中考数学几何模型专项复习 模型02 几何图形初步——双角平分线-（原卷版+解析）

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◎【结论1】如图，已知OP为∠AOB内一条射线，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，则∠MON= ∠AOB


【证明】∵OM平分∠BOP，ON 平分∠AOP，
∴∠POM= ∠BOP，∠PON= ∠AOP，
∴∠MON=∠POM+∠PON=∠BOP+ ∠AOP
=（∠BOP+ ∠AOP）=∠AOB
【奇思妙想消消消：等号左边∠POM，∠PON消掉共同字母P,得∠MON。
等号右边 ∠BOP，∠AOP消掉共同字母P，得∠AOB】
◎【结论2】如图，已知OP为∠AOB外一条射线，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，则∠MON=∠AOB

【证明】∵OM 平分∠BOP，ON平分∠AOP，
∴∠POM= ∠BOP，∠PON= ∠AOP，
∴∠MON=∠POM-∠PON=∠BOP-∠AOP
=（∠BOP-∠AOP）=∠AOB
【奇思妙想消消消：等号左边∠POM，∠PON消掉共同字母P,得∠MON。
等号右边 ∠BOP，∠AOP消掉共同字母P，得∠AOB】
1．(2023·全国·七年级专题练习）如图，OB平分∠AOD，OC平分∠BOD，∠AOC＝45°，则∠BOC＝（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
2．(2023·全国·七年级课时练习）如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（ ）
A．∠DOE的度数不能确定B．∠AOD=∠EOC
C．∠AOD+∠BOE=60°D．∠BOE=2∠COD
1．(2023·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）如图，已知OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠AOD=30°，则∠AOB的度数为_______．
2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校期中）如图，平分，OE平分，则的度数为_______．
3．(2023·重庆彭水·七年级期末）如图，已知，，OB平分，OD平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·七年级课时练习）把一副三角尺按如图所示拼在一起，如图，其中B，C，D三点在同一条直线上，∠ACB=45°，∠DCE=60°．
（1）若CM和CN分别平分∠ACB和∠DCE，如图1，则∠MCN的度数为___________；
（2）若CM平分∠BCE，CN平分∠DCA，如图2，则∠MCN的度数为___________．
1．(2023·山西·一模）已知中，射线在内部，是的平分线，是的平分线．
（1）若如图1，求的度数；
（2）若在（1）的基础上增加了，如图2，求的度数；
（3）若射线在的外部，如图3(与在直线的同侧)，求的度数．
2．(2023·四川南充·一模）已知是内部任意的一条射线，，分别是、的平分线.
（1）若，，求的度数；
（2）若，求的度数.
3．(2023·浙江杭州·模拟预测）如图所示，点，，在同一条直线上，，，是的平分线.
（1）求的度数；
（2）是的平分线吗？为什么？
（3）请直接写出图中所有与互余的角.
几何图形初步
模型（二）——双角平分线
◎【结论1】如图，已知OP为∠AOB内一条射线，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，则∠MON= ∠AOB


【证明】∵OM平分∠BOP，ON 平分∠AOP，
∴∠POM= ∠BOP，∠PON= ∠AOP，
∴∠MON=∠POM+∠PON=∠BOP+ ∠AOP
=（∠BOP+ ∠AOP）=∠AOB
【奇思妙想消消消：等号左边∠POM，∠PON消掉共同字母P,得∠MON。
等号右边 ∠BOP，∠AOP消掉共同字母P，得∠AOB】
◎【结论2】如图，已知OP为∠AOB外一条射线，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，则∠MON=∠AOB

【证明】∵OM 平分∠BOP，ON平分∠AOP，
∴∠POM= ∠BOP，∠PON= ∠AOP，
∴∠MON=∠POM-∠PON=∠BOP-∠AOP
=（∠BOP-∠AOP）=∠AOB
【奇思妙想消消消：等号左边∠POM，∠PON消掉共同字母P,得∠MON。
等号右边 ∠BOP，∠AOP消掉共同字母P，得∠AOB】
【典例】
1．(2023·全国·七年级专题练习）如图，OB平分∠AOD，OC平分∠BOD，∠AOC＝45°，则∠BOC＝（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
答案:C
分析利用角平分线得到∠AOB=∠BOD=2∠BOC，利用角的和差求得∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOC+∠BOC=3∠BOC，即可求出∠BOC．
【详解】解：∵OC平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠BOC，
∵OB平分∠AOD，
∴∠AOB=∠BOD=2∠BOC，
∵∠AOC=45°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOC+∠BOC=3∠BOC=45°，
∴∠BOC=∠AOC=15°，
故选：C．
【点睛】此题是角平分线的定义，解本题的关键是找到角与角之间的关系，也可以方程的思想解决本题．
2．(2023·全国·七年级课时练习）如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（ ）
A．∠DOE的度数不能确定B．∠AOD=∠EOC
C．∠AOD+∠BOE=60°D．∠BOE=2∠COD
答案:C
分析依据OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，即可得出∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°，结合选项得出正确结论．
【详解】∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠AOD=∠COD，∠EOC=∠BOE．
又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=120°，
∴∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°．
故选C．
【点睛】本题考查了角的平分线的性质，理解角平分线将角分成相等的两部分是解题的关键．
1．(2023·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）如图，已知OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠AOD=30°，则∠AOB的度数为_______．
答案:120°
分析根据角平分线的定义求出∠AOC，同理可得∠AOB．
【详解】解：∵OD平分∠AOC，∠AOD=30°，
∴∠AOC=2∠AOD=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠AOC=120°，
故答案为：120°．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．
2．(2023·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校期中）如图，平分，OE平分，则的度数为_______．
答案:30°##30度
分析根据角平分线的定义可知：，可求得，由此即可求得．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∴，
∵OE平分，
∴，
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查的是角平分线的定义，利用定义进行求角度是解题的关键．
3．(2023·重庆彭水·七年级期末）如图，已知，，OB平分，OD平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析根据，OB平分，可知，根据，OD平分，可知，由此可以求出．
【详解】解：∵，OB平分，
∴；
∵，OD平分，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，解决本题的关键在于掌握角平分线的定义．
4．(2023·全国·七年级课时练习）把一副三角尺按如图所示拼在一起，如图，其中B，C，D三点在同一条直线上，∠ACB=45°，∠DCE=60°．
（1）若CM和CN分别平分∠ACB和∠DCE，如图1，则∠MCN的度数为___________；
（2）若CM平分∠BCE，CN平分∠DCA，如图2，则∠MCN的度数为___________．
答案: 52.5°
分析(1)利用角平分线的定义求出∠ACM 、∠ECN，可得结论；
(2)利用角平分线的定义求出∠BCM 、∠CAN，可得结论．
【详解】（1）CM和CN分别平分∠ACB和∠DCE ，∠ACB=45°，∠DCE=60°
∴，
∴.
（2），
∴，
CM平分∠BCE
∴
∴
同理则
∴.
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
1．(2023·山西·一模）已知中，射线在内部，是的平分线，是的平分线．
（1）若如图1，求的度数；
（2）若在（1）的基础上增加了，如图2，求的度数；
（3）若射线在的外部，如图3(与在直线的同侧)，求的度数．
答案:（1）45°；（2）；（3）
分析（1）根据角平分线的定义进行角度的计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义进行角度的计算即可得解；
（3）根据角平分线的定义进行角度的计算即可得解.
【详解】（1）是的平分线，是的平分线，
∴，
；
（2）同（1）得，；
（3）是的平分线，是的平分线，

.
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的角度计算方法是解决本题的关键.
2．(2023·四川南充·一模）已知是内部任意的一条射线，，分别是、的平分线.
（1）若，，求的度数；
（2）若，求的度数.
答案:（1）50°；（2） .
分析（1）根据角平分线的性质可得和的度数，然后可求出的度数；
（1）根据，结合角平分线的性质可得的度数．
【详解】解：（1）∵、分别是、的平分线
∴，
∵，
∴
∴
（2）∵、分别是、的平分线
∴、
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和等量代换，熟练掌握并准确计算是解题的关键．
3．(2023·浙江杭州·模拟预测）如图所示，点，，在同一条直线上，，，是的平分线.
（1）求的度数；
（2）是的平分线吗？为什么？
（3）请直接写出图中所有与互余的角.
答案:（1）40°；（2）是的平分线，理由见解析；（3）图中与互余的角有，.
分析（1）根据是的平分线得,再利用即可解题,（2）求出的度数,证明即可解题,（3）根据同角的余角相等即可解题.
【详解】（1）因为，是的平分线
所以
因为
所以
（2）是的平分线，理由如下：
由(1)可知：，且
所以

所以，即是的平分线
（3）图中与互余的角有，,
理由：∵∠DOE=90°,
∴+=90°,
∵是的平分线,
∴=,
∴图中与互余的角有，.