（冲刺高考）2024年云南省高考适应性训练数学试题

这是一份（冲刺高考）2024年云南省高考适应性训练数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．若，则（ ）
A．B．C．1D．
4．已知向量，，满足，，，则的最大值等（ ）．
A．B．C．D．
5．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为．其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为（ ）（参考数据：，）
A．20B．16C．12D．7
7．已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（ ）
A．的长度为B．的长度为
C．的长度为D．的长度为
8．已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．1C．16D．
二、多选题
9．下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过直线的平面分别与棱交于点，以下四个命题中正确的是（ ）
A．四边形一定为菱形
B．四棱锥体积为
C．平面平面
D．四边形的周长最小值为4
11．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数的最小正周期是
C．函数的图象关于直线对称
D．将函数的图象向左平移个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称
三、填空题
12．若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为 ．
13．如图，在第一象限内，矩形的三个顶点，分别在函数的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是 ．

14．已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，若外接圆半径与其内切圆半径之比为，则的离心率为 ．
四、解答题
15．已知函数.
（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
16．人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：
(1)根据小概率值的独立性检验，是否有的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？
(2)现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求的分布列和均值.
附：，其中.
17．如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
18．动圆P过定点，且在y轴上截得的弦GH的长为4.
(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线与曲线C的交点S，T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
19．关于的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”.
(1)证明：有唯一零点，且；
(2)现在，我们任取(1,a)开始，实施如下步骤：
在处作曲线的切线，交轴于点；
在处作曲线的切线，交轴于点；
……
在处作曲线的切线，交轴于点；
可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值.
（i）设，求的解析式(用表示)；
（ii）证明：当，总有.
ChatGPT应
用的广泛性
服务业就业人数的
合计
减少
增加
广泛应用
60
10
70
没广泛应用
40
20
60
合计
100
30
130
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
参考答案：
1．A
【分析】求出集合后可求.
【详解】由题意得，或，
所以或，
所以，
故选：A．
2．C
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简，再根据复数的定义判断即可.
【详解】因为，所以，
所以复数的虚部为.
故选：C
3．A
【分析】由正切的两角和公式，利用可得，进而根据弦化切即可求解.
【详解】∵
∴，
，
故选:A
4．D
【解析】若令，，，则已知可得在以为弦的圆的优弧上运动，再结合图形，可求出的最大值.
【详解】，，，由题意，，得，，，∵，∴，∴在以为弦的圆的优弧上运动，，，，当点在的延长线与圆交点时，最大为．
故选：D
【点睛】此题考查向量的数量积和模的有关运算，利用了数形结合的思想求解，属于中档题.
5．A
【分析】根据，结合等差数列的前项和公式，构造出符合题意的一组与的通项公式，再进行计算即可．
【详解】根据题意，数列、都是等差数列，显然两个数列都不是常数列，
，
因为等差数列前项和公式为，
所以不妨令为常数，且，
所以时，，．
，，，.
故选：A
6．B
【分析】由可得，再代入，求解即可.
【详解】根据题意可得，
则，，
则经过n年时，有，
即，则，
所以，
则.
故选：B.
7．A
【分析】做出截面，确定线段，，由平行线分线段成比例，相似三角形的性质以及勾股定理即可得解.
【详解】如图所示，
连接并延长交的延长线于，连接并延长交于点，
交的延长线于点，连接，交于点，连接，
则即为，即为，
由，得，所以，，
由，得，则，
所以，故C，D项错误；
由，得，
又易知，得，所以，
所以，故A项正确，B项错，
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用平面的性质作出截面，从而得到为，为，由此得解.
8．B
【分析】先通过抛物线的定义求出抛物线的方程，再设，然后求出并化简，然后求出直线AB的方程并代入抛物线方程，最后结合根与系数的关系求得答案.
【详解】如示意图，由抛物线的定义可知点M到抛物线准线的距离为4，则，即抛物线，则.
设，则.
由，则，所以，，
因为点在这两条直线上，所以，于是点A,B都在直线上，即，代入抛物线方程并化简得：，由根与系数的关系可知.
于是.
故选：B.
【点睛】本题运算较为复杂，注意要先求出，再判断题目到底需要什么，另外本题求解直线AB的方法需要熟练掌握.
9．ABC
【分析】利用函数的单调性可判断A选项；利用函数的单调性可判断B选项；利用函数在上的单调性可判断C选项；利用函数在上的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，令，则，
当时，，则函数在上单调递减，
因为，则，即，即，即，
所以，，A对；
对于B选项，令，则，
当时，，即函数在上为增函数，
所以，，即，B对；
对于C选项，令，其中，
则对任意的恒成立，
所以，函数在上为增函数，因为，则，
所以，，C对；
对于D选项，令，其中，则，
令，
由C选项可知，对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，则，
则函数在上单调递增，
因为，则，即，
又因为，即，D错.
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：
（1）判断各个数值所在的区间；
（2）利用函数的单调性直接解答.
数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.
10．ACD
【分析】由正方体截面性质有为平行四边形，若为中点，易得为正方形，进而得到即可判断A；由到面的距离之和为底面对角线且求体积判断B；利用线面垂直、面面垂直的判定判断C；根据正方体的结构特征判断在运动过程中，周长最短时位置判断D.
【详解】由题意，正方体截面的性质易知，即为平行四边形，
取为中点，因为分别是棱的中点，则为正方形，
所以，则，故为菱形，A对；
由到面的距离之和为底面对角线为，
又为定值，B错；
由菱形性质知，由正方体性质知面，面，则，
又，面，故面，
而面，所以平面平面，C对；
在运动过程中，仅当它们为对应线段中点时，菱形各边最短且为1，
此时为正方形，周长为4，D对.
故选：ACD
11．AC
【分析】利用图象求出函数的解析式，代值计算可判断A选项；利用正弦型函数的周期性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.
【详解】由图可知，，
函数的最小正周期满足，则，，B错；
所以，，
，可得，
因为，所以，，则，可得，
所以，，则，A对；
，
所以，函数的图象关于直线对称，C对；
将函数的图象向左平移个单位长度以后，
得到函数的图象，所得函数为非奇非偶函数，D错.
故选：AC.
12．
【分析】利用向量的数量积运算与投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
13．
【分析】根据指对幂函数的图象及解析式求出A点的横坐标、点纵坐标，即可得D点的坐标.
【详解】由题意，纵坐标都为2，则点横坐标为8，即点横坐标为8，
所以A点的横坐标为，点纵坐标为，
由为矩形及题图知：D点的坐标是.
故答案为：
14．
【分析】由椭圆性质及定义有，结合直角三角形内切圆、外接圆相关性质求对应半径，进而得到椭圆参数的齐次方程，即可得求离心率.
【详解】由题意，在中，
所以其外接圆半径，内切圆的半径为，
故.
故答案为：
15．(1)；(2).
【详解】试题分析：
(1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是；
(2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围为.
试题解析：
（1）由得，
在上单调递增，，
的取值范围是.
（2）存在，使不等式成立，
存在，使不等式成立.
令，从而，
，
，
在上单调递增，
.
实数的取值范围为.
16．(1)没有
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据题意求，并与临界值对比判断；
（2）根据分层抽样求各层人数，结合超几何分布求分布列和期望.
【详解】（1）零假设为：ChatGPT对服务业就业人数的增减无关.
根据表中数据得，
所以根据小概率值的独立性检验，
没有充分证据推断不成立，因此可以认为无关.
（2）由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，
有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，
有人认为人工智能不会在服务业中广泛应用，
则的可能取值为，
又，
所以的分布列为
所以.
17．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；
（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；
（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，
从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，
，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得．
，
．
所以，二面角的正弦值为；
（Ⅲ）依题意，．
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
18．(1)；
(2)存在点，定值.
【分析】（1）根据给定条件，利用圆的性质建立等量关系，列出方程化简即得.
（2）假定存在符合要求的点并设出直线的方程，与曲线C的方程联立，利用韦达定理结合已知化简计算即得.
【详解】（1）设，依题意，，而，当P点不在y轴上时，即，
由动圆P在y轴上截得的弦GH的长为4，得，
因此，整理得，
当P点在y轴上时，显然P点与原点O点重合，而也满足，
所以曲线C的方程为.
（2）假设存在满足题意，
设，显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去x得，，，
则，，
，而，
因此，
当时，满足，且与无关，为定值，
所以存在点，使过点Q的直线与曲线C的交点满足为定值.
【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；
②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
19．(1)证明见解析；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可；
（2）（i）由导数的几何意义得曲线在处的切线方程为，进而得；
（ii）令，进而构造函数，结合函数单调性证明，再根据证明即可得答案.
【详解】（1）证明：，定义域为，
所以，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点，且.
（2）解：（i）由（1）知，
所以，曲线在处的切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为，即
令得
所以，切线与轴的交点，即，
所以，.
(ii)对任意的，由（i）知，曲线在处的切线方程为：
，故令，
令
所以，，
所以，当时，单调递增，当时，单调递减；
所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立，
另一方面，由（i）知，，且当时，，
（若，则，故任意，显然矛盾）
因为是的零点，
所以
因为为单调递增函数，
所以，对任意的时，总有
又因为，
所以，对于任意，均有，
所以，
所以，
综上，当，总有
【点睛】本题考查利用导数的几何意义，不等式的证明，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于结合切线方程，构造函数，进而结合函数的单调性证明不等式.
1
2
3