热点5-1 等差数列的通项及前n项和（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
热点5-1 等差数列的通项及前n项和
主要考查等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等差数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等比数列一般设置一道选择题和一道解答题。
【题型1 等差数列的基本量计算】
【例1】（2023·四川乐山·统考一模）设等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．63 B．51 C．45 D．27
【答案】B
【解析】由题意知等差数列中，，，
设首项为，公差为d，
则，即，解得，
故，故选：B
【变式1-1】（2023·全国·高三校联考期中）记等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
因为且，可得，解得.故选：C.
【变式1-2】（2023·广东广州·高三广雅中学校考阶段练习）已知数列是等差数列，是其前项和.若，，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
则，解得，所以.故选：C
【变式1-3】（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中校联考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则 .
【答案】0
【解析】设数列的公差为d，由已知有，，解得，，
所以.
【题型2 等差数列性质的应用】
【例2】（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．60 B．120 C．180 D．240
【答案】C
【解析】根据等差数列下标和性质可知，得，
所以．故选：C．
【变式2-1】（2023·山东济宁·高三统考期中）设等差数列的前n项和为，已知，，则（ ）．
A．32 B．64 C．80 D．128
【答案】B
【解析】因为是等差数列，所以，则；
又，则；则.故选：B.
【变式2-2】（2023·上海·高三校考期中）已知数列是等差数列，，则 .
【答案】
【解析】因为数列是等差数列，
所以，
所以，
所以，所以.
【变式2-3】（2023·河南·高三校联考期中）（多选）记等差数列的前n项和为，则根据下列条件能够确定的值的是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】AD
【解析】，所以A正确，
由于，结合,所以B错误，
对于C，，，故C错误，
对于D，，
，所以，
又，
所以，故D正确，故选：AD
【题型3 等差数列的单调性及应用】
【例3】（2022·广东惠州·统考一模）设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：若，则，即，
∴，即，所以充分性成立；
必要性：若，即，∴，则，必要性成立.
因此，“”是“”的充要条件.故选：C.
【变式3-1】（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）若等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C
【解析】依题意，
又，即，则
则，且，
所以等差数列单调递减，，
所以对任意正整数，都有，则．故选，C．
【变式3-2】（2022·湖北襄阳·高二校考阶段练习）（多选）设等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递减数列 B． C．当时， D．
【答案】ABCD
【解析】若，可得，可得B正确；
故数列为递减数列，故A正确；
因为，所以，
因为，所以，
因为数列是递减数列，故当时，，故C正确；
，故D正确；故选：ABCD.
【变式3-3】（2023·黑龙江·高三校联考阶段练习）（多选）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（ ）
A．若，则数列是递减数列
B．若，则数列是递增数列
C．若，则数列是公差为d的等差数列
D．若，则数列是公差为的等差数列
【答案】AD
【解析】由且，
A：由，即数列是递减数列，对；
B：由，若时，如，不单调，错；
C：由，则数列是公差为的等差数列，错；
D：由，则数列是公差为的等差数列，对.故选：AD
【题型4 等差数列前n项和性质应用】
【例4】（2024·四川宜宾·南溪第一中学校校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，
因为，
可知是以首项为，公差为的等差数列，
则，即，解得，
所以.故选：D.
【变式4-1】（2023·湖北荆州·高三松滋市第一中学校考阶段练习）等差数列、的前项和分别为与，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等差数列性质得，，
等差数列前n项和满足，则，
等差数列前n项和满足，则，
所以.故选：B.
【变式4-2】（2023·海南·校联考模拟预测）等差数列前项和分别为，且，则 .
【答案】
【解析】由等差数列性质可得，解得.
【变式4-3】（2023·安徽安庆·高三安徽省太湖中学校考阶段练习）（多选）已知为数列的前和，下列说法正确的是（ ）
A．若数列为等差数列，则 ，，为等差数列
B．若为等比数列，则，，为等比数列
C．若为等差数列，则，，为等差数列
D．若为等比数列，则，，为等比数列
【答案】AC
【解析】对于B和D，当公比时，且m为偶数时，，
此时，，不为等比数列；
，此时，，不为等比数列，则B和D错误；
对于A，若数列为等差数列，设公差为，则，
，，
由等差数列片段和性质知，，为等差数列，公差为,A正确；
对于C，若为等差数列，设公差为，
则，
，，
则，所以，，为等差数列，C正确；故选：
【题型5 等差数列前n项和的最值问题】
【例5】（2023·贵州·高三贵阳一中校考阶段练习）已知是等差数列的前项和，且，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设数列的首项为，公差为，
由，可得，
又由，可得，
因为，所以，所以，
可得等差数列为递减数列，
又因为，所以，
故等差数列的前项和最大值为.故选；A.
【变式5-1】（2023·黑龙江·高三省实验中学校考阶段练习）等差数列的前n项和为则的最大值为（ ）
A．60 B．45 C．30 D．15
【答案】B
【解析】因为
则，
则，则，
令，解得：，
因为是等差数列，
所以当时，，，当时，，
所以的最大值为.故选：B.
【变式5-2】（2023·江苏无锡·高三江阴市第一中学校考阶段练习）（多选）递增等差数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（ ）
A． B． C．当时最小 D．时n的最小值为8
【答案】ABD
【解析】A、B：由题意可设等差数列的公差为d，
因为，可得，解得，
又由等差数列是递增数列，可知，则，故A，B正确.
C：，
由得，当或4时最小，故C错误.
D：令，解得或，即时n的最小值为8，故D正确.故选：ABD.
【变式5-3】（2023·河北石家庄·高三新乐市第一中学校考开学考试）（多选）已知等差数列，其前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．使的的最大值为 C．公差 D．当时最大
【答案】ACD
【解析】等差数列，，
又，，A正确.
, C正确.
,
使的n的最大值为. B错误.
当，所以当时最大. D正确.故选：ACD
【题型6 含绝对值的等差数列求和】
【例6】（2023·上海·高三校考期中）在公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列．
（1）求，；
（2）若，，求．
【答案】（1）时，时；（2）
【解析】（1）公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列．
所以，即解得或，
①当时，．
②当时，．
（2）因为，所以，
令，
①当时，，所以，
所以．
②当时，，
所以，，
，．
故．
又，
且当时，
所以，则，解得或（舍去）.所以.
【变式6-1】（2023·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知是等差数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式与前项和；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得.
所以数列的通项公式为，
数列的前项和.
（2）由得，所以当时，，；
由得，所以当时，，.
所以，当时，；
当时，
.
所以，.
【变式6-2】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式
（2）若，求的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由，
当时，可得，
当时，，适合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由，可得，则，
令，可得，
当时，可得，
当时，可得
，
因为，所以，
所以.
【变式6-3】（2023·重庆·万州第三中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，设，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，所以，
所以当时，，所以；
当时，，
所以，所以，
又满足上式，所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
当时，；
当时，
；
所以，
当时，递减，所以；
当时，，
设，
则，令得，此时单调递增，
令得，此时单调递减，
所以在时递减，在时递增，
而，，且，所以；
综上，的最小值为.
【题型7 等差数列的判定与证明】
【例7】（2023·广东深圳·高三校考阶段练习）已知公比大于1的等比数列满足：，．
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，若，，证明：是等差数列．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）方法1：设公比为，因为是等比数列，所以，
又，解得或．
又，所以，所以，．
因此；
方法2：设公比为，由等比数列性质得出，解得或，
又，所以，
因此．
（2）由（1）得，所以，
两式作差可得，
即，整理得，．
方程同除以得，，即（）．
所以数列是公差为的等差数列．
【变式7-1】（2023·黑龙江·高三佳木斯一中校考阶段练习）已知数列的首项为，前项和为．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值及取到最小值时的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）或时．
【解析】（1）证明：因为①，
当时，②，
①-②得，，
即，所以且，
所以是以1为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，，，
又成等比数列，所以，
即，解得，所以，
所以，
所以，当或时．
【变式7-2】（2023·辽宁·高三校联考期中）设数列的各项都为正数，且．
（1）证明数列为等差数列；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由数列的各项都为正数，且，
得，即，
所以数列是以为公差的等差数列；
（2），由（1）得，
所以，则，
所以.
【变式7-3】（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正项数列的前项和为，满足.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设数列，求数列前项和的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由，
当时，，解得，
当时，，则，
整理，
又数列为正项数列，则，
所以，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）得，则
，
所以
.
【题型8 等差数列的实际应用】
【例8】（2023·海南海口·校联考一模）家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体．某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益，已知2019年的收益为30万元，2021年的收益为50万元．照此规律，从2019年至2026年该家庭农场的总收益为（ ）
A．630万元 B．350万元 C．420万元 D．520万元
【答案】D
【解析】依题意，该家庭农场每年收益依次成等差数列，设为，
可得，，所以公差为，
所以2019年至2026年该家庭农场的总收益为，故选：D
【变式8-1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至年月底，地区已经累计开通基站个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进网络建设．已知年月该地区计划新建个基站，以后每个月比上一个月多建个，则地区到年月底累计开通基站的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，年月及之后该地区每个月建设的基站数量为等差数列，且公差为，
则到年月底要经过个月，预计地区到年月底累计可开通
个基站．故选：D．
【变式8-2】（2023·江西·校联考模拟预测）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（ ）
A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年
【答案】A
【解析】由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，
由于，余数为0，故100年后天干为癸，由于，余数为4，
故100年后地支为未，
综上：100年后的2123年为癸未年.故选：A .
【变式8-3】（2022·江苏南通·高三统考期中）（多选）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（ ）
A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐
C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里
【答案】AD
【解析】由题意可知，两马日行里数都成等差数列;
记数列为良马的日行里数，其中首项公差
所以数列的通项公式为
记数列为驽马的日行里数，其中首项公差
所以数列的通项公式为
因此，对于A，驽马第七日行里数为，
即驽马第七日行九十四里；故A正确；
第七日良马行走总里程为，而齐去长安一千一百二十五里，
因为，所以第七日良马未至齐；所以B错误；
设第日两马相逢，由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍，
即，解得或（舍），
即第九日二马相逢；故C错误；
由C可知，第九日二马相逢，此时良马共行走了，
所以，二马相逢时良马行一千三百九十五里，所以D正确；故选：AD.
（建议用时：60分钟）
1．（2023·四川乐山·统考一模）设等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
【答案】C
【解析】由题意得成等差数列，即成等差数列，
即，解得.故选：C
2．（2023·重庆渝中·高三统考期中）已知数列均为等差数列，且，设数列前项的和为，则（ ）
A．84 B．540 C．780 D．920
【答案】D
【解析】根据题意可设数列的公差分别为；
由可知，
即可知数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以可得，
即可得，
所以.故选：D
3．（2023·全国·模拟预测）已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则（ ）
A．63 B．72 C．135 D．144
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，则，则．
由，得，解得．
又因为，所以，
所以．故选：C．
4．（2023·北京·高三顺义区第一中学校考阶段练习）若等差数列和等比数列满足，，，则的公差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，解得，所以，，
故.故选：D.
5．（2023·海南·高三海南中学校考阶段练习）在等差数列中，，其前项和为，且，则 的值等于（ ）
A． B． C．2023 D．2024
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，，
所以数列是等差数列，公差为，
又，则，即，又，
所以，
，解得.故选：B.
6．（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知数列满足：，且.若恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以.
由题知，，即，化简得，且不为0.
所以，所以数列是等差数列.
因为，所以.
因为，所以，解得，即公差.
所以，所以，
所以.故选：C.
7．（2023·江西南昌·高三江西师大附中校考期中）设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，其定义域为关于原点对称，
且，
所以函数是奇函数，
又，
所以函数是增函数，
由题意，
从而，即，
所以，整理得，
所以由等差数列的性质可知，
由等差数列前项和公式可知.故选：B.
8．（2023·黑龙江·高三大兴安岭实验中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．45 B．60 C．160 D．80
【答案】A
【解析】因为等差数列中，又，
所以，即，又，
所以.故选：A
9．（2023·河南三门峡·高三陕州中学校考阶段练习）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】D
【解析】根据等比数列的片段和性质有，
由，，成等差数列，有，
即，故有，
又因为数列为正项等比数列，则，
即，
当且仅当时，等号成立.故选：D.
10．（2023·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）已知为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则S5等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为与的等差中项为，所以，
设等比数列的公比为，
又，得：，解得：，
则，故选：C.
11．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）（多选）已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（ ）
A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．
【答案】ABC
【解析】设等差数列的公差为d，
由于，，故，则，B正确；
，则数列为递减数列，A正确，
由以上分析可知，时，，
故的最大值为，C正确；
，D错误，故选：ABC
12．（2023·河南·高三校联考阶段练习）（多选）已知各项都是实数的数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则数列是递减数列
B．若，则数列无最大值
C．若数列为等比数列，则为等比数列
D．若数列为等差数列，则为等差数列
【答案】ACD
【解析】对于选项，当时，，
又，所以，则是递减数列，故A正确；
对于选项是递减数列，所以，故B错误；
对于选项，由题意得各项均不为0，设公比为，
即，且0，即，
所以，故C正确；
对于选项D，若数列为等差数列，则，
所以即数列为等差数列，故D正确.故选：ACD.
13．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）（多选）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是递增数列
C．数列的最小项为和 D．满足的最大正整数
【答案】ABD
【解析】，当时，；
当时，；
，.
，数列是递增数列，故选项A、B正确；
，
当或时最小，即数列的最小项为和，故选项C错误，
令，得，，即满足的最大正整数，故选项D正确.故选：ABD
14．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，存在，，使得数列是等差数列
B．当时，存在，，使得数列是等比数列
C．当时，存在，，使得数列是等差数列
D．当时，存在，，使得数列是等比数列
【答案】ABC
【解析】因为，当时，，
当时，，两式相减可得，，
当时，当时，，则，即，
当，即，时，数列是等差数列，A正确；
当时，由，数列是等比数列，B正确；
当时，当时，，
即，
当，即时，，
此时数列是等差数列，C正确；
当时，，
即，
此时数列既不是等差数列又不是等比数列，D错误.故选：ABC
15．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由，，可得，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，可得数列为递增数列，且，
所以当时，；当时，；当时，，
所以，当或时，取得最小值，即，
所以，故的最小值为.
16．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）在等差数列中，已知公差，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，，
又，，成等比数列，所以，
化简得，解得或，又，所以，
可得数列的通项公式；
（2）由（1）得，由，得，
由，得，设数列的前n项和为，
所以
，
所以.满分技巧
1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
满分技巧
1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝eq \f(am－an,m－n)为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，
还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，
特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
满分技巧
当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列．
满分技巧
1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．
2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列．
3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
满分技巧
1、二次函数法： 将Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n配方．转化为求二次函数的最值问题，
但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a1>0，d<0，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥0，,an＋1≤0))时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤0，,an＋1≥0))时，Sn取得最小值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
满分技巧
1、定义法：或是等差数列；
2、定义变形法：验证是否满足；
3、等差中项法：为等差数列；
4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；
5、前n项和公式法：为常数为等差数列．
注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．