2022-2023学年安徽省亳州市第二完全中学高二(下)期末数学试卷(B卷)(含详细答案解析)
展开1.已知p:x≥k,q:2−xx+1≤0,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是( )
A. [2,+∞)B. (1,+∞)C. [1,+∞)D. (−∞,−1)
2.设f(x)=−x3+(a−2)x2+x是定义在[2b,b+3]上的奇函数,则f(ba)=( )
A. 58B. 38C. −58D. −38
3.已知函数f′(x0)=a,则d→0时,f(x0+d)−f(x0)2d的值趋近于( )
A. 2aB. −2aC. 12aD. −12a
4.设集合A={0,−a},B={1,a−2,2a−2},若A⊆B,则a=( )
A. 2B. 1C. 23D. −1
5.已知f(x),g(x)分别为R上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=ex+csx,a=−12,b=lg143,c=lg312,则g(a),g(b),g(c)大小关系为( )
A. g(c)
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7.已知数列满足a1+2a2+3a3+…+nan=n2,设bn=nan,则数列{1bnbn+1}的前2023项和为( )
A. 20224045B. 40464047C. 40444045D. 20234047
8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3S6=16,则S9S3=( )
A. 12B. 36C. 31D. 33
二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.对于实数a,b,c,下列说法正确的是( )
A. 若abc2,则a>b
C. 若a>0>b,则ab
A. 函数f(x)在区间(x2,x4)上单调递减B. x=x6是函数f(x)的极小值点
C. 函数f(x)在x=x4处取得极小值D. 函数f(x)在x=x2处取得极大值
11.已知函数f( x+1)=2x+ x−1,则( )
A. f(3)=9B. f(x)=2x2−3x(x≥1)
C. f(x)的最小值为−1D. f(x)的图象与x轴有1个交点
12.已知等比数列{an}的前n项积为Tn,a1>0,公比q>1,且T2023<1,T2024>1,则( )
A. 当n=2023时,Tn最小B. a2024>1
C. 存在n<1012,使得anan+1=an+2D. 当n=1012时,Tn最小
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{an},该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=______,数列{an}的所有项的和为______.
14.已知正数x,y满足x+y=1,则1x+4y+1的最小值为______.
15.下列说法正确的是______.
①函数f(x)=lga(x−1)−2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(1,−1)
②若不等式ax2+2x+c<0的解集为{x|x<−1或x>2},则a+c=2
③函数f(x)= x2+16+9 x2+16的最小值为6
④函数g(x)=(12) −x2−x+2的单调递增区间为[−12,1]
16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x)=x2−x2(0≤x<1)x−1ex(x≥1),若函数F(x)=f(x)−m有6个零点,则实数m的取值范围是______.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设全集U=R,集合A={x|y=lg(−x2+6x−5)},集合B=[2−a,1+2a],其中a∈R.
(1)当a=1时,求B∪(∁UA);
(2)若“x∈A”是“x∈B”的_____条件,求实数a的取值范围.
从①充分;②必要;③既不充分也不必要三个条件中选择一个填空,并解答该题.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga(x+1)−lga(1−x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明.
19.(本小题12分)
已知各项均为正数的数列{an}满足:a1=1,当n≥2时,(n−1)an2−nan−12=n(n−1).
(Ⅰ)求证:数列{an2n}是等差数列;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)设bn=an2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
20.(本小题12分)
设函数f(x)=x−x3eax+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−x+1.
(1)求a,b的值;
(2)设函数g(x)=f′(x),求g(x)的极值点;
21.(本小题12分)
为响应国家“乡村振兴”政策,某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研,生产该农机产品当年需投入固定成本10万元,每年需另投入流动成本c(x)(万元)与lnx10成正比(其中x(台)表示产量),并知当生产20台该产品时,需要流动成本0.7万元,每件产品的售价p(x)与产量x(台)的函数关系为p(x)=−x100+10x+5150(万元)(其中x≥10).记当年销售该产品x台获得的利润(利润=销售收入-生产成本)为f(x)万元.
(参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6)
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当产量x为何值时,该工厂的年利润f(x)最大?最大利润是多少?
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+ax.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若不等式f(x)≤x在[1,+∞)恒成立,求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解:由2−xx+1≤0,得x≥2或x<−1,即q:x≥2或x<−1,
∵p是q的充分不必要条件,
∴k≥2.
故选:A.
求出不等式的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,以及不等式的解法,属于基础题.
2.【答案】D
【解析】解:∵f(x)=−x3+(a−2)x2+x是定义在[2b,b+3]上的奇函数,
∴2b+3+b=0,解得b=−1,
又f(−x)=−f(x),即−(−x)3+(a−2)(−x)2−x=−[−x3+(a−2)x2+x],
∴a=2,
∴f(x)=−x3+x,
∴f(ba)=f(−12)=18−12=−38.
故选:D.
根据奇函数的定义,得到方程组,求出a=2,b=−1,得到函数解析式,代入求值即可.
本题考查函数奇偶性的性质与判断,求得a与b的值是关键,属于基础题.
3.【答案】C
【解析】解:由题意可得d→0lim f(x0+d)−f(x0)2d=12d→0lim f(x0+d)−f(x0)d
=12f′(x0)=a2.
故选:C.
根据导数定义可得答案.
本题主要考查导数的运算,属于基础题.
4.【答案】B
【解析】解:依题意,a−2=0或2a−2=0,
当a−2=0时,解得a=2,
此时A={0,−2},B={1,0,2},不符合题意;
当2a−2=0时,解得a=1,
此时A={0,−1},B={1,−1,0},符合题意.
故选:B.
根据题意可得a−2=0或2a−2=0,然后讨论求得a的值,再验证即可.
本题考查集合间的关系,考查运算求解能力,属于基础题.
5.【答案】C
【解析】解:根据题意,f(x)+g(x)=ex+csx①,则f(−x)+g(−x)=e−x+cs(−x)=e−x+csx,
又由f(x),g(x)分别为R上的奇函数和偶函数,则有−f(x)+g(x)=e−x+csx,②
①+②可得:g(x)=12(ex+e−x)+csx,
g(x)的导数g′(x)=12(ex−e−x)−sinx,
设h(x)=g′(x)=12(ex−e−x)−sinx,则h′(x)=12(ex+e−x)−csx,
易得h′(x)≥12×2 ex×e−x−csx=1−csx≥0,则g′(x)在R上为增函数,
在区间(0,+∞)上,有g′(x)≥g′(0)=0,则g(x)在(0,+∞)上为增函数,
又由a=−12,|a|=12,
b=lg143<0,则|b|=|lg143|=lg43>lg42=12,
c=lg312,则|c|=|lg312|=lg32>lg3 3=12,
又由|b|−|c|=lg43−lg32=lg3lg4−lg2lg3=(lg3)2−lg2lg4lg3lg4>(lg3)2−(lg2+lg42)2lg3lg4=(lg3)2−(lg 8)2lg3lg4>0,则有|b|>|c|,
即有|b|>|c|>|a|>0,
g(x)在(0,+∞)上为增函数,必有g(a)
根据题意,由函数的奇偶性和解析式可得f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)=e−x+csx,与f(x)+g(x)=ex+csx联立可得g(x)的解析式,求出g(x)的导数,利用导数与函数单调性的关系可得g(x)的单调性,由对数的运算性质分析|a|、|b|、|c|的大小关系,结合函数的单调性分析可得答案.
本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用,涉及函数导数与单调性的关系,属于中档题.
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用定义进行等差数列的判断,穿插了充要条件的判定,属中档题.
首先明确充要条件的判定方法,再从等差数列的定义入手,进行正反两方面的论证.
【解答】
解:若{an}是等差数列,设数列{an}的首项为a1,公差为d,
则Sn=na1+n(n−1)2d,
即Snn=a1+n−12d=d2n+a1−d2,
故{Snn}为等差数列,
即甲是乙的充分条件.
反之,若{Snn}为等差数列,则可设Sn+1n+1−Snn=D,
则Snn=S1+(n−1)D,即Sn=nS1+n(n−1)D,
当n≥2时,有Sn−1=(n−1)S1+(n−1)(n−2)D,
上两式相减得:an=Sn−Sn−1=S1+2(n−1)D,
当n=1时,上式成立,所以an=a1+2(n−1)D,
则an+1−an=a1+2nD−[a1+2(n−1)D]=2D(常数),
所以数列{an}为等差数列.
即甲是乙的必要条件.
综上所述,甲是乙的充要条件.
故选C.
7.【答案】D
【解析】解:由题知:数列满足a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan=n2,
设bn=nan,{bn}的前n项和为Tn,则Tn=n2.
当n=1时,T1=b1=1,
当n≥2时,bn=Tn−Tn−1=n2−(n−1)2=2n−1,
检验:当n=1时,b1=1=T1,符合,
所以bn=2n−1.
令cn=1bnbn+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1),前n项和为Sn,
则S2023=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(14045−14047)]=12(1−14047)=20234047.
故选:D.
根据题意得到bn=2n−1,再利用裂项法求和即可.
本题主要考查数列的求和,数列递推式,考查裂项求和法的应用,属于中档题.
8.【答案】C
【解析】解:由题意可知,S3,S6−S3,S9−S6为等比数列,
则(S6−S3)2=S3(S9−S6),
∵S3S6=16,
∴25S32=S3S9−6S32,解得S9=31S3,
∴S9S3=31.
故选:C.
根据已知条件,结合等比数列的性质,即可求解.
本题主要考查等比数列的性质,属于基础题.
9.【答案】BC
【解析】解:对于A,∵a0,b−a>0,∴1a−1b=b−aab>0,即1a>1b,故A错误,
对于B,∵ac2>bc2,c2>0,∴a>b,故B正确,
对于C,∵a>0>b,∴a2>ab,故C正确,
对于D,取c=−1,a=−2,b=−3,则ac−a=−2,bc−b=−32,且−2<−32,故D错误,
故选:BC.
利用不等式的性质逐个判断各个选项即可.
本题主要考查了不等式的性质,属于基础题.
10.【答案】ACD
【解析】解:由题意可知:函数f(x)在区间(x2,x4),f′(x)<0,函数是单调递减,所以A正确;
x∈(x4,b),f′(x)≥0,函数是增函数,x=x6不是函数f(x)的极小值点,所以B不正确;
x∈(x2,x4),f′(x)<0,函数是减函数,x∈(x4,x6),f′(x)>0,函数是增函数,函数f(x)在x=x4处取得极小值,所以C正确;
x∈(x2,x4),f′(x)<0,函数是减函数,x∈(x1,x2),f′(x)>0,函数是增函数,函数f(x)在x=x2处取得极大值,所以D正确;
故选:ACD.
结合导函数的图象,利用导函数的符号,判断函数的极值以及函数的单调性即可.
本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及函数的极值的判断,是基础题.
11.【答案】ABCD
【解析】解:令t= x+1≥1,得 x=t−1,则x=(t−1)2,
得f( x+1)=f(t)=2t2−3t,t≥1,
故f(x)=2x2−3x,x∈[1,+∞),故B正确;
f(3)=9,A正确;
f(x)=2x2−3x=2(x−34)2−98,
所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,
f(x)min=f(1)=−1,f(x)的图象与x轴只有1个交点,C正确,D正确.
故选:ABCD.
利用换元法求出f(x)的解析式,然后逐一判断即可.
本题考查了利用换元法求函数的解析式,也考查了二次函数的性质,属于基础题.
12.【答案】BD
【解析】解:对于选项B,因为a1>0,q>1,所以an=a1qn−1>0,
又T2023=a1a2⋯a2023<1,T2024=a1a2⋯a2024>1,所以a2024>1a1a2⋯a2023>1,即选项B正确;
对于选项A和D,由等比数列的性质,a1a2023=a2a2022=⋯=a1012a1012=a10122,
所以a1a2⋯a2023=a10122023<1,即a1012<1,
因为a1a2024=a2a2023=⋯=a1012a1013,
所以a1a2⋯a2024=(a1012a1013)1012>1,即a1012a1013>1,所以a1013>1,
故当n=1012时,Tn=a1a2⋯an最小,即选项A错误,选项D正确;
对于选项C,因为a1>0,q>1,所以数列{an}是单调递增数列,
所以当n<1012时,an
选项B,易知an>0,q>1,再由T2023<1,T2024>1,可判断a2024与1的大小关系;
选项A和D,利用等比中项的性质,可得a1012<1,a1013>1,得解;
选项C,易知数列{an}是单调递增数列,再结合a1012<1,即可判断.
本题考查等比数列的性质,熟练掌握等比中项的性质,等比数列的单调性,数列前n项积的含义是解题的关键,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
13.【答案】48 384
【解析】解:∵数列{an}的后7项成等比数列,an>0,
∴a7= a5a9= 12×192=48,
∴a3=a52a7=12248=3,
∴公比q= a5a3= 123=2.
∴a4=3×2=6,
又该数列的前3项成等差数列,
∴数列{an}的所有项的和为3(a1+a3)2+6×(26−1)2−1=3×(1+3)2+378=384.
故答案为:48;384.
根据数列{an}的后7项成等比数列,an>0,可得a7= a5a9,a3=a52a7,可得公比q= a5a3,进而得出a4,利用求和公式即可得出结论.
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及性质、方程思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
14.【答案】92
【解析】解:因为正数x,y满足x+y=1,
所以x+y+1=2,
则1x+4y+1=12(1x+4y+1)(x+y+1)=12(5+y+1x+4xy+1)≥12(5+2 y+1x⋅4xy+1)=92,
当且仅当y+1x=4xy+1且x+y=1,即x=23,y=13时取等号.
故答案为:92.
由已知可得x+y+1=2,然后利用乘1法,结合基本不等式即可求解.
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用,属于中档题.
15.【答案】②④
【解析】解:对于①,因为f(x)=lga(x−1)−2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(2,−2),故①错误;
对于②,因为不等式ax2+2x+c<0的解集为{x|x<−1或x>2},
所以a<0−2a=−1+2=1ca=−1×2=−2,解得a=−2c=4,所以a+c=2,故②正确;
对于③,因为 x2+16≥4,令t= x2+16,则t≥4,
所以y= x2+16+9 x2+16=t+9t,
由对勾函数的性质可得y=t+9t在[4,+∞)上单调递增,所以ymin=4+94=254,故③错误;
对于④,令t=−x2−x+2,由−x2−x+2≥0可得:−2≤x≤1,所以f(x)的定义域为[−2,1],
所以当x∈[−2,−12]时,t单调递增,u= t单调递增;当x∈[−12,1]时,t单调递减,u= t单调递减;
又因为y=(12)u为减函数,所以g(x)=(12) −x2−x+2的单调增区间为[−12,1],故④正确.
故答案为:②④.
由对数函数的性质判断A;由一元二次不等式的解法及韦达定理判断B;由对勾函数的性质判断C;由复合函数的单调性判断D.
本题主要考查了指数函数的性质,二次不等式与二次方程关系的应用,还考查了对勾函数单调性的应用,复合函数单调性的应用,属于中档题.
16.【答案】(0,1e2)
【解析】解:函数F(x)=f(x)−m有6个零点,
等价于函数y=f(x)与y=m有6个交点,
当0≤x<1时,f(x)=x2−x2=(x−14)2−116,
当x≥1时,f(x)=x−1ex,f′(x)=2−xex,
令f′(x)>0,解得:1
当x∈[1,2]时,f(x)递增,当x∈(2,+∞)时,f(x)递减,
f(x)的极大值为:f(2)=1e2,
作出函数f(x)的图象如下图,
y=f(x)与y=m的图象有6个交点,则0
故答案为:(0,1e2).
将原问题转化为两个函数有六个交点的问题,结合函数的解析式利用导数研究函数图象的变化情况,由函数图像即可确定实数m的取值范围.
本题主要考查函数与方程的应用,结合偶函数的性质转化为当x>0时,函数F(x)=f(x)−m有3个零点,以及利用数形结合是解决本题的关键.
17.【答案】解:(1)当a=1时,B=[1,3],
又∵A={x|−x2+6x−5>0}={x|(x−1)(x−5)<0}=(1,5),
∴∁UA={x|x≤1或x≥5},
∴B∪(∁UA)=(−∞,3]∪[5,+∞);
(2)若选①,则A⊆B,
∴2−a≤11+2a≥5,解得a≥2,
即实数a的取值范围为[2,+∞);
若选②,由区间定义可知B≠⌀,∴2−a<1+2a,即a>13,
∴B⊆A,
∴2−a>11+2a<5,解得13综上所述,实数a的取值范围为(13,1);
若选③,则A⊈B且B⊈A,
由①②可得,实数a的取值范围为[1,2).
【解析】(1)先求出集合B,再利用集合的基本运算求解即可;
(2)若选①,则A⊆B,进而列出不等式组,求出实数a的取值范围;若选②,由B≠⌀可得a>13,再根据B⊆A,列出不等式组,求出实数a的取值范围;若选③,则A⊈B且B⊈A,由①②可求出实数a的取值范围.
本题主要考查了集合的基本运算,考查了充分条件和必要条件的定义,属于中档题.
18.【答案】解:(1)由题得,使解析式有意义的x范围是使不等式组x+1>01−x>0成立的x范围,解得−1
证明:由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称,
且f(−x)=lga(−x+1)−lga(1+x)=−lga(1+x)+lga(1−x)=−[lga(1+x)−lga(1−x)]=−f(x)
所以函数f(x)为奇函数.
【解析】(1)使函数各部分都有意义的自变量的范围,即列出不等式组x+1>01−x>0,解此不等式组求出x范围就是函数的定义域;
(2)根据函数奇偶性的定义进行证明即可.
本题主要考查函数定义域的求法,以及函数奇偶性的判断,利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键
19.【答案】证明:(Ⅰ)数列{an}满足:a1=1,当n≥2时,(n−1)an2−nan−12=n(n−1),
整理得:an2n−an−12n−1=1(常数),
∴数列{an2n}是以1为首项,1为公差的等差数列;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an2n=1+n−1=n,
∴an2=n2,
故an=n;
(Ⅲ)∵bn=an2n=n2n,
∴Tn=1×12+2×122+3×123+⋅⋅⋅+n⋅12n①,
12Tn=1×122+2×123+3×124+⋅⋅⋅+n⋅12n+1②,
①-②得:12T n=12+122+⋅⋅⋅+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12−n2n+1=1−n+22n+1,
∴Tn=2−n+22n.
【解析】(Ⅰ)已知条件变形可得:an2n−an−12n−1=1,从而可证;
(Ⅱ)由(Ⅰ)结合等差数列的通项公式即可求解;
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得bn=an2n=n2n,然后利用错位相减求和即可求解.
本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的应用,还考查了错位相减求和,属于中档题.
20.【答案】解:(1)由f(x)=x−x3eax+b,x∈R,得f′(x)=1−(3x2+ax3)eax+b,
∵曲线f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=−x+1,
∴1−13×ea+b=01−(3+a)ea+b=−1,解得a=−1b=1,
即a=−1,b=1;
(2)由(1)得,g(x)=f′(x)=1−(3x2−x3)e−x+1(x∈R),
则g′(x)=−(6x−3x2)e−x+1+(3x2−x3)e−x+1=−x(x2−6x+6)e−x+1,
令x2−6x+6=0,解得x=3± 3,不妨设x1=3− 3,x2=3+ 3,则0
由g′(x)<0,得0
可得g(x)的单调递减区间为(0,3− 3),(3+ 3,+∞),单调递增区间为(−∞,0),(3− 3,3+ 3).
得函数g(x)的极大值点为0和3+ 3;极小值点为3− 3.
【解析】(1)先对f(x)求导,利用导数的几何意义得到f(1)=0,f′(1)=−1,从而得到关于a,b的方程组,解之即可;
(2)由(1)得g(x)的解析式,从而求得g′(x),得到g′(x)<0与g′(x)>0的解,由此求得g(x)的单调区间,进一步可得g(x)的极值点.
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值,考查运算求解能力,正确求出原函数的导函数是关键,是中档题.
21.【答案】解:(1)依题设:c(x)=klnx10,
当生产20台该农机产品时,需要流动成本0.7万元得:
0.7=kln2010,可得:k=1,∴c(x)=lnx10;
∴f(x)=p(x)x−c(x)−10=(−x100+10x+5150)x−lnx10−10,
化简得到f(x)=−1100x2+5150x−lnx+ln10(x≥10).
(2)由(1)得f(x)=−1100x2+5150x−lnx+ln10(x≥10),
f′(x)=−150x+5150−1x=−(x−1)(x−50)50x,
∵x≥10,
∴x∈[10,50)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
x∈(50,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
∴x=50时,f(x)取得极大值也是最大值,
f(50)=−1100×502+5150×50−ln50+ln10=24.4,
∴当年产量为50台时,利润f(x)最大,最大利润是24.4万元.
【解析】(1)依题设:c(x)=klnx10,由条件当生产20台该农机产品时,需要流动成本0.7万元可得k=1,进而求出函数f(x)的表达式;
(2)求导,利用导数的正负判断函数的单调性,进而求出最值即可.
本题主要考查根据实际情况选择合适的函数模型,属于中档题.
22.【答案】解:(1)f(x)=lnx+ax,函数的定义域是(0,+∞),
f′(x)=1x−ax2=x−ax2(x>0),
a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)递增,
a>0时,令f′(x)>0,解得x>a,令f′(x)<0,解得0
综上,a≤0时,f(x)在(0,+∞)递增;
a>0时,f(x)在(0,a)递减,在(a,+∞)递增.
(2)若f(x)≤x在[1,+∞)恒成立,即lnx+ax≤x恒成立,
即a≤(x−lnx)x在[1,+∞)上恒成立,
令g(x)=x2−xlnx,则g′(x)=2x−1−lnx,g′′(x)=2−1x>0,
故g′(x)在[1,+∞)单调递增,
g′(x)min=g′(1)=2−1−0=1>0,则g′(x)≥1,
故g(x)在[1,+∞)单调递增,则g(x)min=g(1)=1,
则a≤1,即a的取值范围是(−∞,1].
【解析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;
(2)问题转化为a≤(x−lnx)x在[1,+∞)上恒成立,令g(x)=x2−xlnx,根据函数的单调性求出a的范围即可.
本题考查了函数的单调性,最值问题,导数的应用以及函数恒成立问题,考查转化思想,是中档题.
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