专题2.5 三元一次方程组及其解法-重难点题型（举一反三）（学生版） 2022年七年级数学下册举一反三系列（浙教版）

这是一份专题2.5 三元一次方程组及其解法-重难点题型（举一反三）（学生版） 2022年七年级数学下册举一反三系列（浙教版），共9页。

【知识点1 三元一次方程组及解法】
1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断．
2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题．
3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组．
【题型1 三元一次方程组的解】
【例1】（2021春•零陵区期末）若二元一次方程组2x+y=33x-y=2的解同时也是方程2x﹣my＝﹣1的解，那么m的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．3D．4
【变式1-1】（2021春•梁平区期末）三元一次方程组2x=3y=6zx+2y+z=16的解是（ ）
A．x=1y=3z=5B．x=6y=3z=2C．x=6y=4z=2D．x=4y=5z=6
【变式1-2】（2021•坪山区模拟）若二元一次方程3x﹣y﹣7＝0，2x+3y﹣1＝0和2x+y﹣m＝0有公共解，则m的取值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．3D．4
【变式1-3】（2021春•高新区期末）如果方程组x=4ax+by=5的解与方程组y=3bx+ay=2的解相同，则a+b＝ ．
【题型2 用消元法解三元一次方程组】
【例2】（2021春•宝山区期末）解方程组：x-y+z=04x+2y+z=325x+5y+z=60．
【变式2-1】（2021春•松江区期末）解方程组：3x+4y+z=14x+5y+2z=172x+2y-z=3．
【变式2-2】（2021春•新抚区期末）解方程组：x+2y+z=82x-y-z=-33x+y-2z=-1．
【变式2-3】（2020•浙江自主招生）解方程组x(y+z)=2.5，(y-1)(z+x+1)=9.5，(z+1)(x+y-1)=11.
【题型3 用换元法解三元一次方程组】
【例3】（2021春•南陵县期末）已知：a3=b5=c7，且3a+2b﹣4c＝9，则a+b+c的值等于 ．
【变式3-1】（2020•晋江市模拟）已知方程组x+y-5z=0x-y+z=0，则x：y：z＝ ．
【变式3-2】（2020秋•静安区月考）已知x+y2=z+y3=x+z4，那么代数式x-2y+z2x-y+z= ．
【变式3-3】解方程组：x2=y3=z4①2x+y+z=22②
方程组中的①式实际包含三个等式：x2=y3，x2=z4，y3=z4，只需任取其中两个（另一个通过这两个代换即可得），便可以与②式联立成三元一次方程组，如3x=2y4y=3z2x+y+z=22，然后用一般方法求解．对原方程组也可以用换元的方法来求解．令x2=y3=z4=k，则有x＝2k，y＝3k，z＝4k③，把③代入②，得4k+3k+4k＝22，解得k＝2，所以x＝4，y＝6，z＝8，所以原方程组的解为x=4y=6z=8．
借鉴上述“换元法”，解方程组x+12=y+23=z+342x+3y-z=13．
【题型4 构建三元一次方程组解题】
【例4】（2020秋•邛崃市期末）当x＝﹣2时，代数式ax2+bx+c的值是5；当x＝﹣1时，代数式ax2+bx+c的值是0；当x＝1时，代数式ax2+bx+c的值是﹣4；则当x＝2时，代数式ax2+bx+c的值是 ．
【变式4-1】（2021春•和平区期末）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60，则a＝ ，b＝ ，c＝ ．
【变式4-2】（2021春•海口期末）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝0；当x＝5时，y＝60；当x＝0时，y＝﹣5．求a2+2ab+c2的值．
【变式4-3】（2021春•崇川区校级月考）已知y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝8；当x＝0时，y＝2；当x＝﹣2时，y＝4．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＝﹣3时，求y的值．
【题型5 运用整体思想求值】
【例5】（2021•苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组4x+10y=6①8x+22y=10②时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：x=4y=-1
请你解决以下问题：
（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组2x-3y=7①6x-5y=11②
（2）已知x、y、z，满足3x-2z+12y=47①2x+z+8y=36②试求z的值．
【变式5-1】（2021春•金坛区期末）若2x+y+z＝10，3x+y+z＝12，则x+y+z＝ ．
【变式5-2】阅读以下材料：
若x+3y+5z＝5，x+4y+7z＝7，求x+y+z的值．
解：x+y+z＝3（x+3y+5z）﹣2（x+4y+7z）＝3×5﹣2×7＝1．
答：x+y+z的值的为1．
根据以上材料提供的方法解决如下问题：
若2x+5y+4z＝6，3x+y﹣7z＝﹣4，求x+y﹣z的值．
【变式5-3】（2020春•鼓楼区期中）解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：
解方程组x+y+z=2，①2x+3y-z=8，②3x-2y+z=3，③
小曹同学的部分解答过程如下：
解： + ，得3x+4y＝10，④
+ ，得5x+y＝11，⑤
与 联立，得方程组
3x+4y=10，④5x+y=11，⑤
（1）请补全小曹同学的解答过程：
（2）若m、n、p、q满足方程组m+n+p+q=42(m+n)+3p-q=163(m+n)-2p+q=6，则m+n﹣2p+q＝ ．
【知识点2 三元一次方程组的应用】
1．列方程组解决问题的一般步骤：（1）审题；（2）设元；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答.
2．列方程组时需要注意以下几方面
（1）单位必须统一，例如时间单位.
（2）解方程组后一定要把解代回实际问题中检验，不合题意的要舍去.
【题型6 三元一次方程组的应用】
【例6】汽车在平路上每小时行30千米，上坡时每小时行28千米，下坡时每小时行35千米，现在行驶142千米的路程用去4小时30分钟，回来使用4小时42分钟，问这段路中平路有多少千米？去时上、下坡各有多少千米？
【变式6-1】某单位职工在植树节时去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组的和的14，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？
【变式6-2】如图中的□、△、○分别代表一个数字，且满足以下三个等式：
□+□+△+○＝17
□+△+△+○＝14
□+△+○+○＝13，
则□、△、○分别代表什么数字？并说明理由．
【变式6-3】（2020春•乐清市期末）为了推动我市消费市场快速回暖，加快消费水平复苏和振兴，市人民政府决定，举办“春暖瓯越•温享生活”消费券多次投放活动，每期消费券共可减68元，共5张，其中A型1张，B型2张，C型2张，如下表：
在此次活动中，小明父母领到多期消费券．
（1）若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元，已知她用了3张A型消费券，5张B型的消费券，则用了 7 张C型的消费券．
（2）若小明父母使用消费券共减了230元．
①若他们用12张三种不同类型的消费券消费，已知C型比A型的消费券多1张，请求出他们用这三种不同类型的消费券各多少张？
②若他们共领到6期消费券（部分未使用），用A，B，C型中的两种不同类型的消费券消费，直接写出他们使用哪两种消费券各多少张． A型
B型
C型
满168元减38元
满50元减10元
满20元减5元