2023-2024学年重庆一中七年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆一中七年级（下）开学数学试卷（含解析），共31页。
A．2024B．﹣2024C．D．
2．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看到的图形是（ ）
A．B．C．D．
3．下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查全国中学生每天作业完成的时间
B．调查一批“遥遥领先”手机的电池寿命
C．调查我市中学生观看电影《流浪地球2》的情况
D．为保证全球首架C919大型客机首飞成功，对其零部件进行检查
4．下列各式成立的是（ ）
A．B．0＞﹣（﹣4）
C．D．﹣22＝（﹣2）2
5．已知3a＝b+1，则下列变形中不成立的是（ ）
A．3a﹣1＝bB．3a+3＝b+4C．6a＝2b+1D．
6．如图所示，射线OA在射线OB的反向延长线上，则射线OB的方向是（ ）
A．北偏东65°B．东偏北65°C．北偏东75°D．东偏北75°
7．《孙子算经》中记载：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共鹿适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设有x户人家，可列方程为（ ）
A．x+3x＝100B．3x﹣x＝100C．x﹣＝100D．x+＝100
8．下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，第③个图形中共有15个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（ ）
A．63B．64C．80D．81
9．如图，当输入x的值为﹣1时，输出的结果为（ ）
A．﹣1B．11C．21D．43
10．已知：（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，则x2+3xy+y2的值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
11．已知∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，则∠AOD的度数为（ ）
A．20°B．80°C．20°或80°D．10°或40°
12．已知3个多项式分别为：A＝x2﹣x，B＝x2+1，C＝x+2，下列结论正确的个数有（ ）
①若|C|＝3，则x＝±1；
②若mA+B﹣C的结果为单项式，则m＝﹣1；
③若关于x的方程B﹣A＝nC无解，则n＝1；
④代数式|A﹣B|+|B﹣A+C|﹣|A+C|化简后共有3种不同表达式．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题10个小题，每空3分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上．
13．单项式的系数是 ．
14．2023年除夕之夜，盛大的光影焰火秀在重庆绽放，浪漫的山城以跨年焰火的形式辞旧迎新．据统计，近距离线下观看焰火秀的人数近590000人，将数据590000用科学记数法表示应为 ．
15．已知x＝2是关于x的方程mx﹣3＝m+6的解，则m的值为 ．
16．若两个单项式0.5xm+3y3与﹣5xyn+1是同类项，则mn的值为 ．
17．如图，M为线段AB的中点，若点C在线段AB上，且AC＝2，AC：BM＝1：3，则线段CM的长为 ．
18．如图，当钟表上的时间显示为7：20，时针与分针所成的夹角为 度．
19．艳艳和君君约定从A地沿相同路线骑行去B地，已知艳艳的速度是君君速度的1.2倍，若君君先骑行2千米，艳艳才从A地出发，艳艳出发半小时后恰好追上君君，则君君每小时骑行 千米．
20．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：|a+b|﹣|﹣b+2|﹣2|a﹣1|＝ ．
21．一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长比高多3cm，则这个正方形纸板的边长为 cm．
22．一个三位正整数，若百位上的数字与个位上的数字之和是十位上的数字的3倍，则称这个三位数为“3倍特征数”．例如：125满足1+5＝3×2，所以125是“3倍特征数”．对于某些“3倍特征数”，可进行如下操作：取相邻数位上的两个数的平均数放入这两个数之间，并去掉未取数位上的数字，得到两个新的三位数．并规定，且F（m）能被3整除，则满足题意的“3倍特征数”m的值为 ．
三、计算题（本大题3个小题，23题16分，24、25每小题16分，共32分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
23．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）3x﹣3y+4x+2y；
（4）．
24．解方程：
（1）5x﹣2（x﹣1）＝﹣1；
（2）．
25．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）+y2]÷（﹣2y），其中（x﹣1）2+y2+6y+9＝0．
四、解答题（本大题5个小题，26-29每小题10分，30题12分，共52分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．如图，已知点B在线段AC上，D为直线AB外一点．
（1）请按要求进行尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①连接AD、BD；
②在线段BC上截取点N，使得线段BN＝BC﹣BD；
③若，在线段AB上取AB的中点M．
（2）由于M为AB的中点，小敏在学习完线段中点的相关知识后，进行了自主研究．若N为AC的中点，则双中点M、N构成的线段MN与图中线段存在一定的关系，请根据她的思路，补全下列解题过程：
解：∵点M是线段AB的中点，
∴ ．
∵点N是线段AC的中点，
∴ ＝．
∵MN＝AN﹣ ．
即．
∴＝ ．
27．重庆市北关中学七年级在本学期举行了速算比赛，为了解该年级525名学生的速算成绩分布情况，随机抽取了部分学生的速算成绩，根据成绩情况分为五组（成绩得分为百分制，用x表示）：A组：50≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100，将调查的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次调查的总体是 ；（选填“A”或“B”）
A.525名学生
B.525名学生的速算成绩
（2）此次调查的样本容量是 ，在扇形统计图中D组所在扇形的圆心角为 度；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）请估计该校七年级速算成绩不低于80分的学生人数．
28．∠AOC与∠BOD有公共顶点O，其中∠BOD＝90°，OE平分∠AOD．
（1）当∠BOD与∠AOC如图1所示，且∠AOC＝30°，∠BOC＝10°，求∠COE的度数；
（2）当OB与OC重合时如图2所示，反向延长射线OA到H，OF平分∠COH，求∠AOE+∠FOH的度数．
29．小南计划安装如图所示由六块相同的长方形玻璃组成的窗户（如图①），该窗户长为6米，宽为a米（0＜a＜10），玻璃上方安装了两张半径相同且不重叠的扇形遮光帘（如图②）．
（1）该窗户的透光面积共 平方米；（用含a的代数式表示，结果保留π）
（2）（列一元一次方程解决问题）安装一扇这样的窗户需要6块长方形玻璃，2张遮光帘，某厂家现有工人50人，平均每人每天可加工长方形玻璃8块或遮光帘4张，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产长方形玻璃，多少名工人生产遮光帘？
（3）在同等质量的前提下，甲、乙两个厂家制作玻璃与遮光帘的收费方式如下：
若小南选择甲、乙两个厂家所需费用相同，求a的值．（在（3）小问中的π取3）
30．如图①，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AC＝10．
（1）动点E、F同时从A出发，E以每秒1个单位长度的速度沿折线A→B→C方向运动，F以每秒2个单位长度的速度沿折线A→C→B方向运动，经过 秒两点首次相遇，相遇时它们距点B 个单位长度；
（2）如图②，动点K从B出发，沿折线B→C→A（含端点B和A）运动，速度为每秒2个单位长度，到达A点停止运动，已知点B到AC的距离为个单位长度，设点K的运动时间为t秒，当△ABK的面积为时，求t的值；
（3）如图③，将三角形ABC的顶点A与数轴原点重合，将数轴正半轴部分沿A→B→C折叠在三角形ABC的两边AB、BC上，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的距离．例如，点M和点N在折线数轴上的距离为|20﹣（﹣8）|＝28个单位长度．动点P从点M出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点A运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向数轴的正方向运动；与此同时，点Q从点N出发，以2个单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点C运动到点A期间速度变为3.5个单位/秒，过点A后继续以原来的速度向数轴的负方向运动，设运动时间为m秒．在此运动过程中，P、A两点的距离与Q、C两点的距离是否会相等？若相等，请直接写出m的值；若不相等，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡对应的方框涂黑．
1．2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】左视图就是从几何体的左侧看，所得到的图形，实际上就是从左面“正投影”所得到的图形，
解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从左边看得到的图形就是图形的左视图是关键．
3．下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查全国中学生每天作业完成的时间
B．调查一批“遥遥领先”手机的电池寿命
C．调查我市中学生观看电影《流浪地球2》的情况
D．为保证全球首架C919大型客机首飞成功，对其零部件进行检查
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点．逐一判断即可解答．
解：A．调查全国中学生每天作业完成的时间，适宜采用抽样调查，故A不符合题意；
B．调查一批“遥遥领先”手机的电池寿命，适宜采用抽样调查，故B不符合题意；
C．调查我市中学生观看电影《流浪地球2》的情况，适宜采用抽样调查，故C不符合题意；
D．为保证全球首架C919大型客机首飞成功，对其零部件进行检查，适宜采用全面调查，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．下列各式成立的是（ ）
A．B．0＞﹣（﹣4）
C．D．﹣22＝（﹣2）2
【分析】根据“正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”判断即可．
解：A．，﹣|﹣|＝﹣，故，故本选项符合题意；
B．﹣（﹣4）＝4，故0＜﹣（﹣4），故本选项不符合题意；
C．因为|﹣3|＞|﹣|，所以，故本选项不符合题意；
D．﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，所以﹣22＜（﹣2）2，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键．
5．已知3a＝b+1，则下列变形中不成立的是（ ）
A．3a﹣1＝bB．3a+3＝b+4C．6a＝2b+1D．
【分析】根据等式的性质对各选项进行逐一分析即可．
解：A、∵3a＝b+1，∴3a﹣1＝b，成立，不符合题意；
B、∵3a＝b+1，∴3a+3＝b+4，成立，不符合题意；
C、∵3a＝b+1，∴6a＝2b+2，原变形错误，不符合题意；
D、∵3a＝b+1，∴a＝b+，成立，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是等式的性质，熟知性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
6．如图所示，射线OA在射线OB的反向延长线上，则射线OB的方向是（ ）
A．北偏东65°B．东偏北65°C．北偏东75°D．东偏北75°
【分析】根据方向角定义可得出答案．
解：如图所示：
依题意可知：∠AOE＝25°，
∵∠BOC＝∠AOE＝25°，
又∵∠DOC＝90°，
∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝90°﹣25°＝65°，
射线OB的方向是北偏东65°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了方向角的定义，准确识图，熟练掌握方向角的定义是解决问题的关键．
7．《孙子算经》中记载：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共鹿适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设有x户人家，可列方程为（ ）
A．x+3x＝100B．3x﹣x＝100C．x﹣＝100D．x+＝100
【分析】设有x户人家，根据“每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：设有x户人家，
依题意，得：x+＝100．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，第③个图形中共有15个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（ ）
A．63B．64C．80D．81
【分析】依次求出每个图形中●的个数，发现规律即可解决问题．
解：由所给图形可知，
第①个图形中●的个数为：3＝22﹣1；
第②个图形中●的个数为：8＝32﹣1；
第③个图形中●的个数为：15＝42﹣1；
…，
所以第n个图形中●的个数为（n+1）2﹣1．
当n＝8时，
（n+1）2﹣1＝92﹣1＝80（个），
即第⑧个图形中●的个数为80个．
故选：C．
【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现●个数的规律是解题的关键．
9．如图，当输入x的值为﹣1时，输出的结果为（ ）
A．﹣1B．11C．21D．43
【分析】利用程序图中的程序列式运算即可．
解：当输入x的值为﹣1时，
﹣2x+1＝﹣2×（﹣1）+1＝3＜10，
需重新输入x的值为3，
∴﹣2x+1＝﹣2×3+1＝﹣5＜10，
需重新输入x的值为﹣5，
∴﹣2x+1＝﹣2×（﹣5）+1＝10+1＝11＞10，
∴输出的结果为11．
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，求代数式的值，本题是操作性题目，正确理解程序图中的程序并列出算式是解题的关键．
10．已知：（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，则x2+3xy+y2的值为（ ）
A．8B．10C．12D．14
【分析】由于（x+y）2＝12，（x﹣y）2＝4，两式相加可得x2+y2的值，两式相减可得xy的值，再整体代入计算即可求解．
解：∵（x+y）2＝12①，（x﹣y）2＝4②，
∴①+②得2（x2+y2）＝16，解得x2+y2＝8，
①﹣②得4xy＝8，解得xy＝2，
∴x2+3xy+y2＝8+3×2＝14．
故选：D．
【点评】考查了完全平方公式．关键是根据已知条件两式相加求得x2+y2的值，两式相减得xy的值．
11．已知∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC，则∠AOD的度数为（ ）
A．20°B．80°C．20°或80°D．10°或40°
【分析】根据题意可得此题要分两种情况，一种是OC在∠AOB内部，另一种是OC在∠AOB外部．
解：①射线OC在∠AOB的外部，如图1，
∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝50°+30°＝80°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝AOC＝40°；
②射线OC在∠AOB的内部，如图2，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣30°＝20°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝AOC＝10°．
故选：D．
【点评】本题考查了角的计算，分类讨论思想是数学中很重要的数学思想．
12．已知3个多项式分别为：A＝x2﹣x，B＝x2+1，C＝x+2，下列结论正确的个数有（ ）
①若|C|＝3，则x＝±1；
②若mA+B﹣C的结果为单项式，则m＝﹣1；
③若关于x的方程B﹣A＝nC无解，则n＝1；
④代数式|A﹣B|+|B﹣A+C|﹣|A+C|化简后共有3种不同表达式．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】将A、B、C按要求代入各选项计算即可．
解：①∵|C|＝3，
∴C＝±3，
当C＝3时，x+2＝3，
解得：x＝1，
当C＝﹣3时，x+2＝﹣3，
解得：x＝﹣5，故①错误；
②mA+B﹣C
＝mx2﹣mx+x2+1﹣x﹣2
＝（m+1）x2﹣（m+1）x﹣1，
若为单项式，则m+1＝0，
解得：m＝﹣1，故②正确；
③∵B﹣A＝nC，
∴x2+1﹣x2+x＝nx+2n，
∴x﹣nx＝2n﹣1，
∴（1﹣n）x＝2n﹣1，
∵方程无解，
∴1﹣n＝0，
∴n＝1，故③正确；
④|A﹣B|+|B﹣A+C|﹣|A+C|
＝|x2﹣x﹣x2﹣1|+|x2+1﹣x2+x+x+2|﹣|x2﹣x+x+2|
＝|﹣x﹣1|+|2x+3|﹣|x2+2|，
若﹣≤x≤﹣1，
原式＝﹣x﹣1+2x+3﹣（x2+2）
＝﹣x﹣1+2x+3﹣x2﹣2
＝﹣x2+x，
若x≥﹣1，
原式＝x+1+2x+3﹣（x2+2）
＝x+1+2x+3﹣x2﹣2
＝﹣x2+3x+2，
若x≤﹣，
原式＝﹣x﹣1﹣2x﹣3﹣x2﹣2，
＝﹣x2﹣3x﹣6，
∴代数式|A﹣B|+|B﹣A+C|﹣|A+C|化简后共有3种不同表达式，故④正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了去绝对值，整式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
二、填空题（本大题10个小题，每空3分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上．
13．单项式的系数是 ﹣ ．
【分析】根据单项式的系数的意义，即可解答．
解：单项式的系数是﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数的意义是解题的关键．
14．2023年除夕之夜，盛大的光影焰火秀在重庆绽放，浪漫的山城以跨年焰火的形式辞旧迎新．据统计，近距离线下观看焰火秀的人数近590000人，将数据590000用科学记数法表示应为 5.9×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：590000＝5.9×105．
故答案为：5.9×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
15．已知x＝2是关于x的方程mx﹣3＝m+6的解，则m的值为 9 ．
【分析】把x＝2代入关于x的方程mx﹣3＝m+6可得2m﹣3＝m+6，再解关于m的一元一次方程即可．
解：∵x＝2是关于x的方程mx﹣3＝m+6的解，
∴2m﹣3＝m+6，
解得m＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查一元一次方程的解，理解一元一次方程解的定义，掌握一元一次方程的解法是正确解答的关键．
16．若两个单项式0.5xm+3y3与﹣5xyn+1是同类项，则mn的值为 4 ．
【分析】根据同类项的定义求出m、n的值，再代入计算即可．
解：∵单项式0.5xm+3y3与﹣5xyn+1是同类项，
∴m+3＝1，n+1＝3，
解得m＝﹣2，n＝2，
∴mn＝（﹣2）2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查同类项，掌握“所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”是正确解答的关键．
17．如图，M为线段AB的中点，若点C在线段AB上，且AC＝2，AC：BM＝1：3，则线段CM的长为 4 ．
【分析】根据已知可得：BM＝3AC＝6，然后根据线段的中点定义可得AM＝BM＝6，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
解：∵AC＝2，AC：BM＝1：3，
∴BM＝3AC＝6，
∵M为线段AB的中点，
∴AM＝BM＝6，
∴CM＝AM﹣AC＝6﹣2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了两点间的距离，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
18．如图，当钟表上的时间显示为7：20，时针与分针所成的夹角为 100 度．
【分析】根据时钟上一大格是30°，时针一分钟转0.5°进行计算，即可解答．
解：由题意得：3×30°+20×0.5°
＝90°+10°
＝100°，
故答案为：100．
【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°，时针一分钟转0.5°是解题的关键．
19．艳艳和君君约定从A地沿相同路线骑行去B地，已知艳艳的速度是君君速度的1.2倍，若君君先骑行2千米，艳艳才从A地出发，艳艳出发半小时后恰好追上君君，则君君每小时骑行 20 千米．
【分析】设君君每小时骑行x千米，则艳艳每小时骑行1.2x千米，根据若君君先骑行2千米，艳艳才从A地出发，艳艳出发半小时后恰好追上君君，列出一元一次方程，解方程即可．
解：设君君每小时骑行x千米，则艳艳每小时骑行1.2x千米，
由题意得：×1.2x＝2+x，
解得：x＝20，
即君君每小时骑行20千米，
故答案为：20．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：|a+b|﹣|﹣b+2|﹣2|a﹣1|＝ 3a ．
【分析】根据数轴可知：a＜0＜b，b＞2，|a|＞1，|a|＜|b|，然后去掉绝对值符号，进行计算即可．
解：∵由数轴可知，a＜0＜b，b＞2，|a|＞1，|a|＜|b|，
∴a+b＞0，﹣b+2＜0，a﹣1＜0，
∴|a+b|﹣|﹣b+2|﹣2|a﹣1|＝a+b﹣b+2+2×（a﹣1）＝3a，
故答案为：3a．
【点评】本题考查了数轴与绝对值的相关知识，解题的关键在于正确去掉绝对值符号．
21．一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长比高多3cm，则这个正方形纸板的边长为 6 cm．
【分析】先根据“正方形的边长相等”列方程求出长方体的高，再求出正方形的边长．
解：设长方体的高为x cm，
则x+3+2x＝2×2x+2x，
解得：x＝1，
∴x+3+2x＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
22．一个三位正整数，若百位上的数字与个位上的数字之和是十位上的数字的3倍，则称这个三位数为“3倍特征数”．例如：125满足1+5＝3×2，所以125是“3倍特征数”．对于某些“3倍特征数”，可进行如下操作：取相邻数位上的两个数的平均数放入这两个数之间，并去掉未取数位上的数字，得到两个新的三位数．并规定，且F（m）能被3整除，则满足题意的“3倍特征数”m的值为 112或138或224或310 ．
【分析】根据题意得：F（m）＝＝99+，再由F（m）能被3整除可得，a+b＝2或a+b＝0（舍去）或a+b＝4或a+b＝﹣2（舍去）或a+b＝10或a+b＝﹣8（舍去），进而分情况讨论计算即可．
解：由题意得：c＝3b﹣a，
m1＝100a+10×+b＝100a+5a+5b+b＝105a+6b，
m2＝100b+10×+c＝100b+5b+5c+c＝105b+6（3b﹣a）＝105b+18b﹣6a＝123b﹣6a，
∴F（m）＝
＝
＝
＝99+，
∵F（m）能被3整除，
∴能被3整除，
∴a+b﹣1＝±1或a+b﹣1＝±3，
即a+b＝2或a+b＝0（舍去）或a+b＝4或a+b＝﹣2（舍去），
对于a+b＝2，当a＝1，b＝1时，c＝3×1﹣1＝2，此时m＝112，
当a＝2，b＝0时，c＝3×0﹣2＝﹣2，不合题意，舍去，
对于a+b＝4，当a＝1，b＝3时，c＝3×3﹣1＝8，此时m＝138，
当a＝2，b＝2时，c＝3×2﹣2＝4，此时m＝224，
当a＝3，b＝1时，c＝3×1﹣3＝0，此时m＝310，
当a＝4，b＝0时，c＝3×0﹣4＝﹣4，不合题意，舍去，
综上所述：m的值为：138，732．
故答案为：112或138或224或310．
【点评】本题主要考查了整式的加减及分类讨论问题，属于新定义题，能正确理解题意是解决本题的关键．
三、计算题（本大题3个小题，23题16分，24、25每小题16分，共32分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
23．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）3x﹣3y+4x+2y；
（4）．
【分析】（1）根据绝对值和有理数的混合计算解答即可；
（2）根据乘法的分配律解答即可；
（3）根据整式的加减解答即可；
（4）根据整式的混合计算解答即可．
解：（1）|﹣5|+
＝5+
＝5﹣16
＝﹣11；
（2）
＝﹣1+
＝﹣1+4﹣30+27
＝0；
（3）3x﹣3y+4x+2y
＝7x﹣y；
（4）
＝
＝．
【点评】此题考查整式的加减和有理数的混合计算，关键是根据法则和运算顺序解答．
24．解方程：
（1）5x﹣2（x﹣1）＝﹣1；
（2）．
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
解：（1）5x﹣2（x﹣1）＝﹣1，
5x﹣2x+2＝﹣1，
5x﹣2x＝﹣1﹣2，
3x＝﹣3，
x＝﹣1；
（2）x+＝1﹣，
6x+x﹣2＝6﹣2（2x﹣1），
7x﹣2＝6﹣4x+2，
7x+4x＝6+2+2，
11x＝10，
x＝．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
25．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）+y2]÷（﹣2y），其中（x﹣1）2+y2+6y+9＝0．
【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式化简，进而合并同类项，再结合整式的除法运算法则计算，利用非负数的性质得出x，y的值，代入即可．
解：原式＝（x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2+y2）÷（﹣2y）
＝（6y2﹣4xy）÷（﹣2y）
＝﹣3y+2x，
∵（x﹣1）2+y2+6y+9＝0，
∴（x﹣1）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0，
解得：x＝1，y＝﹣3，
故原式＝﹣3×（﹣3）+2×1
＝9+2
＝11．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算——化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
四、解答题（本大题5个小题，26-29每小题10分，30题12分，共52分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．如图，已知点B在线段AC上，D为直线AB外一点．
（1）请按要求进行尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①连接AD、BD；
②在线段BC上截取点N，使得线段BN＝BC﹣BD；
③若，在线段AB上取AB的中点M．
（2）由于M为AB的中点，小敏在学习完线段中点的相关知识后，进行了自主研究．若N为AC的中点，则双中点M、N构成的线段MN与图中线段存在一定的关系，请根据她的思路，补全下列解题过程：
解：∵点M是线段AB的中点，
∴ AB ．
∵点N是线段AC的中点，
∴ AN ＝．
∵MN＝AN﹣ AM ．
即．
∴＝ BC ．
【分析】（1）①根据线段的定义画图即可．
②以点C为圆心，BD的长为半径画弧，交线段BC于点N，则点N即为所求．
③以点B为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点M，则点M即为所求．
（2）根据中点的定义以及线段的和差关系填空即可．
解：（1）①如图，线段AD、BD即为所求．
②如图，以点C为圆心，BD的长为半径画弧，交线段BC于点N，
则点N即为所求．
③如图，以点B为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点M，
则点M即为所求．
（2）∵点M是线段AB的中点，
∴AB．
∵点N是线段AC的中点，
∴AN＝．
∵MN＝AN﹣AM．
即．
∴＝BC．
故答案为：AB；AN；AM；BC．
【点评】本题考查作图—复杂作图、两点间的距离，解答本题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．重庆市北关中学七年级在本学期举行了速算比赛，为了解该年级525名学生的速算成绩分布情况，随机抽取了部分学生的速算成绩，根据成绩情况分为五组（成绩得分为百分制，用x表示）：A组：50≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100，将调查的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次调查的总体是 B ；（选填“A”或“B”）
A.525名学生
B.525名学生的速算成绩
（2）此次调查的样本容量是 50 ，在扇形统计图中D组所在扇形的圆心角为 108 度；
（3）请把频数分布直方图补充完整；
（4）请估计该校七年级速算成绩不低于80分的学生人数．
【分析】（1）根据总体的概念求解即可；
（2）由E组人数及其所占百分比可得样本容量，用360°乘以D组人数所占比例即可得出其圆心角度数；
（3）根据各组人数之和等于总人数可得B组人数，继而可补全图形；
（4）总人数乘以样本中D、E组人数和所占比例即可．
解：（1）此次调查的总体是525名学生的速算成绩，
故选：B；
（2）此次调查的样本容量是9÷18%＝50，在扇形统计图中D组所在扇形的圆心角为360°×＝108°，
故答案为：50、108；
（3）B组人数为50﹣（3+13+15+9）＝10（人），
补全图形如下：
（4）525×＝252（人），
答：估计该校七年级速算成绩不低于80分的学生约有252人．
【点评】此题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．解题的关键是根据直方图得到进一步解题的有关信息．
28．∠AOC与∠BOD有公共顶点O，其中∠BOD＝90°，OE平分∠AOD．
（1）当∠BOD与∠AOC如图1所示，且∠AOC＝30°，∠BOC＝10°，求∠COE的度数；
（2）当OB与OC重合时如图2所示，反向延长射线OA到H，OF平分∠COH，求∠AOE+∠FOH的度数．
【分析】（1）由∠AOC＝30°，∠BOC＝10°求∠AOB，结合∠BOD＝90°得∠AOD，由OE平分∠AOD，得到∠AOE＝∠AOD，再求∠COE；
（2）由OE、OF平分∠AOD、∠COH，得∠AOE+∠FOH＝（∠AOD+∠COH），结合180°和90°求出∠AOE+∠FOH的度数．
解：（1）∵∠AOC＝30°，∠BOC＝10°，
∴∠AOB＝20°，
∵∠BOD＝90°，
∴∠AOD＝110°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠AOD＝55°，
∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝55°﹣30°＝25°．
（2）∵OE、OF平分∠AOD、∠COH，
∴∠AOE＝∠AOD，∠FOH＝∠COH，
∴∠AOE+∠FOH＝（∠AOD+∠COH）＝（∠AOD+∠BOD+∠DOH）＝（∠AOH+∠BOD），
∵∠AOH＝180°，∠BOD＝90°，
∴∠AOE+∠FOH＝（180°+90°）＝135°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，在做角有关的几何题目的时候，要注意区分角平分线所平分的角，找准了角，才能找准数量关系，第二问用到了整体的思想将未知角转化为已知的平角和直角．
29．小南计划安装如图所示由六块相同的长方形玻璃组成的窗户（如图①），该窗户长为6米，宽为a米（0＜a＜10），玻璃上方安装了两张半径相同且不重叠的扇形遮光帘（如图②）．
（1）该窗户的透光面积共 （6a﹣2π） 平方米；（用含a的代数式表示，结果保留π）
（2）（列一元一次方程解决问题）安装一扇这样的窗户需要6块长方形玻璃，2张遮光帘，某厂家现有工人50人，平均每人每天可加工长方形玻璃8块或遮光帘4张，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产长方形玻璃，多少名工人生产遮光帘？
（3）在同等质量的前提下，甲、乙两个厂家制作玻璃与遮光帘的收费方式如下：
若小南选择甲、乙两个厂家所需费用相同，求a的值．（在（3）小问中的π取3）
【分析】（1）分别表示出窗户的总面积及遮光帘的面积即可解决问题．
（2）根据题意列出方程即可解决问题．
（3）分别表示出甲、乙两个厂家所需的费用即可解决问题．
解：（1）由题知，
窗户的总面积为6a平方米，遮光帘的面积为2π平方米，
所以该窗户的透光面积共（6a﹣2π）平方米．
故答案为：（6a﹣2π）．
（2）因为安装一扇这样的窗户需要6块长方形玻璃，2张遮光帘，
所以长方形玻璃的数量是遮光帘数量的三倍．
设分配x名工人生产长方形玻璃，则（50﹣x）名工人生产遮光帘，
所以8x＝3×4（50﹣x），
解得x＝30，
则50﹣x＝20．
答：分配30名工人生产长方形玻璃，20名工人生产遮光帘．
（3）因为遮光帘不重叠，
所以a≥4，
又因为0＜a＜10，
所以4≤a＜10．
则24≤6a＜60，
所以窗户玻璃的面积超过10平方米．
甲商家所需的费用为：40×2π+90×10+78×（6a﹣10）＝468a+360，
因为2.4≤6a×0.1＜6，2π＝6，
所以赠送的遮光帘面积小于实际需要的遮光帘面积．
乙商家所需的费用为：50（2π﹣0.6a）+85×6a＝480a+300．
所以468a+360＝480a+300，
解得a＝5．
故a的值为5．
【点评】本题考查列代数式及一元一次方程的应用，能用含a的代数式表示出玻璃的面积进而得出甲、乙两个厂家所需的费用是解题的关键．
30．如图①，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AC＝10．
（1）动点E、F同时从A出发，E以每秒1个单位长度的速度沿折线A→B→C方向运动，F以每秒2个单位长度的速度沿折线A→C→B方向运动，经过 8 秒两点首次相遇，相遇时它们距点B 2 个单位长度；
（2）如图②，动点K从B出发，沿折线B→C→A（含端点B和A）运动，速度为每秒2个单位长度，到达A点停止运动，已知点B到AC的距离为个单位长度，设点K的运动时间为t秒，当△ABK的面积为时，求t的值；
（3）如图③，将三角形ABC的顶点A与数轴原点重合，将数轴正半轴部分沿A→B→C折叠在三角形ABC的两边AB、BC上，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的距离．例如，点M和点N在折线数轴上的距离为|20﹣（﹣8）|＝28个单位长度．动点P从点M出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点A运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向数轴的正方向运动；与此同时，点Q从点N出发，以2个单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点C运动到点A期间速度变为3.5个单位/秒，过点A后继续以原来的速度向数轴的负方向运动，设运动时间为m秒．在此运动过程中，P、A两点的距离与Q、C两点的距离是否会相等？若相等，请直接写出m的值；若不相等，请说明理由．
【分析】（1）根据相遇问题的解法，求出相遇时间以及E走的路程，即可求得距离B的长度；
（2）根据K在BC和AC上两种情况分类讨论求解即可；
（3）根据P，Q在每段运动时间的情况分类讨论，根据两点距离公式求解即可．
解：（1）相遇时间：（6+8+10）÷（1+2）＝8（秒），
E走的路程为：1×8＝8，
相遇点到B的距离为：8﹣6＝2，
故答案为：8，2；
（2）当K在BC上时，BK＝2t，
∴×2t×6＝，
∴t＝，
当K在AC上时，AK＝AC+BC﹣2t＝18﹣2t，
∴×（18﹣2t）×＝，
∴t＝，
∴t＝或；
（3）P从M到A所用时间：8÷4＝2s，
从A到C所用时间：14÷2＝7s，
Q从N到C所用时间：（20﹣14）÷2＝3s，
从C到A所用时间：14÷3.5＝4s，
当t≤2时，AP＝8﹣4t，CQ＝6﹣2t，∴AP＝CQ，∴t＝1；
当2＜t≤4时，AP＝2（t﹣2）＝2t﹣4，CQ＝8﹣2t，
∵AP＝CQ，
∴t＝3，符合题意；
当4＜t≤8时，AP＝2t﹣4，CQ＝3.5（t﹣4）＝3.5t﹣14，
∵AP＝CQ，
∴t＝，符合题意；
当8＜t≤9时，AP≤14，CQ＞14，AP≠CQ，不符合题意；
当t＞9时，AP＝14+4（t﹣9）＝4t﹣22，CQ＝14+2（t﹣8）＝2t﹣2，
∵AP＝CQ，
∴t＝10，
综上所述，t＝1或3或或10．
【点评】本题主要考查了数轴的综合运用，正确的分类讨论是本题解题的关键．
遮光帘（元/平方米）
玻璃（元/平方米）
甲厂家
40
不超过10平方米的部分，90元/平方米；
超过10平方米的部分，78元/平方米
乙厂家
50
85元/平方米，且每购买1平方米的玻璃赠送0.1平方米遮光帘
遮光帘（元/平方米）
玻璃（元/平方米）
甲厂家
40
不超过10平方米的部分，90元/平方米；
超过10平方米的部分，78元/平方米
乙厂家
50
85元/平方米，且每购买1平方米的玻璃赠送0.1平方米遮光帘