2022-2023学年湖北省荆门市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年湖北省荆门市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数是偶函数的为( )
A. y=2xB. y=lg12xC. y=x−1D. y=x2
2.已知复数z满足z2+2z+2=0，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 2D. 5
3.总体由编号为01，02，03，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
A. 08B. 07C. 02D. 01
4.圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为2cm，下底面半径为3cm，圆台母线长为4cm，则该圆锥的侧面积为( )
A. 28πcm2B. 36πcm2C. 42πcm2D. 48πcm2
5.垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用，进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益.已知某种垃圾的分解率v与时间t(月)满足函数关系式v=a⋅bt(其中a，b为非零常数).若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解(分解率为100%)至少需要经过(参考数据lg2≈0.3)( )
A. 20个月B. 28个月C. 32个月D. 40个月
6.已知函数f(x)=x2−2x+2,x≥0x+2,x<0，若方程f(x)=a有三个不等的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为( )
A. (−2,0)B. (−1,1)C. (0,1)D. (1,2)
7.如图是函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象.现将f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到奇函数g(x)，则m的最小值为( )
A. π3
B. 2π3
C. π6
D. π12
8.在△ABC中，AB=5，AC=6，csA=15，O是△ABC的内心，若OP=x OB+y OC，其中x,y∈[0,1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为( )
A. 10 63B. 14 63C. 4 3D. 6 2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若a,b,c是任意的非零向量，则下列叙述正确的是( )
A. 若|a|=|b|，则a=bB. 若a⋅c=b⋅c，则a=b
C. 若a//b,b//c，则a//cD. 若|a+b|=|a−b|，则a⊥b
10.跑步爱好者小亮为了参加“2021年重庆市第六届运动会半程马拉松”比赛，从2020年1月开始进行长跑训练．他根据某跑步软件记录的2020年1月至2020年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了如图的折线图．请根据该折线图分析，下列结论正确的是( )
A. 月跑步里程逐月增加
B. 月跑步里程最小值出现在2月
C. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
D. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱AA1上的一个动点，下列说法正确的是( )
A. 棱锥B1−BED1的体积为定值
B. 截面BED1的周长的最小值为2 5
C. 存在点E，使得B1D⊥平面BED1
D. D1E与平面BDD1所成的角的最大角为45∘
12.已知函数y=f(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数，函数y=f(x)的图像关于直线x=c成轴对称的充要条件是函数y=f(x+c)为偶函数.函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+1)是偶函数，则( )
A. f(2022)=0
B. f(−1)=f(4)
C. f(x)=cs(π2x+π2)是满足条件的一个函数
D. 若当x∈(0,1]时f(x)单调递增，则f(x)>0的解集是(4k,4k+2)，k∈Z
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为SA=(4,3),SB=(1,2)，则SB在SA上的投影向量为______.
14.某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为______；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时，980小时，1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为______小时.
15.在△ABC中，CA=a，CB=b，a⋅b<0，|a|=5，|b|=3，若△ABC的外接圆的半径为7 33，则角C=__________.
16.已知四棱锥P−ABCD中的外接球O的体积为36π，PA=3，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，点M在球O的表面上运动，则四棱锥M−ABCD体积的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，∠BAC=120∘，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，设AB=a，AC=b.
(1)试用a，b表示AD；
(2)求AD⋅BC的值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x.
(1)当x∈[−π4,π4]时，y=2af(x)+b(a>0)的最大值为1，最小值为−5，求实数a，b的值；
(2)若g(x)=f(x−π6)，求函数g(x)在[0,π]上的单调递增区间.
19.(本小题12分)
为了解我市参加2022年全国高中数学联赛的学生的考试成绩，现从中选取60名同学，将其成绩(百分制，均为正整数)分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组后，得到部分频率分布直方图(如图)，回答下列问题.
(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(3)根据评奖规则，排名靠前的10%的同学可以获奖，请估计获奖的同学至少需要多少分？该估计值是第______百分位数.
20.(本小题12分)
如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC的中点．将△ABD沿BD折起，使AB⊥AC，连接AE、AC、DE，得到三棱锥A−BCD.
(1)求证：平面ABD⊥平面BCD；
(2)若AD=1，二面角B−AD−E的大小为60∘，求三棱锥A−BCD的体积．
21.(本小题12分)
拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点.”已知在△ABC中，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A′，B′，C′.若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsC+ 3asinC−b−c=0.
(1)求A；
(2)若a= 3，求△A′B′C′的面积最大值.
22.(本小题12分)
已知f(x)=lg12x+x+1x−1.
(1)求f(2)+f(12)+f(3)+f(13)的值；
(2)求证f(x)有且仅有两个零点x1，x2，并求x1x2的值；
(3)若g(x)=x2−ax+9，对任意的x1∈[2,+∞),x2∈[1,4],不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：对于A，f(−x)=2−x≠±f(x)，即y=2x为非奇非偶函数，A错误；
对于B，y=lg12x的定义域为(0,+∞)，为非奇非偶函数，B错误；
对于C，y=f(x)=x−1满足f(−x)=−f(−x)，即y=x−1为奇函数，C错误；
对于D，y=f(x)=x2满足f(−x)=f(−x)，即y=x2为偶函数，D正确．
故选：D.
利用基本初等函数的性质判断即可．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：设复数z=a+bi(a,b∈R)，则z2=a2−b2+2abi，
得z2+2z+2=(a2−b2+2a+2)+(2ab+2b)i，∵z2+2z+2=0
∴a2−b2+2a+2=02ab+2b=0，解得：a=−1b=1或a=−1b=−1，
所以z=−1+i或z=−1−i，得|z|= 2.
故选：C.
设复数z=a+bi，利用复数的运算和复数相等的条件列方程求解a，b的值，再用复数模的公式计算即可．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：从随机数表第1行的第3列开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号
依次为16，08，02，14，07，01，
则第5个个体的编号为07.
故选：B.
根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．
4.【答案】B
【解析】解：如图所示：
圆台的上底面半径为r1=2cm，下底面半径为r2=3cm，圆台母线长为l=4cm，
则PAPA+4=23，解得PA=8，所以圆锥母线长为PB=PA+4=12，
所以该圆锥的侧面积为S侧=π×3×12=36πcm2.
故选：B.
由所截圆台的上下底面半径的比例及母线长，即可求得圆锥的母线长，再利用圆锥侧面积公式即可得到答案．
本题主要考查了圆锥的结构特征，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：依题意有v(6)=ab6=0.05v(12)=ab12=0.1，
解得b=216，a=0.025，
故v(t)=0.025×(216)t，
令v(t)=1，得(216)t=40，
故t=lg21640=lg40lg216=1+2lg216lg2≈6×(1+0.6)0.3=32.
故选：C.
根据题意列出方程组，求解参数a，b的值，得到函数关系式，令v(t)=1，解方程即可．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：∵函数f(x)=x2−2x+2,x≥0x+2,x<0，方程f(x)=a有三个不等的实数根x1，x2，x3，
∴作出函数f(x)和y=a图象，如图所示：
设x1令y=x+2=1，解得x=−1，
所以−1则x1+x2+x3的取值范围为(1,2).
故选：D.
作出函数f(x)的图象，由方程f(x)=a有三个不等的实数根x1，x2，x3，可设x1本题考查函数零点与方程根的关系，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由图象可知f(x)的周期为T=2(2π3−π6)=π，
∴ω=2πT=2，
又f(x)经过点(2π3+π62,−1)，即(5π12,−1)，
将其代入可得sin(2×5π12+φ)=−1⇒5π6+φ=3π2+2kπ,k∈Z，
所以φ=2π3+2kπ,k∈Z，
故f(x)=sin(2x+2π3)，则g(x)=f(x−m)=sin(2x+2π3−2m)，
由于g(x)为奇函数，所以2π3−2m=kπ,k∈Z，故m=π3−12kπ,k∈Z，
由于m>0，故当k=0时，m的最小值为π3.
故选：A.
根据f(x)的图象可得f(x)=sin(2x+2π3)，再结合条件求解即可．
本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查轨迹方程，根据向量加法的平行四边形法则，得动点P的轨迹是以OB,OC为邻边的平行四边形，其面积为△BOC面积的2倍是关键．
【解答】
解：根据向量加法的平行四边形法则，得动点P的轨迹是以OB,OC为邻边的平行四边形，其面积为△BOC面积的2倍．
在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA，代入数据，解得BC=7，
设△ABC的内切圆的半径为r，则12bcsinA=12(a+b+c)r，解得r=2 63，
所以S△BOC=12×BC×r=12×7×2 63=7 63，
故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC=14 63.
故答案选B.
9.【答案】CD
【解析】解：若|a|=|b|，但方向不一定相同，不能得到a=b，故A错误；
若a⋅c=b⋅c，则(a−b)⋅c=0，即a=b或(a−b)⊥c，故B错误；
若a//b,b//c，则非零向量a,b方向相同或相反，非零向量b,c方向相同或相反，即a,c的方向相同或相反，
故a//c，故C正确；
若|a+b|=|a−b|，则a2+2a⋅b+b2=a2−2a⋅b+b2，所以a⋅b=0，得a⊥b，故D正确．
故选：CD.
由平面向量的有关定义、性质、数量积与向量间的关系逐一判断即可得解．
本题主要考查平面向量的有关定义、性质、数量积与向量间的关系，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，由折线图的变化趋势可知，月跑步里程不是逐月增加的，故选项A错误；
对于B，由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故选项B正确；
对于C，由折线图的变化趋势可知，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，故选项C正确；
对于D，月跑步里程从小到大排列为：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，
则5月对应的里程为中位数，故选项D正确．
故选：BCD.
利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．
本题考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，
对于选项A，连接A1C1，由BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，得A1C1⊥BB1，
又A1C1⊥B1D1，BB1∩B1D1=B1，则A1C1⊥平面BDD1B1，
而AA1//BB1，AA1⊄平面BDD1B1，所以AA1//平面BDD1B1，
点E到平面BDD1B1的距离等于A1到平面BDD1B1的距离12A1C1= 22，
棱锥B1−BED1的体积VB1−BED1=VE−BB1D1=13S△BB1D1× 22= 26×12×1× 2=16为定值，故A选项正确；
对于选项B，因为平面ADD1A1//平面BCC1B1，则平面BED1与平面BCC1B1的交线BF平行于D1E，
同理平面BED1与平面DCC1D1的交线D1F平行于BE，因此平面BED1截正方体ABCD−A1B1C1D1的截面为▱BED1F，
连接B1E，显然D1E=B1E，在正方形ABB1A1中，延长B1A1于G，使A1G=A1B1=1，
连接BG交AA1于E′，连接EG，B1E′，如图，显然AA1垂直平分B1G，点E′是AA1中点，
因此截面BED1的周长2(BE+D1E)=2(BE+B1E)=2(BE+GE)≥2BG=2(BE′+GE′)
=2(BE′+B1E′)=4× 52=2 5，当且仅当点E与E′重合时取等号，故B选项正确；
对于选项C，因为正方体ABCD−A1B1C1D1的对角面BDD1B1是矩形，B1D不垂直于BD1，
而BD1⊂平面BED1，因此B1D不垂直于平面BED1，故C选项错误；
对于选项D，令D1E与平面BDD1所成的角为θ，1≤D1E≤ 2，
由选项A知，sinθ=12A1C1D1E= 22D1E≤ 22，
当且仅当D1E=1时取等号，又θ为锐角，因此θmax=45∘，故D选项正确．
故选：ABD.
利用等体积法求出体积判断A；作出正方体的截面，利用几何法求出截面周长判断B；举例判断C；求出D1E的最小值，再利用线面角的定义求解判断D作答．
本题主要考查棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成角的求法，棱柱的结构特征，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：由题可得f(x)关于(0,0)对称，且f(0)=0，f(x)关于直线x=1对称，
所以f(x)=f(2−x)=−f(x−2)=−[−f(x−4)]=f(x−4)，
所以f(x)的周期为T=4，
∴f(2022)=f(2)=f(0)=0，f(−1)=f(3)，故A正确，B错误；
函数f(x)=cs(π2x+π2)的周期为2ππ2=4，定义在R上的奇函数，f(x+1)是偶函数，故C错误；
对于D项，由题可知函数f(x)在(−1,1)上递增，且f(0)=0，
又f(x)关于直线x=1对称，
f(x)在(1,3)上递减，且f(2)=0，
所以00，又周期为4，
故f(x)>0的解集是(4k,4k+2)，k∈Z，D正确．
故选：ACD.
根据函数的对称性可得f(x)的周期为4，结合周期即可判断ABC，结合对称性以及单调性，由周期即可求解D.
本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的对称性、奇偶性和周期性，属于中档题．
13.【答案】(85,65)
【解析】解：SB在SA上的投影向量为：
SA⋅SBSA2⋅SA=4×1+3×242+32⋅(4,3)=1025⋅(4,3)=(85,65)，
故答案为：(85,65).
SB在SA上的投影向量为SA⋅SBSA2⋅SA，计算得到答案．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
14.【答案】50 1015
【解析】解：根据图象可知，三个分厂的产品数量比为：5：2：3.
则抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为55+2+3×100=12×100=50.
第二分厂抽取100×20%=20件，第三分厂抽取100×30%=30件，
∴该产品的平均使用寿命为50×1020+20×980+30×1030100=1015，
故答案为：50，1015.
(1)根据分层抽样的定义即可求解结果．
(2)根据平均数的公式进行计算．
本题主要考查分层抽样的应用以及平均数的计算，比较基础．
15.【答案】2π3
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的数量积在解三角形中的应用，属于中档题．
由正余弦定理可得csC，进而可得C的大小．
【解答】
解：设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵CA=a,CB=b,|a|=5，|b|=3，
∴b=|CA|=|a|=5，a=|CB|=|b|=3，
∵△ABC外接圆的半径为7 33，
∴由正弦定理得csinC=2×7 33=14 33，
∴c=14 33sinC，
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC，
∴(14 33sinC)2=32+52−2×3×5csC
即983sin2C=17−15csC，
即983(1−cs2C)=17−15csC，
整理得98cs2C−45csC−47=0，
解得csC=−12或csC=4749，
∵a⋅b<0，
∴a⋅b=CA⋅CB=|CA||CB|csC=15csC<0，
∴csC<0，csC=−12，
∴π2故答案为2π3.
16.【答案】814
【解析】解：依题意，43πR3=36π，解得R=3，
将四棱锥P−ABCD补成长方体，可知外接球的直径为长方体的体对角线，
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，且c=3，
由于a2+b2=27，又a2+b2≥2ab，
当且仅当a=b=3 62时等号成立，此时(ab)max=272，
要使得四棱锥M−ABCD的体积最大，
只需点M为平面ABCD的中心O′与球心O所在的直线与球的交点，
又OO′= R2−( a2+b22)2= 9−274=32，
故M−ABCD体积的最大值为13×272×(32+3)=814.
故答案为：814.
求出球半径，将四棱锥P−ABCD补成长方体，可知外接球的直径为长方体的体对角线，要使得四棱锥M−ABCD的体积最大，只需点M为平面ABCD的中心O′与球心O所在的直线与球的交点，由此能求出M−ABCD体积的最大值．
本题考查四棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力和推理论证能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵D是边BC上一点，DC=2BD，
∴BD=13BC，
又∵AB=a，AC=b，BC=b−a，
∴AD=AB+BD=AB+13BC
=a+13(b−a)=23a+13b.
(2)∵|a|=|AB|=2，|b|=|AC|=1，∠BAC=120∘，
∴a⋅b=|a|⋅|b|cs∠BAC
=2×1×cs120∘=−1，
因此，AD⋅BC=(23a+13b)⋅(b−a)
=13b2+13a⋅b−23a2
=13×12+13×(−1)−23×22
=−83.
【解析】本题考查了平面向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质等知识，属于较易题．
(1)根据题意得BD=13BC，由向量的减法法则得BC=b−a，从而可得AD=AB+BD=AB+13BC=23a+13b；
(2)由(1)可得：AD⋅BC=(23a+13b)⋅(b−a)
=13b2+13a⋅b−23a2，根据题意算出a⋅b=−1，a2=4且b2=1，代入加以计算即可得到AD⋅BC的值．
18.【答案】解：(1)当x∈[−π4,π4]，有−π2≤2x≤π2，则−1≤sin2x≤1，
因为a>0，所以ymax=2a+b=1，ymin=−2a+b=−5.
解得a=32,b=−2.
(2)g(x)=f(x−π6)=sin2(x−π6)=sin(2x−π3)，
由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2,k∈Z，得kπ−π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z.
因为x∈[0,π]，取k=0或1，x∈[0,5π12]或x∈[11π12,π].
故函数g(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0,5π12]或[11π12,π].
【解析】(1)由x∈[−π4,π4]，求y=2af(x)+b(a>0)的值域，列方程组求实数a，b的值；
(2)求出函数g(x)的解析式，利用整体代入法求函数在[0,π]上的单调递增区间．
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
19.【答案】90
【解析】解：(1)由题意可得：1−10(0.01+0.015+0.02+0.025+0.005)=0.25，
得分数在[70,80)内的频率为0.25，
频率分布直方图如下：
(2)因为各组的频率依次为0.1，，0.25，0.25，0.05，
则[70,80),[80,90)的频率相同且最大，
所以众数为70+802=75和80+902=85，
平均分为x−=45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.25+85×0.25+95×0.05=70.5；
(3)因为[90,100]的频率0.05<0.1，[80,90),[90,100]两组的频率0.25+0.05=0.3>0.1，
设获奖的同学至少需要m(m∈[80,90))分，
则0.025(90−m)+0.05=0.1，解得m=88，
所以得获奖的同学至少需要88分，
根据百分位数的定义可知：该估计值是第90百分位数．
(1)根据题意结合频率和为1进行运算；
(2)根据众数、平均数的概念运算求解；
(3)根据题意结合百分位数的定义理解运算．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了众数、平均数和百分位数的计算，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：因为AB⊥C，AB⊥AD，且AC∩AD=A，AC，AD⊂平面ACD，
故AB⊥平面ACD，又CD⊂平面ACD，
所以AB⊥CD，又BD⊥CD，AB∩BD=B，AB，BD⊂平面ABD，
故CD⊥平面ABD，又CD⊂平面BCD，
故平面ABD⊥平面BCD；
(2)解：取BD，AD的中点F，G，连接EF，FG，GE，
因为E，F分别为BC，BD的中点，
则EF//CD，
又CD⊥平面ABD，
故EF⊥平面ABD，又AD⊂平面ABD，
则AD⊥EF，
因为G，F分别为AD，BD的中点，
则FG//AB，又AB⊥AD，
则FG⊥AD，
因为EF∩FG=G，EF，FG⊂平面EFG，
所以AD⊥平面EFG，
则∠EGF为二面角B−AD−E的平面角，
因为二面角B−AD−E的大小为60∘，
所以∠EGF=60∘，
设FG=a，则AB=2a，EF= 3a，GE=2a，CD=2 3a，BD= 4a2+1，BC= 16a2+1，
由△BCD的等面积法可得，2 3a⋅ 4a2+1=2a⋅ 16a2+1，解得a= 22，
所以三棱锥A−BCD的体积为V=13×(12×AB×AD)×CD=16× 2×1× 6= 33.
【解析】(1)利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面ACD，进而证明CD⊥平面ABD，再由面面垂直的判定定理证明即可；
(2)取BD，AD的中点F，G，连接EF，FG，GE，证明∠EGF为二面角B−AD−E的平面角，设FG=a，利用等面积法，求出a的值，然后利用棱锥的体积公式求解即可．
本题考查了二面角的应用以及棱锥体积的求解，线面垂直的判定定理和性质的应用，面面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的定义，棱锥体积公式的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由正弦定理得sinAcsC+ 3sinAsinC−sinB−sinC=0，
因为B=π−(A+C)，
∴sinAcsC+ 3sinAsinC−sinAcsC−csAsinC−sinC=0，
∴ 3sinAsinC−csAsinC=sinC，
因为sinC>0，
所以 3sinA−csA=1即sin(A−π6)=12，
则A−π6=π6+2kπ或A−π6=5π6+2kπ，
因为∠A为三角形的内角，∠A∈(0,π)，
∴A=π3；
(2)由余弦定理得3=a2=b2+c2−bc≥bc，当b=c时取等号，取AC的中点G，
∵AGAB′=b2AB′=cs30∘，
∴AB′= 33b，
同理AC′= 33c，
∠B′AC′=120∘，
∴B′C′=( 33b)2+( 33c)2−2⋅ 33b⋅ 33c⋅cs120∘=13(b2+c2+bc)
=13(3+2bc)≤13(3+2×3)=3，
∴B′C′max= 3，
∴(S△A′B′C′)max= 34B′C′2=3 34.
【解析】(1)由正弦定理边化角及三角形内角和定理化简即可得到 3sinA−csA=1，再由辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求得A；
(2)利用余弦定理及基本不等式求得bc的最大值，再次利用基本不等式及三角形的面积公式可求得△A′B′C′的面积最大值．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于难题．
22.【答案】解：(1)已知f(x)=lg12x+x+1x−1，
因为f(x)+f(1x)=lg12x+x+1x−1+lg121x+1x+11x−1=lg12x+x+1x−1−lg12x+1+x1−x=0，
所以f(1x)=−f(x)，
此时f(2)+f(12)+f(3)+f(13)=0；
(2)已知f(x)=lg12x+x+1x−1=lg1x+1+2x−1，定义域为(0,1)∪(1,+∞)，
易知函数y=lg12x和y=2x−1在(0,1)和(1,+∞)上单调递减，
所以函数f(x)=lg12x+1+2x−1在定义域上单调递减，
又f(14)=lg1214+1+214−1=13>0，f(12)=lg1212+1+212−1=−2<0，
所以函数f(x)在(0,1)上存在一点x1，使得f(x1)=0，
又f(2)=lg122+1+22−1=2>0，f(4)=lg124+1+24−1=−13<0，
所以函数f(x)在(1,+∞)上存在一点x2，使得f(x2)=0，
此时f(x1)=f(x2)=0，
又f(1x)=−f(x)，
所以f(1x1)=−f(x1)=0=f(x2)，
因为0所以1x1>1，
又x2>1，
此时x2=1x1，
即x1x2=1；
(3)已知函数g(x)=x2−ax+9是开口向上的二次函数，
由(2)知，函数f(x)在(1,+∞)上单调递减，
若x1∈[2,+∞),
此时f(x1)max=f(2)=2，
因为对任意的x1∈[2,+∞),x2∈[1,4],不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，
所以当x∈[1,4]时，x2−ax+9≥2恒成立，
即a≤x+7x在x∈[1,4]时恒成立，
因为x+7x≥2 x⋅7x=2 7，当且仅当x=7x，即x= 7时等号成立，
所以a≤2 7，
故a的取值范围为(−∞,2 7].
【解析】(1)由题意，结合对数的运算性质得到f(1x)=−f(x)，进而即可求解；
(2)根据函数单调性以及零点存在性定理得到函数f(x)的零点个数，再结合(1)中所得信息，进而即可求解；
(3)将不等式恒成立问题转化成a≤x+7x在x∈[1,4]时恒成立，利用基本不等式的性质进行求解即可．
本题考查函数恒成立问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 97 28 01 98
32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81