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2022年高考数学分类题库
展开【命题意图】本题考查实数值的求法,考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式等基础知识,考查运算求解能力.
【解析】选C.c=(3+t,4),cs=cs,即9+3t+165|c|=3+t|c|,解得t=5.
2.(2022·全国乙卷理科·T3)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【命题意图】考查向量的模、向量的数量积的运算.
【解析】选C.因为|a-2b|2=|a|2-4a·b+4|b|2,
又因为|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,所以9=1-4a·b+4×3=13-4a·b,所以a·b=1.
3.(2022·北京高考·T10)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则·的取值范围是( )
A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6]
【命题意图】考查平面解析几何,平面向量的应用,难度较大.
【解析】选D.如图建系,则C(0,0),A(3,0),B(0,4),因为PC=1,所以设P(cs θ,sin θ),θ∈[0,2π],所以·=(3-cs θ,-sin θ)·(-cs θ,4-sin θ)=-3cs θ-4sin θ+1=1-5sin (θ+φ),其中sin φ=35,因为sin (θ+φ)∈[-1,1],所以·∈[-4,6].
4.(2022·浙江高考数学科·T17)(4分)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则++…+的取值范围是 .
【命题意图】本题考查向量的运算及坐标法的应用,考查学生的运算能力.
【解析】以圆心为原点,A7A3所在直线为x轴,A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示:
则A1(0,1),A222,22,A3(1,0),A422,-22,A5(0,-1),A6-22,-22,A7(-1,0),A8-22,22,设P(x,y),于是++…+=8(x2+y2)+8,
因为cs 22.5°≤|OP|≤1,所以1+cs45°2≤x2+y2≤1,故++…+的取值范围是[12+22,16].
答案:[12+22,16]
5.(2022·全国甲卷文科)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m= .
【命题意图】本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量的数量积公式,两个向量坐标形式的运算法则
【解析】由题意知:a·b=m+3(m+1)=0,解得m=-34.
答案:-34
6.(2022·全国甲卷理科)设向量a,b的夹角的余弦值为13,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b= .
【命题意图】本题主要考查平面向量的定义,平面向量的运算法则等知识,属于中等题.
【解析】由题意可得a·b=1×3×13=1,b2=9,
则(2a+b)·b=2a·b+b2=2+9=11.
答案:11
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