(新高考)高考数学一轮复习学案+巩固提升练习7.2《球的切、接问题培优课》(2份打包，原卷版+教师版)

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例1 (1)已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则四面体PABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为( )
A．π B.eq \r(3)π C．2π D.eq \f(\r(3)π,2)
延伸探究 本例(1)条件不变，则四面体P﹣ABC的内切球的半径为________．
(2)在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M﹣PAD的外接球的表面积为( )
A．12π B．34π C．68π D．126π
思维升华 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
跟踪训练1 (1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为eq \f(9,8)，底面周长为3，则这个球的体积为________．
(2)已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，则四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积为( )
A.eq \f(16π,3) B.eq \f(76π,3) C.eq \f(64π,3) D.eq \f(19π,3)
题型二 补形法
例2 (1)在四面体ABCD中，若AB＝CD＝eq \r(3)，AC＝BD＝2，AD＝BC＝eq \r(5)，则四面体ABCD的外接球的表面积为( )
A．2π B．4π C．6π D．8π
(2)如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________．
思维升华
(1)补形法的解题策略
①侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②直三棱锥补成三棱柱求解．
(2)正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(3)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
跟踪训练2 已知三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为( )
A.eq \f(7\r(14),3)π B．14π C．56π D.eq \r(14)π
题型三 截面法
例3 (1)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O﹣ABC的体积为( )
A.eq \f(\r(2),12) B.eq \f(\r(3),12) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(\r(3),4)
(2)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
思维升华
(1)与球截面有关的解题策略
①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的．
(2)正四面体的外接球的半径R＝eq \f(\r(6),4)a，内切球的半径r＝eq \f(\r(6),12)a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长)．
跟踪训练3
(1)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为eq \f(32π,3)的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为( )
A．4π B．8π C．12π D．16π
(2)在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________．
课时精练
1．正方体的外接球与内切球的表面积之比为( )
A.eq \r(3) B．3eq \r(3) C．3 D.eq \f(1,3)
2．已知一个圆锥的母线长为2eq \r(6)，侧面展开图是圆心角为eq \f(2\r(3)π,3)的扇形，则该圆锥的外接球的体积为( )
A．36π B．48π C．36 D．24eq \r(2)
3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( )
A．16π B．20π C．24π D．32π
4．已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为( )
A.eq \f(\r(6),8)π B.eq \f(\r(6),4)π C.eq \f(\r(3),8)π D.eq \f(\r(3),4)π
5．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为eq \f(32π,3)，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为( )
A．3π B．4π C．9π D．12π
6．粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为9 cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为(参考数据：eq \r(6)≈2.45，π≈3.14)( )
A．20 cm3 B．22 cm3 C．26 cm3 D．30 cm3
7．(多选)已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB⊥AC，AB＝2，AC＝2eq \r(3)，点D为AB的中点，过点D作球的截面，则截面的面积可以是( )
A.eq \f(π,2) B．π C．9π D．13π
8．(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为eq \r(3)﹣1，则下列说法中正确的是( )
A．正方体的外接球的表面积为12π
B．正方体的内切球的体积为eq \f(4π,3)
C．正方体的棱长为2
D．线段MN的最大值为2eq \r(3)
9．已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝1，SB＝SC＝2，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径是________．
10．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2eq \r(3)，内有一个球与四个面都相切，则正三棱锥的内切球的半径为________．
11．等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝5，BC＝6，将它沿高AD翻折，使二面角B﹣AD﹣C成60°，此时四面体ABCD外接球的体积为________．
12．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2eq \r(3)，∠BAC＝eq \f(2π,3)，则球O的体积为________．