陕西省西安市5校2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试卷(含答案)

这是一份陕西省西安市5校2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若,,当取最小值时,x的值等于( )
A.B.C.D.
2．如图,在平行六面体中,若,则有序实数组( )
A.B.C.D.
3．已知空间中三个点、、组成一个三角形，分别在线段、、上取D、E、F三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为( )
A.B.C.D.
4．已知直线和直线，下列说法不正确的是( )
A.始终过定点B.若，则或
C.若，则或2D.当时，始终不过第三象限
5．已知直线与圆,则圆C上的点到直线l的距离的最小值为( )
A.1B.C.D.
6．过圆上的动点作圆的两条切线,两个切点之间的线段称为切点弦,则圆C不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为( )
A.B.C.D.
7．已知椭圆,则下列关于椭圆C的说法正确的是( )
A.离心率为B.焦点为
C.长轴长为4D.椭圆C上的点的横坐标取值范围为
8．意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》中,记载有数列,.若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列,则数列的前100项和为( )
A.100B.99C.67D.66
9．设数列的前n项和为,则“对任意,”是“数列为递增数列”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不是充分也不是必要条件
10．已知,函数,若在上是单调减函数,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
11．设点P在曲线上,点Q在曲线上,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
12．若函数,则( )
A.函数只有极大值没有极小值B.函数只有最大值没有最小值
C.函数只有极小值没有极大值D.函数只有最小值没有最大值
三、填空题
13．圆的圆心到直线的距离____________.
14．已知N为抛物线上的任意一点,M为圆上的一点,,则的最小值为____________．
15．定义在R上的奇函数的导函数满足,且,若,则不等式的解集为___________.
四、双空题
16．在四棱锥中,面,四边形为直角梯形,,,,则平面与平面夹角的余弦值为__________,异面直线与的距离为___________．
五、解答题
17．如图,三棱柱的侧棱底面,,E是棱上的动点,F是的中点,,,．
（1）当E是棱的中点时,求证：平面;
（2）在棱上是否存在点E,使得二面角的余弦值是？若存在,求出的长;若不存在,请说明理由．
18．已知圆心为C的圆经过点,.
（1）求圆C的标准方程;
（2）已知在圆C外,求a的取值范围.
19．如图1,已知抛物线的方程为,直线l的方程为,直线l交抛物线于,两点,O为坐标原点.
（1）若,求的面积的大小;
（2）的大小是否是定值？证明你的结论;
（3）如图2,过点A,B分别作抛物线的切线和（两切线交点为P）,,分别与x轴交于M,N,求面积的最小值.
20．已知等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,若,且,,,成等差数列．
（1）求数列,的通项公式;
（2）记,数列的前n项和为,数列的前n项和为,若对任意正整数n,恒成立,求实数m的取值范围．
21．已知函数．
（1）求函数的单调区间与极值;
（2）求函数在区间上的最值．
参考答案
1．答案：C
解析：因为, ,
所以,
则,
,
当时,取最小值,
故选：C.
2．答案：C
解析：由题意得
,
结合可得,
故,
故选：C.
3．答案：B
解析：如图所示：
先固定D不动，分别作D关于和的对称点，，连接，设分别与和交于点，
利用几何关系可知与的交点即为三角形的垂心O，
从而，，即，
不妨设垂心，坐标原点为，
则，，，，
所以有，即垂心O的坐标满足，
又A，B，C，O四点共面，
从而由四点共面的充要条件可知，
，
从而，结合，
解得，.
故选：B.
4．答案：B
解析：，，，即始终过定点，故A正确.若，当则与重合，故B错误.或，故C正确.当时，直线始终过点，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.
故选：B.
5．答案：B
解析：圆, 圆心为,半径,
圆心到直线的距离为,直线和圆相离,
故圆C上的点到直线l的距离的最小值为.
故选:B.
6．答案：A
解析：设圆的动点为,过P作圆C的切线,切点分别为A,B,
则过P,A,B的圆是以直径的圆,该圆的方程为：.
由可得的直线方程为：.
原点到直线的距离为,
故圆C不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为,
故选：A.
7．答案：C
解析：由椭圆方程,可知,,所以,
所以,故A错误;
由方程可知,焦点在x轴上,故焦点坐标为,故B错误;
长轴长为,故C正确;
因焦点在x轴上,所以椭圆C上的点的横坐标的取值范围是,即为,故D错误.
故选：C.
8．答案：C
解析：因为数列中的奇数除以2所得的余数都是1,偶数除以2所得的余数都是0,
因为,且,所以为奇数,为奇数,为偶数,为奇数,为奇数,为偶数,,为奇数,为奇数,为偶数,为奇数,,
所以,,,,,,,,,,,
,所以数列是周期数列,周期为3,
所以数列的前100项和为：.
故选：C.
9．答案：A
解析：数列中,对任意,,
则,
所以数列为递增数列,充分性成立;
当数列为递增数列时,,
即,所以,,
如数列-1,2,2,2,,不满足题意,必要性不成立;
所以“对任意,”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
10．答案：C
解析：因为
所以
因为在上是单调减函数
所以
即
所以
当时,恒成立
当时,
令,可知双刀函数,
在上为增函数,所以
即
所以选：C.
11．答案：B
解析：函数与函数互为反函数,
函数与函数的图象关于直线对称,
的最小值是点P到直线的最短距离的2倍,
设曲线上斜率为1的切线为,
,由得,
即切点为,
,
切线到直线的距离,
P,Q两点间的最短距离为．
故选：B．
12．答案：CD
解析：,单调递增,由,
则,,;
,,,
函数有唯一极小值,即最小值,没有极大值、最大值.
故选：CD.
13．答案：3
解析：由已知可得圆的标准方程为,圆心为,
所以圆心到直线的距离,
故答案为：3.
14．答案：
解析：根据题意可得抛物线与圆都关于y轴对称,
且圆的圆心坐标为,半径为2.
因为,圆下方与y轴交点坐标为,
取线段中点E,中点D,可得,连接,,画出示意图如上图所示.
因为C、E分别为和的中点,
所以,,所以,
又因为,,
所以,所以,
因为,所以,
所以,
当且仅当D、M、N三点共线时取到等号,此时M点为线段与圆的交点.
所以的最小值即为的最小值.
因为N为抛物线上的任意一点,设,,
因为,
则,
当时,,
即的最小值为.
故答案为：.
15．答案：
解析：令,则,
所以在R上递减,
又,则,
即,
所以是以4为周期周期函数,
又,则,
所以,则,
所以不等式的解集为,
故答案为：.
16．答案：①.②.
解析：第一空,
⊥面,,面,
,．
又, ,
,,两两垂直．
以A为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴建立空间直角坐标系,
如图所示,
则,,,,,
,,,,
设,分别为平面与平面的法向量,
则,即,令,取,
,即,令,取,
则,
设平面与平面的夹角为,
则,
平面与平面夹角的余弦值为．
第二空,
如图,取中点M,连接,,
,,
四边形为平行四边形,
,
面,面,
面,
与的距离为到面的距离,
即点C到面的距离．
设点C到面的距离为h,
,,
由,
得,
解得,
异面直线与的距离为．
故答案为：,.
17．答案：（1）证明见解析;
（2）存在,.
解析：（1）证明：取的中点G,连接、．
、G分别是、的中点,且,
在三棱柱中,且,
为中点,则且,且,
所以,四边形为平行四边形,则,
平面,平面,平面;
（2）以C为坐标原点,射线、、分别为x轴、y轴、z轴正半轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则、、,,
设,平面的一个法向量为,则,
由,得,令,可得,
易得平面的一个法向量为,
二面角的余弦值为,即
整理得,
,解得.
因此,在棱上存在点E,使得二面角的余弦值是,此时．
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设圆C的标准方程为：,
代入,,,
得,解得：,
所以圆C的标准方程为：;
（2）因为在圆C外,
所以,
又因为,,
所以,
解得或,
所以a的取值范围为：.
19．答案：（1）1
（2）见解析
（3）
解析：（1）当时,直线l的方程为,
由解得,,,
所以的面积为.
（2）由（1）中发现等腰直角三角形,猜测.
证明：,
得,即,,
所以,所以为定值.
（3）,,对函数求导得到,
所以方程为,整理得,
同理方程为,
分别令得到,,
,解得,
由第（2）小题,,得到,
所以,
所以面积的最小值为.
20．答案：（1）,
（2）
解析：（1）因为,,成等差数列,所以①,
又因为,,成等差数列,所以,得②,
由①②得,．所以,.
（2）,.
.
.
令,则,
则,
所以,当时,,当时,
所以的最小值为.
又恒成立,所以,．
21．答案：（1）单调递增区间是,,单调递减区间是,极大值是,极小值是
（2）最大值为,最小值为．
解析：（1）．
令,得或;令,得,
所以的单调递增区间是,单调递减区间是．
所以的极大值是,的极小值是．
（2）因为,
由（1）知,在区间上,有极小值,
所以函数在区间上的最大值为,最小值为．