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湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题
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这是一份湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题，共6页。试卷主要包含了 已知函数，则， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
2. 的内角，，所对的边分别是，，，若，，，则等于（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】D
3. 已知平面，直线m，n满足，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
4. 欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
5. 如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】D
6. 在中，点D是线段(不包括端点)上的动点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
7. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8. 已知，，，若，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知函数，则（ ）
A. B. 的最小值为2
C. 为偶函数D. 在上单调递增
【答案】BC
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若复数，满足，则
C. 若复数为纯虚数，则
D. 若复数满足，则的最大值为
【答案】AD
11. 已知，，，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若且，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABC
12. 点是正方体中侧面正方形内的一个动点，则下面结论正确的是（ ）
A. 满足点的轨迹为线段
B. 点存在无数个位置满足直线平面
C. 在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
D. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积的最大值为
【答案】ABD
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知虚数单位，复数满足，则___________.
【答案】
14. 写出一个最小正周期为1的奇函数___________.
【答案】
15. 已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个内接圆柱.当此圆柱的侧面积最大时，此圆柱的体积等于___________.
【答案】
16. 的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的取值范围是___________.
【答案】
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知复数，，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是关于的方程的一个根，求实数与的值.
【答案】（1）；（2）或.
18. 如图，已知正四棱柱中，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）过作正四棱柱的截面，使得截面平行于平面，在正四棱柱表面应该怎样画线？请说明理由，并求出截面的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）理由见解析，截面面积为.
19. 在复平面内，是原点，，对应的复数分别为，，为虚数单位.设函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数在区间上有2个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
20. 如图1，在直角梯形中，，，且.现以为一边向梯形外作矩形，然后沿边将矩形翻折，使，如图2.
（1）求证：平面；
（2）若多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；
21. 从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年货币.如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设，五个正方形的面积和为.
（1）求面积关于的函数表达式，并求的范围；
（2）求面积最小值，并求出此时的值.
【答案】（1）；的取值范围为，；（2）；.
22. 已知函数，.
（1）若关于方程有两个不等根，()，求的值；
（2）是否存在实数，使得对任意，关于方程在区间上总有3个不等根，，，若存在，求出实数与的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）1，（2）存在，的取值范围为，的范围为
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
2. 的内角，，所对的边分别是，，，若，，，则等于（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】D
3. 已知平面，直线m，n满足，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
4. 欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
5. 如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】D
6. 在中，点D是线段(不包括端点)上的动点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
7. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1，，，则其外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8. 已知，，，若，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知函数，则（ ）
A. B. 的最小值为2
C. 为偶函数D. 在上单调递增
【答案】BC
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若复数，满足，则
C. 若复数为纯虚数，则
D. 若复数满足，则的最大值为
【答案】AD
11. 已知，，，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若且，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABC
12. 点是正方体中侧面正方形内的一个动点，则下面结论正确的是（ ）
A. 满足点的轨迹为线段
B. 点存在无数个位置满足直线平面
C. 在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
D. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积的最大值为
【答案】ABD
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知虚数单位，复数满足，则___________.
【答案】
14. 写出一个最小正周期为1的奇函数___________.
【答案】
15. 已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个内接圆柱.当此圆柱的侧面积最大时，此圆柱的体积等于___________.
【答案】
16. 的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的取值范围是___________.
【答案】
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知复数，，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若是关于的方程的一个根，求实数与的值.
【答案】（1）；（2）或.
18. 如图，已知正四棱柱中，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）过作正四棱柱的截面，使得截面平行于平面，在正四棱柱表面应该怎样画线？请说明理由，并求出截面的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）理由见解析，截面面积为.
19. 在复平面内，是原点，，对应的复数分别为，，为虚数单位.设函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数在区间上有2个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
20. 如图1，在直角梯形中，，，且.现以为一边向梯形外作矩形，然后沿边将矩形翻折，使，如图2.
（1）求证：平面；
（2）若多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；
21. 从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年货币.如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设，五个正方形的面积和为.
（1）求面积关于的函数表达式，并求的范围；
（2）求面积最小值，并求出此时的值.
【答案】（1）；的取值范围为，；（2）；.
22. 已知函数，.
（1）若关于方程有两个不等根，()，求的值；
（2）是否存在实数，使得对任意，关于方程在区间上总有3个不等根，，，若存在，求出实数与的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）1，（2）存在，的取值范围为，的范围为
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