2024浙江省浙南名校联盟高二下学期开学考试数学含解析

这是一份2024浙江省浙南名校联盟高二下学期开学考试数学含解析，共14页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷，4 B，已知，则，已知，则方程表示的曲线可能是等内容，欢迎下载使用。

高二数学学科试题
考生须知：
1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1.已知抛物线的焦点在直线上，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知向量，则在上的投影为（ ）
A. B. C. D.
3.已知点及直线上一点，则的值不可能是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知数列是各项为正的等比数列，前项和为，且，则（ ）
A. B. C.1 D.
5.若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（ ）
A.-1 B.-2 C.1 D.2
6.已知的三个内角分别为，则的值可能是（ ）
A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1
7.圆锥曲线具有丰富的光学性质，在人教版A版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，（如图（1））.如图（2），已知为椭圆的左焦点，为坐标原点，直线为椭圆的任一条切线，为在上的射影，则点的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲性 D.抛物线
8.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9.已知，则方程表示的曲线可能是（ ）
A.两条直线 B.圆
C.焦点在轴的椭圆 D.焦点在轴的双曲线
10.如图，已知四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段上一点（含端点），则直线与平面所成角不可能是（ ）
A.0 B. C. D.
11.已知数列为等差数列，，前项和为，数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A.数列为等比数列
B.数列为等差数列
C.数列中任意三项不能构成等比数列
D.数列中可能存在三项成等比数列
12.如图，已知棱长为2的正方体，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（ ）
A.截面的形状可能是正三角形
B.截面的形状可能是直角梯形
C.此截面可以将正方体体积分成1：3
D.若截面的形状是六边形，则其周长为定值
非选择题部分
三､填空题（本大题共4小题，共20分.）
13.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，第一排21个座位，从第2排起后一排都比前一排多两个位置，那么这个报告厅共有__________排座位.
14.设曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为__________.
15.已知正四面体，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
16.已知点是直线上一点，点是椭圆上一点，设点为线段的中点，为坐标原点，若的最小值为，则椭圆的离心率为__________.
四､解答题（本大题共6小题，共70分.）
17.设，函数.
（1）若有且只有一个零点，求的取值范围；
（2）若的一个极值点为1，求函数的极值.
18.如图，已知等腰三角形中，是的中点，且.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设所在直线与轨迹的另一个交点为，当面积最大且在第一象限时，求.
19.如图，是边长为2的等边三角形，且.
（1）若点到平面的距离为1，求；
（2）若且，求直线与平面所成角的正弦值.
20.记为数列的前项和，已知，且成等比数列.
（1）写出，并求出数列的通项公式；
（2）记为数列的前项和，若对任意的恒成立，求的取值范围.
21.已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求证：.
22.已知等轴双曲线过定点，直线与双曲线交于两点，记，且.
（1）求等轴双曲线的标准方程；
（2）证明：直线过定点.
高二数学学科参考答案与解析
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.）
6.【参考答案】：
由得：，故选D
7.【参考答案】：
解法一：设切线与椭圆相切于点，则切线的方程是，
则直线的方程是，
，故点的轨迹是圆.故选
解法二：如图，设切线与椭圆相切于点，过右焦点
作于，延长与直线交于点，易知，
由椭圆光学性质知，
设，
则，
，所以，
故，故选.
8.【参考答案】：
构造函数
则
由于（当且仅当时取等号）恒成立，故
由于（当且仅当时取等号）恒成立，
故（当且仅当时取等号）
即（当且仅当时取等号），故
构造函数
，当时，
在上单调递减，
在上单调递减，
在上单调递减
，综上，选B
11.【参考答案】：
（1）设数列的公差为
数列为等差数列，又数列为等差数列
数列为等差数列.故B正确，错误；
（2）（反证法）假设数列中存在三项，且能构成等比数列，即成立.由（1）得，
整理得：
与矛盾，
数列中任意三项不能构成等比数列，故C正确，同理可知，错误.
12.【参考答案】：
如图（1），M，N分别为所在棱中点，A正确；
当截面是梯形时如图（2），如果为直角梯形，则，又，故面，，矛盾，形状不可能为直角梯形，错误；
如图（3），为所在棱中点，截面将正方体分成1：3，正确；
如图（4）､（5），当截面是六边形时，可以是正六边形，也可以是一般的六边形，周长不是定值，D错误.
三､填空题（本大题共4小题，共20分.）
13. 14. 15. 16.
15.【参考答案】：
正四面体的棱长设为2，则
异面直线与所成角的余弦值为
16.【参考答案】：
直线关于原点的对称直线为，记直线与直线的交点为，连结，
则，设
或24
当时，与椭圆相交，最小值为0，与矛盾，舍去.
当时，符合要求，此时，，椭圆离心率.
四､解答题（本大题共6小题，共70分.）
17.【参考答案】
解：
（1），若有且只有一个零点，则这个唯一零点一定是0
故，即函数无零点；
（2）
的一个极值点为
，
当时，单调递减
当时，单调递增
18.【参考答案】
解：
（1），
即.
（2）由题意，
所在直线方程为
圆心到直线的距离
19.【参考答案】：
（1）是边长为2的等边三角形，又，
中，
点到平面的距离为1，不妨设平面的法向量为
则
又即
平面，
，又
（2）由（1）知，
又，且平面
又
设中点为，则，又，且，
，且平面；
设中点为，则，
因此，两两垂直；
如图建系；则
；
设平面的法向量为，则，
，取，则
20.【参考答案】：
（1）解：
由成等比数列得，且，
当时；
当时，，又
（2）解法一：
由（1）易得，
则，故
，而
.
解法二：
设，则
是一个等比数列
，而
.
21.【参考答案】：
（1）当时，
，故在单调递增，
又时，时，
函数的单调递减区间为，单调递增区间为
（2）当时，
令，则，
在单调递增，又，
，使得，且是在上的唯一零点，
在上为负，在上为正，
故在处取到极小值，也就是最小值.
，即
当时，求证：.
22.【参考答案】
解：
（1）设等轴双曲线C：；
过的标准方程为.
（2）证明：设直线的方程为；
联立方程：
设，则
化简整理得：
或
当，直线恒过定点；
当，直线恒过定点，故舍去.1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
A
C
D
D
A
B
9
10
11
12
ABC
CD
BC
AC