(新高考)高考数学一轮复习学案+巩固提升练习6.2《等差数列》(2份打包，原卷版+教师版)

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1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
知识梳理
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an﹣an﹣1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝eq \f(a＋b,2).
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n﹣1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d或Sn＝eq \f(na1＋an,2).
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n﹣m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m，…也是等差数列．
(5)S2n﹣1＝(2n﹣1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列．
常用结论
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )
(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．( )
教材改编题
1．已知等差数列{an}中，a2＝3，前5项和S5＝10，则数列{an}的公差为( )
A．﹣1 B．﹣eq \f(5,2) C．﹣2 D．﹣4
2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a5＝________.
3．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝________.
题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是( )
A．a2＋a3＝0 B．an＝2n﹣5 C．Sn＝n(n﹣4) D．d＝﹣2
(2)已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S4＝24，S9＝99，则a7等于( )
A．13 B．14 C．15 D．16
教师备选
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝5，S4＝24，则a9等于( )
A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣11
2．已知{an}是公差不为零的等差数列，且a1＋a10＝a9，则eq \f(a1＋a2＋…＋a9,a10)＝________.
思维升华
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
跟踪训练1 (1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a6＝24，S6＝48，则下列正确的是( )
A．a1＝﹣2 B．a1＝2 C．d＝4 D．d＝﹣4
(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝﹣2，a2＋a6＝2，则S10＝______.
题型二 等差数列的判定与证明
例2 已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{eq \r(Sn)}是等差数列；③a2＝3a1.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
教师备选
已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an﹣1＋1(n≥2，n∈N*)，记bn＝lg2(an＋1)．
(1)判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列{an}的通项公式．
跟踪训练2 已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1﹣(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是等差数列，并求{an}的通项公式．
题型三 等差数列的性质
命题点1 等差数列项的性质
例3 (1)已知数列{an}满足2an＝an﹣1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，则a3＋a4等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，则S9等于( )
A．225 B．250 C．270 D．300
命题点2 等差数列前n项和的性质
例4 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于( )
A．110 B．150 C．210 D．280
(2)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n－1,3n－2)，则eq \f(a11,b6＋b10)＋eq \f(a5,b7＋b9)的值为________．
教师备选
1．若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5﹣a6﹣a10＋a14等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2 020，eq \f(S2 020,2 020)﹣eq \f(S2 014,2 014)＝6，则S2 023等于( )
A．2 023 B．﹣2 023 C．4 046 D．﹣4 046
思维升华
(1)项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．
②S2n﹣1＝(2n﹣1)an.
③依次k项和成等差数列，即Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k，…成等差数列．
跟踪训练3 (1){an}和{bn}是两个等差数列，其中eq \f(ak,bk)(1≤k≤5)为常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3等于( )
A．64 B．128 C．256 D．512
(2)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a3＝3a1，a2＝3a1﹣1，则数列{eq \f(Sn,n)}的前10项和为( )
A.eq \f(55,2) B．55 C.eq \f(65,2) D．65
课时精练
1．在等差数列{an}中，若a3＋a9＝30，a4＝11，则{an}的公差为( )
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
2．已知等差数列{an}满足a3＋a6＋a8＋a11＝12，则2a9﹣a11的值为( )
A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．12
3.中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给．则第一等人(得金最多者)得金斤数是( )
A.eq \f(37,26) B.eq \f(37,27) C.eq \f(52,39) D.eq \f(56,39)
4．已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为( )
A．28 B．29 C．30 D．31
5．(多选)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有( )
A．a7 B．a8 C．S15 D．S16
6．(多选)已知Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且S8>S9>S7，则下列结论正确的是( )
A．公差d<0
B．在所有小于0的Sn中，S17最大
C．a8>a9
D．满足Sn>0的n的个数为15
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝﹣3，S5＝﹣10，则a5＝________.
8．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7，…，该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为________．
9．记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知eq \f(2,Sn)＋eq \f(1,bn)＝2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
10．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2﹣2an＋1＋an＝0(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1＝﹣2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
12．(多选)设等差数列{an}的前n项和是Sn，已知S14>0，S15<0，则下列选项正确的有( )
A．a1>0，d<0 B．a7＋a8>0
C．S6与S7均为Sn的最大值 D．a8<0
13．将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
14．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差为d，前n项和为Sn.若Sn≤S8恒成立，则公差d的取值范围是______________．
15．定义向量列a1，a2，a3，…，an从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量(即坐标都是常数的向量)，即an＝an﹣1＋d(n≥2，且n∈N*)，其中d为常向量，则称这个向量列{an}为等差向量列．这个常向量叫做等差向量列的公差向量，且向量列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an.已知等差向量列{an}满足a1＝(1,1)，a2＋a4＝(6,10)，则向量列{an}的前n项和Sn＝____________________.
16．在等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.