1号卷2022年高考最新原创信息试卷（三）文数（含解析）

这是一份1号卷2022年高考最新原创信息试卷（三）文数（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z为纯虚数，且满足，则实数m的值为（ ）
A．B．C．D．
3．我国已进行了7次人口普查，如图是7次人口普查男性、女性人数及有大学文化的人数占比的统计图.据统计图中的信息，下列说法不正确的是（ ）
A．1964年至1982年间人口增长数最多
B．1982年后，全国总人口增长率逐步放缓
C．具有大学文化的人数逐步增大
D．男性人数与女性人数的差值逐步减小
4．函数在的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．人们通常把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得 （ ）

A．B．C．D．
7．为庆祝中国共产党成立100周年，某学校组织“红心向党”歌咏比赛，前三名被甲、乙、丙获得．下面三个结论：“甲为第一名，乙不是第一名，丙不是第三名”中只有一个正确，由此可推得获得第一、二、三名的依次是（ ）
A．甲、乙、丙B．乙、丙、甲
C．丙、甲、乙D．乙、甲、丙
8．设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则，，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设，，若是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．9D．12
10．为响应国家号召，大力发展三农产业，某农户在自家地块开起生态农家乐，如图所示，建设了三个功能区，为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，矩形为果园种植区，以为直径的半圆区域为农家乐活动住宿区，现农户欲对果园进行施肥，运来一批肥料放置于点A处，要把这批肥料沿鱼塘两侧的道路，送到矩形的果园种植区去，若，该农户在矩形果园中画定了一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送肥料较近，而另一侧的点沿道路运送肥料较近，设这条界线是曲线的一部分，则曲线为（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线
11．已知函数，满足对，恒成立，则实数a的取值不可以是（ ）
A．B．C．D．
12．四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为矩形，，顶点S在底面的射影为H，当H落在上时，四棱锥体积的最大值是（ ）
A．1B．C．2D．3
二、填空题
13．在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 .
14．若函数满足关系式，则 .
15．已知数列满足，则数列的前100项的和 .
16．斜率为的直线l与椭圆C∶（a>b>0）相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为（1，2），则椭圆C的离心率等于 ．
三、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.
(1)求外接圆的半径；
(2)若，求的面积.
18．为提高学生对数学学习的兴趣，某中学在该校高一年级开设了选修课《中国数学史》.经过一年的学习，为了解同学们在学习《中国数学史》后，学习数学的兴趣是否浓厚，该校随机抽取了部分高一学生进行调查，得到统计数据如下：
(1)补全上面的列联表，并判断是否有90%的把握认为数学兴趣浓厚与选学《中国数学史》有关；
(2)在选学了《中国数学史》的160人中按是否选学《中国数学史》，采用分层随机抽样的方法抽取8人，再从8人中随机抽取2人做进一步调查，求2人都选学《中国数学史》的概率.
附：，.
19．如图，在四棱锥中，平面平面，底面ABCD为菱形，为等边三角形，E为AD的中点.
(1)求证：；
(2)若，求点A到平面PCD的距离.
20．已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设O为原点，，，求证：为定值．
21．已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)当时，若关于x的方程恰有两解，求实数k的取值范围；
(2)若，求证：.
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(2)若A，B为直线l上距离为2的两动点，点P为曲线C上的动点，求面积的最大值.
23．已知函数.
(1)当时，解不等式；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求a的取值范围.
数学兴趣浓厚
数学兴趣薄弱
合计
选学《中国数学史》
100
20
120
末选学《中国数学史》
合计
160
200
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
参考答案：
1．D
【分析】根据不等式的运算，分别求得集合，结合并集的运算，即可求解.
【详解】由不等式，解得，所以集合，
又由集合，所以.
故选：D.
2．A
【分析】结合复数运算公式化简求，根据纯虚数定义列方程求.
【详解】由题意得，，
因为复数z为纯虚数，
所以，解得，
故选：A.
3．D
【分析】根据题中的直方图，折线图，逐个选项进行分析即可.
【详解】由图知，1964年至1982年间人口增长约为3亿，而其它时间段的增长为1亿多，故A正确；
1982年后，人口增长都为1亿多，则增长率逐步放缓，故B正确；
由大学文化占比折线图知，大学文化的人数占比的增幅逐步增大，则具有大学文化的人数逐步增大，故C正确；
各年份男女性人口差值没有逐步变小，1982年后差值都差不多，
故D错误.
故选：D.
4．B
【分析】判断出函数的奇偶性排除两个选项，再由特殊值判断即可.
【详解】∵，
∴为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除C、D选项；
又，故排除A选项.
故选:B.
5．C
【分析】先根据，求出的值，即可判断充分性；再判断当时直线，的位置关系，即可判断必要性，即可得到结果.
【详解】若，则，解得：或，
当时，，，直线，重合，；
充分性成立；
当时，，，显然，必要性成立.
故“”是“”的充要条件.
故选：C.
【点睛】易错点点睛：根据，求出或后，易忽略了两直线重合的情况，从而错选B选项.
6．A
【分析】根据题意，利用正弦定理，列出方程，结合正弦的倍角公式，即可求解.
【详解】根据题意，在中，可得，
由正弦定理，可得，即，解得.
故选：A.
7．B
【分析】分别假设甲为第一名为正确的、乙不是第一名为正确的、丙不是第三名为正确的三种情况，结合题意分析，即可得答案.
【详解】若甲为第一名为正确的，则乙不是第一名也正确，不符合题意；
若乙不是第一名为正确的，则甲为第一名为错误的，所以丙为第一名，此时丙不是第三名也是正确的，不符合题意，
若丙不是第三名为正确的，则甲为第一名为错误的，乙不是第一名为错误的，
所以乙为第一名，丙为第二名，甲为第三名，符合题意，
故选：B
8．C
【分析】根据偶函数的性质得到，再比较、、的大小关系，结合函数的单调性判断即可.
【详解】∵是定义域为的偶函数，∴，
∵，在上单调递减，
∴，
∴.
故选：C.
9．B
【分析】先由等差中项的概念得到，然后由基本不等式求解最小值即可.
【详解】因为是与的等差中项，
所以，即，
∴，又，，
∴，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：B.
10．D
【分析】根据题意，列出等量关系，根据圆和圆锥曲线的定义，即可判断和选择.
【详解】由题意，从点出发经到界线上一点，与从点出发经到，所走的路程是一样的，
即，所以，
又由，，
所以，
根据双曲线的定义可知曲线为双曲线的一部分.
故选：D．
11．B
【分析】分，，三种情形讨论，结合基本不等式及导数求解即可.
【详解】当时，恒成立，即恒成立，∵，
当且仅当，即时取等号，所以．
当时，恒成立.
当时，恒成立，即恒成立．
设，则，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴，∴的取值范围是．
故选：B.
12．A
【分析】取BC的中点E，连接，根据垂直关系可知平面，进而可得为的中点，结合锥体的体积公式以及基本不等式运算求解.
【详解】取BC的中点E，连接，
因为为等边三角形，则，
又因为平面，平面，则，
且，平面，可得平面，
由平面，可得，
如图，则，可知为的中点，
在为等边三角形，可知，则，
在中，可知，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为1.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：根据垂直关系分析可知平面，进而可得为的中点.
13．1
【分析】利用向量线性运算求得，与题干对照即可求解.
【详解】，则，，
所以.
故答案为：1
14．6
【分析】用方程组法求得，代入求值即可解答.
【详解】因为，所以，
解得，所以.
故选：6
15．5000
【分析】当为奇数时，，可得，，进而可求得结果.
【详解】∵，∴，，，…
∴，，，…，，
∴.
故答案为：5000.
16．/
【分析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率．
【详解】设，，，，则①，②，
是线段的中点，
，，
直线的方程是，
，
①②两式相减可得：，
，
，
，
，
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化为，结合角的范围辅助角公式求出，最后根据即可求解；
（2）根据已知条件结合余弦定理求出，利用正弦定理面积公式即可求解.
【详解】（1）由及正弦定理得，
∵，∴，∴，即，
∵，∴，∴，
∴外接圆的半径.
（2）由余弦定理得，即，则，
∴的面积.
18．(1)列联表见解析，没有90%的把握
(2)
【分析】（1）根据题意，补全列联表，求得，结合附表，即可得到结论；
（2）根据题意，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件中所包含的基本事件的个数，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】（1）解：补全列联表如下：
可得，
所以没有90%的把握认为数学兴趣浓厚与选学《中国数学史》有关.
（2）解：由题意得，抽取的8人中5人选学《中国数学史》，3人未选学《中国数学史》，分别记为，，，，和，，，
从8人中随机抽取2人共有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有个基本事件，
其中2人都选学《中国数学史》有，，，，，，，，，，共有10种，
所以2人都选学《中国数学史》的概率为.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明线面垂直，再利用线面垂直的性质定理证明线线垂直；
（2）利用等体积法求解点面距离即可.
【详解】（1）如图，

取的中点，连接，，，因为为等边三角形，所以，
因为平面平面，是交线，平面，所以平面，
所以.因为底面为菱形，所以，
因为，分别是，的中点，所以，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）如图，连接，.

因为底面为菱形，，所以是等边三角形，易得.
由（1）得，平面，平面，平面，
所以，，所以.
在中，由余弦定理可得，
在中，，所以，即.
设点到平面的距离为，
由得，即，
解得，即点到平面的距离为.
20．(1)；
(2)证明见解析﹒
【分析】(1)代入抛物线方程即可解得p的值；
(2)根据题意，表示出λ和μ，结合直线和抛物线的位置关系表示出，化简即得证﹒
【详解】（1）因点在抛物线上，则，解得，
∴抛物线C的方程为．
（2）设点，，，而，则，同理，
设，由(2)知，
直线方程：，即，则，
令，得，同理，
于是得
，
∴为定值2．
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意利用分离参数法把问题转化为方程恰有两解，令，利用导数法研究函数单调性，画出图象，数形结合求解参数范围即可.
（2）把所证式子转化为，令，，
利用导数法研究函数单调性，求解函数最值即可证明.
【详解】（1）当时，.
方程恰有两解等价于方程恰有两解，
设，易知函数在上单调递增，则问题等价于方程恰有两解.
令，则，当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，所以.
所以的图象如图所示：

由图可知，实数的取值范围为.
（2）要证，即证.
令，，
则.
令，则在恒成立，
则在上单调递增，所以，即，则.
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即（），
所以（），所以.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.
22．(1)，
(2)
【分析】（1）由平方关系消元后可得曲线C的普通方程，由公式可得直线的直角坐标方程；
（2）用曲线C的参数方程表示出曲线C上点的坐标，求点到直线的距离，利用三角函数性质得最大值，然后可得面积最大值.
【详解】（1）由（为参数）得，
即曲线的普通方程为.
由得，
则直线的直角坐标方程为，即.
（2）设曲线任一点，
则点到直线的距离
（），
∴当时，，
∴面积的最大值为.
23．(1)
(2)
【分析】（1）确定解析式，考虑，，三种情况，计算得到答案.
（2）变换得到，考虑和两种情况，计算得到答案.
【详解】（1）当时，.
当时，，解得，此时；
当时，恒成立；
当时，，解得，此时.
综上所述：当时，不等式的解集为.
（2）由绝对值三角不等式得，
则原问题等价于在上恒成立.
当，即时，不等式恒成立；
当时，可得或.
若，则，即，解得，此时；
若，则，即，解得，此时.
综上所述：实数的取值范围是.
数学兴趣浓厚
数学兴趣薄弱
合计
选学《中国数学史》
100
20
120
未选学《中国数学史》
60
20
80
合计
160
40
200