m
【解析】(1)解：当时，
由题意得：
解得，（舍去），，
答：小球从抛出到落地经过了6秒；
(2)解：.
∵，
∴当时， ，
∴当小球的运动时间为3s时，小球运动的最大高度是45m．
考法05 喷水问题
【典例5】小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)；(2)2或6m
【解析】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
（2）由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．
分层提分
题组A 基础过关练
1．为响应国家的惠民政策，某种口罩原价每箱100元，经过两次降价后每箱81元．设平均每次降价的百分率都为x，则x满足（ ）
A．81（1＋2x）＝ 100B．100（1－2x）＝81
C．81（1＋x）＝100D．100（1－x）＝81
【答案】D
【解析】解：由题意得：，故选：D．
2．在体育选项报考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=，由此可知该生此次实心球训练的成绩为( )
A．6米B．10米C．12米D．15米
【答案】B
【解析】铅球落地时高度为0，即当y=0时，
=0，
解得x1=10，x2=-2（舍去），
所以该生此次实心球训练的成绩为10米，
故选：B．
3．在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为h＝gt2．其中g取值为9.8m/s2．小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（ ）
A．98mB．78.4mC．49mD．36.2m
【答案】B
【解析】解：把t=4代入h＝gt2得，
故选：B．
4．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y＝ax2，且抛物线过（2，﹣2）点，
故﹣2＝a×22，
解得：a＝﹣0.5，
故选：A．
5．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：由题意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
∴矩形面积满足的函数关系为S＝x（5﹣x），
由题意可知自变量的取值范围为，
故选：A．
6．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．
【答案】2
【解析】根据题意，有，
当时，有最大值．
故答案为：2．
7．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是__________米．
【答案】4
【解析】∵，
∴顶点坐标是(2，4)，
∴最大高度是4米．
故答案为：4．
8．某品牌汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是，汽车刹车后到停下来前进了_______米．
【答案】45
【解析】解：，
，
时，s取得最大值45，
汽车刹车后到停下来前进了45米，
故答案为：45．
9．飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行______s后，才会停下来．
【答案】26
【解析】∵，
∴当时，取得最大值338m，
即飞机着陆后滑行26s后，才会停下来.
故答案为：26
10．普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示，
解答下列问题：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值；
（3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围．
【答案】（1）；（2）2450元；（3）
【解析】解：（1）设y与x的函数关系式为，把和分别代入得：
解得：．
∴y与x的关系式为；
（2）由题意知：，
∴W与x的关系式为：，
∴，
∴当时，在内，W的值最大为2450元
（3）若公司想获得不低于2000元周利润，则，
解得，所以当时，，
又∵物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，
∴销售单价范围为：．
题组B 能力提升练
1．如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（ ）
A．1mB．1.5mC．2.5mD．2m
【答案】C
【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点，
由平面直角坐标系可知，，即，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为，即，
当时，，
所以水面下降，
故选：C．
2．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】C
【解析】解：∵AC⊥x轴，OA=5米，
∴点C的横坐标为-5，
当x=-5时，y=-0.01（x-20）2+4=y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，
∴C（-5，-2.25），
∴桥面离水面的高度AC为2.25米．
故选：C．
3．已知点，在抛物线上，且与x轴的交点为和．当时，则，应满足的关系式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：∵抛物线与x轴的交点为和
∴抛物线的对称轴为：，
∵点，在抛物线上，且，
∴点比点到直线的距离要大，
∴．
故选：D．
4．据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝6(1+2x)B．y＝6(1﹣x)2
C．y＝6(1+x)2D．y＝6+6(1+x)+6(1+x)2
【答案】C
【解析】解：设平均每个月GDP增长的百分率为x，
由题意可得：
y关于x的函数表达式是：y=6（1+x）2，
故选：C．
5．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三点，如图y表示运行的竖直高度（单位：m），x表示水平距离（单位：m）．由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）
A．4B．5C．7D．9
【答案】C
【解析】解：设该抛物线的对称轴为x，
由图象可得，
解得6＜x＜9，
故选：C．
6．如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x轴，拱桥的拱点O为原点建立直角坐标系，它可以近似地用函数表示（单位：m）．已知目前桥下水面宽4m，若水位下降1.5m，则水面宽为______m．
【答案】8
【解析】解：目前桥下水面宽4m，
即x=2时，
当水位下降1.5m，即
此时水面的宽为8m
故答案为：8．
7．如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为 __；自变量x的取值范围为 __．
【答案】
【解析】解：设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，
则S与x的之间的函数表达式为：；
由题意可得：，
解得：．
故答案为：，．
8．n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数之间的函数关系是______．
【答案】
【解析】解：m=n（n-1）=n2-n，
故答案为：m=n（n-1）=n2-n．
9．戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒
(1)若每盒售价降低x元，则日销量可表示为_______盒，每盒口罩的利润为______元．
(2)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？
(3)当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．
【答案】(1)(20+2x)盒，(20-x) 元
(2)每盒售价应定为60元
(3)每盒售价应定为65元时，最大日利润是450元
【解析】（1）设每盒售价降低x元，则日销量可表示为盒，每盒口罩的利润为（元）
故答案为：；
（2）设每盒售价x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据题意得，
解得
又∵商家想尽快销售完该款商品，
∴x=60．
答：每件售价应定为60元；
（3）设日利润为，则
时，的最大值为 ，
即每盒售价应定为65元时，最大日利润是450元．
10．北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高干52元．销售期间发现，当销售单价定为41元时，每天可售300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
(1)填空：y与x之间的函数关系式是______________；自变量x的取值范围是____________．
(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)；
(2)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大．最大利润是2280元
【解析】(1)解：根据题意得：y=300-10（x-41）=-10x+710，
∴y与x之间的函数关系式为y=-10x+710（44≤x≤52）；
故答案为：y=-10x+710；44≤x≤52；
(2)解：根据题意得：w=（-10x+710）（x-40）=-10x2+1110x-28400=-10（x-55.5）2+2402.5，
∵-10＜0，
∴当x＜55.5时，w随x的增大而增大，
∵44≤x≤52，
∴当x=52时，
w有最大值，最大值为-10×（52-55.5）2+2402.5=2280，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2280元．
题组C 培优拔尖练
1．如图，在中，，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，
∴∠B＝60°，，，
∵CD⊥AB，
∴，，，
∴当M在AD上时，0≤t≤3，
，，
∴，
当M在BD上时，3＜t≤4，
，
∴，
故选：B．
2．某种产品按质量分为个档次，生产最低档次产品，每件获利润元，每提高一个档次，每件产品利润增加元，用同样工时，最低档次产品每天可生产件，提高一个档次将减少件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量増加），那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：设总利润为y元，
∵第档次产品比最低档次产品提高了个档次，
∴每天利润为，
∴当时，产品利润最大，每天获利864元，
故选C．
3．如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】过点C作CM⊥AB于N，，
在等腰中，，
，
①当时，如图，，
，
，
∴，y随x的增大而增大；
②当时，如图，
，
∴当时，y是一个定值为1；
③当时，如图，，
，
,
当x=3，y=1，当3