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2022-2023学年安徽省亳州市联考高二（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年安徽省亳州市联考高二（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省亳州市联考高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|x<0}，B={x|x2−1<0}，则A⋂B=( )
A. {x|−1≤x<0} B. {x|x>−1}
C. {x|−1
A. 1 B. ±1 C. 0 D. ± 3
3. 已知圆锥的底面半径为1，高为2 2，则该圆锥内切球的体积为( )
A. 2π3 B. 2 2π3 C. 2π3 D. 4π3
4. 定义行列式abcd=ad−bc，若行列式a2132
C. (−32,1) D. (−∞,−32)∪(1,+∞)
5. 如图，已知平面向量OA,OB,OC的模均为4，且∠AOB=∠BOC=60°，则AB⋅BC=( )
A. 4
B. −4
C. 8
D. −8
6. 《“健康中国2030”规划纲要》提出，健康是促进人类全面发展的必然要求，是经济社会发展的基础条件.实现国民健康长寿，是国家富强、民族振兴的重要标志，也是全国各族人民的共同愿望.为普及健康知识，某公益组织为社区居民组织了一场健康知识公益讲座，为了解讲座效果，随机抽取了10位居民在讲座后进行健康知识问卷(百分制)，这十位居民的得分情况如表所示：
答题居民序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
72
83
65
76
88
90
65
90
95
76
则下列说法正确的是( )
A. 该10位居民的答卷得分的极差为32
B. 该10位居民的答卷得分的中位数为795
C. 该10位居民的答卷得分的50%分位数为76
D. 该10位居民的答卷得分的平均数为79
7. 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C(5p2,0)，且△ACF为等边三角形，△ABC的面积为 3，则p=( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
8. 设函数f(x)=cosx+|sinx|，则( )
A. f(x)∈[− 2, 2]且f(x)在(π,7π4)应调递增
B. f(x)∈[− 2, 2]且f(x)在(π,7π4)单调递减
C. f(x)∈[−1, 2]且f(x)在(π,7π4)单调递增
D. f(x)∈[−1, 2]且f(x)在(π,7π4)单调递减
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知a>b>1，则( )
A. 1a>1ab B. a+b+1 ab≥4
C. 2b−a<1 D. ln(a−b)>0
10. 已知事件A，B满足P(A|B)=P(A)=0.3，P(B|A)=0.5，则( )
A. 事件A，B相互独立 B. P(B|A)=P(B)
C. 事件A，B互斥 D. P(AB)=0.15
11. 已知函数f(x)=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ(0<ω⩽2,0<φ<π2)满足f(0)=12,f(x)≤f(π9)，则下列结论正确的是( )
A. ω=2
B. f(5π9−x)=−f(x)
C. f(x+π9)为偶函数
D. 曲线y=f(x)在x=0处的切线斜率为3 32
12. 已知函数f(x)，g(x)及其导函数f′(x)，g′(x)的定义域均为R，f(x+1)为偶函数，函数y=g(x+1)的图象关于(−1,0)对称，则( )
A. f(g(1))=f(2+g(−1)) B. g(f(1))=−g(f(2))
C. f(g′(−1))=f(2−g′(1)) D. g′(f′(−1))=g′(f′(3))
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数f(x)=lg(x−a)(x−1)为偶函数，则a= ______ ．
14. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5+2a17=42，a6=4，则{an}的公差等于______ ．
15. 对于正整数n≥2时，Cn0+Cn1(x+1)+Cn2(x+1)2+⋅⋅⋅+Cnn(x+1)n=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+anxn，若a3=40，则n= ______ ．
16. 已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，圆O：x2+y2=a2与E的一条渐近线的一个交点为M(点M在第一象限)，且cos∠MF1F2=5 714，则E的离心率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知数列{an}中，a1=1，a2=4，{an+1an}是公比为2的等比数列．
(1)求an；
(2)bn=log2an+1，求证：i=1n1bi<119．
18. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=2b，cosA=13．
(1)求tanB的值；
(2)若a= 11，求BC边上的高．
19. (本小题12.0分)
国务院印发《新时期促进集成电路产业和软件产业高质量发展的若干政策》.某科技公司响应国家号召，加大了芯片研究投入力度.从2022年起，芯片的经济收入逐月攀升，该公司在2022年的第一月份至第六月份的月经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如下表所示：
时间x(月份)
1
2
3
4
5
6
月收入y(百万元)
6
9
15
22
33
47
(1)请你根据提供数据，判断y=ax+b与y=cedx(a,b,c,d均为常数)哪一个适宜作为该公司月经济收人y关于月份x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程；
(3)从这6个月中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据：
u−
i=16(xi−x−)2
i=16(xi−x−)(yi−y−)
i=16(xi−x−)(ui−u−)
2.86
17.50
142
7.29
其中设u=lny，ui=lnyi(i=1,2,3,4,5,6)
参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据(xi,vi)(i=1,2,3,⋅⋅⋅,n)，其回归直线v =β x=α 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β =i=1n(xi−x−)(vi−v−)i=1n(xi−x−)2,α =v−−β x．
20. (本小题12.0分)
如图，已知五面体中，四边形PBCQ为矩形，ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC//AD，PA=PB=AB=AD=2BC．
(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)若O为AB中点，求二面角O−PD−C的余弦值．
21. (本小题12.0分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)短轴长为2，C短轴的两个顶点与左焦点构成等边三角形．
(1)求C的标准方程；
(2)直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于A、B两点，且|AB|=8 25，点P(0,−35)满足PA=PB，求直线l的方程．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=xlnx−(a+1)x+b(a,b∈R)．
(1)若a=0，b=1，求函数斜率为1的切线方程；
(2)若ba=e，讨论f(x)在[e,e2]的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵集合A={x|x<0}，B={x|x2−1<0}={x|−1
求出集合B，利用交集定义、不等式性质能求出结果．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：z=a+i(a∈R)满足z⋅z−=2，
则(a+i)(a−i)=a2+1=2，解得a=±1．
故选：B．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：如图，圆锥与内切球的轴截面图，点O为球心，内切球的半径为r，D，E为切点，设OD=OE=r，
即BE=BD=1，
由条件可知，AB= (2 2)2+12=3，
在△ADO中，AO2=AD2+DO2，即(2 2−r)2=(3−1)2+r2，解得：r= 22，
所以圆锥内切球的体积V=4πr33=43π×( 22)3= 23π．
故选：A．
根据圆锥与内切球的轴截面图，列出等量关系，即可求解．
本题主要考查圆锥的内切球问题，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：行列式a2132
故选：A．
根据行列式的计算法则，求解关于a的不等式即可．
本题考查了行列式与不等式的解法应用问题，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：已知平面向量OA,OB,OC的模均为4，且∠AOB=∠BOC=60°，
则AB⋅BC=(OB−OA)⋅(OC−OB)=OB⋅OC−OA⋅OC−OB2+OA⋅OB=4×4×12−4×4×(−12)−42+4×4×12=8．
故选：C．
由平面向量的减法运算，结合平面向量数量积的运算求解即可．
本题考查了平面向量的减法运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：该10位居民的答卷得分从小到大排序为：65，65，72，76，76，83，88，90，90，95，
对于A，该10位居民的答卷得分的极差为95−65=30，故A错误；
对于B，该10位居民的答卷得分的中位数为76+832=79.5，故B正确；
对于C，该10位居民的答卷得分的50%分位数为76+832=79.5，故C错误；
对于D，该10位居民的答卷得分的平均数为72+83+65+76+88+90+65+90+95+7610=80，故D错误．
故选：B．
先把该10位居民的答卷得分从小到大排序，再结合极差、中位数、百分位数和平均数的定义，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了极差、中位数、百分位数和平均数的计算，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，
设C(5p2,0)，且△ACF为等边三角形，
所以三角形的边长为2p，则|AB|=2p，C到AB的距离为： 3p，
△ABC的面积为 3，
可得12×2p× 3= 3，解得p=1．
故选：A．
利用已知条件求解三角形的边长，结合抛物线的定义，通过三角形的面积求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由于f(x+π)=cos(x+π)+|sin(x+π)|=−cosx+|sinx|≠f(x)，得f(x)的最小正周期不是π；
f(x+2π)=cos(x+2π)+|sin(x+2π)|=cosx+|sinx|=f(x)，则f(x)的周期为2π，
当x∈[0,π)时，f(x)=cosx+sinx= 2sin(x+π4)，
由于0≤x<π，得π4≤x+π4<5π4，故 2sin(x+π4)∈(−1, 2],
当x∈[π,2π]时，f(x)=cos x−sinx= 2cos(x+π4)，
由于π≤x≤2π，得5π4≤x+π4≤9π4，故 2cos(x+π4)∈[−1, 2]，
综上所述，可得f(x)的值域为[−1, 2]，
当x∈(π,7π4)时，f(x)=cosx−sinx= 2cos(x+π4)，
由于π
故选：C．
首先证明函数f(x)的周期为2π，然后分0≤x<π与x∈[π,2π]两种情况分别讨论函数的值域，判断函数的单调区间即可．
本题考查函数的性质，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：因为a>b>1，
所以ab>a>1，1ab<1a，A正确；
因为a>b>1，即a≠b，
所以a+b+1 ab>2 ab+1 ab>2 2 ab⋅1 ab=2 2，B错误；
2b−a<20=1，C正确；
当a=2，b=1时，D显然错误．
故选：AC．
由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，事件A，B满足P(A|B)=P(A)=0.3，P(B|A)=0.5，
则有P(B|A)=P(AB)P(A)=0.5，变形可得P(AB)=P(A)P(B|A)=0.15，D正确；
又由P(A|B)=P(AB)P(B)=0.15P(B)=0.3，则P(B)=0.5，
则有P(AB)P(A)=P(B)=0.5，B正确；
又由P(AB)=P(A)P(B)，则A、B相互独立，A正确，
同时，事件A、B可能同时发生，C错误．
故选：ABD．
根据题意，由条件概率公式变形可得P(AB)的值，可得D正确，进而由P(A|B)=P(AB)P(B)，求出P(B)的值，可得B正确，由相互独立事件的判断方法可得A正确，C错误，综合可得答案．
本题考查条件概率的性质和应用，涉及相互独立事件的判定，属于基础题．
11.【答案】CD
【解析】解：f(x)=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ=sin(2ωx+φ)，
因为f(0)=12，
所以sinφ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，
所以f(x)=sin(2ωx+π6)，
由f(x)≤f(π9)，可得f(π9)是函数的最大值，
所以2ω×π9+π6=2kπ+π2，k∈Z，
解得ω=9k+32，k∈Z，
又0<ω⩽2，所以取k=0，得ω=32，故A错误；
所以f(x)=sin(3x+π6)，
f(5π9−x)=sin(5π3−3x+π6)=sin(3π2+π3−3x)=−sin(3x−π3)≠−f(x)，故B错误；
f(x+π9)=sin(3x+π3+π6)=sin(3x+π2)=cos3x，显然为偶函数，故C正确；
f′(x)=3cos(3x+π6)，f′(0)=3cosπ6=3 32，即曲线y=f(x)在x=0处的切线斜率为3 32，故D正确．
故选：CD．
利用三角恒等变换化简f(x)=sin(2ωx+φ)，由已知可求得φ和ω的值，从而判断A；可得f(x)的解析式，计算f(5π9−x)即可判断B；计算f(x+π9)即可判断C；，利用导数的几何意义即可判断D．
本题考查正弦型函数的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：∵f(x+1)为偶函数，
∴f(1−x)=f(1+x)，即f(x)=f(2−x)，①
两边同时求导可得：f′(x)=−f′(2−x)，即f′(x)+f′(2−x)=0；②
又函数y=g(x+1)的图象关于(−1,0)对称，
∴函数y=g(x)的图象关于(0,0)对称，即y=g(x)为奇函数，即g(−x)=−g(x)，g(x)为奇函数；
两边同时求导可得：−g′(−x)=−g′(x)，化为g′(−x)=g′(x)，即y=g′(x)为偶函数，③
对于A，由g(x)为奇函数，得g(−1)=−g(1)，故2+g(−1)=2−g(1)，
由①得f(g(1))=f(2−g(1))，A正确；
对于B，∵f(1)+f(2)≠0，即f(1)≠−f(2)，故g(f(1))≠−g(f(2))，B错误；
对于C，由③知，g′(−1)=g′(1)，结合①可得f(g′(−1))=f(2−g′(1))，C正确；
对于D，由②f′(x)+f′(2−x)=0，
得f′(−1)+f′(3)=0，即f′(−1)=−f′(3)，
由③知，g′(f′(−1))=g′[−(f′(3)]=g′(f′(3))，D正确．
故选：ACD．
利用函数奇偶性的性质及其导数的性质对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及导数的计算，属于中档题．
13.【答案】−1
【解析】解：因为函数f(x)=lg(x−a)(x−1)为偶函数，
所以f(−x)=f(x)，
即lg(x−a)(x−1)=lg(−x−a)(−x−1)，
即(x−a)(x−1)=(−x−a)(−x−1)，
即(x−a)(x−1)=(x+a)(x+1)，
可得a=−1．
故答案为：−1．
由偶函数的性质即可求解a的值．
本题主要考查偶函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
由于S5+2a17=42，即S5+2a17=5a1+10d+2a1+32d=7(a1+6d)=42，
则有a1+6d=a7=6，
又由a6=4，则d=a7−a6=2．
故答案为：2．
根据题意，设等差数列{an}的公差为d，由S5+2a17=42，变形可得a1+6d=a7=6，又由a6=4，分析可得答案．
本题考查等差数列的性质和应用，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
15.【答案】5
【解析】解：∵[1+(x+1)]n=Cn0+Cn1(x+1)+Cn2(x+1)2+⋅⋅⋅+Cnn(x+1)n=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+anxn，
∴(x+2)n=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+anxn，
若a3=40，则Cn3⋅2n−3=40，可得n(n−1)(n−2)6⋅2n−3=40，
即n=5．
故答案为：5．
把已知等式变形，结合二项展开式的通项求解．
本题考查二项式定理的应用，考查划归与转化思想，是基础题．
16.【答案】2或73
【解析】解：双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，
圆O：x2+y2=a2与E的一条渐近线的一个交点为M(点M在第一象限)，
可得x2+y2=a2y=bax，解得M(a2c,abc)，
cos∠MF1F2=5 714，
可得tan∠MF1F2= 1−cos2∠MF1F2cos2∠MF1F2= 14225×7−1= 35=abcc+a2c=abc2+a2，
可得325=e2−1(e2+1)2，解得e=2或e=73．
故答案为：2或73．
求解M的坐标，利用cos∠MF1F2=5 714，求解a、b、c的关系，然后求解离心率．
本题考查双曲线的简单性质的应用，圆与双曲线的综合应用，是中档题．
17.【答案】(1)解：由题意，可知a2a1=41=4，
故数列{an+1an}是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴an+1an=4⋅2n−1=2n+1，n∈N*，
则a1=1，a2a1=22，a3a2=23，⋅⋅⋅，anan−1=2n，
各项相乘，
可得an=1⋅22⋅23⋅⋅⋅⋅⋅2n
=22+3+⋅⋅⋅+n
=2(n−1)(n+2)2，n∈N*．
(2)证明：由(1)可得，bn=log2an+1=log22n(n+3)2=n(n+3)2，
则1bn=2n(n+3)=23⋅(1n−1n+3)，
∴i=1nbi=1b1+1b2+1b3+⋅⋅⋅+1bn−2+1bn−1+1bn
=23⋅(1−14)+23⋅(12−15)+23⋅(13−16)+⋅⋅⋅+23⋅(1n−2−1n+1)+23⋅(1n−1−1n+2)+23⋅(1n−1n+3)
=23⋅(1−14+12−15+13−16+⋅⋅⋅+1n−2−1n+1+1n−1−1n+2+1n−1n+3)
=23⋅(1+12+13−1n+1−1n+2−1n+3)
=119−23⋅(1n+1+1n+2+1n+3)<119，
故不等式i=1nbi<119对任意n∈N*恒成立．
【解析】(1)先根据题意计算出a2a1=4，即可得到数列{an+1an}是以4为首项，2为公比的等比数列，进一步计算出数列{an+1an}的通项公式，再运用累乘法计算出数列{an}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式，进一步计算出1bn的表达式，再运用裂项相消法计算出前n项和i=1nbi的表达式，最后根据不等式的性质即可证明结论成立．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了整体思想，转化与化归思想，累乘法，裂项相消法，不等式的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：(1)由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA=b2+4b2−2b×2b×13=113b2，
∴a= 333b，
∵cosA=13，∴sinA= 1−cos2A=2 23，
由正弦定理：asinA=bsinB，
∴sinB=bsinAa=2 23b 333b=2 6633，
∵c=2b，∴c>b，∴C>B，
∴cosB= 1−sin2B=5 3333，
∴tanB=sinBcosB=2 66335 3333=2 25；
(2)设BC边上的高为h，
由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA，
即11=b2+4b2−2b×2b×13=113b2，
∴b= 3，c=2 3，
∵cosA=13，∴sinA= 1−cos2A=2 23，
∴S△ABC=12bcsinA=12ah，
∴h=bcsinAa= 3×2 3×2 23 11=4 2211，
∴BC边上的高为4 2211．
【解析】(1)由余弦定理得a= 333b，由正弦定理可求得sinB，再由同角三角函数的基本关系即可求得；
(2)由余弦定理求出b，c，再由等面积法即可求得．
本题考查利用正、余弦定理和面积公式解三角形，属于中档题．
19.【答案】解：(1)根据数据判断知y=cedx适宜作为该公司月经济收人y关于月份x的回归方程类型；
(2)因为y关于x的回归方程为y=cedx，
对等式两边同时取对数，得lny=lnc+dx，
设u=lny，
此时u=lnc+dx，
又x−=1+2+3+4+5+66=3.50，u−=2.86，
所以d =i=16(xi−x−)(ui−u−)i=16(xi−x−)2=7.2917.50≈0.42，
则lnc=u−−7.2917.50x≈1.40，
所以lny=1.40+0.42x，
即y =e1.40+0.42x；
(3)易知在前6个月的收入中，月收入超过16百万的有3个，
则X的所有取值为0，1，2，3，
此时P(X=0)=C33C30C63=120，P(X=1)=C31C32C63=920，P(X=2)=C32C31C63=920，P(X=3)=C33C30C63=120，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
120
920
920
120
则E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32．
【解析】(1)由题意，根据所给数据进行判断即可；
(2)结合(1)中所得模型，对等式两边同时取对数，设u=lny，根据表中数据求出lnc和d的值，代入公式中即可求解；
(3)根据表中信息得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望以及线性回归方程，考查了逻辑推理和运算能力．
20.【答案】(1)证明：因为四边形PBCQ为矩形，所以BC⊥PB，因为BC⊥AB，且AB∩PB=B，
所以BC⊥平面PAB，因为BC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD；
(2)解：因为PA=PB=AB，O为AB中点，所以PO⊥AB，
因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，
如图建立空间直角坐标系O−xyz，
设BC=1，则P(0,0, 3)，D(−1,2,0)，C(1,1,0)，
所以OP=(0,0, 3)，OD=(−1,2,0)，CP=(−1,−1, 3)，
CD=(−2,1,0)，设平面OPD的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，
平面PCD的法向量为n=(x2,y2,z2)，由OP⋅m=0OD⋅m=0，可得 3z1=0−x1+2y1=0，
取y1=1，得x1=2，z1=0，即m=(2,1,0)，
由CP⋅n=0CD⋅n=0，可得−x2−y2+ 3z2=0−2x2+y2=0，
取x2=1，得y2=2，z2= 3，即n=(1,2, 3)，
由图可知二面角O−PD−C的平面角为锐角，
所以cos〈m,n〉=m⋅n|m||n|=4 5× 8= 105，
故二面角O−PD−C的余弦值为 105．
【解析】(1)先证明BC⊥平面PAB，继而转化即可；(2)利用空间直角坐标系，找到关键点的坐标即可，进而求二面角．
本题考查二面角，考查线面，面面位置关系，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可得2b=2c= 32⋅2ba= b2+c2，解得a=2，b=1，
所以椭圆C的方程为：x24+y2=1；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kx+mx2+4y2=4，整理可得：(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0，
Δ=64k2m2−4(1+4k2)(4m2−4)>0，即m2<1+4k2，
且x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4m2−41+4k2，y1+y2=k(x1+x2)+2m=−8k2m1+4k2+2m=2m1+4k2，
设AB的中点D，则D(−4km1+4k2,m1+4k2)，
由题意可得|AB|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 1+k2⋅ 64k2m2(1+4k2)2−4⋅4m2−41+4k2= 1+k2⋅4 4k2+1−m21+4k2=8 25，
即 1+k2⋅ 4k2+1−m21+4k2=2 25，①
kPD⋅kAB=−1，
所以kPD=−1k=m1+4k2+35−4km1+4k2=−5m+3(1+4k2)4km，即1+4k2=5m，②
而m2<1+4k2，
可得m2<5m，解得0
可得k2=1，即k=±1，
所以直线l的方程为y=x+1或y=−x+1．
【解析】(1)由短轴长可知b的值，再由等边三角形可知b的值，进而求出椭圆的方程；
(2)设A，B的坐标，可得AB的中点D的坐标，由题意可得PD⊥AB，求出直线PD的斜率，由题意可得k，m的关系，求出|AB|的表达式，由题意可得k，m的关系，求出k，m的值，即求出直线l的方程．
本题考查椭圆的方程的方法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)已知f(x)=xlnx−(a+1)x+b(a,b∈R)，函数定义域为(0,+∞)，
当a=0，b=1时，函数f(x)=xlnx−x+1，
可得f′(x)=lnx，
不妨设切点为(x0,y0)，
此时f′(x0)=lnx0，
因为切线斜率为1，
所以lnx0=1，
解得x0=e，
所以f(x0)=elne−e+1=1，
此时切点坐标为(e,1)，
则曲线y=f(x)在点(e,1)处的切线方程为y−1=1×(x−e)，
即x−y−e+1=0；
(2)若ba=e，
即b=ae，
此时f(x)=xlnx−x−ax+ae，函数定义域为[e,e2]
可得f′(x)=1+lnx−1−a=lnx−a，
令f′(x)=0，
解得x=ea，
当ea≤e，即a≤1时，f′(x)>0，
此时函数f(x)在定义域上单调递增，
则f(x)max=f(e2)=e2−ae2+ae；
当e0，f(x)单调递增，
所以f(x)max=max{f(e),f(e2)}，
当f(e)>f(e2)，即0>e2−ae2+ae时，
可得a>ee−1，
所以当2>a>ee−1时，f(x)max=f(e)=0；
当f(e)≤f(e2)，即0≤e2−ae2+ae时，
可得a≤ee−1，
所以当1
此时函数f(x)在定义域上单调递减，
则f(x)max=f(e)=0，
综上，当a>ee−1时，函数f(x)的最大值为0；
当a≤ee−1时，函数f(x)的最大值为e2−ae2+ae．
【解析】(1)由题意，将a=0，b=1代入函数f(x)解析式中，对函数f(x)进行求导，设切点为(x0,y0)，切线斜率为1，得到切线坐标，再代入切线方程中即可求解；
(2)若ba=e，即b=ae，f(x)=xlnx−x−ax+ae，对函数f(x)进行求导，分别讨论当a>ee−1和a≤ee−1这两种情况，结合导数的几何意义即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
2022-2023学年安徽省亳州市联考高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|x<0}，B={x|x2−1<0}，则A⋂B=( )
A. {x|−1≤x<0} B. {x|x>−1}
C. {x|−1
A. 1 B. ±1 C. 0 D. ± 3
3. 已知圆锥的底面半径为1，高为2 2，则该圆锥内切球的体积为( )
A. 2π3 B. 2 2π3 C. 2π3 D. 4π3
4. 定义行列式abcd=ad−bc，若行列式a2132
C. (−32,1) D. (−∞,−32)∪(1,+∞)
5. 如图，已知平面向量OA,OB,OC的模均为4，且∠AOB=∠BOC=60°，则AB⋅BC=( )
A. 4
B. −4
C. 8
D. −8
6. 《“健康中国2030”规划纲要》提出，健康是促进人类全面发展的必然要求，是经济社会发展的基础条件.实现国民健康长寿，是国家富强、民族振兴的重要标志，也是全国各族人民的共同愿望.为普及健康知识，某公益组织为社区居民组织了一场健康知识公益讲座，为了解讲座效果，随机抽取了10位居民在讲座后进行健康知识问卷(百分制)，这十位居民的得分情况如表所示：
答题居民序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
72
83
65
76
88
90
65
90
95
76
则下列说法正确的是( )
A. 该10位居民的答卷得分的极差为32
B. 该10位居民的答卷得分的中位数为795
C. 该10位居民的答卷得分的50%分位数为76
D. 该10位居民的答卷得分的平均数为79
7. 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C(5p2,0)，且△ACF为等边三角形，△ABC的面积为 3，则p=( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
8. 设函数f(x)=cosx+|sinx|，则( )
A. f(x)∈[− 2, 2]且f(x)在(π,7π4)应调递增
B. f(x)∈[− 2, 2]且f(x)在(π,7π4)单调递减
C. f(x)∈[−1, 2]且f(x)在(π,7π4)单调递增
D. f(x)∈[−1, 2]且f(x)在(π,7π4)单调递减
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知a>b>1，则( )
A. 1a>1ab B. a+b+1 ab≥4
C. 2b−a<1 D. ln(a−b)>0
10. 已知事件A，B满足P(A|B)=P(A)=0.3，P(B|A)=0.5，则( )
A. 事件A，B相互独立 B. P(B|A)=P(B)
C. 事件A，B互斥 D. P(AB)=0.15
11. 已知函数f(x)=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ(0<ω⩽2,0<φ<π2)满足f(0)=12,f(x)≤f(π9)，则下列结论正确的是( )
A. ω=2
B. f(5π9−x)=−f(x)
C. f(x+π9)为偶函数
D. 曲线y=f(x)在x=0处的切线斜率为3 32
12. 已知函数f(x)，g(x)及其导函数f′(x)，g′(x)的定义域均为R，f(x+1)为偶函数，函数y=g(x+1)的图象关于(−1,0)对称，则( )
A. f(g(1))=f(2+g(−1)) B. g(f(1))=−g(f(2))
C. f(g′(−1))=f(2−g′(1)) D. g′(f′(−1))=g′(f′(3))
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数f(x)=lg(x−a)(x−1)为偶函数，则a= ______ ．
14. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5+2a17=42，a6=4，则{an}的公差等于______ ．
15. 对于正整数n≥2时，Cn0+Cn1(x+1)+Cn2(x+1)2+⋅⋅⋅+Cnn(x+1)n=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+anxn，若a3=40，则n= ______ ．
16. 已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，圆O：x2+y2=a2与E的一条渐近线的一个交点为M(点M在第一象限)，且cos∠MF1F2=5 714，则E的离心率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知数列{an}中，a1=1，a2=4，{an+1an}是公比为2的等比数列．
(1)求an；
(2)bn=log2an+1，求证：i=1n1bi<119．
18. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=2b，cosA=13．
(1)求tanB的值；
(2)若a= 11，求BC边上的高．
19. (本小题12.0分)
国务院印发《新时期促进集成电路产业和软件产业高质量发展的若干政策》.某科技公司响应国家号召，加大了芯片研究投入力度.从2022年起，芯片的经济收入逐月攀升，该公司在2022年的第一月份至第六月份的月经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如下表所示：
时间x(月份)
1
2
3
4
5
6
月收入y(百万元)
6
9
15
22
33
47
(1)请你根据提供数据，判断y=ax+b与y=cedx(a,b,c,d均为常数)哪一个适宜作为该公司月经济收人y关于月份x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程；
(3)从这6个月中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据：
u−
i=16(xi−x−)2
i=16(xi−x−)(yi−y−)
i=16(xi−x−)(ui−u−)
2.86
17.50
142
7.29
其中设u=lny，ui=lnyi(i=1,2,3,4,5,6)
参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据(xi,vi)(i=1,2,3,⋅⋅⋅,n)，其回归直线v =β x=α 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β =i=1n(xi−x−)(vi−v−)i=1n(xi−x−)2,α =v−−β x．
20. (本小题12.0分)
如图，已知五面体中，四边形PBCQ为矩形，ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC//AD，PA=PB=AB=AD=2BC．
(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)若O为AB中点，求二面角O−PD−C的余弦值．
21. (本小题12.0分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)短轴长为2，C短轴的两个顶点与左焦点构成等边三角形．
(1)求C的标准方程；
(2)直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于A、B两点，且|AB|=8 25，点P(0,−35)满足PA=PB，求直线l的方程．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=xlnx−(a+1)x+b(a,b∈R)．
(1)若a=0，b=1，求函数斜率为1的切线方程；
(2)若ba=e，讨论f(x)在[e,e2]的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵集合A={x|x<0}，B={x|x2−1<0}={x|−1
求出集合B，利用交集定义、不等式性质能求出结果．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：z=a+i(a∈R)满足z⋅z−=2，
则(a+i)(a−i)=a2+1=2，解得a=±1．
故选：B．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：如图，圆锥与内切球的轴截面图，点O为球心，内切球的半径为r，D，E为切点，设OD=OE=r，
即BE=BD=1，
由条件可知，AB= (2 2)2+12=3，
在△ADO中，AO2=AD2+DO2，即(2 2−r)2=(3−1)2+r2，解得：r= 22，
所以圆锥内切球的体积V=4πr33=43π×( 22)3= 23π．
故选：A．
根据圆锥与内切球的轴截面图，列出等量关系，即可求解．
本题主要考查圆锥的内切球问题，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：行列式a2132
故选：A．
根据行列式的计算法则，求解关于a的不等式即可．
本题考查了行列式与不等式的解法应用问题，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：已知平面向量OA,OB,OC的模均为4，且∠AOB=∠BOC=60°，
则AB⋅BC=(OB−OA)⋅(OC−OB)=OB⋅OC−OA⋅OC−OB2+OA⋅OB=4×4×12−4×4×(−12)−42+4×4×12=8．
故选：C．
由平面向量的减法运算，结合平面向量数量积的运算求解即可．
本题考查了平面向量的减法运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：该10位居民的答卷得分从小到大排序为：65，65，72，76，76，83，88，90，90，95，
对于A，该10位居民的答卷得分的极差为95−65=30，故A错误；
对于B，该10位居民的答卷得分的中位数为76+832=79.5，故B正确；
对于C，该10位居民的答卷得分的50%分位数为76+832=79.5，故C错误；
对于D，该10位居民的答卷得分的平均数为72+83+65+76+88+90+65+90+95+7610=80，故D错误．
故选：B．
先把该10位居民的答卷得分从小到大排序，再结合极差、中位数、百分位数和平均数的定义，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了极差、中位数、百分位数和平均数的计算，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，
设C(5p2,0)，且△ACF为等边三角形，
所以三角形的边长为2p，则|AB|=2p，C到AB的距离为： 3p，
△ABC的面积为 3，
可得12×2p× 3= 3，解得p=1．
故选：A．
利用已知条件求解三角形的边长，结合抛物线的定义，通过三角形的面积求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由于f(x+π)=cos(x+π)+|sin(x+π)|=−cosx+|sinx|≠f(x)，得f(x)的最小正周期不是π；
f(x+2π)=cos(x+2π)+|sin(x+2π)|=cosx+|sinx|=f(x)，则f(x)的周期为2π，
当x∈[0,π)时，f(x)=cosx+sinx= 2sin(x+π4)，
由于0≤x<π，得π4≤x+π4<5π4，故 2sin(x+π4)∈(−1, 2],
当x∈[π,2π]时，f(x)=cos x−sinx= 2cos(x+π4)，
由于π≤x≤2π，得5π4≤x+π4≤9π4，故 2cos(x+π4)∈[−1, 2]，
综上所述，可得f(x)的值域为[−1, 2]，
当x∈(π,7π4)时，f(x)=cosx−sinx= 2cos(x+π4)，
由于π
故选：C．
首先证明函数f(x)的周期为2π，然后分0≤x<π与x∈[π,2π]两种情况分别讨论函数的值域，判断函数的单调区间即可．
本题考查函数的性质，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：因为a>b>1，
所以ab>a>1，1ab<1a，A正确；
因为a>b>1，即a≠b，
所以a+b+1 ab>2 ab+1 ab>2 2 ab⋅1 ab=2 2，B错误；
2b−a<20=1，C正确；
当a=2，b=1时，D显然错误．
故选：AC．
由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，事件A，B满足P(A|B)=P(A)=0.3，P(B|A)=0.5，
则有P(B|A)=P(AB)P(A)=0.5，变形可得P(AB)=P(A)P(B|A)=0.15，D正确；
又由P(A|B)=P(AB)P(B)=0.15P(B)=0.3，则P(B)=0.5，
则有P(AB)P(A)=P(B)=0.5，B正确；
又由P(AB)=P(A)P(B)，则A、B相互独立，A正确，
同时，事件A、B可能同时发生，C错误．
故选：ABD．
根据题意，由条件概率公式变形可得P(AB)的值，可得D正确，进而由P(A|B)=P(AB)P(B)，求出P(B)的值，可得B正确，由相互独立事件的判断方法可得A正确，C错误，综合可得答案．
本题考查条件概率的性质和应用，涉及相互独立事件的判定，属于基础题．
11.【答案】CD
【解析】解：f(x)=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ=sin(2ωx+φ)，
因为f(0)=12，
所以sinφ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，
所以f(x)=sin(2ωx+π6)，
由f(x)≤f(π9)，可得f(π9)是函数的最大值，
所以2ω×π9+π6=2kπ+π2，k∈Z，
解得ω=9k+32，k∈Z，
又0<ω⩽2，所以取k=0，得ω=32，故A错误；
所以f(x)=sin(3x+π6)，
f(5π9−x)=sin(5π3−3x+π6)=sin(3π2+π3−3x)=−sin(3x−π3)≠−f(x)，故B错误；
f(x+π9)=sin(3x+π3+π6)=sin(3x+π2)=cos3x，显然为偶函数，故C正确；
f′(x)=3cos(3x+π6)，f′(0)=3cosπ6=3 32，即曲线y=f(x)在x=0处的切线斜率为3 32，故D正确．
故选：CD．
利用三角恒等变换化简f(x)=sin(2ωx+φ)，由已知可求得φ和ω的值，从而判断A；可得f(x)的解析式，计算f(5π9−x)即可判断B；计算f(x+π9)即可判断C；，利用导数的几何意义即可判断D．
本题考查正弦型函数的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：∵f(x+1)为偶函数，
∴f(1−x)=f(1+x)，即f(x)=f(2−x)，①
两边同时求导可得：f′(x)=−f′(2−x)，即f′(x)+f′(2−x)=0；②
又函数y=g(x+1)的图象关于(−1,0)对称，
∴函数y=g(x)的图象关于(0,0)对称，即y=g(x)为奇函数，即g(−x)=−g(x)，g(x)为奇函数；
两边同时求导可得：−g′(−x)=−g′(x)，化为g′(−x)=g′(x)，即y=g′(x)为偶函数，③
对于A，由g(x)为奇函数，得g(−1)=−g(1)，故2+g(−1)=2−g(1)，
由①得f(g(1))=f(2−g(1))，A正确；
对于B，∵f(1)+f(2)≠0，即f(1)≠−f(2)，故g(f(1))≠−g(f(2))，B错误；
对于C，由③知，g′(−1)=g′(1)，结合①可得f(g′(−1))=f(2−g′(1))，C正确；
对于D，由②f′(x)+f′(2−x)=0，
得f′(−1)+f′(3)=0，即f′(−1)=−f′(3)，
由③知，g′(f′(−1))=g′[−(f′(3)]=g′(f′(3))，D正确．
故选：ACD．
利用函数奇偶性的性质及其导数的性质对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及导数的计算，属于中档题．
13.【答案】−1
【解析】解：因为函数f(x)=lg(x−a)(x−1)为偶函数，
所以f(−x)=f(x)，
即lg(x−a)(x−1)=lg(−x−a)(−x−1)，
即(x−a)(x−1)=(−x−a)(−x−1)，
即(x−a)(x−1)=(x+a)(x+1)，
可得a=−1．
故答案为：−1．
由偶函数的性质即可求解a的值．
本题主要考查偶函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
由于S5+2a17=42，即S5+2a17=5a1+10d+2a1+32d=7(a1+6d)=42，
则有a1+6d=a7=6，
又由a6=4，则d=a7−a6=2．
故答案为：2．
根据题意，设等差数列{an}的公差为d，由S5+2a17=42，变形可得a1+6d=a7=6，又由a6=4，分析可得答案．
本题考查等差数列的性质和应用，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
15.【答案】5
【解析】解：∵[1+(x+1)]n=Cn0+Cn1(x+1)+Cn2(x+1)2+⋅⋅⋅+Cnn(x+1)n=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+anxn，
∴(x+2)n=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+anxn，
若a3=40，则Cn3⋅2n−3=40，可得n(n−1)(n−2)6⋅2n−3=40，
即n=5．
故答案为：5．
把已知等式变形，结合二项展开式的通项求解．
本题考查二项式定理的应用，考查划归与转化思想，是基础题．
16.【答案】2或73
【解析】解：双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，
圆O：x2+y2=a2与E的一条渐近线的一个交点为M(点M在第一象限)，
可得x2+y2=a2y=bax，解得M(a2c,abc)，
cos∠MF1F2=5 714，
可得tan∠MF1F2= 1−cos2∠MF1F2cos2∠MF1F2= 14225×7−1= 35=abcc+a2c=abc2+a2，
可得325=e2−1(e2+1)2，解得e=2或e=73．
故答案为：2或73．
求解M的坐标，利用cos∠MF1F2=5 714，求解a、b、c的关系，然后求解离心率．
本题考查双曲线的简单性质的应用，圆与双曲线的综合应用，是中档题．
17.【答案】(1)解：由题意，可知a2a1=41=4，
故数列{an+1an}是以4为首项，2为公比的等比数列，
∴an+1an=4⋅2n−1=2n+1，n∈N*，
则a1=1，a2a1=22，a3a2=23，⋅⋅⋅，anan−1=2n，
各项相乘，
可得an=1⋅22⋅23⋅⋅⋅⋅⋅2n
=22+3+⋅⋅⋅+n
=2(n−1)(n+2)2，n∈N*．
(2)证明：由(1)可得，bn=log2an+1=log22n(n+3)2=n(n+3)2，
则1bn=2n(n+3)=23⋅(1n−1n+3)，
∴i=1nbi=1b1+1b2+1b3+⋅⋅⋅+1bn−2+1bn−1+1bn
=23⋅(1−14)+23⋅(12−15)+23⋅(13−16)+⋅⋅⋅+23⋅(1n−2−1n+1)+23⋅(1n−1−1n+2)+23⋅(1n−1n+3)
=23⋅(1−14+12−15+13−16+⋅⋅⋅+1n−2−1n+1+1n−1−1n+2+1n−1n+3)
=23⋅(1+12+13−1n+1−1n+2−1n+3)
=119−23⋅(1n+1+1n+2+1n+3)<119，
故不等式i=1nbi<119对任意n∈N*恒成立．
【解析】(1)先根据题意计算出a2a1=4，即可得到数列{an+1an}是以4为首项，2为公比的等比数列，进一步计算出数列{an+1an}的通项公式，再运用累乘法计算出数列{an}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式，进一步计算出1bn的表达式，再运用裂项相消法计算出前n项和i=1nbi的表达式，最后根据不等式的性质即可证明结论成立．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了整体思想，转化与化归思想，累乘法，裂项相消法，不等式的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：(1)由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA=b2+4b2−2b×2b×13=113b2，
∴a= 333b，
∵cosA=13，∴sinA= 1−cos2A=2 23，
由正弦定理：asinA=bsinB，
∴sinB=bsinAa=2 23b 333b=2 6633，
∵c=2b，∴c>b，∴C>B，
∴cosB= 1−sin2B=5 3333，
∴tanB=sinBcosB=2 66335 3333=2 25；
(2)设BC边上的高为h，
由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA，
即11=b2+4b2−2b×2b×13=113b2，
∴b= 3，c=2 3，
∵cosA=13，∴sinA= 1−cos2A=2 23，
∴S△ABC=12bcsinA=12ah，
∴h=bcsinAa= 3×2 3×2 23 11=4 2211，
∴BC边上的高为4 2211．
【解析】(1)由余弦定理得a= 333b，由正弦定理可求得sinB，再由同角三角函数的基本关系即可求得；
(2)由余弦定理求出b，c，再由等面积法即可求得．
本题考查利用正、余弦定理和面积公式解三角形，属于中档题．
19.【答案】解：(1)根据数据判断知y=cedx适宜作为该公司月经济收人y关于月份x的回归方程类型；
(2)因为y关于x的回归方程为y=cedx，
对等式两边同时取对数，得lny=lnc+dx，
设u=lny，
此时u=lnc+dx，
又x−=1+2+3+4+5+66=3.50，u−=2.86，
所以d =i=16(xi−x−)(ui−u−)i=16(xi−x−)2=7.2917.50≈0.42，
则lnc=u−−7.2917.50x≈1.40，
所以lny=1.40+0.42x，
即y =e1.40+0.42x；
(3)易知在前6个月的收入中，月收入超过16百万的有3个，
则X的所有取值为0，1，2，3，
此时P(X=0)=C33C30C63=120，P(X=1)=C31C32C63=920，P(X=2)=C32C31C63=920，P(X=3)=C33C30C63=120，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
120
920
920
120
则E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32．
【解析】(1)由题意，根据所给数据进行判断即可；
(2)结合(1)中所得模型，对等式两边同时取对数，设u=lny，根据表中数据求出lnc和d的值，代入公式中即可求解；
(3)根据表中信息得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望以及线性回归方程，考查了逻辑推理和运算能力．
20.【答案】(1)证明：因为四边形PBCQ为矩形，所以BC⊥PB，因为BC⊥AB，且AB∩PB=B，
所以BC⊥平面PAB，因为BC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD；
(2)解：因为PA=PB=AB，O为AB中点，所以PO⊥AB，
因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，
如图建立空间直角坐标系O−xyz，
设BC=1，则P(0,0, 3)，D(−1,2,0)，C(1,1,0)，
所以OP=(0,0, 3)，OD=(−1,2,0)，CP=(−1,−1, 3)，
CD=(−2,1,0)，设平面OPD的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，
平面PCD的法向量为n=(x2,y2,z2)，由OP⋅m=0OD⋅m=0，可得 3z1=0−x1+2y1=0，
取y1=1，得x1=2，z1=0，即m=(2,1,0)，
由CP⋅n=0CD⋅n=0，可得−x2−y2+ 3z2=0−2x2+y2=0，
取x2=1，得y2=2，z2= 3，即n=(1,2, 3)，
由图可知二面角O−PD−C的平面角为锐角，
所以cos〈m,n〉=m⋅n|m||n|=4 5× 8= 105，
故二面角O−PD−C的余弦值为 105．
【解析】(1)先证明BC⊥平面PAB，继而转化即可；(2)利用空间直角坐标系，找到关键点的坐标即可，进而求二面角．
本题考查二面角，考查线面，面面位置关系，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可得2b=2c= 32⋅2ba= b2+c2，解得a=2，b=1，
所以椭圆C的方程为：x24+y2=1；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=kx+mx2+4y2=4，整理可得：(1+4k2)x2+8kmx+4m2−4=0，
Δ=64k2m2−4(1+4k2)(4m2−4)>0，即m2<1+4k2，
且x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4m2−41+4k2，y1+y2=k(x1+x2)+2m=−8k2m1+4k2+2m=2m1+4k2，
设AB的中点D，则D(−4km1+4k2,m1+4k2)，
由题意可得|AB|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 1+k2⋅ 64k2m2(1+4k2)2−4⋅4m2−41+4k2= 1+k2⋅4 4k2+1−m21+4k2=8 25，
即 1+k2⋅ 4k2+1−m21+4k2=2 25，①
kPD⋅kAB=−1，
所以kPD=−1k=m1+4k2+35−4km1+4k2=−5m+3(1+4k2)4km，即1+4k2=5m，②
而m2<1+4k2，
可得m2<5m，解得0
可得k2=1，即k=±1，
所以直线l的方程为y=x+1或y=−x+1．
【解析】(1)由短轴长可知b的值，再由等边三角形可知b的值，进而求出椭圆的方程；
(2)设A，B的坐标，可得AB的中点D的坐标，由题意可得PD⊥AB，求出直线PD的斜率，由题意可得k，m的关系，求出|AB|的表达式，由题意可得k，m的关系，求出k，m的值，即求出直线l的方程．
本题考查椭圆的方程的方法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)已知f(x)=xlnx−(a+1)x+b(a,b∈R)，函数定义域为(0,+∞)，
当a=0，b=1时，函数f(x)=xlnx−x+1，
可得f′(x)=lnx，
不妨设切点为(x0,y0)，
此时f′(x0)=lnx0，
因为切线斜率为1，
所以lnx0=1，
解得x0=e，
所以f(x0)=elne−e+1=1，
此时切点坐标为(e,1)，
则曲线y=f(x)在点(e,1)处的切线方程为y−1=1×(x−e)，
即x−y−e+1=0；
(2)若ba=e，
即b=ae，
此时f(x)=xlnx−x−ax+ae，函数定义域为[e,e2]
可得f′(x)=1+lnx−1−a=lnx−a，
令f′(x)=0，
解得x=ea，
当ea≤e，即a≤1时，f′(x)>0，
此时函数f(x)在定义域上单调递增，
则f(x)max=f(e2)=e2−ae2+ae；
当e
所以f(x)max=max{f(e),f(e2)}，
当f(e)>f(e2)，即0>e2−ae2+ae时，
可得a>ee−1，
所以当2>a>ee−1时，f(x)max=f(e)=0；
当f(e)≤f(e2)，即0≤e2−ae2+ae时，
可得a≤ee−1，
所以当1
此时函数f(x)在定义域上单调递减，
则f(x)max=f(e)=0，
综上，当a>ee−1时，函数f(x)的最大值为0；
当a≤ee−1时，函数f(x)的最大值为e2−ae2+ae．
【解析】(1)由题意，将a=0，b=1代入函数f(x)解析式中，对函数f(x)进行求导，设切点为(x0,y0)，切线斜率为1，得到切线坐标，再代入切线方程中即可求解；
(2)若ba=e，即b=ae，f(x)=xlnx−x−ax+ae，对函数f(x)进行求导，分别讨论当a>ee−1和a≤ee−1这两种情况，结合导数的几何意义即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
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