2023年河南省郑州市中考数学模拟试题分类汇编：三角函数实际应用、概率统计

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一、解答题
1．（2023·河南郑州·河南省实验中学校考模拟预测）河南省科技馆新馆圭表塔是河南省内有记录的规模最大的圭表测量设备，其设计灵感来源于元代天文学家郭守敬在河南登封告城镇主持修建的古观星台，我们在此设立的圭表塔是对中国古代天文学的致敬．
某校数学兴趣小组利用课余时间测量圭表塔的高度，如图所示，无人机在点A处测得圭表塔顶都点B的仰角为45°，圭表塔底部点C的俯角为61°，无人机与圭表塔的水平距离为36m，求圭表塔的高度．（结果保留整数．参考数据：）

【答案】圭表塔的高度约为
【分析】分别解，求出的长，即可得解．
【详解】解：由题意，得：，，，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
答：圭表塔的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，正确的求出线段的长，是解题的关键．
2．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考三模）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔垂直于桥面于点B，其中两条斜拉索与桥面的夹角分别为和，两固定点D、C之间的距离约为，求主塔的高度（结果保留整数，参考数据：）
【答案】主塔的高度约为78m．
【分析】在Rt△ABD中，利用正切的定义求出，然后根据∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求出BD，即可解决问题．
【详解】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABD中，，
在Rt△ABC中，∠C＝45°，
∴AB＝BC，
∴，
∴m，
∴AB＝BC＝m，
答：主塔的高度约为78m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
3．（2023·河南郑州·校考三模）河南省登封市境内的嵩岳寺塔是中国现存年代最久的佛塔，堪称世界上最早的筒体建筑．某校数学社闭的同学利用所学知识来测量嵩岳寺塔的高度，如图，是嵩岳寺塔附近不远处的某建筑物，他们在建筑物底端D处利用测角仪测得嵩岳寺塔顶端B的仰角为，在建筑物顶端C处利用测角仪测得嵩岳寺塔底端A的俯角为，已知建筑物的高为15米，，点A，D在同一水平线上，求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到，参考数据：，）

【答案】约为37.1米
【分析】由题意得米，，在中， ，则，在中， ，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意得米，，
在中， ，
∴，
在中， ，
∴，
∴ (米)，
答：嵩岳寺塔AB的高度约为37.1米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——俯、仰角．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．
4．（2023·河南郑州·校考三模）一天小明和小亮一起到湖边游玩，他们发现小湖对岸有一座美丽的古塔，为了测量塔的高度，他们选择了一座建筑物（建筑物的底部D与古塔的底部F在同一水平线上），在建筑物顶端C处测得古塔顶端A的仰角为，测得塔顶A在水中的倒影点B的俯角为，已知建筑物的高度为，求古塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，）

【答案】古塔的高度约为69米．
【分析】作于G，设古塔的高度为x．在和中，利用正切函数建立方程即可求解．
【详解】解：作于G，则四边形是矩形，
设古塔的高度为x．
由题意得，，，

在中，，
在中，，
∴，
解得，
古塔的高度约为69米．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答．
5．（2023·河南郑州·统考二模）如图①，中牟县人文路与贾鲁河交汇处的贾鲁河大桥，是亚洲最宽的无背索斜塔斜拉结构桥，装饰塔为凤首箜篌造型，展现中牟地域历史文化．某校数学社团的同学们利用周末去测量主塔（桥面以上部分）的垂直高度，如图②，已知主塔与桥面夹角为，他们从B处沿方向前进至点D处，然后在点D处放置高为的测角仪，测得塔顶A的仰角为（点C，B，D在同一水平线上）．请你依据上述数据，求出主塔的垂直高度．（结果精确到，参考数据）

【答案】
【分析】过点E作于点F，根据题意，得到，设，则，利用，计算求解即可．
【详解】如图，过点E作于点F，
根据题意，得到，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设，

则，
∵，
解得，
∴，
答：主塔的垂直高度约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角问题，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．
6．（2023·河南郑州·校联考二模）2023年3月5日是“向雷锋同志学习”60周年纪念日．某数学小组测量校内雷锋雕像（图1）的高度，如图2，眼睛在距离地面的点E处，测得雷锋雕像的最高点A的仰角为32°（每层楼高为），眼睛在距离三楼地面的C点，测得雷锋雕像的最高点A的俯角为．已知测量点C，求雷锋雕像的高度（结果精确到．参考数据：，，）．
【答案】米
【分析】过点A作于点F，过点E作于点G，可知四边形和四边形是矩形，设，解可得，再证，可得，解出x的值即可．
【详解】解：过点A作于点F，过点E作于点G，

由题意可知四边形和四边形是矩形，
∴，，
设，
在中，，
即，
∴，
∵点C观测点A的俯角为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
答：雷锋雕像的高度为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确构造直角三角形并熟练掌握锐角三角函数的概念．
7．（2023·河南郑州·郑州市第八中学校考二模）中原福塔（FUTwer），又名“河南广播电视塔”，位于中国河南省郑州市管城回族区航海东路与机场高速交会处，南邻郑州新郑国际机场，东接郑州东站，北靠郑东新商务区，为郑州管城区的地标性建筑．福塔分为塔座、塔身、塔楼、桅杆四个部分，福塔顶部枪杆天线高，某数学社团在点处测得中原福塔顶端点的仰角，在点处测得点的仰角．
(1)请根据测量数据求出中原福塔的高度；
(2)经查阅资料，计算结果与真实高度稍有出入，请说出一条减少误差的建议．（结果精确到．参考数据：）
【答案】(1)
(2)一条减少误差的建议：多次测量求平均值，可以减少误差
【分析】（1）根据题意可得：，设，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据，列出关于的方程，进行计算即可解答；
（2）根据多次测量求平均值，可以减少误差，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：，
设，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
，
答：中原福塔的高度约为；
（2）解：一条减少误差的建议：多次测量求平均值，可以减少误差．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（2023年河南省实验中学中考三模数学试题）河南省实验中学是足球传统强校，在2017年中国中学生足球协会杯决赛中，该校初中组高中组均摘得桂冠，喜获“双冠王”．该校某数学小组测量足球场照明灯杆的高度，如图，在处用测角仪测得照明灯杆顶端的仰角为45°，沿方向前进50米到达处，又测得照明灯杆顶端的仰角为37°．已知测角仪高度米，测量点，与照明灯杆的底部在同一水平线上，求照明灯杆的高度（结果精确到1米，参考数据：，，）．

【答案】23
【分析】如图：由题意可知：米、米、，然后根据可得，进而得到，再根据正切的定义列式可求出，最后根据即可解答．
【详解】解：由题意可知：米，米，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即,解得：米，
∴米．
答：照明灯杆的高度为23米．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解正切的定义是解答本题的关键．
9．（2023·河南郑州·校考一模）河南洛阳栾川老君山集道教文化与自然景观于一身，素有“北国张家界”之称，景区内的老子铜像是目前世界上最高的老子铜像，九年级的李华同学想运用所学数学知识测铜像高度，假期期间，他与爸爸带着卷尺和自制测角仪（高度忽略不计）来到铜像前的广场，站在点测得铜像头部的仰角为，继续沿远离铜像方向走米到处，测得铜像头部的仰角为，且，，，在同一平面内，求老子铜像的高度（结果精确到米，参考数据：，，，，，）
【答案】米
【分析】在中，根据三角函数的定义得到，，在中，根据三角函数的定义得到，，再根据，列方程即可得出结果．
【详解】解：在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
米，
答：老子铜像的高度为米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形是解答此题的关键．
10．（2023·河南郑州·校考二模）文字是历史文明传承的载体和见证，位于河南省安阳市的中国文字博物馆通过荟萃历代中国文字样本精华，展示中华民族灿烂的文化和辉煌的文明．如图是中国文字博物馆门口屹立着的字坊，某中学数学兴趣小组想通过自己所学的锐角三角函数知识测量该字坊的高度，甲同学站在字坊正前方C，通过测角仪测得字坊顶端A的仰角为，乙同学在字坊背面E处测得字坊顶端A的仰角为，已知测角仪的高度为，甲同学与乙同学之间的直线距离为，点A、C、E在同一竖直平面内．求字坊的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】字坊高度18.9米
【分析】作于点H，设，得，，．，通过解，求出x的值即可．
【详解】解：过点D作交AB于点H．
由题知，．
，，．
设，
在中，，
∴．
∴，．，
在中，，
∴．
∴．
∴字坊AB高度18.9米．
【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，正确地用含同一个未知数的代数式表示的长是解题的关键．
11．（2023·河南郑州·统考一模）如图，某座山的项部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：．
【答案】这座山的高度约为
【分析】在中，，在中，，利用，即可列出等式求解．
【详解】解：如图，根据题意，．
在中，，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
答：这座山的高度约为．
【点睛】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程．
12．（2023·河南郑州·校联考模拟预测）中国文字博物馆位于安阳市行政东区中轴线北端，门前屹立着高大的字坊，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵．某数学社团利用无人机测量字坊的高度，无人机的起飞点B与字坊（）的水平距离BC为46.5m，无人机垂直升到A处测得塔的顶部D处的俯角为31°，测得塔的底部C处的俯角为45°．
(1)求字坊的高度CD；
(2)若计算结果与实际高度稍有出入，请你提出一条减少误差的建议．（结果精确到0.1m，参考数据：，，）
【答案】(1)18.6米
(2)多次测量取平均值
【分析】（1）过点A作BC的平行线与的延长线交于点E．在中，可求，同理可得，再由可得答案．
（2）根据误差取齐多次测量的平均值即可．
【详解】（1）如图所示，过点A作BC的平行线与的延长线交于点E．
根据题意可知：米．
在中，，，米，
∴．
同理可得．
∴
（米）．
答：字坊的高度CD约为18.6米．
（2）多次测量取平均值（答案不唯一，合理即可）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
13．（2023·河南郑州·河南省实验中学校考一模）某校安装了红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆上下调节（如图2），探测最大角（）为，探测最小角（）为，已知该设备在支杆上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变．若要求测温区域的宽度为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度．（结果精确到0.01米，参考数据：，，，，，）
【答案】1.84米
【分析】首先根据题意表示出，然后利用三角函数表示出和，然后列方程求解即可．
【详解】解：根据题意可知，（米）．
在中，，
∴．
在中，
，
∴，
∴（米），
∴（米）．
答：该设备的安装高度约为1.84米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解决本题的关键．
14．（2023·河南郑州·统考一模）家务劳动是劳动教育的一个重要方面．某校为了了解七年级学生参加家务劳动的情况，随机调查七年级男，女生各18名，得到他们上周末进行家务劳动的时间（单位：分钟）如下：
男生：28，30，32，46，68，39，80，70，66，57，70，95，100，58，69，88，99，105；
女生：36，48，78，99，56，62，35，109，29，88，88，69，73，55，90，98，69，72．
统计数据，得到家务劳动时间x（分钟）的频数分布表．
整理并分析数据，得到以下统计量．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)该年级共360名学生，且男，女生人数基本相同，则该年级上周末进行家务劳动的时间超过90分钟的学生约有多少人?
(2)政教处老师认为上周末该校七年级女生比男生进行家务劳动的时间长，你同意吗?请说明理由．
【答案】(1)约70人
(2)同意，理由见解析
【分析】（1）用该年级总人数乘以男女生周末进行家务劳动的时间超过90分钟的百分比即可求解；
（2）通过比较男女生的平均数、中位数、众数和方差进行判断即可．
【详解】（1）解：根据表格，调查周末进行家务劳动的时间超过90分钟的学生中，男生有4人，女生3人，
∴（人），
答：该年级上周末进行家务劳动的时间超过90分钟的学生约有70人；
（2）解：同意，理由：
对比平均数，由知女生周末进行家务劳动的时间的平均时间更长，因此女生周末进行家务劳动的时间更长一点；
对比中位数，由知经过排序后，中间位置的数据女生比男生更好一点，因此女生周末进行家务劳动的时间更长一点；
对比众数，女生的众数88比男生的70更长一点，因此女生周末进行家务劳动的时间更长一点；
对比方差，由知，女生周末进行家务劳动的时间比男生稳定一些，因此女生周末进行家务劳动的时间更稳定点；
综上，上周末该校七年级女生比男生进行家务劳动的时间长．
【点睛】本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、方差、样本估计总体，理解各个统计量的意义正确判断的前提．
15．（2023·河南郑州·河南省实验中学校考一模）国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多．某品牌的“4S”店主销纯电动汽车A（续航600千米）和插电混动汽车B，两种主销车型的有关信息如下表：
(1)2月份该“4S”店共花费550万元购进A，B两种车型，且全部售出共获得新能源积分130分，设购进A、B型号的车分别为x，y辆，则x，y分别为多少？
(2)因汽车供不应求，该“4S”店3月份决定购进A，B两种车型共50辆，且所进车辆全部售出后获得新能源积分不高于280分，已知新能源积分每分可获得0.3万元的补贴，那么3月份如何进货才能使4S店获利最大？（获利包括售车利润和积分补贴）
【答案】(1)
(2)购进A型车30辆，B型车20辆时获利最大
【分析】（1）设购进A、B型号的车分别为x，y辆，根据A，B两种车型共花费550万元，全部售出共获得新能源积分130分，列出方程组，解方程组即可；
（2）设4月购进A型车m辆，则购进B型车辆，根据车辆全部售出后获得新能源积分不高于280分列出不等式，求出，设所进车辆全部售出后获得的总利润为w万元，列出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性，求出结果即可．
【详解】（1）解：依题意得：，
解得：．
答：x的值为10，y的值为25．
（2）解：设4月购进A型车m辆，则购进B型车辆，
依题意得：
解得：．
设所进车辆全部售出后获得的总利润为w万元，
则，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，即购进A型车30辆，B型车20辆时获利最大．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系和不等关系列出方程或不等式．
16．（2023·河南郑州·校联考模拟预测）初中延时课上成了作业辅导课的问题受到社会的关注，为此某初中数学社团随机调查了城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A．反对；B．无所谓；C．基本赞成；D．赞成），并将调查结果绘制成不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)此次抽样调查中，样本容量为___________﹔
(2)自形图中C对应的圆心角的度数为___________，将频数分布直方图补充完整；
(3)根据抽样调查结果，请你估计该市城区12000名家长中有多少名家长持反对态度？
【答案】(1)120
(2)，见解析
(3)2400人
【分析】（1）根据样本容量的定义即可求解；
（2）分别求得对应的人数，进而补全统计图，根据的人数除以占比乘以求得C对应的圆心角的度数；
（3）用样本估计总体，用乘以,即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得，则此次抽样调查中，共调查了名中学生家长，样本容量为．
故答案为：．
（2）“A”对应的人数为（人）；
“C”的人数为（人），圆心角为．
补全频数直方图如下：
故答案为：．
（3）根据题意得：（人），
则名中学生家长中持反对态度的人数约为人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
17．（2023·河南郑州·统考一模）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）；
．A课程成绩在这一组是：
70 71 71 71 76 76 77 78 79 79 79
．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是________（填“A”或“B”），理由是_______；
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过分的人数．
【答案】（1）78.75；（2）B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数；（3）180人．
【分析】（1）根据中位数的概念直接进行计算即可；
（2）根据成绩和中位数的关系即可知道排名更靠前的课程；
（3）用总人数300乘以抽取的学生中A课程成绩超过分的比例即可．
【详解】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8=60，
∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，
∴中位数在70≤x＜80这一组，
∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，
∴A课程的中位数为 ，即m=78.75；
（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，
∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，
故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．
（2）B．该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．
（3）解：抽取的60名学生中．A课程成绩超过的人数为36人．
∴（人）
答：该年级学生都参加测试．估计A课程分数超过的人数为180人．
【点睛】本题考查考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，熟练掌握中位数的计算方法和意义是解题的关键．
18．（2023·河南郑州·校考二模）某校对九年级400名学生进行了一次体育测试，并随机抽取甲、乙两个班各50名学生的测试成绩（成绩均为整数，满分50分）进行整理、描述和分析．
下面给出了部分信息（用x表示成绩，数据分成5组：A：，B：，C：，D：，E：）
乙班成绩在D组的具体分数是：42，42，42，42，42，42，42，42，42，42，42，43，44，45，45甲，乙两班成绩统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)直接写出n的值；
(2)小明这次测试成绩是43分，在班上排名属中游略偏上，小明是甲、乙哪个班级学生？说明理由；
(3)假设该校九年级学生都参加此次测试，成绩达到45分及45分以上为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数．
【答案】(1)
(2)乙班，理由见解析
(3)188名
【分析】（1）根据中位数的意义和计算方法计算即可，
（2）利用中位数的意义进行判断；
（3）根据用样本估计总体的方法，估计总体的优秀率，进而计算出优秀的人数．
【详解】（1）乙班的成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数都是42，因此中位数是42，即n=42，
（2）乙班．
∵小明的成绩为43分，且在班上排名属中游略偏上，而甲班中位数是44.5，乙班的中位数是42，
∴小明是乙班级学生；．
（3）∵甲班中位数是44.5，
∴排在第25，26的两个数应该是44，45，
甲班得45分及45分以上的有：（人）．
乙班得45分及45分以上的有：（人）
两个班的整体优秀率为：
∴（人），
∴该校本次测试成绩优秀的学生人数为188名．
【点睛】考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，明确各个统计量的意义是正确解答的前提．
19．（2023·河南郑州·校考一模）某校举办了校服设计大赛，并从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，要求每名学生从个获奖作品中选择一个自己最喜欢的作品，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
(1)参加此次问卷调查的学生人数是______ ；
(2)在扇形统计图中，选择“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数是______ ；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)若该校七年级学生共有名，请估计七年级学生中选择“作品”的人数．
【答案】(1)50人
(2)
(3)见解析
(4)360人
【分析】（1）根据“作品”的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数；
（2）用选择“作品”的学生数除以总人数，再乘以即可得出答案；
（3）用总人数减去其它的人数，求出“作品”的人数，从而补全统计图；
（4）用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：参加此次问卷调查的学生人数是（人），
故答案为：50人．
（2）解：“作品”的人数为（人），
选择“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数是，
故答案为：．
（3）解：“作品”的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示：
（4）解：（人），
答：估计七年级学生中选择“作品”的人数为360人．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考二模）中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》指出，学校要完善作业管理办法，加强学科组、年级组作业统筹，合理调控作业结构，建立作业校内公示制度，并确保初中书面作业平均完成时间不超过90分钟．某初级中学为了解学生平均每天完成课后作业用时情况，从本校学生中随机抽取300名进行问卷调查，并将调查结果进行了整理，结果如下，
学生平均每天完成课后作业用时频数分布表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，学生平均每天完成课后作业用时的中位数落在______这一组．
(2)若该校共有学生1000人，请估计有多少人未能在90分钟内完成课后作业．
(3)请对该校学生完成课后作业用时情况作出评价，并提出两条合理化建议．
【答案】(1)
(2)160人
(3)评价和建议见解析
【分析】（1）根据中位数的意义，即可求解；
（2）用1000乘以未能在90分钟内完成课后作业的人数所占的百分比，即可求解；
（3）从统计图和统计表反映的问题分析，即可．
【详解】（1）解：根据题意得：位于150位和151位的学生平均每天完成课后作业用时落在组，
∴中位数落在这一组；
故答案为：
（2）解：（人）．
答：估计有160人未能在90分钟内完成课后作业．
（3）解：评价：约的学生平均每天完成课后作业的时间超过90分钟．
建议：①减少作业题量；②根据学生的能力分布布置作业．
【点睛】本题主要考查了频数分布表，条形统计图，中位数，样本估计总体，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
21．（2023·河南郑州·统考二模）郑州是一座将少林文化、黄帝文化、商都文化、黄河文化融为一体的“中原绿城”，域内留存了丰富的文化遗产．为弘扬郑州地域文化，某校七、八年级开展了“知郑州 爱郑州 兴郑州”知识竞赛，竞赛后，随机抽取了七、八年级各名学生的成绩（百分制），学生的成绩用来表示，分四个等级：，，，，并绘制了如下统计图表．
信息1：抽样调查的名八年级学生成绩的频数直方图为：
信息2：抽样调查的名八年级学生的成绩在组中的数据是：
信息3：七、八年级抽取的学生竞赛成绩相关统计结果
根据以上信息，解答下列问题：
(1) ___________；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对郑州地域文化知识掌握较好？请说明理由；（一条理由即可）
(3)两个年级成绩在分以上的名同学中有男生名，女生名，学校准备从中任意抽取名同学交流活动感受，求抽取的名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，列表见解析
【分析】（1）根据中位数的概念，计算方法即可求解；
（2）根据平均数，中位数，众数，方差表示的意义进行阐述即可；
（3）运用列表法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：八年级有名同学，中位数落在第位同学的分数上，在组，将组的数据排序如下，
，
∴中位数是，即，
故答案为：．
（2）解：我认为八年级学生对郑州地域文化知识掌握较好．因为八年级学生竞赛成绩的平均数比七年级的高，而且方差比七年级的小．（答案不唯一，只要合理即可）
（3）解：将3名男生分别记为男1，男2，男3，3名女生分别记为女1，女2，女3，然后列表如下：
总共有种等可能的结果，而恰好是一名男生和一名女生的结果数有种，所以，一名男生一名女生的概率为．
【点睛】本题主要考查调查统计中相关概念，列表法或树状图法求概率的综合，掌握平均数、中位数，众数、方差的概念，计算及意义，概率的计算方法等知识是解题的关键．
22．（2023·河南郑州·河南省实验中学校考三模）摩托艇世界锦标赛中国郑州大奖赛将于4月底在郑州举行，本届比赛共有10支队伍参赛，届时将会向多个国家和地区进行赛事转播，对放大国际顶级赛事综合效应，提升郑州国际化城市形象具有积极意义．为积极响应城市号召，选拔学生志愿者，郑东新区某学校举办了以“摩托艇运动”为主题的相关知识测试，为了了解学生对“摩托艇运动”相关知识的掌握情况，随机抽取名学生的测试成绩（百分制，成绩取整数）并进行整理，数据分成组，分别为，，，，，．信息如下：
信息1：80名学生的测试成绩的频数分布直方图如下图所示：

信息2：在这一组的成绩是（单位：分）

根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这次测试中，成绩的中位数是______分，成绩低于分的人数占测试人数的百分比为______；
(2)这次测试成绩的平均数是分，小颖的测试成绩是分，小亮说：小颖的成绩高于平均数，所以小颖的成绩高于一半学生的成绩．”你认为小亮的说法正确吗？请说明理由．
(3)请对该校学生对以“摩托艇运动”为主题的相关知识的掌握情况作出合理的评价．
【答案】(1)，
(2)小亮的说法错误，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）第和第个数据的平均数即为中位数，利用低于分的频数除以总数，得出百分比即可；
（2）根据中位数进行作答即可；
（3）根据已知信息，进行作答即可．
【详解】（1）∵这组数据的总个数为，
这组数据的中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据分别为、，
这组数据的中位数是 ；
成绩低于分的人数占测试人数的百分比为；
故答案为：，%；
（2）小亮的说法错误．
因为小颖的测试成绩是分，这组数据的中位数是分，小颖成绩低于中位数，所以小颖的成绩低于一半学生的成绩；
（3）答案不唯一，合理即可．
比如：成绩低于分的人数占测试人数的百分比达到%，所以该校学生对以“摩托艇运动”为主题的相关知识的掌握情况仍要加强
【点睛】本题考查频数分布直方图，中位数．从统计图表中有效的获取信息，熟练掌握中位数的确定方法，是解题的关键．
23．（2023·河南郑州·郑州市第八中学校考二模）【问题背景】
书法展现人文修养、道德追求和精神气度．书法特别强调书品与人品的统一，“苟非其人，虽工不贵”（苏轼）；“高韵深情，坚质浩气，缺一不可为书”（刘熙载）．某校重视中学生的书法养成教育，为了检测效果，从全校学生中随机抽取20%的学生进行测评．
【评分标准】评委会依据书写、结构、字形、效果等方面制定了标准：90分及以上为优秀；80﹣89分为良好；60﹣79分为及格：60分以下为不及格，并将测评成绩制成图表．
【图表信息】
【数据分析】
(1)m＝ ，n＝ ；
(2)参加本次测试学生的平均成绩为 ；
(3)已知“80﹣89”这组的数据如下：81，83，84，85，85，81，80，86，87，88，82，85，则所抽取的这些学生测试成绩的中位数是 ．
(4)请估计该校书法测评成绩达到“良好”及“优秀”级别的学生数．
【答案】(1)0.32，12
(2)78.4分
(3)81.5
(4)140人
【分析】（1）根据频率之和等于1求解m，先求出被调查总人数即可求出n；
（2）根据平均数的公式求解即可；
（3）将数据按照从小到大的顺序排列，将第25、26位的数相加÷2即可；
（4）根据样本求总数的解法求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
被调查总人数为：（人），
∴；
（2）解：参加本次测试学生的平均成绩（分）；
（3）解：将80﹣89这组的学生测试成绩重新排列为80，81，81，82，83，84，85，85，85，86，87，88，
∴所抽取的50名学生测试成绩从高到低位于第25、26位的是82、81，
∴所抽取的50名学生测试成绩的中位数应该是．
（4）解：（人）．
答：估计该校书法测试成绩达到“良好”及“优秀”级别的学生数大约是140人．
【点睛】本题考查了概率与统计的相关内容，熟记计算公式和理清题意是解题关键．
24．（2023·河南郑州·校联考二模）中华人民共和国第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日在北京召开，为了使七、八年级的同学们了解两会，争做新时代好少年，学校组织两会知识竞赛，满分100分，七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行统计，过程如下：收集数据；
七年级：99，95，95，91，100，86，77，93，85，79
八年级：99，91，97，63，96，97，100，94，87，76
整理数据：
分析数据：
应用数据：
(1)由上表填空：_________，_________，_________；
(2)你认为哪个年级的学生对两会了解水平较高？请说明理由；
(3)请写出一条你了解的两会知识．
【答案】(1)2，92，97
(2)八年级的学生对两会了解水平较高，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据所给的数据结合众数和中位数的定义求解即可；
（2）从平均数，中位数，众数出发阐述理由即可；
（3）根据两会的内容言之有理即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
将七年级的成绩从低到高排列为：77，79，85，86，91，93，95，95，99，100，处在最中间的两个数据分别为91，93，
∴七年级的中位数；
∵八年级成绩中，成绩为97出现了两次，出现的次数最多，
∴八年级的众数，
故答案为：2，92，97；
（2）解：八年级的学生对两会了解水平较高，理由如下：
从平均数看，两个年级的平均成绩相同，从中位数和众数来看，八年级的中位数和众数都高于七年级的中位数和众数，
∴八年级的学生对两会了解水平较高；
（3）解：这次两会的传达了在新时代的背景下，我们要在强国建设，民族复兴的征程上勇毅前行，作为新时代下的学生，更应肩负起中华民族伟大的复兴任务．
【点睛】本题主要考查了频数分布表，中位数和众数，熟知相关知识是解题的关键．
25．（2023·河南郑州·统考二模）《义务教育劳动课程标准（2022年版）》要求：7~9年级学生主动承担一定的家庭清洁、烹饪、家居美化等日常生活劳动，进一步加强家政知识和技能的学习实践，理解劳动创造美好生活的道理，提高生活自理能力，增强家庭责任意识．某县教育部门为了解本县初中学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该县1000名学生进行问卷调查．
问卷调查结束，调查组把这1000名初中生每周参加家庭劳动时间分为4组：第一组：，第二组，第三组：，第四组：．并将调查问卷（部分）和结果进行统计如下：

请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，初中生每周参加家庭劳动时间的中位数在第______组；
(2)本次被调查的学生中，选择“家长不舍得”的人数为多少？
(3)该县教育部门倡议本县初中生每周参加家庭劳动时间不少于．请结合上述统计图，对该县初中生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议．
【答案】(1)二
(2)360人
(3)由统计图可知，该县初中生每周参加家庭劳动时间大多数都小于，建议学校多开展劳动教育，养成劳动的好习惯（答案不唯一，合理即可）
【分析】（1）根据中位数的定义即可确定答案；
（2）用总人数乘以选项所占百分比即可；
（3）根据统计图可知该县初中生每周参加家庭劳动时间大多数都小于，再提出一条合理的建议即可．
【详解】（1）∵本次共调查了1000名初中生每周参加家庭劳动的时间，将这些数据从小到大排列后，其中位数是中间的第500和501位数的平均数，
又∵，
∴第500和501位数都在第二组．
∴本次调查中，初中生每周参加家庭劳动时间的中位数在第二组．
故答案是：二；
（2）选择“家长不舍得”的人数为：人；
（3）由统计图可知，该县初中生每周参加家庭劳动时间大多数都小于，建议学校多开展劳动教育，养成劳动的好习惯（答案不唯一，合理即可）；
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图以及中位数，能够从统计图中获取相关信息是解题的关键．
26．（2023·河南郑州·校考三模）为参加全国防震减灾知识竞赛测试，某中学举办了校级预赛，现从八、九两个年级中各随机抽取名学生的成绩(百分制)进行统计，将这名学生的成绩进行了整理与分析，过程如下：
收集数据：
八年级：，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，
九年级：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
整理数据：
分析数据：
应用数据：
(1)填空： ________， ________， ________；
(2)你认为哪个年级学生成绩的整体水平更好，请说明理由；
(3)若该校九年级共有名学生参加本次预赛，请你估计该校九年级学生本次成绩在分（含分但不含分）的人数．
【答案】(1)，，
(2)八年级学生成绩的整体水平更好，见解析
(3)约有人
【分析】（1）根据八年级学生成绩的数量即可求解；
（2）根据平均数，中位数，众数作决策的方法即可求解；
（3）根据样本百分比估算总体的量的方法即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可得，阶段的人数有人，阶段的人数有人，
∴，，
将九年级的成绩排序为：，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，
∴中位数是第十，十一位同学成绩的一半，即，
故答案为：，，．
（2）解：八、九年级的平均分为分，八年级的中位数为，九年级的中位数为，
∴八年级中间部分同学的分数比九年级中间部分同学的分数好一些，
八年级的众数为，九年级的众数为，
∴八年级同学的成绩在分比九年级同学多，
∴八年级学生成绩的整体水平更好．
（3）解：根据题意得，（人），
∴该校九年级学生本次成绩在分（含分但不含分）的人数约为人．
【点睛】本题主要考查调查与统计中的相关概念和计算方法，掌握中位数，众数的概念及计算，并运用其作决策，根据样本百分比估算总体数量的方法等知识是解题的关键．
27．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考三模）某企业餐厅，有A、两家公司可选择，该企业现连续10个工作日选择A公司，接着连续10个工作日选择公司，记录送餐用时（单位：）如下表：
根据上表数据绘制的折线统计图如图所示：

(1)根据上述信息，请你帮该企业选择合适的公司订餐，并简述理由；
(2)如果某工作日该企业希望送餐用时不超过，应选择哪家公司？请简述理由．
【答案】(1)选择A公司，理由见解析（答案不唯一）
(2)选择公司，理由见解析
【分析】（1）根据两个公司各自的优点进行判断即可；
（2）根据表格中的数据进行选择即可．
【详解】（1）解：选择A公司；
理由如下：A公司送餐用时稳定，基本在之间，而公司送餐时间不稳定，忽快忽慢，不利于员工用餐；
选择公司．
理由如下：A公司平均用时，而公司平均用时，公司平均花时更短．（言之有理即可）
（2）解：选择公司．
理由如下：从各自10个工作日送餐情况看，A公司的送餐时间没有低于的，而公司虽然有4次超过30分钟，但是其余6次都不超过，所以选择公司．
【点睛】本题主要考查了数据的处理和应用，解题的关键是根据表格中的数据作出正确的选择．
28．（2023·河南郑州·河南省实验中学校考模拟预测）某地农业科技部门积极助力家乡农产品的改良与推广，为了解甲、乙两种新品橙子的质量，进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小、甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．测评分数（百分制）如下：
甲77 79 80 80 85 86 86 87 88 89 89 90 91 91 91 91 91
92 93 95 95 96 97 98 98
乙69 79 79 79 86 87 87 89 89 90 90 90 90 90 91 92 92
92 94 95 96 96 97 98 98
b．按如下分组整理、描述这两组样本数据：
c．甲、乙两种橙子测评分数的平均数、众数、中位数如下表所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）记甲种橙子测评分数的方差为，乙种橙子测评分数的方差为，则的大小关系为______；
（3）根据抽样调查情况，可以推断__________种橙子的质量较好，理由为________．
（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
【答案】（1），；（2）；（3）根据抽样调查情况，可以推断甲种橙子的质量较好，理由为：①：从方差上看，甲的方差较小，相对稳定，②：从中位数看，甲的中位数更大，甲的高分多．（答案不唯一，理由须支撑推断结论）
【分析】（1）根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
（2）按照方差的计算公式，分别计算出甲，乙的方差，然后比较大小．
（3）根据甲和乙的平均数，中位数，众数，方差进行综合分析，判断，至少从两个不同的角度说明推断的合理性．
【详解】解：（1）将乙组数据从小到大排列，
乙：69，79，79，79，86，87，87，89，89，90，90，90，90，90，91，92，92，
92，94，95，96，96，97，98，98．位于中间位置的数为90，所以乙组数据的中位数为
90，所以n=90，
甲组数据中，91出现的次数最多，所以甲组数据的众数m=91．
故答案为：m=91，n=90；
（2）S12=[(77-89.4)2+(79-89.4)2+2(80-89.4)2+(85-89.4)2+2(86-89.4)2+(87-89.4)2+(88-89.4)2+2(89-89.4)2+(90-89.4)2+5(91-89.4)2+(92-89.4)2+(93-89.4)2+2(95-89.4)2+(96-89.4)2+(97-89.4)2+2(98-89.4)2]=29.825，
S22=[(69-89.4)2+3(79-89.4)2+(86-89.4)2+2(87-89.4)2+2(89-89.4)2+5(90-89.4)2+(91-89.4)2+3(92-89.4)2+(94-89.4)2+(95-89.4)2+2(96-89.4)2+(97-89.4)2+2(98-89.4)2]=45.36；
∴S12＜S22
故答案为：S12＜S22．
（3）根据抽样调查情况，可以推断甲种橙子的质量较好，理由为：
①：从方差上看，甲的方差较小，相对稳定，
②：从中位数看，甲的中位数更大，甲的高分多．
故答案为：甲；
理由为：①：从方差上看，甲的方差较小，相对稳定，②：从中位数看，甲的中位数更大，甲的高分多．（答案不唯一，理由须支撑推断结论）
【点睛】本题主要考查了平均数，众数，中位数，方差在实际问题中的正确运用，熟练掌握定义和计算公式，是解题的关键．
时间x
男生人数（频数）
2
5
7
4
女生人数（频数）
1
5
9
3
统计量
平均数
中位数
众数
方差
男生
66.7
68.5
70
女生
69.7
70.5
69和88
车型
纯电动汽车A（续航600千米）
插电混动汽车B
进价（万元/辆）
25
12
售价（万元/辆）
28
16
新能源积分（分/辆）
8
2
购进数量（辆）
x
y
课程
平均数
中位数
众数
A
B
70
83
班级
甲班
乙班
平均分
44.1
44.1
中位数
44.5
n
众数
45
42
方差
7.7
17.4
调查问卷
1．近两周你平均每天完成课后作业用时约______分钟．
如果你平均每天完成课后作业用时超过90分钟，请回答第2个问题．
2．影响你完成课后作业用时的主要原因是______．（单选）
A．作业难度大 B．作业题量大 C．自身写作业效率低 D．其他
平均每天完成课后作业用时（分钟）
人数
15
44
57
136
48
年级
七年级
八年级
平均数
中位数
众数
方差
一
二
男
男
男
女
女
女
男
男
男
女
女
女
成绩
频数
频率
优秀
16
m
良好
n
0.24
及格
18
0.36
不及格
4
0.08

7
七年级
0
a
2
6
八年级
1
1
1
7
平均数
众数
中位数
七年级
90
95
b
八年级
90
c
95
调查问卷（部分）
1．你每周参加家庭劳动时间大约是______h．
如果你每周参加家庭劳动时间不足，请回答第2个问题．
2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是______（单选）．
A．不喜欢 B．没时间 C．家长不舍得 D．其他
成绩(分)
年级
八年级
九年级
年级
平均数
中位数
众数
八年级
九年级
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A公司送餐用时
26
26
30
25
27
29
24
28
30
25
公司送餐用时
20
18
21
16
34
32
15
14
35
15
甲
0
2
9
14
乙
1
3
5
16
品种
平均数
众数
中位数
甲
89.4
m
91
乙
89.4
90
n