2023-2024学年内蒙古鄂尔多斯市东胜重点中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古鄂尔多斯市东胜重点中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在如图给出的运动图片中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. x4⋅x2=x8B. (−x3y)3=−x9y3
C. x6÷x2=x3(x≠0)D. (−2x)2=−4x2
3.木工要做一个三角形支架，现有两根木条的长度分别为12cm和5cm，则不能作为第三根木条长度的为( )
A. 6cmB. 9cmC. 13cmD. 16cm
4.如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AED的度数是( )
A. 60°
B. 75°
C. 105°
D. 85°
5.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，共产生金牌481枚，银牌480枚，铜牌631枚，奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，别具一格，具有很高的辨识度，请问这个八边形的内角和是多少度？( )
A. 720°B. 900°C. 1080°D. 1260°
6.如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，则下列结论错误的是( )
A. ∠ABC=60°
B. ∠BFC=80°
C. ∠BOA=125°
D. ∠DAE=10°
7.已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，比较图2与图1的阴影部分的面积，可得等式( )
A. (a+b)(a−b)=a2−b2B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a−b)2=a2−2ab+b2D. a(a+b)=a2+ab
8.小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是( )
A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形的三条高交于一点
D. 三角形三边的垂直平分线交于一点
9.如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，且∠OAB=90°，A(−1,3)则点B的坐标是( )
A. (1,4)
B. (2,4)
C. (3,4 )
D. (4,4)
10.如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P(P在格点上)，使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为( )
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步.已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为______．
12.若分式1x+1有意义，则实数x的取值范围是 ．
13.因式分解：a3b−ab=______．
14.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AC于点D，过点D作DM⊥AB于点M，若BC=3，AC=4，AB=5，则△AMD的周长为______．
15.如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…在x轴正半轴上，点B1，B2，B3…在射线OE上，∠EOA1=30°，若A1(1,0)，且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，则线段B2023A2024的长度为______．
16.如图，等腰△ABC中，AC=BC，△BDC和△ACE分别为等边三角形，AC与BD相交于点M，BC与AE相交于点N，AE与BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G.则下列结论：①△CDM≌△CEN；②AF=BF：③CM⊥BD；④G为AB中点.正确的有______(填序号)．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
计算：
(1)(2x+y)(2x−y)+(x−y)2；
(2)先化简分式：(1−1a−1)÷a−2a2−2a+1，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值；
(3)解分式方程：4−x3−x=3x−3−1．
18.(本小题8分)
如图，已知.△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(2,0)，C(4,3)．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′并直接写出△A′B′C′三个顶点的坐标；
(2)x轴上是否存在点M，使AM+CM的值最小，若有，请在图中画出点M的位置，并直接写出点M的坐标．
19.(本小题8分)
如图1，点C在线段AB上，点D，E分别在AB的上方和下方，且AD/​/BE，AD=BC，______．
(1)请你从①CD=EC，②AC=BE中选择一个合适的条件填入上述横线中，使得△ACD≌△BEC(只填序号)，并给出证明；
(2)在(1)的条件下，连接DE，作CF平分∠DCE交DE于点F，如图2，试判断CF与DE的位置关系，并给出证明．
20.(本小题8分)
完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：∵a+b=3，ab=1，
∴(a+b)2=9，2ab=2．
∴a2+b2+2ab=9，
∴a2+b2=7．
根据上面的解题思路与方法还可以解决下面的几何问题：
如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两侧作边长为m的正方形BCFG与边长为n的正方形ACDE，设AB=8，两正方形的面积和为40，求△AFC的面积．
21.(本小题10分)
开学初，学校要补充部分体育器材，从超市购买了一些足球和篮球.其中购买足球的总价为1000元，购买篮球的总价为1800元，且购买篮球的数量是购买足球数量的2倍.已知购买一个足球比一个篮球贵10元．
(1)求购买足球和篮球的单价各是多少元；
(2)为响应“足球进校园”的号召，学校计划再购买30个足球.恰逢另一超市对A、B两种品牌的足球进行降价促销，销售方案如表所示.如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3000元.那么最多可购买多少个A品牌足球？
22.(本小题12分)
阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：
(1)请你完成证明过程．
已知：如图1，在“筝形”ABCD中，AB=AD，CB=CD.求证：∠B=∠D．
(2)写出筝形的一个判定方法(定义除外)(用文字语言叙述)．
(3)如图3，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，点D、E分别是边BC、AB上的动点，当四边形AEDC为筝形时，∠BDE的度数为______．
23.(本小题12分)
在学习完等腰三角形后，热爱研究的小明同学，把一个等腰直角三角形ABC和一个等边三角形ACD按如图所示的位置放置，如图1，并连接BD，之后他提出了以下几个问题，请同学们思考并解答他提出的这几个问题．
(1)求∠CBD的度数；
(2)若AC=4，求△BCD的面积；
(3)若点E为BD的中点，如图2，连接CE并延长交AB于点F，连接DF，求证：EF=AF+CE．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线(竖直穿过身体中心的直线)，图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、x4⋅x2=x6，原计算错误，不符合题意；
B、(−x3y)3=−x9y3，正确，符合题意；
C、x6÷x2=x4，原计算错误，不符合题意；
D、(−2x)2=4x2，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
根据同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方法则分别计算．
本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】A
【解析】解：由三角形的三边关系得：12−5即7∴只有6cm不适合．
故选：A．
根据三角形的三边关系，则第三根木条的取值范围是大于两边之差7，而小于两边之和17．
考查了三角形的三边关系，关键是根据三角形的三边关系得出范围解答．
4.【答案】C
【解析】解：由题意得：∠BCD=45°，∠ACB=30°，∠D=90°，
∴∠DCE=∠BCD−∠ACB=15°，
∵∠AED是△DCE的外角，
∴∠AED=∠DCE+∠D=105°．
故选：C．
由题意可得∠BCD=45°，∠ACB=30°，∠D=90°，从而可求∠DCE的度数，再利用三角形的外角性质即可求∠AED的度数．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意得：八边形的内角和是(8−2)×180°=1080°．
故选：C．
利用多边形内角和定理，即可求出八边形的内角和．
本题考查了多边形内角与外角，牢记“多边形内角和是(n−2)⋅180° (n≥3且n为整数)”是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴∠ABC=180°−∠BAC−∠C
=180°−50°−70°
=60°，故结论A正确；
∵BF是角平分线，
∴∠ABF=12∠ABC=30°．
∴∠BFC=∠BAC+∠ABF
=50°+30°
=80°，故结论B正确；
∵AE是三角形的角平分线，
∴∠BAE=12∠BAC=25°．
∵∠BAE+∠ABF+∠AOB=180°，
∴∠BOA=180°−∠BAE−∠ABF
=180°−25°−30°
=125°，故结论C正确；
∵∠ABC+∠BAE=90°，
∴∠BAD=30°．
∴∠DAE=∠BAD−∠BAE
=30°−25°
=5°，故结论D错误．
故选：D．
利用三角形的内角和定理、角平分线的性质、三角形的外角与内角的关系等知识点逐个推理得结论．
本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”、角平分线的性质等知识点是解决本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由图1得：正方形ABCD的面积是a2，正方形FGCH的面积是b2，
∴阴影部分的面积是a2−b2，
由图2得：AH=AB+FH=a+b，AE=AD−DE=a−b，
∴长方形AHDE的面积即阴影部分的面积是(a+b)(a−b)，
∴(a+b)(a−b)=a2−b2，
故选：A．
图1阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去正方形FGCH的面积，图2阴影部分的面积等于AH乘以AE，根据图1图2阴影部分的面积相等列等式．
此题考查了平方差公式与几何图形，平方差公式的推导，解题的关键是数形结合用代数式分别表示出图1和图2中阴影部分面积．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，点P到射线OA的距离也是直尺的宽度，
∴点P到射线OB，OA的距离相等，
∴点P在∠BOA的平分线上(在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上)．
故选：A．
由题意可知，点P到射线OB，OA的距离相等，则点P在∠BOA的平分线上，即可得出答案．
本题考查角平分线的性质，理解题意，掌握角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解答本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：过点A作CD/​/y轴，过点B作BC/​/x轴，与CD相交于点C，交y轴于点E，
∵∠OAB=90°，
∴∠DAO=∠CBA=90°−∠CAB，
在△ADO和△BCA中，
∠DAO=∠CBA∠ADO=∠BCAAB=AO，
∴△ADO≌△BCA(AAS)，
∴AD=BC，AC=OD，
∵A(−1,3)，
∴AD=BC=3，AC=OD=1，
∴C(−1,4)，BE=BC−CE=1，
∴B(2,4)．
故选：B．
过点A作CD/​/y轴，过点B作BC/​/x轴，与CD相交于点C，交y轴于点E，证明△ADO≌△BCA得到AD=BC=3，AC=OD=1，BE=BC−CE=1，继而得到点B坐标．
本题考查了坐标与图形性质，证明△ADO≌△BCA是关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图：
分三种情况：
当MP=MN时，以点M为圆心，以MN长为半径作圆，则点P1，P2即为所求；
当NP=NM时，以点N为圆心，以NM长为半径作圆，则点P3即为所求；
当PM=PN时，作线段MN的垂直平分线，则点P4，P5即为所求；
综上所述：使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为5个，
故选：C．
分三种情况：当MP=MN时，当NP=NM时，当PM=PN时，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．
11.【答案】2.8×10−8
【解析】解：0.000000028=2.8×10−8．
故答案为：2.8×10−8．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
12.【答案】x≠−1
【解析】解：根据题意，得
x+1≠0，
解得x≠−1；
故答案是：x≠−1．
根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
13.【答案】ab(a+1)(a−1)
【解析】解：a3b−ab
=ab(a2−1)
=ab(a+1)(a−1)．
故答案为：ab(a+1)(a−1)．
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
14.【答案】6
【解析】解：由作法得BD平分∠ABC，
∵DC⊥BC，DM⊥BA，
∴DC=DM，
在Rt△BCD和Rt△BMD中，
BD=BDDC=DM，
∴Rt△BCD≌Rt△BMD(HL)，
∴BM=BC=3，
∴AM=AB−BM=5−3=2，
∴△AMD的周长=AM+AD+DM=AM+AD+DC=AM+AC=2+4=6．
故答案为：6．
先利用基本作题得到BD平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到DC=DM，再证明Rt△BCD≌Rt△BMD得到BM=BC=3，则AM=2，然后利用等线段代换得到△AMD的周长=AM+AC．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
15.【答案】22022．
【解析】解：∵A1(1,0)，
∴OA1=1，
∵△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，
∴B1A2=A1B1，∠B2A1A2=∠B2A2A1=∠B2A3A2=∠A1B1A2=60°，
∵∠EOA1=30°，
∴∠OB1A1=30°，
∴A1B1=OA1=A2B1=1，
同理：A2B2=OA2=2，
A3B3=OA3=4，
A4B4=OA4=8，
……，
AnBn=OAn=2n−1，
∴B2023A2024=B2023A2023=22022．
故答案为：22022．
先根据等腰三角形的性质求出AnBn的值，找出规律，再代入求解．
本题考查了点的坐标规律，找到变化规律是解题的关键．
16.【答案】①②④
【解析】解：∵△BDC和△ACE都为等边三角形，
∴CD=BC=BD，AE=CE=AC，∠D=∠DCB=∠ACE=∠E=60°，
∴∠DCM=∠ECN，
∵AC=BC，
∴CD=CE，
∴△CDM≌△CEN(ASA)，故①正确；
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵△AEC和△BCD为等边三角形，
∴∠CAE=∠CBD，
∴∠FAG=∠FBG，
∴AF=BF，故②正确，
又∵AC=BC，
∴CG垂直平分AB，
∴G为AB的中点．故④正确；
∵∠ACB不一定为30°，
∴CM不一定垂直BD，故③错误；
故答案为：①②④．
由“ASA”可证△CDM≌△CEN，故①正确；由等腰三角形的性质和等边三角形的性质可求∠FAG=∠FBG，可得AF=BF，故②正确，由线段垂直平分线的判定可证CG垂直平分AB，可得G为AB的中点．故④正确；即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(2x+y)(2x−y)+(x−y)2
=4x2−y2+x2−2xy+y2
=5x2−2xy；
(2)(1−1a−1)÷a−2a2−2a+1
=a−1−1a−1÷a−2(a−1)2
=a−2a−1⋅(a−1)2a−2
=a−1，
要使分式有意义，必须a−1≠0且a−2≠0，
所以a不能为1和2，
取a=0，
原式=0−1=−1；
(3)4−x3−x=3x−3−1，
方程两边都乘3−x，得4−x=−3−(3−x)，
4−x=−3−3+x，
−x−x=−3−3−4，
−2x=−10，
x=5，
检验：当x=5时，3−x≠0，
所以分式方程的解是x=5．
【解析】(1)先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项即可；
(2)先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出不能为1和2，取x=0，最后代入求出答案即可；
(3)方程两边都乘3−x得出4−x=−3−(3−x)，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了整式的混合运算，分式的化简求值和解分式方程等知识点，能正确根据整式的运算法则进行计算是解(1)的关键，能正确根据分式的运算法则进行计算是解(2)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(3)的关键．
18.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．

A′(0,1)，B′(−2,0)，C′(−4,3)．
(2)点M即为所求：
．
点M的坐标为(1,0)．
【解析】(1)根据轴对称的性质作图，即可得出答案；
(2)作A关于x轴对称点A1，连接A1C，与x轴交点即为所求的点M．
本题考查作图−轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19.【答案】②
【解析】解：(1)选择②．
证明：∵AD/​/BE，
∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中，
AD=BC∠A=∠BAC=BE，
∴△ACD≌△BEC(SAS)；
(2)CF与DE的位置关系为CF⊥DE．
证明：∵△ACD≌△BEC，
∴CD=CE，
又∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
(1)由平行线的性质得出∠A=∠B，根据SAS可证明△ACD≌△BEC；
(2)由全等三角形的性质可得出CD=CE，由等腰三角形的性质可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明△ACD≌△BEC是解题的关键．
20.【答案】解：∵四边形ACDE，四边形BCFG都是正方形，
∴BC=CF，∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°，
∵两正方形的面积和为40，
∴AC2+CF2=40，
∵AB=8，
∴AC+BC=8，
即AC+CF=8，
∴AC2+CF2=40，
(AC+CF)2−2AC⋅CF=40，
82−2AC⋅CF=40，
解得：AC⋅CF=12，
∴S△ACF=12AC⋅CF=6．
【解析】由题意可得AC2+CF2=40，AC+CF=8，∠ACF=90°，利用完全平方公式可求得AC⋅CF的值，从而可求△ACF的面积．
本题主要考查完全平方公式，解答的关键是利用完全平方公式求得AC⋅CF的值．
21.【答案】解：(1)设购买蓝球的单价为x元，则购买足球的单价为(x+10)元，
由题意得：1800x=2×1000x+10，
解得：x=90，
经检验，x=90是原方程的解，且符合题意，
∴x+10=90+10=100，
答：购买篮球的单价为90元，购买足球的单价为100元；
(2)设可购买m个A品牌足球．则购买(30−m)个B品牌足球，
由题意得：150×0.8m+100×0.9(30−m)≤3000，
解得：m≤10，
∴m的最大值为10，
答：最多可购买10个A品牌足球．
【解析】(1)设购买蓝球的单价为x元，则购买足球的单价为(x+10)元，根据“购买足球的总价为1000元，购买篮球的总价为1800元，且购买篮球的数量是购买足球数量的2倍”，列出分式方程，解方程即可；
(2)设可购买m个A品牌足球．则购买(30−m)个B品牌足球，根据标价与优惠方案和“购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3000元”，列出一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】90°或30°
【解析】(1)证明：如图1，连接AC，
在△ABC和△ADC中，
AB=ADCB=CDAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠B=∠D．
(2)有一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是筝形，
已知：如图2，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB=AD，AC⊥BD，
求证：四边形ABCD是筝形，
证明：∵AB=AD，AC⊥BD于点O，
∴OB=OD，
∴AC垂直平分BD，
∴CB=CD，
∴四边形ABCD是筝形．
注：答案不唯一，如：有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形，
已知：如图2，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC垂直平分BD，
求证：四边形ABCD是筝形，
证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，CB=CD，
∴四边形ABCD是筝形．
(3)如图3，四边形AEDC为筝形，且DE=AE，DC=AC，连接CE，
在△DCE和△ACE中，
DE=AEDC=ACCE=CE，
∴△DCE≌△ACE(SSS)，
∴∠CDE=∠A=90°，
∴∠BDE=90°；
如图4，四边形AEDC为筝形，且AE=AC，DE=DC，连接CE，
∵∠A=90°，∠B=30°，
∴∠ACB=90°−∠B=60°，
∵∠AEC=∠ACE，∠DEC=∠DCE，
∴∠AED=∠AEC+∠DEC=∠ACE+∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠BDE=∠AED−∠B=60°−30°=30°，
综上所述，∠BDE的度数为90°或30°，
故答案为：90°或30°．
(1)连接AC，由AB=AD，CB=CD，AC=AC，根据“SSS”证明△ABC≌△ADC，得∠B=∠D；
(2)有一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形，则必有一条对角线垂直平分另一条对角线，所以这个四边形为两组邻边分别相等的四边形，所以它是筝形；此外，如果四边形有一条对角线垂直平分别一条对角线，则它是两组邻边分别相等的四边形，所以它是筝形，写出其中一种情况即可；
(3)分两种情况，一是DE=AE，DC=AC，连接CE，可证明△DCE≌△ACE，得∠CDE=∠A=90°，则∠BDE=90°；二是AE=AC，DE=DC，连接CE，则∠AEC=∠ACE，∠DEC=∠DCE，可证明∠AED=∠ACB=60°，则∠BDE=∠AED−∠B=30°．
此题重点考查新定义问题的求解、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
23.【答案】(1)解：如图1，∵△ACD是等边三角形，
∴DC=AC，∠ACD=60°，
∵BC=AC，∠ACB=90°，
∴DC=BC，∠BCD=∠ACD+∠ACB=60°+90°=150°，
∴∠CBD=∠CDB=12×(180°−150°)=15°，
∴∠CBD的度数是15°．
(2)解：如图1，作DH⊥BC交BC的延长线于点H，则∠H=90°，
∵∠HCD=∠CBD+∠CDB=15°+15°=30°，DC=AC=BC=4，
∴DH=12DC=12×4=2，
∴S△BCD=12BC⋅DH=12×4×2=4，
∴△BCD的面积为4．
(3)证明：如图2，作DG/​/BC交EF于点G，则∠GDE=∠CBD=∠CDB=15°，
∴∠CDG=∠CDB+∠GDE=30°，
∵∠ADC=60°，
∴∠ADG=∠ADC−∠CDG=30°，
∴DC=BC，点E为BD的中点，
∴CE⊥BD，
∴CE垂直平分BD，∠DEG=∠BEF=∠DEC=90°，
∴DF=BF，
∵∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠FDB=∠FBD=45°−15°=30°，
∴∠DFG=∠BFE=90°−30°=60°，
∴∠DFA=180°−2×60°=60°，
∴∠DFG=∠DFA，
∵∠ADF=∠ADC−∠FDB−∠CDB=15°，
∴∠GDF=∠ADG−∠ADF=15°=∠ADF，
在△DGF和△ADF中，
∠DFG=∠DFADF=DF∠GDF=∠ADF，
∴△DGF≌△ADF(ASA)，
∴GF=AF，
在△DEG和△DEC中，
∠DEG=∠DECDE=DE∠GDE=∠CDE，
∴△DEG≌△DEC(ASA)，
∴GE=CE，
∴EF=GF+GE=AF+CE．
【解析】(1)由等边三角形的性质得DC=AC，∠ACD=60°，由BC=AC，∠ACB=90°，得DC=BC，∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°，则∠CBD=∠CDB=15°；
(2)作DH⊥BC交BC的延长线于点H，由∠HCD=∠CBD+∠CDB=30°，DC=AC=BC=4，得DH=12DC=2，则S△BCD=12BC⋅DH=4；
(3)作DG/​/BC交EF于点G，则∠GDE=∠CBD=∠CDB=15°，所以∠CDG=∠CDB+∠GDE=30°，则∠ADG=∠ADC−∠CDG=30°，由DC=BC，点E为BD的中点，得CE垂直平分BD，则DF=BF，所以∠FDB=∠FBD=30°，则∠DFG=∠BFE=60°，所以∠DFA=60°=∠DFG，而∠ADF=∠ADC−∠FDB−∠CDB=15°，所以∠GDF=∠ADG−∠ADF=15°=∠ADF，可证明△DGF≌△ADF，得GF=AF，再证明△DEG≌△DEC，得GE=CE，所以EF=GF+GE=AF+CE．
此题重点考查等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．种类
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用全等三角形研究“筝形”
研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法．
在人教版八年级上册数学教材P53的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
根据学习几何图形的经验，我对如图1的筝形ABCD(AB=AD,BC=CD,AB≠BC)的性质和判定方法进行了探究．
(1)研究图形的性质，就是探究图形的构成元素(边、角、对角线)
具有怎样的特征.通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，我首先发现了这类“筝形”有一组对角相等，并进行了证明．
已知：如图1，在“筝形”ABCD中，AB=AD，CB=CD．
求证：∠B=∠D．
证明：
我还发现了这类“筝形”的其他性质：
如图2，①AC垂直平分BD；②AC平分∠BAD和∠BCD；…
(2)继性质探究后，我又从边、角、对角线性质的逆命题等角度进行探究，得到“筝形”的判定方法有…