2023-2024学年天津市蓟州区蒙瞿阝初级中学九年级（上）段考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市蓟州区蒙瞿阝初级中学九年级（上）段考数学试卷（10月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A. (x−1)(x+2)=1B. 3x2−2xy−5y2=0
C. x2+1x2=0D. ax2+bx+c=0
2.用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程应变形为( )
A. (x+1)2=6B. (x+2)2=9C. (x−1)2=6D. (x−2)2=9
3.若(x+1)2−1=0，则x的值等于
( )
A. ±1B. ±2C. 0或2D. 0或−2
4.解方程2(5x−1)2=3(5x−1)的最合适的方法是( )
A. 配方法B. 公式法C. 因式分解法D. 直接开平方法
5.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<5B. k<5，且k≠1C. k≤5，且k≠1D. k>5
6.已知点(1,y1)，(−2,y2)，(3,y3)都在函数y=−2x2的图象上，则( )
A. y17.关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+a2−1=0的一个根0，则a值为( )
A. 1B. −1C. ±1D. 0
8.市工会组织篮球比赛庆五一，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了36场比赛，则这次参加比赛的球队个数为( )
A. 11个B. 10个C. 8个D. 9个
9.二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的图象可能为如图中的( )
A. B.
C. D.
10.如图，在长为100m，宽为80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m，则可列方程为( )
A. 100×80−100x−80x=7644B. (100−x)(80−x)+x2=7644
C. (100−x)(80−x)=7644D. 100x+80x−x2=7644
11.某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A. 50(1+x)2=182B. 50+50(1+x)+50(1+x)2=182
C. 50(1+x)+50(1+x)2=182D. 50+50(1+x)=182
12.有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.已知x=−1是方程x2−ax+6=0的一个解，则 a2−1= ______．
14.已知抛物线y=−2x2，开口______，顶点坐标是______，对称轴是______．
15.若y=(m+2)xm2−2是二次函数，则m的值是 ．
16.写出一个一元二次方程，使其中一个根是2，这个方程可以是______．
17.已知二次函数y=(m+1)x2有最大值，则m的取值范围是______．
18.如果二次函数y=ax2的图象经过点(−2,1)，则此函数解析式为______．
三、解答题：本题共5小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题16分)
解方程：
(1)x2−2x−5=0；(用配方法)
(2)3x2−5x+1=0；
(3)x2+5x−6=0；
(4)x2−1=2(x+1)．
20.(本小题6分)
已知：关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k取最大整数值时，用合适的方法求该方程的解．
21.(本小题8分)
如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
22.(本小题8分)
一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
23.(本小题8分)
如图正方形OABC的顶点B恰好在函数y=ax2(a>0)的图象上，若正方形OABC的边长为 2，且边OA与x轴的正半轴的夹角为15°，求二次函数的解析式．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是一元二次方程，故A符合题意；
B、是二元二次方程，故B不符合题意；
C、是分式方程，故C不符合题意；
D、a=0时是一元一次方程，故D不符合题意；
故选：A．
根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0.由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2.【答案】C
【解析】解：由原方程移项，得
x2−2x=5，
方程的两边同时加上一次项系数−2的一半的平方1，得
x2−2x+1=6
∴(x−1)2=6．
故选：C．
配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3.【答案】D
【解析】解：移项得，(x+1)2=1，
开方得，x+1=±1，
解得x1=0，x2=−2.故选D．
先移项，写成(x+a)2=b的形式，然后利用数的开方解答．
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a(a≥0)；ax2=b(a,b同号且a≠0)；(x+a)2=b(b≥0)；a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0)．
法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
(2)运用整体思想，会把被开方数看成整体．
(3)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
4.【答案】C
【解析】解：解方程2(5x−1)2=3(5x−1)的最合适的方法是因式分解法，
故选：C．
方程右边看作一个整体，移项到左边，提取公因式5x−1化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k−1≠0且Δ=42−4(k−1)×1>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得k−1≠0且Δ=42−4(k−1)×1>0，
解得：k<5且k≠1．
故选B．
6.【答案】C
【解析】解：∵点(1,y1)，(−2,y2)，(3,y3)都在函数y=−2x2的图象上，
∴y1=−2×12=−2，y2=−2×(−2)2=−8，y3=−2×32=−18，
∴y3故选：C．
把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得y1、y2、y3，再比较其大小即可．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：把x=0代入方程得：a2−1=0，
解得：a=±1，
∵(a−1)x2+x+a2−1=0是关于x的一元二次方程，
∴a−1≠0，
即a≠1，
∴a的值是−1．
故选：B．
根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a−1≠0，a2−1=0，求出a的值即可．
本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，注意根据已知得出a−1≠0且a2−1=0，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．
8.【答案】D
【解析】解：设这次参加比赛的球队有x个，
根据题意得：12x(x−1)=36，
解得：x1=9，x2=−8(不合题意，舍去)．
故选：D．
设这次参加比赛的球队有x个，根据共进行了45场比赛及每两队之间都赛一场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：①当a>0时，二次函数y=ax2的开口向上，一次函数y=ax+a的图象经过第一、二、三象限，排除A、B；
②当a<0时，二次函数y=ax2的开口向下，一次函数y=ax+a的图象经过第二、三、四象限，排除D；
故选：C．
根据a的符号分类，a>0时，在A、B中判断一次函数的图象是否相符，a<0时，在C、D中进行判断．
本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．
10.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】
解：设道路的宽为x m，则可列方程为(100−x)(80−x)=7644，
故选C．
11.【答案】A
【解析】解：设平均每月的增长率为x，则五月份生产零件50(1+x)万个，六月份生产零件50(1+x)(1+x)万个，
故可得：50(1+x)(1+x)=61，即50(1+x)2=182．
故选：A．
设平均每月的增长率为x，则五月份生产零件50(1+x)万个，六月份生产零件50(1+x)(1+x)万个，由此可得出方程．
此题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
12.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解决本题的关键．
根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】
解：根据题意得：1+x+x(1+x)=49，
解得：x=6或x=−8(舍去)，
则x的值为6．
故选：B．
13.【答案】4 3
【解析】解：把x=−1代入x2−ax+6=0，
得1+a+6=0，
解得a=−7，
把a=−7代入 a2−1，
得 a2−1= (−7)2−1= 48=4 3，
故答案为：4 3．
把x=−1代入x2−ax+6=0，解得a=−7，再把a=−7代入 a2−1，即可作答．
本题考查了一元二次方程的解以及二次根式的性质，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
14.【答案】向下 (0,0) y轴
【解析】解：∵y=−2x2．
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)．
故答案为：向下，(0,0)，y轴．
根据二次函数顶点式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
15.【答案】2
【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．
利用二次函数定义可得m2−2=2，且m+2≠0，再解即可．
【解答】
解：由题意得：m2−2=2，且m+2≠0，
解得：m=2．
16.【答案】x2+2x−8=0
【解析】解：答案不唯一，如x2+2x−8=0．
故答案是：x2+2x−8=0．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，根据定义即可求解．
本题考查的是一元二次方程的解，关键是灵活应用方程的解写出方程．
17.【答案】m<−1
【解析】解：∵二次函数y=(m+1)x2有最大值，
∴m+1<0，即m<−1．
本题考查二次函数的性质及最小(大)值的求法．
求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
18.【答案】y=14x2
【解析】解：∵二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(−2,1)，
∴将点(−2,1)代入y=ax2中得：4a=1，
∴a=14，
∴二次函数解析式为y=14x2，
故答案为：y=14x2．
利用待定系数法求出函数解析式即可；
本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
19.【答案】解：(1)x2−2x−5=0，
移项，得x2−2x=5，
配方，得x2−2x+1=5+1，
即(x−1)2=6，
开方，得x−1=± 6，
解得x1= 6+1，x2=− 6+1；
(2)3x2−5x+1=0，
则Δ=b2−4ac=(−5)2−4×3×1=13，
那么x=−b± Δ2a=5± 136，
解得：x1=5+ 136，x2=5− 136；
(3)x2+5x−6=0，
则Δ=b2−4ac=52−4×1×(−6)=49，
那么x=−b± Δ2a=−5± 492=−5±72，
解得x1=−5+72=1，x2=−5−72=−6；
(4)x2−1=2(x+1)，
则(x+1)(x−1)=2(x+1)，
移项，得(x+1)(x−1)−2(x+1)=0，
提公因式，得(x+1)(x−1−2)=0，
解得x1=−1，x2=3．
【解析】(1)根据配方法的解题过程：把一般式的二次项系数化1，再移项，接着配方，然后开方，即可作答；
(2)运用公式法进行解答即可；
(3)运用公式法进行解答即可；
(4)先把 原式整理成(x+1)(x−1)=2(x+1)，再移项，接着提公因式，即可作答．
本题考查了解一元二次方程，涉及配方法、公式法、因式分解法等方法，正确选择适当的解法达到最简是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△>0，即22−4×1×k>0，
解得：k<1；
(2)根据题意，当k=0时，方程为：x2+2x=0，
左边因式分解，得：x(x+2)=0，
∴x1=0，x2=−2．
【解析】(1)根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
(2)从上题中找到K的最大整数，代入方程后求解即可．
本题考查了根的判别式和因式分解法解方程的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．
21.【答案】解：设AB为xm，则BC为(50−2x)m，
根据题意得方程：x(50−2x)=300，
2x2−50x+300=0，
解得；x1=10，x2=15，
当x1=10时50−2x=30>25(不合题意，舍去)，
当x2=15时50−2x=20<25(符合题意)．
答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米．
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．设AB为xm，则BC为(50−2x)m，根据题意可得等量关系：矩形的长×宽=300，根据等量关系列出方程，再解即可．
22.【答案】解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元<8800元，
所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：
x[120−0.5(x−60)]=8800，
解得：x1=220，x2=80．
当x=220时，120−0.5×(220−60)=40<100，
∴x=220(不合题意，舍去)；
当x=80时，120−0.5×(80−60)=110>100，
∴x=80．
答：该校共购买了80棵树苗．
【解析】根据设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120−0.5(x−60)]=8800，进而得出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知“如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元”得出方程是解题关键．
23.【答案】解：如图，连接OB，过B作BD⊥x轴于D，则∠BOA=45°，

∵∠AOD=15°，
∴∠BOD=60°，
∵正方形OABC的边长为 2，
∴OB= OA2+AB2=2，∠A=90°，
∴∠OBD=30°，
∴OD=12OB=1，
∴BD= 3，
∴点B(1, 3)，
代入y=ax2(a>0)中，得：a= 3，
∴二次函数的解析式为y= 3x2．
【解析】连接OB，过B作BD⊥x轴于D，则∠BOA=45°，可得∠BOD=60°，从而得到∠OBD=30°，再由直角三角形的性质可得OD，BD的长，进而得到点B(1, 3)，即可求解．
本题主要考查了求二次函数的解析式，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．