专题5.7 分式章末重难点突破（举一反三）（学生版） 2022年七年级数学下册举一反三系列（浙教版）

这是一份专题5.7 分式章末重难点突破（举一反三）（学生版） 2022年七年级数学下册举一反三系列（浙教版），共8页。

【例1】下列各式中，分式的个数是（ ）
2x，a+2b2，a+bπ，a+1a，(x-1)(x+2)x+2，a+bb．
A．2B．3C．4D．5
【变式1-1】在分式3b3+3a，a2+b2a2-b2，m2-n2m+n，x2+xy2x，a+b-cc-a-b中，最简分式有 个．
【变式1-2】在式子1a、2xyπ、3a2b3c4、56+x、x7+y8、9x+10y中，分式有 个．
【变式1-3】把下列各式化为最简分式：
（1）a2-16a2-8a+16= ； （2）x2-(y-z)2(x+y)2-z2= ．
【考点2 分式有意义的条件】
【例2】若式子1+1x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【变式2-1】分式1x-1无意义的条件是 ．
【变式2-2】式子2x+13y-1无意义，则（y+x）（y﹣x）+x2的值等于 ．
【变式2-3】已知x+2x-2-（x﹣1）0有意义，则x的取值范围是 ．
【考点3 分式值为0的条件】
【例3】若分式m2-9m+3的值为0，则m的值为 ．
【变式3-1】已知分式x2-5x-6x+1的值为零，求x的值．
【变式3-2】（当a取何值时，分式3-|a|6+2a的值为零．
【变式3-3】若a、b是实数，且分式(a-2)2+|b2-16|b+4=0，则3a+b的值是（ ）
A．10B．10或2C．2D．非上述答案
【考点4 分式的基本性质】
【例4】下列等式成立的是（ ）
A．ba=b+1a+1B．2b+12a+1=ba
C．a2-1a+1=a-1D．ba+bc=2ba+c
【变式4-1】除了通过分式的基本性质进行分式变形外，有时，就是只把分式2a-h3b中的a，b同时扩大为原来的2倍后，分式的值也不会变，则此时h的值可以是下列中的（ ）
A．2B．b3C．abD．a2
【变式4-2】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．-x-yx+2y=-x-yx+2yB．a+ba-b=a-ba+bC．0.2a+ba+0.2b=2a+ba+2bD．x-12y12x+y=2x-yx+2y
【变式4-3】不改变分式0.2x+12+0.5x的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为（ ）
A．2x+12+5xB．x+54+xC．2x+1020+5xD．2x+12+x
【考点5 利用分式基本性质求值】
【例5】若ab=cd=ef=34，则a+c+eb+d+f= ；若x-2yy=23，则xy= ．
【变式5-1】已知y＝3xy+x，求代数式2x+3xy-2yx-2xy-y的值．
【变式5-2】若1x-1y=3，求2x+3xy-2yx+2xy-y的值＝ ．
【变式5-3】已知a，b，c是不为0的实数，且aba+b=13，bcb+c=14，cac+a=15，那么abcab+bc+ca的值是 ．
【考点6 分式的运算】
【例6】先化简，再求值：（x-1x2-4x+4-x+2x2-2x）÷（4x-1），其中x是不等式2x-53≤x﹣3的最小整数解．
【变式6-1】计算下列各式：
（1）x5y÷(-4x25y2)⋅2x2y （2）4x2-4-1x-2．
【变式6-2】如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①x-1x2+1；②a-2ba2-b2；③x+yx2-y2；④a2-b2(a+b)2．其中是“和谐分式”是 （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且x-1x2+ax+4为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简4a2ab2-b3-ab÷b4时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：原式=4a2ab2-b3-ab×4b=4a2ab2-b3-4ab2=4a2b2-4a(ab2-b3)(ab2-b3)b2
小强：原式=4a2ab2-b3-ab×4b=4a2b2(a-b)-4ab2=4a2-4a(a-b)(a-b)b2
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： ，
请你接着小强的方法完成化简．
【变式6-3】阅读下列材料：
小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：
小铭：“我知道一般当m≠n时，m2+n≠m+n2．可是我见到有这样一个神奇的等式：（ab）2+b-ab=ab+（b-ab）2（其中a，b为任意实数，且b≠0）．你相信它成立吗？”
小雨：“我可以先给a，b取几组特殊值验证一下看看．”
完成下列任务：
（1）请选择两组你喜欢的、合适的a，b的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立；
①当a＝ ，b＝ 时，等式 （填“成立”或“不成立”）；
②当a＝ ，b＝ 时，等式 （填“成立”或“不成立”）．
（2）对于任意实数a，b（b≠0），通过计算说明（ab）2+b-ab=ab+（b-ab）2是否成立．
【考点7 解分式方程】
【例7】解方程：
（1）2x+93x-9=4x-7x-3+2 （2）若方程2x+ax-2=-1的解是正数，求a的取值范围．
【变式7-1】请阅读下列材料并回答问题：
在解分式方程2x+1-3x-1=1x2-1时，小明的解法如下：
解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣3＝1①
去括号，得2x﹣1＝3﹣1 ②
解得x=52
检验：当x=52时，（x+1）（x﹣1）≠0 ③
所以x=52是原分式方程的解 ④
（1）你认为小明在哪里出现了错误 （只填序号）
（2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出三条解分式方程时的注意事项；
（3）写出上述分式方程的正确解法．
【变式7-2】因为11×2=1-12，12×3=12-13，…，119×20=119-120，
所以11×2+12×3+⋯+119×20=1-12+12-13+⋯+119-120=1-120=1920．
解答下列问题：
（1）在和式11×2+12×3+13×4+⋯中，第九项是 ；第n项是 ．
（2）解方程1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+⋯+1(x+2001)(x+2002)=1-22x+4004．
【变式7-3】解方程：x2+3x-20x2+3x=8．
【考点8 分式方程的增根】
【例8】解关于x的方程x+1x+2-xx-1=kx+2(x-1)(x+2) 时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．
【变式8-1】a为何值时，关于x的方程1x-2+axx2-4=3x+2会产生增根？
【变式8-2】①已知x＝3是方程x-1a-1=1的一个根，则a＝ ；
②已知x＝1是方程xx-1+kx-1=xx+1的一个增根，则k＝ ．
【变式8-3】（2021春•长泰县月考）已知关于x的分式方程2x-1+mx(x-1)(x+2)=1x+2
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
【考点9 分式方程的应用（行程与工程问题）】
【例9】某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？
（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？
【变式9-1】为顺利通过“国家文明城市”验收，某市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍．若甲、乙两工程队合作只需要10天完成．
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少．
【变式9-2】近年来，安全快捷、平稳舒适的中国高铁，为世界高速铁路商业运营树立了新的标杆．随着中国特色社会主义进入新时代，作为“中国名片”的高速铁路也将踏上自己的新征程，跑出发展新速度，这就意味着今后外出旅行的路程与时间将大大缩短，但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车；已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题：
（1）普通列车的行驶路程为多少千米？
（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度．
【变式9-3】用电脑程序控制小型赛车进行50m比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差3m．已知“畅想号”的平均速度为2.5m/s．
（1）求“和谐号”的平均速度；
（2）如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退3m，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点．
【考点10分式方程的应用（销售与方案问题）】
【例10】春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的43倍．
（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？
【变式10-1】某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
【变式10-2】某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
（3）若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
【变式10-3】松滋临港贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务，已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资．
（1）求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？
（2）公司制定如下方案，可以单独由甲乙任意一个车主完成，也可以由两车主合作完成．请你通过计算，帮该公司选择一种既省钱又省时的外包方案．