2022-2023学年广东省深圳市南山区高三上学期期末数学试题及答案

这是一份2022-2023学年广东省深圳市南山区高三上学期期末数学试题及答案，共23页。试卷主要包含了考试结束后，考生上交答题卡，032B， 设复数，等内容，欢迎下载使用。

1.本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.
3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.
4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.
5.考试结束后，考生上交答题卡.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合中元素范围，再根据交集的概念可得答案.
详解】，
故选：C.
2. 命题“存在无理数，使得是有理数”的否定为（ ）
A. 任意一个无理数，都不是有理数B. 存在无理数，使得不是有理数
C. 任意一个无理数，都是有理数D. 不存在无理数，使得是有理数
【答案】A
【解析】
【分析】利用特称命题的否定是全称命题来得答案.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题得
命题“存在无理数，使得是有理数”的否定为“任意一个无理数，都不是有理数”
故选：A.
3. 若的展开式的各项系数和为8，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接令计算可得答案.
【详解】令得，解得
故选：C.
4. 已知随机变量的分布列如下：
若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据期望公式及概率和为1列方程求解.
【详解】由已知得
解得
故选：B.
5. 设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造对数函数和幂函数，利用其单调性来比较大小.
【详解】函数在上单调递增，，
函数在上单调递增，
故选：D.
6. 在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为（ ）
A. 0.032B. 0.048C. 0.05D. 0.15
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，分别求出此人来自三个地区的概率，再利用条件概率公式和全概率公式即可求得此人是流感患者的概率.
【详解】设事件为“此人是流感患者”，事件分别表示此人来自三个地区，
由已知可得，
，
由全概率公式得
故选：B
7. 若函数在区间上的最小值为，最大值为，则下列结论正确的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数在上为奇函数，数形结合得到最小值与最大值的和为0，推导出.
【详解】，由题意得：，故，
关于原点对称，且，
故为奇函数，
则，A正确，D错误；
故一定异号，所以，BC错误.
故选：A
8. 已知交于点的直线，相互垂直，且均与椭圆相切，若为的上顶点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，设，由条件联立直线与椭圆方程，得到点的轨迹是圆，从而得到结果.
【详解】当椭圆的切线斜率存在时，设，且过与椭圆相切的直线方程为：，
联立直线与椭圆方程，
消去可得，
所以，
即，
设为方程的两个根，由两切线相互垂直，所以，
所以，即，所以，
当椭圆的切线斜率不存在时，此时，，也满足上式，
所以，其轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又因为A为椭圆上顶点，所以，
当点位于圆的上顶点时，，
当点位于圆的下顶点时，，
所以，
故选:D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（ ）
A. 是纯虚数B. 对应的点位于第二象限
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据复数的概念判断A；算出判断B；算出判断C；求出判断D.
【详解】对于A：，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确；
对于B：，其在复平面上对应的点为，在第四象限，B错误；
对于C：，则，C错误；
对于D：，则，D正确.
故选：AD.
10. 下列等式能够成立的为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用两角和与差的正弦余弦公式及倍角公式逐一计算判断.
【详解】对于A：，A错误；
对于B：，B正确；
对于C：，C正确；
对于D：，D错误.
故选：BC.
11. 在平面直角坐标系中，已知点在双曲线的右支上运动，平行四边形的顶点，分别在的两条渐近线上，则下列结论正确的为（ ）
A. 直线，的斜率之积为B. 的离心率为2
C. 的最小值为D. 四边形的面积可能为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意可得：双曲线为等轴双曲线，即可得到离心率为，渐近线方程为，设点的坐标，根据渐近线互相垂直可得：平行四边形为矩形，利用点到直线的距离公式和基本不等式进而进行判断即可.
【详解】由题意可知：双曲线为等轴双曲线，则离心率为，故选项错误；
由方程可知：双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，点在渐近线上.因为渐近线互相垂直，由题意可知：平行四边形为矩形，则，，所以直线，的斜率之积为，故选项正确；
设点，由题意知：为矩形，则，由点到直线的距离公式可得：，，则当且仅当，也即为双曲线右顶点时取等，所以的最小值为，故选项正确；
由选项的分析可知：，因为四边形为矩形，所以，故选项错误，
故选：.
12. 如图，正方体的棱长为2，若点在线段上（不含端点）运动，则下列结论正确的为（ ）
A. 直线可能与平面相交
B. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值
C. 当时，与平面所成角最大
D. 当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A.利用面面平行的性质定理，判断A；
B.利用等体积转化，可判断B；
C.利用垂直关系的转化，结合线面角的定义，即可判断C；
D.首先确定点的位置，再利用球的性质，以及空间向量的距离公式，确定球心坐标，即可确定外接球的半径，即可判断D.
【详解】A.如图，，且平面，平面，
所以平面，同理平面，且平面，平面，
且，所以平面平面，且平面，
所以平面，故A错误；
B.如图，过点作于点，于点，根据面面垂直的性质定理可知，平面，平面，
，
.
故B正确；
C.因为平面，平面，所以，
且，且，平面，平面，
所以平面，且平面，
所以，即，点是的中点，此时线段最短，
又因为，且平面，平面，所以平面，即上任何一个点到平面的距离相等，设为，
设与平面所成角为，，,当时，线段最短，所以此时最大，所以最大，故C正确；
D. 的周长为，为定值，即最小时，的周长最小，如图，将平面展成与平面同一平面，当点共线时，此时最小，作，垂足为，，解得：，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
,，
连结，平面，且经过的中心，所以三棱锥外接球的球心在上，设球心，则,
即，解得：，
，所以外接球的表面积，故D正确.
附：证明平面，
因为平面，平面，所以，又因为，
且，平面，平面，所以平面,
平面，所以，同理，且，所以平面，且三棱锥是正三棱锥，所以经过的中心.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：本题考查空间几何的综合应用，难点是第四个选项的判断，充分利用数形结合和空间向量的综合应用，解决三棱锥外接球的球心问题.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】先利用求出，再利用模的坐标公式计算即可.
【详解】
，解得，
，
故答案为：.
14. 已知正实数，满足，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据基本不等式可得，再计算的范围即可求解.
【详解】因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以的最小值为，
故答案为：.
15. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为，，，，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】观察图形可知是首项为，公比为的等比数列，即可求得结果.
【详解】通过观察图形可以发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个图形周长的基础上增加了其周长的，
即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
即
因此.
故答案为：
16. 若关于的方程在区间上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，，将方程的根转换为函数零点问题，讨论函数单调性从而确定函数的变化趋势，结合零点存在定理，即可求得实数的取值范围.
【详解】解：设，，则，
令得，所以，
令，，所以在单调递增，则，
于是可得，当时，方程在无解，即恒成立，所以在单调递增，
又，所以此时方程在区间上无零点，不符合题意；
当时，方程在的根为或（舍），当，当，
所以在单调递减，在单调递增，
又，所以，又，，
设，，所以恒成立，则在上单调递增，故，则，
且当时，，即，
故，使得，即方程在区间上有且仅有一个实数根
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查方程的根与函数零点的关系，结合导数进行判断，属于中等题.解决本题的关键是，如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，构造函数，，利用导数确定单调性时要分类讨论.当，函数在单调递增，结合特殊值，得不符合题意，当时，得在单调递减，在单调递增，判断，，的符号，结合零点存在定理可得的范围.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 设数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，记的前项和为，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用计算整理得，再利用等比数列的通项公式求解即可；
（2）将变形为，利用裂项相消法求，进一步观察证明不等式.
【小问1详解】
①，
当时，②，
①-②得，即，
又当时，，解得，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
；
【小问2详解】
由（1）得，
，
因为，
18. 某学校有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了解学生的体质健康状况，按照性别采用分层抽样的方法抽取100人进行体质测试.其中男生有50人测试成绩为优良，其余非优良；女生有10人测试成绩为非优良，其余优良.
（1）请完成下表，并依据小概率值的独立性检验，分析抽样数据，能否据此推断全校学生体质测试的优良率与性别有关.
（2）100米短跑为体质测试的项目之一，已知男生该项成绩（单位：秒）的均值为14，方差为1.6；女生该项成绩的均值为16，方差为4.2，求样本中所有学生100米短跑成绩的均值和方差.
附：，其中.
参考公式：
【答案】（1）列联表见解析，根据小概率事件的独立性检验，不可以认为全校学生体质测试的优良率与性别有关.
（2）均值；方差
【解析】
【分析】（1）根据题意，由独立性检验的计算公式，代入计算即可判断；
（2）根据题意，可得男生，女生的人数，结合均值方差的性质，代入计算即可得到结果.
【小问1详解】
由分层抽样的定义可得，抽取的100人中有60名男生，40名女生，列联表如下：
，
根据小概率事件的独立性检验，不可以推断全校学生体质测试的优良率与性别有关.
【小问2详解】
男生人数，女生人数，则设男生的成绩为女生的成绩为
所以均值为，
所以，
所以样本中所有学生100米短跑成绩的方差为
19. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，，且为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，且，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先根据已知证明，即可得到，又通过即可证明，即可证明答案；
（2）设，，先通过已知与勾股定理求出，建立空间直角坐标系，即可通过二面角的向量求法求出答案.
【小问1详解】
证明：侧面为矩形，
，
，、，且，
，
，
，且平面平面，
，
，
；
【小问2详解】
设，，
由题意可得，
，
，
为的中点，
，
，解得，
即，，
根据第一问与题意可得：，，，
则以C为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
由题意可得平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，且由图得为锐角，
则.
20. 在中，，，为边上一点.
（1）若，求的值；
（2）若，且，求的面积.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）在、中分别利用正弦定理，结合已知条件可求得的值；
（2）由平面向量的线性运算可得出，利用平面向量的数量积运算可得出的值，利用同角三角函数的平方关系以及三角形的面积公式可求得结果.
小问1详解】
解：在中，由正弦定理可得，可得，
在中，由正弦定理得，可得，
因此，
【小问2详解】
解：因为，则，即，，
所以，，
即，即，解得，
，故为钝角，所以，，
故.
21. 已知直线与抛物线交于，两点，且与轴交于点，过点，分别作直线的垂线，垂足依次为，，动点在上.
（1）当，且为线段的中点时，证明：；
（2）记直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取的中点,连接.利用几何法，分别证明出,为的角平分线，即可证明；
（2）利用“设而不求法”分别表示出，解方程求出.
【小问1详解】
如图示：
当时，恰为抛物线的焦点.
由抛物线的定义可得：.
取的中点,连接,则为梯形的中位线，所以.
因为为的中点,所以,所以.
在中，由可得：.
因为为梯形的中位线，所以，所以，
所以.
同理可证：.
在梯形中，,
所以，所以，
所以,即.
小问2详解】
假设存在实数，使得.
由直线与抛物线交于，两点，可设.
设,则，消去可得：，所以，.
则
.
而.
所以，
解得：.
22. 已知定义在上的函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）分类讨论，答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论解和作答.
（2）当时，可得为任意正数，当时，变形给定不等式，构造函数并利用单调性建立不等式，分离参数求解作答.
【小问1详解】
函数，，求导得：，
当时，，函数在上单调递增，
当时，由得，由得，则在上递增，在上递减，
所以当时，函数递增区间是；
当时，函数的递增区间是，递减区间是.
【小问2详解】
因为，且当时，不等式恒成立，
当时，，恒成立，因此，
当时，，
令，原不等式等价于恒成立，
而，即函数在上单调递增，因此，
即，令，，
当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，
，因此，
综上得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
1
2
性别
体质测试
合计
优良
非优良
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
体质测试
合计
优良
非优良
男生
50
10
60
女生
30
10
40
合计
80
20
100