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数学八年级下册16.3 二次根式的加减优秀巩固练习
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这是一份数学八年级下册16.3 二次根式的加减优秀巩固练习，共60页。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1523" 一、二次根式作比较，13题，易错题，难度四星 PAGEREF _Tc1523 \h 1
\l "_Tc11461" 二、二次根式的应用，15题，难度四星 PAGEREF _Tc11461 \h 14
\l "_Tc21618" 三、材料阅读题，规律题，7题，难度五星 PAGEREF _Tc21618 \h 30
\l "_Tc21748" 四、二次根式的混合运算，15题，难度五星 PAGEREF _Tc21748 \h 40
一、二次根式作比较，13题，易错题，难度四星
1．（2024·广东深圳·八年级统考期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【详解】解： ， ，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
2．（2024·四川成都·八年级四川省成都市石室联合中学校联考期末）比较大小： ．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．将化成，根据无理数的估算、二次根式的化简可得，由此即可得．
【详解】解：，
∵，
，即，
故答案为：．
3．（2023·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）比较下列各数大小：
① ；② ；③
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的比较大小、比较二次根式的大小，熟练掌握比较方法是解此题的关键．
（1）首先比较与的大小，根据负数绝对值大的反而小，即可得解；
（2）通过比较与1的大小即可求解；
（3），，比较被开方数的大小即可；
【详解】解：①，
；
故答案为： ；
②；
；
故答案为： ；
③，，且；
；
故答案为： ；
4．（2023·河北邢台·八年级金华中学校联考阶段练习）在算式“○□”中，“○”表示实数，“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号．
（1）当“□”表示“－”时，运算结果为，则“○”表示的数为 ；
（2）若“○”表示的是（）中所求的数，当算式的结果最大时，“□”表示的运算符号是 ．
【答案】
【分析】（）设“○”表示的数为，根据二次根式的加减运算进行计算即可求解；
（）根据题意，分别计算当“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号时的算式，即可求解；
本题考查了二次根式的混合运算，无理数的大小比较，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】（）设“○”表示的数为，
则，解得：，
∴“○”表示的数为，
故答案为：；
（）由（）得：“○”表示的数为，
当“□”运算符号是“”时，，
当“□”运算符号是“”时，，
当“□”运算符号是“”时，，
当“□”运算符号是“”时，，
∴，
∴“□”表示的运算符号是“”，
故答案为：．
5．（2023·吉林长春·八年级长春市第二实验中学校考期中）比较大小： ．
【答案】
【分析】算术平方根的大小比较可以通过比较它们的平方的大小来判断．
【详解】解：∵，，
而，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了平方根的意义和数的大小比较，关键是通过平方根的意义转化为有理数的大小比较．
6．（2023下·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）（1）观察下列各式的特点：
，
>，
，
，
…
根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
，
，
＝，
…
根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||．
【答案】（1）＞；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；
（2）把分子分母同时乘以，然后化简即可得到答案；
（3）根据（2）中的规律可得，，，分别把绝对值里面的式子化简计算即可．
【详解】解：（1）∵，
>，
，
，
…，
∴，
∴，
故答案为：＞；
（2）
=
=；
（3）原式
．
【点睛】此题主要考查了分母有理化，关键是注意观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后再进行计算．
7．（2023下·江苏南京·八年级校联考期末）已知：三角形的三边长分别为．求证：
(1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格．
(2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明．
【答案】(1)①；②；③
(2)见解析
【分析】（1）①根据完全平方公式可得①的结果；
②根据二次根式的性质可得②的结果；
③比较结果①与结果②可得两个代数式的大小关系.
（2）选择其中任意一种解答即可.
【详解】（1）①
故答案为： .
②，
故答案为：.
③∵
∴
∴
故答案为：>．
（2）选择①．推导思路如下：
由，且，得．
配方，得，
∴
即
∴
选择②．推导思路如下：
由，得，
则，即．
因为，
所以，即．
【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式进行配方，以及运用平方差公式进行因式分解的内容，灵活运用因式分解解决问题是解题的关键.
8．（2024·四川达州·八年级统考期末）阅读下列解题过程∶
请回答下列问题∶
(1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________．
(2)请直接写出的化简结果∶____________．
(3)利用上面所提供的想法，求的值．
(4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
(4)，理由见解析
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小：
（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）仿照题意进行分母有理化即可；
（3）根据，把所求式子的每一项进行分母有理化，然后合并化简即可得到答案；
（4）根据，且，即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
故答案为：，，；
（2）解：
；
故答案为：；
（3）解：
；
（4）解：，理由如下：
与
，
∵，
∴，
∴
∴．
9．（2024·全国·八年级假期作业）观察下列一组等式，然后解答后面的问题．
，，，，……
(1)观察上面的规律，计算下面的式子：
(2)利用上面的规律，试比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握公式，正确进行分母有理化是解题的关键．
（1）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ．
（2）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ．
【详解】（1）∵，，，，
∴
．
（2）∵,,
∴,
,
∵,
∴,
∴．
10．（2024·湖南长沙·八年级统考期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)比较和的大小；
(2)求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)的最大值为2，最小值为
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值．
【详解】（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，得，
，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．
11．（2024·全国·八年级假期作业）阅读下列化简过程：
，
，
，
…
从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：
(1)；
(2)设，，，比较的大小关系．
【答案】(1)2020
(2)
【分析】（1）根据题意将式子先化简，再运用平方差公式求解即可；
（2）根据题意将a，b，c求出来，再进行二次根式的大小比较即可．
【详解】（1）根据题意可得，原式
；
（2）根据题意可得，，，，
∵
∴，
即，
∵
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算和平方差公式，正确的理解题意是解决本题的关键．
12．（2023下·湖南湘西·八年级校联考期中）已知：分别是的整数部分和小数部分，
(1)求：的值；
(2)比较与的大小 ．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可得出、的值；
（2）利用倒数法比较即可．
【详解】（1）解：，
，
，
的整数部分，小数部分，
∴，；
（2）；，
，
．
．
【点睛】本题考查了无理数的大小估算，含有减号的无理数大小比较，倒数法比较能转化成加法再比较更容易一些．
13．（2023·江苏·八年级假期作业）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：；
例如：比较与2的大小．
∵ 又∵ 则
∴，∴．
请根据上述方法解答以下问题：
(1)的整数部分是________，的小数部分是_______；
(2)比较与的大小．
(3)已知，试用“比差法”比较与的大小．
【答案】(1)5；
(2)；
(3)．
【分析】（1）首先估算出，得到的整数部分是5；推出，得到，据此即可求解；
（2）根据“比差法”比较两个数大小即可；
（3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴的整数部分是5；
∴，
∴，
∴的整数部分是1，则的小数部分是，
故答案为：5；；
（2）解：，
∴；
（3）解：
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键．
二、二次根式的应用，15题，难度四星
14．（2024·福建福州·八年级福建师大附中校考期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽，是解题的关键．
分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得解．
【详解】解：∵两个正方形的面积分别为1和2，
∴它们的边长分别为：和，
由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为，
∴阴影部分的面积为；
故选：B．
15．（2024·湖南娄底·八年级统考期末）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．
古希腊几何学家海伦（Hern，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：
．②
若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由分析可得，代入公式②中比较容易计算，把分别代入进行计算解答．
【详解】解：∵，，不是同类二次根式，无法合并，代入公式①中计算不方便，
∴可代入公式②进行计算，
∵，
∴；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
16．（2024·河北邯郸·八年级统考期末）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】C
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大矩形面积正方形面积，本题得以解决．
【详解】由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴题图中阴影部分的面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
17．（2023下·八年级名校名卷）温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值 ．
阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为 ．
【答案】 112 3
【分析】温故知新：由，可得，即，根据整数k只有一个得，即可得n的最大值为112；
阅读理解：．
【详解】解：温故知新：
∵，
∴，
∴，即，
∵整数k只有一个，
∴，
解得：，
当时，或均符合，与整数k只有一个矛盾，舍去；
当时，符合，与整数k只有一个相符；
此时n的最大值为112；
故答案为：112；
阅读理解：
，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式和二次根式的变形求值，解决本题的关键是读懂题意，灵活运用分式的基本性质．
18．（2023·全国·八年级名校名卷）按照一定次序排列的一列数叫数列，一般用、、表示一个数列，可简记为，现有数列满足一个关系式，则 ．
【答案】143
【分析】根据数列的关系式，计算、、、，总结规律，证明规律成立，继续计算各项，即可求和．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
归纳可得：，
假设当时成立，有
，，
则
故答案为：143．
【点睛】本题考查了数列规律的归纳与二次根式的应用，发现的结果出现的规律是解题关键．
19．（2023下·浙江·八年级名校名卷）读取表格中的信息，解决下列问题
已知，求 ．
【答案】7
【分析】先分别求出，，的值，再归纳类推出一般规律即可得．
【详解】解：由题意得：，
，
，
归纳类推得：，其中为正整数，
当时，
则，即，
解得，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了二次根式运算的规律问题等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
20．（2024·江苏南通·八年级统考期末）已知一个底面积为的长方体纸盒，长、宽、高的比为．
(1)这个长方体纸盒的体积是多少？
(2)若再做一个长方体纸盒，高和体积不变，底面为正方形，则这个纸盒的底面边长是多少？
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查长方体的体积，二次根式的化简，
（1）设长、宽、高分别为：，，，求出，得出长、宽、高分别为：，，，进而求出体积即可；
（2）先求出底面为正方形的面积为：，进而求出边长．
【详解】（1）解：设长、宽、高分别为：，，，
根据题意得：，
解得：（负值舍去），
∴长、宽、高分别为：，，，
∴长方体纸盒的体积是；
（2）解：∵高和体积不变，
∴底面为正方形的面积为：，
∴底面边长为．
21．（2024·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期末）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号．
例如：已知，求式子 的最小值．
解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子 的最小值为 ；
(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
(3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．
【答案】(1)1
(2)20米
(3)
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目．
（1）根据材料提供的信息解答即可．
（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可．
（3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是6和12，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可．
【详解】（1）解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6．
（2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，
∴，
∴所用篱笆的长为米，
∵当且仅当时，的值最小，最小值为20，
∴或（舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米．
（3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为，
又∵、的面积分别是6和12，
∴，，
∴，
∴∵．
∴当且仅当时，取等号，即的最小值为，
∴四边形面积的最小值为．
22．（2024·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为.
古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
.
(1)在中，，，，利用上面公式求的面积；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，熟练掌握海伦公式和秦九韵公式是解题的关键．
（1）根据海伦公式计算三角形的面积即可；
（2）根据海伦公式和秦九韵公式即可得到结果．
【详解】（1）解：，，，
，
的面积；
故答案为：；
（2）证明：，
．
23．（2024·全国·八年级假期作业）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：_____，______；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
【答案】(1)；
(2)或7；
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】（1）解：，，
，．
故答案为：；．
（2）解：，，
，，
、均为正整数，
、或，，
或7；
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
24．（2024·全国·八年级假期作业）现有两块同样大小的长方形木板①、②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B．
(1)截出的正方形木板A的边长为________ ；
(2)求图1中阴影部分的面积；
(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能截出；理由见解析
【分析】（1）根据正方形的面积，即可求出边长；
（2）先求出木板B的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解；
（3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答．
【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，
∴正方形木板A的边长为，
故答案为：；
（2）解：∵正方形木板B的面积为，
∴正方形木板B的边长为，
∴阴影部分宽为，
∴阴影部分面积为，
即题图1中阴影部分的面积为；
（3）解：不能截出；
理由：，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为．
由（2）可得长方形木板的长为，宽为．
∵，但，
∴不能截出．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，解题的关键是根据图形，得出数量关系，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则．
25．（2024·全国·八年级假期作业）在一块矩形的地面上铺设地砖，该矩形地面的长为、宽为．
(1)求该矩形地面的周长；
(2)现计划在该矩形地面上铺满地砖，请计算需要的地砖总面积（提示：结果保留整数，）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据矩形的周长（长宽），计算即可．
（2）根据矩形的面积=长×宽，计算即可．
【详解】（1）矩形的周长
（2）矩形的面积
【点睛】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是熟知矩形周长和面积的计算公式．
26．（2023下·北京西城·八年级校考期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数，，
称为，这两个数的算术平均数，
称为，这两个数的几何平均数，
称为，这两个数的平方平均数
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
(1)若，，则；________；_______；
(2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．
①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为，的图形：
②借助图形可知，当，都是正数时，的大小关系是： ___________（把从小到大排列，并用“”或“”号连接）；
③若．则的最小值为________．
【答案】(1)；
(2)①见详解②③
【分析】（1）将，分别代入求值即可得；
（2）①分别求出，，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论；③由，可知当时，取最小值，此时，结合已知条件可得，即可确定的最小值．
【详解】（1）解：当，时，
，
．
故答案为：；；
（2）①，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立，
∵都是正数，
∴都是正数，
∴．
故答案为：；
③∵，
∴当时，取最小值，
此时，即，
整理，可得，
∴，
∵，
∴，
此时，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
27．（2023下·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）我国南宋时期数学家泰九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．
(1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积；
(3)若，，求此时三角形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用已知得出的值，再利用三角形面积公式得出答案；
（2）将变形为再代入求值即可；
（3）根据公式计算出，再表示成，代入公式即可求出解．．
【详解】（1）解：∵，，，
则：，
∴
；
（2）
，
则三边长依次为、，，代入可得：
（3）∵，，，
∴，则，
∴
，
∴当时，有最大值，为．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，乘法公式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．
28．（2023下·八年级课时练习）先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：
①______； ②______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)
【分析】（1）根据有理化因式的定义，仿照阅读中例子，得到、的有理化因式；
（2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可；
（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是；
故答案为：，；
（2）①，
②；
故答案为：，；
（3）
．
【点睛】此题考查了分母有理化，掌握分母有理化的概念及准确找出二次根式的有理化因式是解答问题的关键．
三、材料阅读题，规律题，7题，难度五星
29．（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（为非负数），则；．则下列选项正确的有（ ）个
①若是的小数部分，则的值为；
②若（其中为有理数），则；
③，则
④
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】先估算出，则，然后对进行分母有理化即可判断①；根据推出，正在由为有理数，得到方程组，解方程组即可得到答案；只需要根据，推出，即可判断③；证明，然后对原式裂项即可判断④．
【详解】解：由题意得，
∵，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为有理数，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵
，
∴
，故④正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，平方差公式的应用，无理数的估算等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
30．（2023下·山东威海·八年级统考期中）观察下列等式：
第1个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
按上述规律，计算 ．
【答案】/
【分析】首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
第个等式：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
31．（2023·广东佛山·八年级校考阶段练习）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
解决问题：
(1)比较大小：______（用“”“”或“”填空）；
(2)计算：；
(3)设实数x，y满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2023
【分析】（1）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可；
（2）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可；
（3）根据（1）和（2）得到的规律进行计算即可．
【详解】（1）解：，，
即，
，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
①，同理②，
∴①②得：，
，
．
【点睛】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键．
32．（2023下·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）阅读材料：
把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简．
如：
解答问题：
(1)填空：______．
(2)化简：（请写出计算过程）
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据材料提供计算步骤，把化为，根据完全平方公式进行计算即可；
（2）根据材料提供计算步骤，把化为，根据完全平方公式进行计算即可；
（3）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2）；
故答案为： ；
（3）
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简，解题关键是根据材料提供计算步骤，分析其是利用完全平方公式进行化简，同时运用分母有理化进行裂项相消．
33．（2023下·全国·八年级期中）阅读材料已知下面一列等式：
；；；
(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________；
(2)证明一下你写的等式成立；
(3)利用等式计算：；
(4)计算：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可以写出一般性等式；
（2）根据分数的运算法则即可验证；
（3）根据（1）中的结论进行计算即可；
（4）先将分母有理化，再合理利用（1）中的结论计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，由规律可得：
它的一般性等式为；
（2）证明：
原式成立；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题是寻找规律的题型，考查了数字的变化规律，还考查了学生分析问题、归纳问题以及解决问题的能力，总结规律要从整体、部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论．
34．（2023下·江苏·八年级名校名卷）阅读下列材料，解答后面的问题：
；
；
(1)写出下一个等式；
(2)计算的值；
(3)请求出的运算结果．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据前面的等式，仿写出下一个等式即可；
（2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式，再利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
（3）解：
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式等知识点，在处理二次根式混合运算时，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
35．（2023下·江苏·八年级名校名卷）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：，．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式为____，的有理化因式为____；（均写出一个即可）
(2)将下列各式分母有理化：
①；
②；（要求；写出变形过程）
(3)计算：的结果____．
【答案】(1)，
(2)①；②
(3)
【分析】（1）根据题目中的材料，可以直接写出的有理化因式和的有理化因式；
（2）①分子分母同时乘，然后化简即可；
②分子分母同时乘2+3，然后化简即可；
（3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）由题意可得，
的有理化因式为，的有理化因式为，
故答案为：，；
（2）①；
②；
（3）
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法，可以找出相应的有理化因式．
四、二次根式的混合运算，15题，难度五星
36．（2023下·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
①；②的小数部分为；③；④；⑤．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据定义找到的规律，再逐个判断即可．
【详解】解：由题意得，，它的整数部分为2，小数部分为；
，它的整数部分为4，小数部分为；
，它的整数部分为5，小数部分为；
，它的整数部分为7，小数部分为；
，它的整数部分为8，小数部分为；
，它的整数部分为10，小数部分为；
∴n为奇数时，，它的整数部分为，小数部分为；
n为偶数时，，它的整数部分为，小数部分为；
∴①，正确；
②的小数部分为，错误；
③，正确；
④
，错误；
⑤
，正确；
综上所述，正确的是①③⑤,共3个；
故选：B．
【点睛】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键．
37．（2023下·重庆江津·八年级统考期末）在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则
；
．
下列选项中正确的有（ ）个．
①若a是的小数部分，则的值为；
②若（其中b、c为有理数），则；
③．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】由，可得，则，再根据分母有理化即可判断①；由可得，以此得到方程组，求解即可判断②；证明，再对原式裂项即可判断③．
【详解】解：由题意得：，
∵，是的小数部分，
∴，则，故①正确；
∵，
∴，
即
∴，即，
∵b、c为有理数
∴，解得，
∴，故②正确；
∵
，
∴
，故③正确，
故正确的有①②③，共3个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式的应用、等式的性质，灵活利用题干所给方法进行解决问题是解题关键．
38．（2024·全国·八年级竞赛） ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的运算，将式子进行平方，运用完全平方公式展开后化简，即可解答．
【详解】∵
，
又，
∴．
故答案为：．
39．（2023·湖南长沙·八年级校联考期末）设，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的混合运算-化简求值，直接利用混合运算法则化简，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】，
，
，
，
，，
∴
，
∴
，
∴原式，
故答案为：．
40．（2023·湖南常德·八年级统考期末）观察下列分母有理
，……
从计算结果中找出规律
．
【答案】2022
【分析】先分母有理化，然后合并同类二次根式，最后用平方差公式计算．
【详解】解：原式
．
故答案为：2022．
【点睛】本题主要考查了规律型问题——二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，探究规律，合并同类二次根式，平方差公式，二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
41．（2023·全国·八年级名校名卷）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
(1)计算：．
(2)已知m是正整数，，，，求m．
(3)已知，则的值为?
【答案】(1)
(2)504
(3)9
【分析】（1）将各部分分子变为2，再根据分母有理化去分母后可相互消掉可得结果；
（2）、互为倒数，分母有理化后可得的值，代入所求式子即可；
（3）设，，则，利用已知等式导出，根据完全平方公式计算出即为所求．
【详解】（1）解：
；
（2），，
，，，
，
，
，
；
（3）设，，则，
，
，
，
，
，
，
．（舍去），
．
【点睛】本题考查了分母有理化的技巧，利用完全平方公式和平方差公式设未知数整体代入是常用的方法．
42．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算
(1)；
(2)（）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可；
（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
＝
＝－＋
．
（2）解：
＝·
．
【点睛】本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键．
43．（2023·山东青岛·八年级青岛三十九中校考期中）观察下列等式，然后解答问题：
，
，
，
，
．
(1)计算：
①__________；
②；
(2)计算：
①；
②．
【答案】(1)①②2022
(2)①②
【分析】（1）①观察题目中的等式，即可求得答案；②将原式整理为，进而可得，然后利用平方差公式进行求解即可；
（2）①利用积的乘方的逆运算，将原式整理为，然后利用平方差公式进行求解即可；②将原式整理为，然后利用平方差公式和完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：①；
故答案为：；
②原式
；
（2）①原式
；
②原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式运算、运用平方差公式和完全平方公式进行运算、积的乘方的逆运算等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．
44．（2024·湖南岳阳·八年级统考期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：
(2)m是正整数，且，求m．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)1；10
(2)1
(3)8
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用分母有理化化简，从而求出，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答；
（3）利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：
（2）
；
（3）
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴．
45．（2024·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）若三个非零实数、、满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数、构成“青一三数组”，例如：因为、、的倒数能够满足，所以数组、、构成“青一三数组”．
(1)下列三组数构成“青一三数组”的有________；（填序号）
①1、2、3；②1、、；③、、．
(2)若、、构成“青一三数组”，求实数的值；
(3)若非零实数、、构成“青一三数组”，且满足以下三个条件：①；②点到原点的距离记为；③不等式恒成立．求实数的取值范围．
【答案】(1)②③
(2)或或；
(3)无
【分析】此题考查了新定义问题，二次根式及分式的运算，分类讨论思想是解决此题的关键．
（1）根据“青一三数组”的定义挨个求出倒数，再求其中一个数的倒数是否等于另外两个数的倒数的和，如果有一个满足题意即为“青一三数组”；
（2）倒数为，的倒数为，的倒数为，由、、构成“青一三数组”，分三种情况进行讨论求解即可；
（3）由，可得，再由点到原点的距离记为，可得，再求解即可．
【详解】（1）解：①，，，
1、2、3不能构成“青一三数组”；
②，
1、、能构成“青一三数组”；
③的倒数为，的倒数为，的倒数为，
，
、、能构成“青一三数组”；
三组数中构成“青一三数组”的有②③，
故答案为：②③；
（2）解：倒数为，的倒数为，的倒数为，
、、构成“青一三数组”，
①当时，解得：；
②当时，解得：；
③当时，解得：；
综上可知，实数的值为或或；
（3）解：，
，
点到原点的距离记为，
46．（2024·全国·八年级竞赛）数学老师在讲完重要不等式：后，随手出了这样一道题目：解方程，你能求的值吗？
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，多项式除以单项式，二次根式的混合计算，先把原方程化为，再证明，进而得到，则，进一步推出，，即，又，则．
【详解】解：方程两边同除以得，
∴，
即，
∵当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，……，
∴，
又∵，
∴，，即，
又∵，
∴．
47．（2023下·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)1
【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式计算；
（4）先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算后合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．
48．（2023下·山西吕梁·八年级统考期末）阅读与思考
请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：．
在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，．
(1)模仿材料中的计算方法，化简：______．
(2)观察上面的计算过程，直接写出式子______．
(3)利用根式裂项求解：．
【答案】(1)
(2)
(3)2022
【分析】（1）根据材料，对二次根式分母有理化，进行化简即可；
（2）根据题中材料进行总结，即可得出答案；
（3）对式子中各项二次根式进行分母有理化，裂项求和进行计算即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：．
（2）解：；
故答案为：．
（3）解：原式
．
故答案为：2022．
【点睛】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简．
49．（2023下·北京大兴·八年级统考期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”．
下面是小单的深究过程：
①具体运算，发现规律：
当时，
特例1：若，则；
特例2：若，则；
特例3：若，则．
②观察、归纳，得出猜想：当时，．
③证明猜想：
当时，
∵，
∴，
∴．
当且仅当时，．
请你利用小华发现的规律解决以下问题：
(1)当时，的最小值为
(2)当时，的最小值为 ；
(3)当时，求的最大值．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）直接由题中规律即可完成；
（2）当时，，则可由题中规律完成；
（3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最大值，则最后可求得原式的最大值．
【详解】（1）解：当时，均为正数，
由题中规律得：，
当且仅当，即时，，
∴当x＞0时，的最小值为2；
故答案为：2；
（2）解：当时，，
由题中规律得：，
当且仅当，即时，，
∴当x＜0时，的最小值为；
故答案为：；
（3）解：∵，
∴当时， ，
∴，
当且仅当，即时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
当且仅当时，的最大值为，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了求代数式的最大值或最小值问题，读懂题目中的规律是解题的关键，另外特别注意规律中两个字母均为正数，在使用时要注意．
50．（2024下·八年级名校名卷）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简．
例如化简：，
因为且，
，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空：= ，= ；
(2)化简：；
(3)计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键．
（1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案；
（2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案；
（3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案．
【详解】（1）因为且，
，
，
故答案为：；
因为且，
，
，
故答案为：；
（2）
因为且，
，
，
；
（3），
，，
，
，
．
…
…
…
…
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1523" 一、二次根式作比较，13题，易错题，难度四星 PAGEREF _Tc1523 \h 1
\l "_Tc11461" 二、二次根式的应用，15题，难度四星 PAGEREF _Tc11461 \h 14
\l "_Tc21618" 三、材料阅读题，规律题，7题，难度五星 PAGEREF _Tc21618 \h 30
\l "_Tc21748" 四、二次根式的混合运算，15题，难度五星 PAGEREF _Tc21748 \h 40
一、二次根式作比较，13题，易错题，难度四星
1．（2024·广东深圳·八年级统考期末）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【详解】解： ， ，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
2．（2024·四川成都·八年级四川省成都市石室联合中学校联考期末）比较大小： ．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．将化成，根据无理数的估算、二次根式的化简可得，由此即可得．
【详解】解：，
∵，
，即，
故答案为：．
3．（2023·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）比较下列各数大小：
① ；② ；③
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的比较大小、比较二次根式的大小，熟练掌握比较方法是解此题的关键．
（1）首先比较与的大小，根据负数绝对值大的反而小，即可得解；
（2）通过比较与1的大小即可求解；
（3），，比较被开方数的大小即可；
【详解】解：①，
；
故答案为： ；
②；
；
故答案为： ；
③，，且；
；
故答案为： ；
4．（2023·河北邢台·八年级金华中学校联考阶段练习）在算式“○□”中，“○”表示实数，“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号．
（1）当“□”表示“－”时，运算结果为，则“○”表示的数为 ；
（2）若“○”表示的是（）中所求的数，当算式的结果最大时，“□”表示的运算符号是 ．
【答案】
【分析】（）设“○”表示的数为，根据二次根式的加减运算进行计算即可求解；
（）根据题意，分别计算当“□”表示“”“”“”“”中的某一个运算符号时的算式，即可求解；
本题考查了二次根式的混合运算，无理数的大小比较，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】（）设“○”表示的数为，
则，解得：，
∴“○”表示的数为，
故答案为：；
（）由（）得：“○”表示的数为，
当“□”运算符号是“”时，，
当“□”运算符号是“”时，，
当“□”运算符号是“”时，，
当“□”运算符号是“”时，，
∴，
∴“□”表示的运算符号是“”，
故答案为：．
5．（2023·吉林长春·八年级长春市第二实验中学校考期中）比较大小： ．
【答案】
【分析】算术平方根的大小比较可以通过比较它们的平方的大小来判断．
【详解】解：∵，，
而，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了平方根的意义和数的大小比较，关键是通过平方根的意义转化为有理数的大小比较．
6．（2023下·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）（1）观察下列各式的特点：
，
>，
，
，
…
根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
，
，
＝，
…
根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||．
【答案】（1）＞；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案；
（2）把分子分母同时乘以，然后化简即可得到答案；
（3）根据（2）中的规律可得，，，分别把绝对值里面的式子化简计算即可．
【详解】解：（1）∵，
>，
，
，
…，
∴，
∴，
故答案为：＞；
（2）
=
=；
（3）原式
．
【点睛】此题主要考查了分母有理化，关键是注意观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后再进行计算．
7．（2023下·江苏南京·八年级校联考期末）已知：三角形的三边长分别为．求证：
(1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格．
(2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明．
【答案】(1)①；②；③
(2)见解析
【分析】（1）①根据完全平方公式可得①的结果；
②根据二次根式的性质可得②的结果；
③比较结果①与结果②可得两个代数式的大小关系.
（2）选择其中任意一种解答即可.
【详解】（1）①
故答案为： .
②，
故答案为：.
③∵
∴
∴
故答案为：>．
（2）选择①．推导思路如下：
由，且，得．
配方，得，
∴
即
∴
选择②．推导思路如下：
由，得，
则，即．
因为，
所以，即．
【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式进行配方，以及运用平方差公式进行因式分解的内容，灵活运用因式分解解决问题是解题的关键.
8．（2024·四川达州·八年级统考期末）阅读下列解题过程∶
请回答下列问题∶
(1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________．
(2)请直接写出的化简结果∶____________．
(3)利用上面所提供的想法，求的值．
(4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
(4)，理由见解析
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小：
（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）仿照题意进行分母有理化即可；
（3）根据，把所求式子的每一项进行分母有理化，然后合并化简即可得到答案；
（4）根据，且，即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
故答案为：，，；
（2）解：
；
故答案为：；
（3）解：
；
（4）解：，理由如下：
与
，
∵，
∴，
∴
∴．
9．（2024·全国·八年级假期作业）观察下列一组等式，然后解答后面的问题．
，，，，……
(1)观察上面的规律，计算下面的式子：
(2)利用上面的规律，试比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握公式，正确进行分母有理化是解题的关键．
（1）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ．
（2）根据给出式子的规律，进行分母有理化，后计算即可 ．
【详解】（1）∵，，，，
∴
．
（2）∵,,
∴,
,
∵,
∴,
∴．
10．（2024·湖南长沙·八年级统考期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)比较和的大小；
(2)求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)的最大值为2，最小值为
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值．
【详解】（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，得，
，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．
11．（2024·全国·八年级假期作业）阅读下列化简过程：
，
，
，
…
从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：
(1)；
(2)设，，，比较的大小关系．
【答案】(1)2020
(2)
【分析】（1）根据题意将式子先化简，再运用平方差公式求解即可；
（2）根据题意将a，b，c求出来，再进行二次根式的大小比较即可．
【详解】（1）根据题意可得，原式
；
（2）根据题意可得，，，，
∵
∴，
即，
∵
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算和平方差公式，正确的理解题意是解决本题的关键．
12．（2023下·湖南湘西·八年级校联考期中）已知：分别是的整数部分和小数部分，
(1)求：的值；
(2)比较与的大小 ．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可得出、的值；
（2）利用倒数法比较即可．
【详解】（1）解：，
，
，
的整数部分，小数部分，
∴，；
（2）；，
，
．
．
【点睛】本题考查了无理数的大小估算，含有减号的无理数大小比较，倒数法比较能转化成加法再比较更容易一些．
13．（2023·江苏·八年级假期作业）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：；
例如：比较与2的大小．
∵ 又∵ 则
∴，∴．
请根据上述方法解答以下问题：
(1)的整数部分是________，的小数部分是_______；
(2)比较与的大小．
(3)已知，试用“比差法”比较与的大小．
【答案】(1)5；
(2)；
(3)．
【分析】（1）首先估算出，得到的整数部分是5；推出，得到，据此即可求解；
（2）根据“比差法”比较两个数大小即可；
（3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴的整数部分是5；
∴，
∴，
∴的整数部分是1，则的小数部分是，
故答案为：5；；
（2）解：，
∴；
（3）解：
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键．
二、二次根式的应用，15题，难度四星
14．（2024·福建福州·八年级福建师大附中校考期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽，是解题的关键．
分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得解．
【详解】解：∵两个正方形的面积分别为1和2，
∴它们的边长分别为：和，
由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为，
∴阴影部分的面积为；
故选：B．
15．（2024·湖南娄底·八年级统考期末）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．
古希腊几何学家海伦（Hern，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名的秦九韶公式：
．②
若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由分析可得，代入公式②中比较容易计算，把分别代入进行计算解答．
【详解】解：∵，，不是同类二次根式，无法合并，代入公式①中计算不方便，
∴可代入公式②进行计算，
∵，
∴；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
16．（2024·河北邯郸·八年级统考期末）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】C
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大矩形面积正方形面积，本题得以解决．
【详解】由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴题图中阴影部分的面积为．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
17．（2023下·八年级名校名卷）温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值 ．
阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为 ．
【答案】 112 3
【分析】温故知新：由，可得，即，根据整数k只有一个得，即可得n的最大值为112；
阅读理解：．
【详解】解：温故知新：
∵，
∴，
∴，即，
∵整数k只有一个，
∴，
解得：，
当时，或均符合，与整数k只有一个矛盾，舍去；
当时，符合，与整数k只有一个相符；
此时n的最大值为112；
故答案为：112；
阅读理解：
，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式和二次根式的变形求值，解决本题的关键是读懂题意，灵活运用分式的基本性质．
18．（2023·全国·八年级名校名卷）按照一定次序排列的一列数叫数列，一般用、、表示一个数列，可简记为，现有数列满足一个关系式，则 ．
【答案】143
【分析】根据数列的关系式，计算、、、，总结规律，证明规律成立，继续计算各项，即可求和．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
归纳可得：，
假设当时成立，有
，，
则
故答案为：143．
【点睛】本题考查了数列规律的归纳与二次根式的应用，发现的结果出现的规律是解题关键．
19．（2023下·浙江·八年级名校名卷）读取表格中的信息，解决下列问题
已知，求 ．
【答案】7
【分析】先分别求出，，的值，再归纳类推出一般规律即可得．
【详解】解：由题意得：，
，
，
归纳类推得：，其中为正整数，
当时，
则，即，
解得，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了二次根式运算的规律问题等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
20．（2024·江苏南通·八年级统考期末）已知一个底面积为的长方体纸盒，长、宽、高的比为．
(1)这个长方体纸盒的体积是多少？
(2)若再做一个长方体纸盒，高和体积不变，底面为正方形，则这个纸盒的底面边长是多少？
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查长方体的体积，二次根式的化简，
（1）设长、宽、高分别为：，，，求出，得出长、宽、高分别为：，，，进而求出体积即可；
（2）先求出底面为正方形的面积为：，进而求出边长．
【详解】（1）解：设长、宽、高分别为：，，，
根据题意得：，
解得：（负值舍去），
∴长、宽、高分别为：，，，
∴长方体纸盒的体积是；
（2）解：∵高和体积不变，
∴底面为正方形的面积为：，
∴底面边长为．
21．（2024·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期末）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号．
例如：已知，求式子 的最小值．
解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子 的最小值为 ；
(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
(3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．
【答案】(1)1
(2)20米
(3)
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目．
（1）根据材料提供的信息解答即可．
（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可．
（3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是6和12，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可．
【详解】（1）解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6．
（2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，
∴，
∴所用篱笆的长为米，
∵当且仅当时，的值最小，最小值为20，
∴或（舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米．
（3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为，
又∵、的面积分别是6和12，
∴，，
∴，
∴∵．
∴当且仅当时，取等号，即的最小值为，
∴四边形面积的最小值为．
22．（2024·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为.
古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
.
(1)在中，，，，利用上面公式求的面积；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，熟练掌握海伦公式和秦九韵公式是解题的关键．
（1）根据海伦公式计算三角形的面积即可；
（2）根据海伦公式和秦九韵公式即可得到结果．
【详解】（1）解：，，，
，
的面积；
故答案为：；
（2）证明：，
．
23．（2024·全国·八年级假期作业）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：_____，______；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
【答案】(1)；
(2)或7；
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】（1）解：，，
，．
故答案为：；．
（2）解：，，
，，
、均为正整数，
、或，，
或7；
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
24．（2024·全国·八年级假期作业）现有两块同样大小的长方形木板①、②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板A，B．
(1)截出的正方形木板A的边长为________ ；
(2)求图1中阴影部分的面积；
(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不能截出；理由见解析
【分析】（1）根据正方形的面积，即可求出边长；
（2）先求出木板B的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解；
（3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答．
【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，
∴正方形木板A的边长为，
故答案为：；
（2）解：∵正方形木板B的面积为，
∴正方形木板B的边长为，
∴阴影部分宽为，
∴阴影部分面积为，
即题图1中阴影部分的面积为；
（3）解：不能截出；
理由：，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为．
由（2）可得长方形木板的长为，宽为．
∵，但，
∴不能截出．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，解题的关键是根据图形，得出数量关系，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则．
25．（2024·全国·八年级假期作业）在一块矩形的地面上铺设地砖，该矩形地面的长为、宽为．
(1)求该矩形地面的周长；
(2)现计划在该矩形地面上铺满地砖，请计算需要的地砖总面积（提示：结果保留整数，）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据矩形的周长（长宽），计算即可．
（2）根据矩形的面积=长×宽，计算即可．
【详解】（1）矩形的周长
（2）矩形的面积
【点睛】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是熟知矩形周长和面积的计算公式．
26．（2023下·北京西城·八年级校考期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数，，
称为，这两个数的算术平均数，
称为，这两个数的几何平均数，
称为，这两个数的平方平均数
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
(1)若，，则；________；_______；
(2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．
①请你分别在图2，图3中用阴影标出一面积为，的图形：
②借助图形可知，当，都是正数时，的大小关系是： ___________（把从小到大排列，并用“”或“”号连接）；
③若．则的最小值为________．
【答案】(1)；
(2)①见详解②③
【分析】（1）将，分别代入求值即可得；
（2）①分别求出，，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论；③由，可知当时，取最小值，此时，结合已知条件可得，即可确定的最小值．
【详解】（1）解：当，时，
，
．
故答案为：；；
（2）①，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立，
∵都是正数，
∴都是正数，
∴．
故答案为：；
③∵，
∴当时，取最小值，
此时，即，
整理，可得，
∴，
∵，
∴，
此时，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
27．（2023下·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）我国南宋时期数学家泰九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．
(1)当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积；
(3)若，，求此时三角形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接利用已知得出的值，再利用三角形面积公式得出答案；
（2）将变形为再代入求值即可；
（3）根据公式计算出，再表示成，代入公式即可求出解．．
【详解】（1）解：∵，，，
则：，
∴
；
（2）
，
则三边长依次为、，，代入可得：
（3）∵，，，
∴，则，
∴
，
∴当时，有最大值，为．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，乘法公式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．
28．（2023下·八年级课时练习）先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：
①______； ②______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)
【分析】（1）根据有理化因式的定义，仿照阅读中例子，得到、的有理化因式；
（2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可；
（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是；
故答案为：，；
（2）①，
②；
故答案为：，；
（3）
．
【点睛】此题考查了分母有理化，掌握分母有理化的概念及准确找出二次根式的有理化因式是解答问题的关键．
三、材料阅读题，规律题，7题，难度五星
29．（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（为非负数），则；．则下列选项正确的有（ ）个
①若是的小数部分，则的值为；
②若（其中为有理数），则；
③，则
④
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】先估算出，则，然后对进行分母有理化即可判断①；根据推出，正在由为有理数，得到方程组，解方程组即可得到答案；只需要根据，推出，即可判断③；证明，然后对原式裂项即可判断④．
【详解】解：由题意得，
∵，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为有理数，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵
，
∴
，故④正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，平方差公式的应用，无理数的估算等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
30．（2023下·山东威海·八年级统考期中）观察下列等式：
第1个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
按上述规律，计算 ．
【答案】/
【分析】首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
第个等式：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
31．（2023·广东佛山·八年级校考阶段练习）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
解决问题：
(1)比较大小：______（用“”“”或“”填空）；
(2)计算：；
(3)设实数x，y满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2023
【分析】（1）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可；
（2）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可；
（3）根据（1）和（2）得到的规律进行计算即可．
【详解】（1）解：，，
即，
，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
①，同理②，
∴①②得：，
，
．
【点睛】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键．
32．（2023下·湖北黄冈·八年级校考阶段练习）阅读材料：
把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简．
如：
解答问题：
(1)填空：______．
(2)化简：（请写出计算过程）
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据材料提供计算步骤，把化为，根据完全平方公式进行计算即可；
（2）根据材料提供计算步骤，把化为，根据完全平方公式进行计算即可；
（3）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2）；
故答案为： ；
（3）
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的化简，解题关键是根据材料提供计算步骤，分析其是利用完全平方公式进行化简，同时运用分母有理化进行裂项相消．
33．（2023下·全国·八年级期中）阅读材料已知下面一列等式：
；；；
(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________；
(2)证明一下你写的等式成立；
(3)利用等式计算：；
(4)计算：．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可以写出一般性等式；
（2）根据分数的运算法则即可验证；
（3）根据（1）中的结论进行计算即可；
（4）先将分母有理化，再合理利用（1）中的结论计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，由规律可得：
它的一般性等式为；
（2）证明：
原式成立；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题是寻找规律的题型，考查了数字的变化规律，还考查了学生分析问题、归纳问题以及解决问题的能力，总结规律要从整体、部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论．
34．（2023下·江苏·八年级名校名卷）阅读下列材料，解答后面的问题：
；
；
(1)写出下一个等式；
(2)计算的值；
(3)请求出的运算结果．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据前面的等式，仿写出下一个等式即可；
（2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式，再利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
（3）解：
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式等知识点，在处理二次根式混合运算时，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
35．（2023下·江苏·八年级名校名卷）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：，．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式为____，的有理化因式为____；（均写出一个即可）
(2)将下列各式分母有理化：
①；
②；（要求；写出变形过程）
(3)计算：的结果____．
【答案】(1)，
(2)①；②
(3)
【分析】（1）根据题目中的材料，可以直接写出的有理化因式和的有理化因式；
（2）①分子分母同时乘，然后化简即可；
②分子分母同时乘2+3，然后化简即可；
（3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）由题意可得，
的有理化因式为，的有理化因式为，
故答案为：，；
（2）①；
②；
（3）
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法，可以找出相应的有理化因式．
四、二次根式的混合运算，15题，难度五星
36．（2023下·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
①；②的小数部分为；③；④；⑤．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据定义找到的规律，再逐个判断即可．
【详解】解：由题意得，，它的整数部分为2，小数部分为；
，它的整数部分为4，小数部分为；
，它的整数部分为5，小数部分为；
，它的整数部分为7，小数部分为；
，它的整数部分为8，小数部分为；
，它的整数部分为10，小数部分为；
∴n为奇数时，，它的整数部分为，小数部分为；
n为偶数时，，它的整数部分为，小数部分为；
∴①，正确；
②的小数部分为，错误；
③，正确；
④
，错误；
⑤
，正确；
综上所述，正确的是①③⑤,共3个；
故选：B．
【点睛】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键．
37．（2023下·重庆江津·八年级统考期末）在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则
；
．
下列选项中正确的有（ ）个．
①若a是的小数部分，则的值为；
②若（其中b、c为有理数），则；
③．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】由，可得，则，再根据分母有理化即可判断①；由可得，以此得到方程组，求解即可判断②；证明，再对原式裂项即可判断③．
【详解】解：由题意得：，
∵，是的小数部分，
∴，则，故①正确；
∵，
∴，
即
∴，即，
∵b、c为有理数
∴，解得，
∴，故②正确；
∵
，
∴
，故③正确，
故正确的有①②③，共3个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式的应用、等式的性质，灵活利用题干所给方法进行解决问题是解题关键．
38．（2024·全国·八年级竞赛） ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的运算，将式子进行平方，运用完全平方公式展开后化简，即可解答．
【详解】∵
，
又，
∴．
故答案为：．
39．（2023·湖南长沙·八年级校联考期末）设，则的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的混合运算-化简求值，直接利用混合运算法则化简，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】，
，
，
，
，，
∴
，
∴
，
∴原式，
故答案为：．
40．（2023·湖南常德·八年级统考期末）观察下列分母有理
，……
从计算结果中找出规律
．
【答案】2022
【分析】先分母有理化，然后合并同类二次根式，最后用平方差公式计算．
【详解】解：原式
．
故答案为：2022．
【点睛】本题主要考查了规律型问题——二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，探究规律，合并同类二次根式，平方差公式，二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
41．（2023·全国·八年级名校名卷）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
(1)计算：．
(2)已知m是正整数，，，，求m．
(3)已知，则的值为?
【答案】(1)
(2)504
(3)9
【分析】（1）将各部分分子变为2，再根据分母有理化去分母后可相互消掉可得结果；
（2）、互为倒数，分母有理化后可得的值，代入所求式子即可；
（3）设，，则，利用已知等式导出，根据完全平方公式计算出即为所求．
【详解】（1）解：
；
（2），，
，，，
，
，
，
；
（3）设，，则，
，
，
，
，
，
，
．（舍去），
．
【点睛】本题考查了分母有理化的技巧，利用完全平方公式和平方差公式设未知数整体代入是常用的方法．
42．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考期中）计算
(1)；
(2)（）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可；
（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
＝
＝－＋
．
（2）解：
＝·
．
【点睛】本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键．
43．（2023·山东青岛·八年级青岛三十九中校考期中）观察下列等式，然后解答问题：
，
，
，
，
．
(1)计算：
①__________；
②；
(2)计算：
①；
②．
【答案】(1)①②2022
(2)①②
【分析】（1）①观察题目中的等式，即可求得答案；②将原式整理为，进而可得，然后利用平方差公式进行求解即可；
（2）①利用积的乘方的逆运算，将原式整理为，然后利用平方差公式进行求解即可；②将原式整理为，然后利用平方差公式和完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：①；
故答案为：；
②原式
；
（2）①原式
；
②原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式运算、运用平方差公式和完全平方公式进行运算、积的乘方的逆运算等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．
44．（2024·湖南岳阳·八年级统考期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：
(2)m是正整数，且，求m．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)1；10
(2)1
(3)8
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用分母有理化化简，从而求出，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答；
（3）利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：
（2）
；
（3）
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴．
45．（2024·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）若三个非零实数、、满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数、构成“青一三数组”，例如：因为、、的倒数能够满足，所以数组、、构成“青一三数组”．
(1)下列三组数构成“青一三数组”的有________；（填序号）
①1、2、3；②1、、；③、、．
(2)若、、构成“青一三数组”，求实数的值；
(3)若非零实数、、构成“青一三数组”，且满足以下三个条件：①；②点到原点的距离记为；③不等式恒成立．求实数的取值范围．
【答案】(1)②③
(2)或或；
(3)无
【分析】此题考查了新定义问题，二次根式及分式的运算，分类讨论思想是解决此题的关键．
（1）根据“青一三数组”的定义挨个求出倒数，再求其中一个数的倒数是否等于另外两个数的倒数的和，如果有一个满足题意即为“青一三数组”；
（2）倒数为，的倒数为，的倒数为，由、、构成“青一三数组”，分三种情况进行讨论求解即可；
（3）由，可得，再由点到原点的距离记为，可得，再求解即可．
【详解】（1）解：①，，，
1、2、3不能构成“青一三数组”；
②，
1、、能构成“青一三数组”；
③的倒数为，的倒数为，的倒数为，
，
、、能构成“青一三数组”；
三组数中构成“青一三数组”的有②③，
故答案为：②③；
（2）解：倒数为，的倒数为，的倒数为，
、、构成“青一三数组”，
①当时，解得：；
②当时，解得：；
③当时，解得：；
综上可知，实数的值为或或；
（3）解：，
，
点到原点的距离记为，
46．（2024·全国·八年级竞赛）数学老师在讲完重要不等式：后，随手出了这样一道题目：解方程，你能求的值吗？
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，多项式除以单项式，二次根式的混合计算，先把原方程化为，再证明，进而得到，则，进一步推出，，即，又，则．
【详解】解：方程两边同除以得，
∴，
即，
∵当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，……，
∴，
又∵，
∴，，即，
又∵，
∴．
47．（2023下·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)1
【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式计算；
（4）先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算后合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．
48．（2023下·山西吕梁·八年级统考期末）阅读与思考
请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：．
在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如：，．
(1)模仿材料中的计算方法，化简：______．
(2)观察上面的计算过程，直接写出式子______．
(3)利用根式裂项求解：．
【答案】(1)
(2)
(3)2022
【分析】（1）根据材料，对二次根式分母有理化，进行化简即可；
（2）根据题中材料进行总结，即可得出答案；
（3）对式子中各项二次根式进行分母有理化，裂项求和进行计算即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：．
（2）解：；
故答案为：．
（3）解：原式
．
故答案为：2022．
【点睛】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简．
49．（2023下·北京大兴·八年级统考期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”．
下面是小单的深究过程：
①具体运算，发现规律：
当时，
特例1：若，则；
特例2：若，则；
特例3：若，则．
②观察、归纳，得出猜想：当时，．
③证明猜想：
当时，
∵，
∴，
∴．
当且仅当时，．
请你利用小华发现的规律解决以下问题：
(1)当时，的最小值为
(2)当时，的最小值为 ；
(3)当时，求的最大值．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）直接由题中规律即可完成；
（2）当时，，则可由题中规律完成；
（3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最大值，则最后可求得原式的最大值．
【详解】（1）解：当时，均为正数，
由题中规律得：，
当且仅当，即时，，
∴当x＞0时，的最小值为2；
故答案为：2；
（2）解：当时，，
由题中规律得：，
当且仅当，即时，，
∴当x＜0时，的最小值为；
故答案为：；
（3）解：∵，
∴当时， ，
∴，
当且仅当，即时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
当且仅当时，的最大值为，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了求代数式的最大值或最小值问题，读懂题目中的规律是解题的关键，另外特别注意规律中两个字母均为正数，在使用时要注意．
50．（2024下·八年级名校名卷）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简．
例如化简：，
因为且，
，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空：= ，= ；
(2)化简：；
(3)计算：．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键．
（1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案；
（2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案；
（3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案．
【详解】（1）因为且，
，
，
故答案为：；
因为且，
，
，
故答案为：；
（2）
因为且，
，
，
；
（3），
，，
，
，
．
…
…
…
…
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