2023届贵州省六校联盟高三高考实用性联考卷（二）数学（文）试题含解析

2023届贵州省六校联盟高三高考实用性联考卷（二）数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据并集的运算即可求得答案.

【详解】解：由题意得：

∵

∴

∴

故选：C.

2．已知i为虚数单位，若，则（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得，的值，从而求得结果.

【详解】∵，

∴，，

∴，

故选：B.

3．“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月会变化.”月是历法中的一种时间单位，传统上都是以月相变化的周期作为一个月的长度.在旧石器时代的早期，人类就已经会依据月相来计算日子.而星期的概念起源于巴比伦，罗马皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天为一周，这个制度一直沿用至今，若2023年6月星期一比星期四少一天，星期四和星期五一样多，则该月7日可能是星期（    ）

A．日 B．一 C．二 D．三

【答案】D

【分析】根据题意可判断这个月为30天，列出表格即可得答案.

【详解】根据题意: 若2023年6月星期一比星期四少一天，星期四和星期五一样多,再根据周期性的原则，可判断这个月为30天，可列出符合要求时间表：

故选：D.

4．已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案.

【详解】，即，

∴曲线是圆，∴“”是“”的必要不充分条件.

故选：A.

5．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数与对数函数的性质即可比较a，b，c的大小．

【详解】∵，∴，

∵，∴，

∴，

故选：D.

6．函数在上的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由函数奇偶性定义得到为奇函数，排除A，B，再由判断出D为正确答案.

【详解】∵，,

∴，

∴为奇函数，排除A，B，

又∵，排除C，

故选：D.

7．如图甲是一个不倒翁模型，它是一种古老的中国儿童玩具，最早记载出现于唐代，一经触动就摇摆，然后恢复直立状态，将图甲的模型抽象成一个圆锥和半球的组合体，如图乙，已知不倒翁在一定角度范围内“不倒”，那么模型中半球的质量应不小于圆锥质量，若半球的密度是圆锥的2倍，则圆锥的高与底面半径之比至多为（    ）

A．4 B．2 C．1 D．

【答案】A

【分析】设圆锥的高为，底面半径为，圆锥密度为，分别求出圆锥和半球的质量，再根据题意列出不等式，解之即可得解.

【详解】解：设圆锥的高为，底面半径为，圆锥密度为，

则圆锥的质量为，半球的质量为，

由题意有，∴，

所以圆锥的高与底面半径之比至多为4.

故选：A.

8．设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出，令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围.

【详解】∵，∴，

∴，∴，∴，

∴，∴或.

故选：B.

9．设函数，则下列说法正确的是（    ）

A．若把的图像向右平移个单位长度，所得函数图像与图像重合

B．的图像关于直线对称

C．的最大值为1

D．是奇函数但不是周期函数

【答案】C

【分析】A选项验证是否成立即可；B选项验证是否成立即可；C选项化简函数，换元法转化函数，利用函数导数性质求函数最值，D选项利用函数的奇偶性以及周期性验证即可.

【详解】选项A：对，，

所以选项A不正确；

选项B：对，，

由，故选项B不正确；

选项C：，

令，，则，

所以，

令，

所以在单调递增

或

所以在单调递减

当，极大值为，

当，极小值为，

当，，，，

所以最大值为1，选项C正确；

选项D：对，

，

故是奇函数，

而，

故是周期函数，

选项D不正确，

故选：C.

10．在中，角，，所对的边分别为，，，是边上一点，平分，且，若，则的最小值是（    ）

A． B．6 C． D．4

【答案】C

【分析】根据正弦定理与的内角关系可得，由角平分线得，根据面积公式由可得，于是可转化为关于的式子，结合基本不等式即可得最值.

【详解】解：∵，

由正弦定理得，

∴，∴，

∵，∴，∴，即，∴.

∵，

∴，

∴，∴.

∵，∴，

∴，

当且仅当，即时等号成立，

所以最小值为.

故选：C.

11．如图所示的三角形叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻的两数的和，如，，……，则第8行第4个数（从左往右数）为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题设定义即可得出8行第4个数.

【详解】设第行第个数为，，，，

故，，

，，

，

故选：A.

12．已知双曲线与抛物线有公共焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若点满足，双曲线的离心率为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线和抛物线的焦点，结合点到直线距离公式、三角形面积的等积性、双曲线离心率公式进行求解即可.

【详解】如图，因为双曲线和抛物线共焦点，故可得，又到的距离，即，又，则，易得，设点，则，解得；则由等面积可知：，解得，则，则，，又点在渐近线上，即，即，又，

所以，

化简得，故，

故选：A.

【点睛】关键点睛：根据三角形面积的等积性是解题的关键.

二、填空题

13．已知向量，且，则______.

【答案】

【分析】根据向量平行得到，求出和向量的坐标，进而求出模长.

【详解】∵，∴， 解得，∴.

故答案为：.

14．已知实数，满足若，则的最小值为______.

【答案】3

【分析】在直角坐标系内画出可行解域，利用数形结合思想进行求解即可.

【详解】在平面直角坐标系内，可行解域如下图所示，

平移直线，当直线经过直线和直线的交点时，取到最小值，.

故答案为：

15．如图甲所示，在矩形中，，，，分别为，的中点.将四边形沿折起，使得的大小为120°，如图乙所示.现将一体积为的小球放入几何体中（假设该几何体封闭），则取得最大值时小球的半径为______.

【答案】##

【分析】假设小球与直三棱柱上下底面相切，求出小球半径，再假设小球与三棱柱三个侧面相切，求出半径.V最大时，半径取和中较小的.

【详解】折叠后的几何体为直三棱柱，

若小球与其上下底面相切，设此时小球半径为，则，则；

若小球与三棱柱三个侧面都相切，则小球半径和的内切圆半径相等，设此时小球半径为，

在△中，根据余弦定理得，

∵，

即，解得；

∵，故小球最多只能和三棱柱的三个侧面相切，

故取得最大值时小球的半径为.

故答案为：

【点睛】本题关键是分析出两种情况：①小球和上下底面相切；②小球与侧面相切.解决小球与侧面相切时，需转化为平面几何里的三角形内切圆半径的问题求解，利用三角形等面积法即可解决问题.

16．若曲线的图象总在曲线的图象上方，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据互为反函数的性质，结合导数的几何意义进行求解即可.

【详解】∵的图象与关于直线对称，即问题转化为曲线总在直线下方，当直线与曲线相切时，设切点，则切线斜率，又，∴，解得，要满足题意，，

故答案为：

【点睛】关键点睛：利用转化法结合互为反函数的性质是解题的关键.

三、解答题

17．2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取50名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名同学的平均成绩；

(2)先用分层抽样的方法从评分在和的同学中抽取5名同学，再从抽取的这5名同学中抽取2名，求这2名同学的分数在同一区间的概率.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由频率之和为1求出，再由频率分布直方图计算平均数；

（2）由分层抽样抽取5名同学，再由列举法得出所求概率.

【详解】（1）由已知，∴，

记平均成绩为，.

（2）先用分层抽样的方法从分数在和的同学中抽取5名同学，

则应从中抽取1人，记为，中抽取4人，记为，，，.

从这5名同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是：

，，，，，，，，，，

又因为抽取的2人分数都在同一区间的结果有：

，，，，，共6种.

故所求概率.

18．已知数列，满足，.

(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

(2)求数列的前项积.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】(1)先将等式两边配方，再取对数，即可证明数列是等比数列.

(2)根据(1)的结论，以及等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】（1）证明：，两边取对数，

，∴，

∴数列是等比数列，公比，首项，

∴，，.

（2）解：由（1）可得，

∴，

∵，

∴，.

19．如图，已知平行六面体的底面是菱形，，且.

(1)试在平面内过点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）利用线面平行的判定作直线l，再利用线面平行的性质、平行公理推理作答.

（2）连，连接，证明平面，再借助等体积法计算作答.

【详解】（1）在平面内过点作的平行线，则直线l即为所作.

连接，如图，

因平面，平面，平面平面，则，

平行六面体的对角面是平行四边形，即，

所以.

（2）连，连接，如图，

菱形中，，则，，，

在中，，同理，在中，，

即为等腰三角形，有，且，在中，，则，

而平面，于是得平面，

对角面为平行四边形，即，又平面，平面，则平面，

因此点到平面的距离等于点到平面的距离，

因，在中，，

同理，等腰底边上的高，，，

设点到平面的距离为，由得，，则，

所以点到平面的距离.

20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，.若的周长为6，面积为.

(1)求曲线的方程；

(2)设动直线过定点与曲线交于不同两点，（点在轴上方），在线段上取点使得，证明：当直线运动过程中，点在某定直线上.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据的周长为6，面积为得到关于的方程计算可得答案；

（2）设，，，设，由，，转化为坐标运算和点在椭圆上计算可得答案.

【详解】（1）由题意可知，解得，

从而，椭圆的方程为：；

（2）设，，，设（，且），

所以，，

于是，，，，

从而①，②，

又点，在椭圆上，即，③，，④，

由并结合③④可得，即点总在定直线上.

21．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数有3个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）先求导，然后对参数进行分类讨论，，对导数的正负形进行判断，即可得函数的单调区间；

（2）根据（1）的单调区间结合零点个数即可判断实数的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为，

令得，

①当时，若，则；

若，则，故在，上单调递增，在上单调递减；

②当时，若，则；

若，则，故在上单调递增，在，上单调递减.

（2）（ⅰ）由（1）知，

当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减

因为，

所以当，即当时，在区间和内各有一个零点

令，则

所以当时，

即在上单调递增，

故恒成立，即在上恒成立.

从而当时，由可得，

取，则当时，，

所以，由零点存在定理知在存在唯一零点，

因此，当时，有且仅有3个零点.

（ⅱ）当时，在区间上单调递增，在区间，上单调递减.

，，所以当，

即时，在区间和内各有一个零点

当且时，，同理可得，

由零点存在定理知在上存在唯一零点

综上所述，当时，函数存在3个不同零点.

【点睛】本题考查利用导数求函数单调性以及函数的零点问题，熟练掌握导数和函数的单调性之间的关系是解决本问题的关键，考查学生逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)设射线和射线分别与曲线交于两点，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先把参数方程化为普通方程，然后化为极坐标方程；

（2）求出，利用三角形面积公式和三角函数的性质求出结果．

【详解】（1）易知曲线的普通方程：，

因为，，

所以曲线的极坐标方程为：，即.

（2）由题意及（1）知，

，

∴，

因为，则，

所以当，即时，的面积最大，最大值是.

23．已知对应的三边分别为，，.

(1)若，，是正实数，求证：，当时，等号成立；

(2)求证：.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由柯西不等式证明即可；

（2）由（1）可得不等式左边大于等于，再由基本不等式可得证.

【详解】（1）（1）由柯西不等式易知，

因为，，都为正数，所以，

当且仅当时，等号成立.

（2）为正数，所以

由（1）可得

，

当且仅当时取等号成立.