2023-2024学年江西省南昌市七年级（上）期末数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年江西省南昌市七年级（上）期末数学试卷-普通用卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−3的倒数是( )
A. −3B. 3C. 13D. −13
2.数据显示2022年末南昌市常住人口约654万人，654万可以用科学记数法表示为( )
A. 65.4×105B. 6.54×106C. 6.54×107D. 6.54×108
3.下列等式变形正确的是( )
A. 若−2x=1，则x=−2
B. 若3x=2x+5，则3x+2x=5
C. 若x+x−23=1，则3x+(x−2)=1
D. 若2(x−1)+1=x，则2(x−1)=x−1
4.程大位《算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分一个，正好分完.试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得( )
A. 3x+100−x3=100B. 3x−100−x3=100
C. x3−3(100−x)=100D. x3+3(100−x)=100
5.如图，点A，B，C在直线l上，下列说法正确的是( )
A. 点C在线段AB上B. 点A在线段BC的延长线上
C. 射线BC与射线CB是同一条射线D. AC=BC+AB
6.有5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形(阴影部分)，请你在图中的拼接图形上再拼接一个正方形，使新拼接成的图形折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，在如图所示的A，B，C，D四个位置中，能够选择的位置有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.比较两数大小：−|−3|______2.(填“<”，“=”或“>”)
8.若单项式5xm+1y3与−3x2yn的和仍是单项式，则m−n= ______．
9.已知关于x的方程6+a(x−3)=2a的解是x=2，则a的值是______．
10.往返于甲、乙两地的火车，中途停靠一站，需要准备______种不同的车票．
11.钟面上12点30分，时针与分针的夹角是______度。
12.把1～100这100个自然数按如图所示的数阵排列，用形如“
”的框架框住数阵中的五个数，并计算框架框住的五个数之和，现给出以下四个数：①63；②100；③140；④465其中不可能是这个框架框住的五个数之和的是______.(填序号)
三、解答题：本题共9小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
计算：
(1)−2×(−3)+(−2)3÷4；
(2)(5a−3b)−3(a−2b)．
14.(本小题6分)
解方程：
(1)20−2x=−x−1；
(2)1+x−12=x+26．
15.(本小题6分)
如图，延长线段AB到C，使BC=3AB，点D是线段BC的中点，如果CD=3cm．
(1)求AC的长度．
(2)若点E是线段AC的中点，求ED的长度．
16.(本小题6分)
如图，∠AOB是直角，OC，OD是∠AOB内的两条射线，其中OD平分∠BOC．
(1)当∠AOC=40°时，求∠AOD的度数；
(2)当∠AOC=4∠DOC时，求∠AOD的度数．
17.(本小题6分)
在同一平面内有四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题．
(1)在图1中，通过作图找出点M，使得MA+MB+MC+MD最小(保留作图痕迹)；
(2)如图2，A，B，C，D四点在同一条直线上，若想要在该直线上找一点N，使得NA+NB+NC+ND最小，则N应在线段______上.
18.(本小题8分)
我们定义：对于有理数数a和b，若a+b=ab，则称a，b互为“和积友好数”.如：因为−3+34=−3×34，所以−3和34互为“和积友好数”．
(1)下列各组数中，互为“和积友好数”的是______；(填序号)
①−3和32
②−12和13
(2)若−5和x+1互为“和积友好数”，求x的值；
(3)若m和n互为“和积友好数”，求式子3m2+2m−2(mn−3)+(2n−3m2)的值．
19.(本小题8分)
某班组织交通安全知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答.下表记录了其中5位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题：
(1)这次竞赛中答对一题得______分，答错一题扣______分；
(2)若参赛者F共答对了m题，则他的得分是______分；(用含m的式子表示)
(3)若参赛者G比参赛者H多答对2题，两人总得分为128分，求参赛者H答对了几道题？
20.(本小题8分)
如图1，将两块直角三角板AOB与COD的直角顶点O重合在一起，其中直角边OB在∠COD内部．

(1)如图2，若∠AOC=20°，则∠BOC= ______°，∠AOD= ______°；
(2)若∠AOC=α(0°<α<90°)．
①∠AOD和∠BOC有什么关系？请说明理由；
②当∠AOD=4∠BOC时，求α的度数．
21.(本小题10分)
已知线段AB=20cm．
(1)如图1，点P沿线段AB从点A向点B以3cm/s的速度运动，同时点Q沿线段AB从点B向点A以2cm/s的速度运动，若运动时间为t秒，当P，Q两点相遇时，t= ______；
(2)在(1)的条件下，当P，Q两点在运动过程中相距8cm时，求运动时间t的值；
(3)如图2，AO=5cm，PO=3cm，当点P在线段AB的上方，且∠POB=60°时，点P绕着点O以10度/秒的速度在圆周上顺时针旋转一周停止，同时点Q沿线段AB从点B运动到点A，当A，B，P，Q四点共线时，PQ=14BQ，求点Q所有可能的运动速度.(直接写出结果)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键.根据倒数的定义即可得到一个数的倒数．
【解答】
解：−3的倒数是−13，
故选：D．
2.【答案】B
【解析】解：654万=6540000=6.54×106．
故选：B．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.−2x=1，
等式两边都除以−2，得x=−12，故本选项不符合题意；
B.3x=2x+5，
等式两边都减去2x，得3x−2x=5，故本选项不符合题意；
C.x+x−23=1，
等式两边都乘3，得3x+(x−2)=3，故本选项不符合题意；
D.2(x−1)+1=x，
等式两边都减1，得2(x−1)=x−1，故本选项符合题意．
故选：D．
根据等式的性质逐个判断即可．
本题考查了等式的基本性质，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵大、小和尚共100人，且大和尚有x人，
∴小和尚有(100−x)人．
根据题意得：3x+100−x3=100．
故选：A．
根据大、小和尚人数间的关系，可得出小和尚有(100−x)人，再利用馒头的个数=3×大和尚人数+13×小和尚人数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵点C在线段AB的延长线上，
∴选项A不符合题意；
∵点A在线段BC的反向延长线上，
∴选项B不符合题意；
∵射线BC与射线CB是两条射线，
∴选项C不符合题意；
∵AC=BC+AB，
∴选项D符合题意．
故选：D．
根据两点间的距离的含义和求法，以及直线、射线和线段的认识，逐项判断即可．
此题主要考查了两点间的距离的含义和求法，以及直线、射线和线段的认识，要熟练掌握．
6.【答案】C
【解析】解：如图所示：
根据立方体的展开图可知，不能选择图中A的位置接正方形．
故选：C．
结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可．
此题主要考查了应用与设计作图．正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握，不能死记硬背．
7.【答案】<
【解析】解：∵−|−3|=−3，
∴−|−3|<2．
故答案为：<．
首先求出−|−3|的值，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
8.【答案】−2
【解析】解：∵单项式5xm+1y3与−3x2yn的和仍是单项式，
∴m+1=2，n=3，
解得m=1，
∴m−n=1−3=−2．
故答案为：−2．
根据同类项的定义求出m、n的值，进而可得出结论．
本题考查的是合并同类项，熟知合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变是解题的关键．
9.【答案】2
【解析】解：把x=2代入方程得：6+a(2−3)=2a，
解得：a=2．
故答案为：2．
把x=2代入方程即可得到一个关于a的方程，解方程求得a的值即可．
本题考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键．
10.【答案】6
【解析】解：∵中途停靠一站，共有三个站点，每两个站点之间往返需要两种车票，
∴需要准备3×2=6种不同的车票．
故答案为：6．
共有三个站点，每两个站点之间往返需要两种车票，由此即可得到答案．
本题考查直线、射线、线段，关键是明白每两个站点之间往返需要两种车票．
11.【答案】165
【解析】解：12点半时，时针指向1和12中间，分针指向6，
钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，半个格是15°，
因此12点半时，分针与时针的夹角正好是30°×5+15°=165°。
故答案为165。
画出图形，利用钟表表盘的特征解答。
本题考查的是钟表问题，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°。借助图形，更容易解决。
12.【答案】①③④
【解析】解：设中间的数字为x，则这5个数字的和为：x+(x−8)+(x+8)+(x−6)+(x+6)=5x，
所以这个框架框住的五个数之和的是5的倍数，故①不可能，
100÷5=20，可以，
140÷5=28，而28不能是中间数，故③不可能，
465÷5=93，而93不能为中间数，故④不可能，
故答案为：①③④．
先计算这5个数的和，找出规律，再计算求解．
本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
13.【答案】解：(1)原式=6+(−8)÷4
=6−2
=4；
(2)原式=(5a−3b)−(3a−6b)
=5a−3b−3a+6b
=2a+3b．
【解析】(1)原式先算乘方，再算乘除，最后算减法即可得到结果；
(2)原式去括号合并即可得到结果．
此题考查了整式的加减，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】解，(1)20−2x=−x−1，
移项，得−2x+x=−1−20，
合并同类项，得−x=−21，
化系数为1，得x=21；
(2)1+x−12=x+26，
去分母，得6+3(x−1)=x+2，
去括号，得6+3x−3=x+2，
移项，得3x−x=2−6+3，
合并同类项，得2x=−1，
系数化为1，得x=−12．
【解析】(1)移项，合并同类项，系数化成1即可；
(2)去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
15.【答案】解：(1)因为点D为线段BC的中点，CD=3cm，
所以BC=2CD=6cm，
因为BC=3AB=6cm，
所以AB=2cm，
所以AC=AB+BC=8cm，即AC的长度为8cm．
(2)因为E是AC中点，所以EC=12AC=4cm，
所以ED=EC−DC=4−3=1cm 即ED的长度是1cm．
【解析】(1)先根据点D是线段BC的中点，CD=3cm，求出BC的长，再根据BC=3AB求出AB的长，由AC=AB+BC即可得出结论；
(2)先根据线段的中点可得EC的长，再根据线段的差可得结论．
本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
16.【答案】解：(1)∵∠AOB是直角，OD平分∠BOC，
∴∠AOB=90°，∠BOD=∠COD=12∠BOC，
∴当∠AOC=40°时，∠BOC=∠AOB−∠AOC=90°−40°=50°，
∴∠COD=12∠BOC=25°，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=40°+25°=65°，
答：∠AOD=65°；
(2)∵∠AOC=4∠DOC，∠BOD=∠COD，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOD+∠COD=90°，
∴6∠COD=90°，
∴∠COD=15°，∠AOC=60°，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=75°．
答：∠AOD=75°．
【解析】(1)根据已知条件计算出∠BOC的度数，再利用角平分线的知识计算∠COD的度数，最后求出∠AOD的度数；
(2)因为∠AOC=4∠DOC，所以先计算出∠COD的度数，然后计算∠AOD的度数．
本题考查的重点是角平分线的定义，利用角平分线计算角的度数．
17.【答案】BC
【解析】解：(1)如图1中，点M即为所求；
(2)如图2中，当点N在线段AD上时，AN+ND=AD，
∴NA+NB+NC+ND=AD+NB+NC，
∴当点N在线段BC上时，NA+NB+NC+ND最小．
故答案为：BC．
(1)连接AC，BD交于点M，点M即为所求；
(2)点N在线段BC上．
本题考查作图−复杂作图，线段的性质，两点之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】②
【解析】解：(1)−3+32=−62+32=−6+32=−32，
−3×32=−3×32=−92，
∵−32≠−92，
∴−3和32不是和积友好数；
−12+13=−36+26=−16，
−12×13=−16，
∵−16=−16，
∴−12和13是和积友好数；
所以，互为“和积友好数”的是②．
故答案为：②．
(2)∵−5和x+1是和积友好数，
∴−5+x+1=−5×(x+1)，
解得：x=−16．
(3)3m2+2m−2(mn−3)+(2n−3m2)
=3m2+2m−2mn+6+2n−3m2
=2m+2n−2mn+6
=2(m+n)−2mn+6，
∵m和n互为“和积友好数”，
∴m+n=mn，
∴2(m+n)−2mn+6
=2mn−2mn+6
=6．
∴原式=6．
(1)根据“和积友好数”的定义，计算给定式子，即可得出结果．
(2)根据“和积友好数”的定义，列式为−5+x+1=−5×(x+1)，即可解答．
(3 )对给定式子进行化简，并根据m和n互为“和积友好数”，得出m+n=mn，再将m+n=mn代入化简后的式子即可解答．
本题主要考查因式分解的应用及整式的加减，解答本题的关键是，根据定义，掌握对应的运算规则，并仔细运算．
19.【答案】5 1 (6m−20)
【解析】解：(1)因为答对20题，得分为100分，
所以答对一题的得分为：100÷20=5(分)．
因为答对19题，答错1题，得分为94分，
所以答错一题扣的分数为：19×5−94=1(分)．
故答案为：5，1．
(2)因为参赛者F答对了m题，则他答错了(20−m)题，
所以他的得分可表示为：5m−1×(20−m)=(6m−20)分．
故答案为：(6m−20)．
(3)设参赛者H答对了x道题，则参赛者G答对了(x+2)道题，
根据题意得，
5(x+2)−1×[20−(x+2)]+5x−1×(20−x)=128，
解得x=13，
答：参赛者H答对了13道题．
(1)根据表格中的数据即可解决问题．
(2)根据(1)中的结果即可解决问题．
(3)列出方程即可解决问题．
本题考查列代数式及一元一次方程，找出题中的等量关系是解题的关键．
20.【答案】70 110
【解析】解：(1)∠BOC=90°−∠AOC=90°−20°=70°；
∠AOD=90°+AOC=90°+20°=110°，
故答案为：70；110．
(2)①∵∠AOD=90°+∠AOC，
∠BOC=90°−AOC，
∴∠AOD+∠BOC=90°+∠AOC+90°−∠AOC=180°；
②∵∠AOD=4∠BOC，
∴∠BOC=180°÷(1+4)=30°，
∠AOD=30°×4=120°，
α=120°−90°=30°．
(1)根据角之间的数量关系求出角的度数；
(2)①分别表示出∠AOD和∠BOC与∠AOC的数量关系，再将两个角相加便能得到答案；
②根据倍数关系先求出∠AOD的度数，再根据角之间的数量关系求出α度数．
本题考查了角的计算，解题的关键是根据角之间的数量关系求出角的度数．
21.【答案】4
【解析】解：(1)设经过t s后，点P、Q相遇．
依题意，有2t+3t=20，
解得：t=4．
答：经过4秒钟后，点P、Q相遇．
故答案为：4．
(2)若相遇前P，Q两点的距离为8cm，
根据题意，得3t+2t=20−8，
解得t=2.4；
若相遇后P，Q两点的距离为8cm，
根据题意，得3t+2t=20+8，
解得t=5.6．
∴运动时间t的值为2.4或5.6；
(3)∵∠POB=60°，且点P绕着点O以10度/秒的速度在圆周长顺时针旋转，
∴点P运动到线段AB上需要6秒或24秒．
设点Q的运动速度为x cm/s，且点P运动到OQ之间，点Q在BP之间，
∵PQ=14BQ，
∴20−5−3−6x=14×6x，
解得x=85：
设点Q的运动速度为x cm/s，且点P运动到OQ之间，点Q在AP之间，
∵PQ=14BQ，
∴6x−(20−5−3)=14×6x，
解得x=83：
设点Q的运动速度为x cm/s，且点P运动到AO之间，点Q在BP之间，
∵PQ=14BQ，
∴20−(5−3)−24x=14×24x，
解得x=35，
所以点Q所有可能的运动速度为85cm/s或83cm/s或35cm/s．
(1)根据相遇时，点P和点Q的运动的路程和等于AB的长列方程即可求解；
(2)设经过x s，P、Q两点相距8cm，分相遇前和相遇后两种情况建立方程求出其解即可；
(3)由题意得出点P运动到线段AB上需要6秒或24秒．分三种情况根据题意列出方程分别求出答案即可．
本题考查了旋转的性质，相遇问题的数量关系在实际问题中的运用，行程问题的数量关系的运用，分类讨论思想的运用，解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键．参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
94
C
18
2
88
D
14
6
64
E
10
10
40