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高三数学高考高分突破之概率统计专题05 回归分析（解析版）65
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这是一份高三数学高考高分突破之概率统计专题05 回归分析（解析版）65，共20页。试卷主要包含了下列命题等内容，欢迎下载使用。
A．﹣2B．1C．2D．5
【解析】解：当x＝1时，ŷ=5x+1＝6，
∴方程在样本（1，4）处的残差是4﹣6＝﹣2．
故选：A．
例2．研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论
①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好；
③在回归直线方程ŷ=−0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量ŷ平均减少0.2个单位；
④若变量y和x之间的相关系数为r＝﹣0.9462，则变量y和x之间的负相关很强．
以上正确说法的是 ①③④ ．
【解析】解：①可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故①正确；
②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大说明拟合效果越好，故②错误；
③在回归直线方程ŷ=−0.2x+0.8中中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量ŷ平均减少0.2个单位，故③正确；
④若变量y和x之间的相关系数为r＝﹣0.9462，r的绝对值趋向于1，则变量y和x之间的负相关很强，故④正确．
故答案为：①③④．
例3．下列命题中，正确的命题有 ②③ ．
①回归直线ŷ=b̂x+â恒过样本点中心（x，y），且至少过一个样本点；
②用相关指数R2来刻画回归效果，表示预报变量对解释变量变化的贡献率，R2越接近于1说明模型的拟合效果越好；
③残差图中残差点比较均匀的落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适；
④两个模型中残差平方和越大的模型的拟合效果越好．
【解析】解：①回归直线ŷ=b̂x+â恒过样本点中心（x，y），不一定过样本点，故①正确；
②用相关指数R2来刻画回归效果，表示预报变量对解释变量变化的贡献率，R2越接近于1说明模型的拟合效果越好，正确；
③残差图中残差点比较均匀的落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，正确；
④两个模型中残差平方和越大的模型的拟合效果越差．故④错误，
故正确的是②③，
故答案为：②③
例4．下列命题：
①相关指数R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好．
②对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”可信程度越大．
③残差点比较均匀地落在水平带状区域内，带状区域越宽，说明模型拟合精度越高．
④两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0．
其中错误命题的个数为 4 ．
【解析】解：对于①，相关指数R2越小，则残差平方和越大，此时模型的拟合效果越差，所以①错误；
对于②，对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”可信程度越小，所以②错误；
对于③，残差点比较均匀地落在水平带状区域内，带状区域越宽，说明模型拟合精度越低，所以③错误；
对于④，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，所以④错误．
综上知，错误命题的序号是①②③④，共4个．
故答案为：4．
例5．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调査产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，……，20），其中xi和yi分别表示第i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得i=120 xi=80，i=120 yi=4000，i=120 （xi−x）2＝80，i=120 （yi−y）2＝8000，i=120 （xi−x）（yi−y）＝7000．
（1）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
（2）求y关于x的线性回归方程；
（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，如表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表：
某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率．根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？
参考公式：相关系数r=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)i=1n (yi−y)2．
对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，……，n），其回归直线ŷ=b̂x+â的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b̂=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2，â=y−b̂x．
【解析】解：（1）由题意知相关系数r=i=120 (xi−x)(yi−y)i=120 (xi−x)2i=120 (yi−y)2=70080×8000=78=0.875，
因为y与x的相关系数接近1，
所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．
（2）由题意可得，b̂=i=120 (xi−x)(yi−y)i=120 (xi−x)2=70080=8.75，â=y−b̂x=400020−8.75×8020=200−8.75×4=165，
所以ŷ=8.75x+165．
（3）以频率估计概率，购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X（单位：万元）的分布列为
E（X）＝﹣50×0.1+0×0.4+50×0.3+100×0.2＝30（万元）
购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y（单位：万元）的分布列为：
E（Y）＝﹣30×0.3+20×0.4+70×0.2+120×0.1＝25（万元）
因为E（X）＞E（Y），所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算．
例6．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．据统计该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．
（1）依据数据的折线图，请计算相关系数r（精确到0.01），并以此判定是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若是请求出回归直线方程，若不是请说明理由；
（2）过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了5台光照控制仪，求商家在过去50周每周利润的平均值．
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn），其相关系数公式r=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2i=1n (yi−y)2，回归直线ŷ=b̂x+â的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b̂=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2=i=1n xiyi−nxyi=1n (xi−x)2，â=y−b̂x，参考数据0.3≈0.55，0.9≈0.95．
【解析】解：（1）由已知数据可得x=2+4+5+6+85=5，y=3+4+4+4+55=4，
因为i=15 (xi−x)(yi−y)=(−3)×(−1)+0+0+0+3×1=6，
i=15 (xi−x)2=(−3)2+(−1)2+02+12+32=25，
i=15 (yi−y)2=(−1)2+02+02+02+12=2．
所以相关系数r=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2i=1n (yi−y)2=625⋅2=910≈0.95，
因为r＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系，
因为b̂=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2=620=0.3，â=y−b̂x=2.5，所以回归直线方程y＝0.3x+2.5．
（2）记商家周总利润为Y元，由条件可得在过去50周里：X＞70时，共有10周，只有2台光照控制仪运行，周总利润Y＝2×3000﹣3×1000＝3000元，
当50≤X≤70时，共有35周，有4台光照控制仪运行，周总利润Y＝4×3000﹣1×1000＝11000元，
当X＜50时，共有5周，5台光照控制仪都运行，周总利润Y＝5×3000＝15000元，
所以过去50周每周利润的平均值Y=3000×10+11000×35+15000×550=9800元，
所以商家在过去50周每周利润的平均值为9800元．
例7．湖南省从2021年开始将全面推行“3+1+2”的新高考模式，新高考对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分．
某校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如表：
现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据，作出茎叶图：
（1）根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；
（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考生物学科，其原始分为91分，根据赋分转换公式，分别求出这两位同学的转化分；
（3）根据生物成绩在等级B的6个原始分和对应的6个转化分，得到样本数据（Yi，Ti），请计算生物原始分Yi与生物转换分Ti之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法．
附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间
附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：Y2−YY−Y1=T2−TT−T1．（其中：Y1，Y2别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限．T的计算结果按四舍五入取整）．
附3：i=16 （Yi−Y）（Ti−T）＝74，i=16 (Yi−Y)2i=16 (Ti−T)2=5494≈74.12，r=i=1n (Yi−Y)(Ti−T)i=1n (Yi−Y)2i=1n (Ti−T)2．
【解析】解：（1）根据茎叶图知，政治成绩的中位数为72，生物成绩的众数为73；
（2）甲同学选考政治学科的等级为A，由转换赋分公式：98−8282−81=100−TT−86，解得T＝87；
乙同学选考生物学科的等级为A，由赋分转换公式：100−9191−90=100−TT−86，解得T＝87；
所以甲、乙两位同学的转换分都是87分．
（3）由题意知，r=i=1n (Yi−Y)(Ti−T)i=1n (Yi−Y)2i=1n (Ti−T)2=7474.12≈0.998，
说法1：等级转换赋分公平，因为相关系数十分接近1，接近函数关系，因此高考这种“等级转换赋分”具有公平性与合理性．
说法2：等级转换赋分法不公平，在同一等级内，原始分与转化分是确定的函数关系，理论上原始分与转化分的相关系数为1，在实际赋分过程中由于数据的四舍五入，使得实际的转化分与应得的转化分有一定的误差，极小部分同学赋分后会出现偏高或偏低的现象．
（只要说法有道理，都可以得分）．
例8．某市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m（单位：平方米，60≤m≤130）进行了一次调查统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年1月至2019年1月期间当月在售二手房均价y（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1﹣13分别对应2018年1月至2019年1月）．
（Ⅰ）试估计该市市民的购房面积的中位数m0；
（Ⅱ）现采用分层抽样的方法从购房面积位于[110，130]的40位市民中随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率；
（Ⅲ）根据散点图选择ŷ=â+b̂x和ŷ=ĉ+d̂lnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为ŷ=0.9369+0.0285x和ŷ=0.9554+0.0306lnx，并得到一些统计量的值如表所示：
请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出2019年12月份的二手房购房均价（精确到0.001）．
【参考数据】ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln23≈3.14，ln25≈3.22，2≈141，3≈1.73，23≈4.80．
【参考公式】R2=1−i=1n (yi−ŷi)2i=1n (yi−y)2．
【解析】解：（I）由频率分布直方图，可得，前三组频率和为0.05+0.1+0.2＝0.35，
前四组频率和为0.05+0.1+0.2+025＝0.6，
故中位数出现在第四组，且m0=90+10×．
（Ⅱ）设从位于[110，120）的市民中抽取x人，从位于[120，130]的市民中抽取y人，
由分层抽样可知：440=x30=y10，则x＝3，y＝1，
在抽取的4人中，记3名位于[11，120）的市民为A1，A2，A3，位于[120，130]的市民为B则所有抽样情况为：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B），（A2，A3），（A2，B），（A3，B）共6种．
而其中恰有一人在位于购房面积[120，130]的情况共有3种，故所求概率P=36=12，
（III）设模型ŷ=0.9369+0.0285x和ŷ=0.955+0.0306lnx的相关指数分别为R12，R22，
则R12=1−，R22=1−，
显然R12＜R22，
故模型ŷ=0.9554+0.0306lnx的拟合效果更好．
由2019年12月份对应的代码为24，
则ŷ=0.9554+0.0306ln24=0.9554+0.0306(3ln2+ln3)≈1.052万元/平方米．
例9．某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如表：
当0＜x≤16时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：ŷ=4.1x+11.8；模型②：ŷ=21.3x−14.4；当x＞16时，确定y与x满足的线性回归方程为：ŷ=−0.7x+a．
（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤16时模型①、②的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益．
（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1−i=1n (yi−ŷi)2i=1n (yi−y)2．）
（Ⅱ）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入16元与20亿元时公司实际收益的大小；
（附：用最小二乘法求线性回归方程ŷ=b̂x+â的系数公式b̂=i=1n xiyi−nx⋅yi=1n xi2−nx2=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2；â=y−b̂x）
（Ⅲ）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布N（0.52，0.012），
公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%但不超过53%，不予奖励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元．求每台发动机获得奖励的数学期望．
（附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9545．）
【解析】解：（Ⅰ）由表格中的数据，有182.4＞79.2，即182.4i=17 (yi−y)2＞79.2i=17 (yi−y)2，
∴模型①的R2小于模型②的R2，说明模型②的刻画效果更好．
∴当x＝16亿元时，科技改造直接收益的预测值为ŷ=21.3×16−14.4=70.8（亿元）；
（Ⅱ）由已知可得，x−20=0.5+2+3.5+4+55=3，则x=23，
y−60=8.5+8+7.5+6+65=7.2，则y=67.2，
∴â=y−0.7x=67.2+0.7×23=83.3，
∴当x＞16亿元时，y与x满足线性回归方程ŷ=−0.7x+83.3，
当x＝20亿元时，科技改造直接收益的预测值为ŷ=−0.7×20+83.3=69.3．
∴当x＝20亿元时，实际收益的预测值为69.3+10＝79.3亿元＞70.8亿元．
∴科技改造投入20亿元时，公司的实际收益更大；
（Ⅲ）∵P（0.52﹣0.02＜X＜0.52+0.02）＝0.9545，
∴P（X＞0.50）=1+0.95452=0.97725，P（X≤0.50）=1−0.95452=0.02275，
∵P（0.52﹣0.01＜X＜0.52+0.01）＝0.6827，
∴P（X＞0.53）=1−0.68272=0.15865，
∴P（0.50＜X≤0.53）＝0.97725﹣0.15865＝0.8186．
设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为：
∴每台发动机获得的奖励的数学期望为：
E（Y）＝0×0.02275+2×0.8186+4×0.15865＝2.2718（万元）．
例10．某高中数学建模兴趣小组的同学为了研究所在地区男高中生的身高与体重的关系，从若干个高中男学生中抽取了1000个样本，得到如下数据．
数据二：身高所在的区间含样本的个数及部分数据
（Ⅰ）依据数据一将下面男高中生身高在[170﹣180）（单位：cm）体重的频率分布直方图补充完整，并利用频率分布直方图估计身高在[170﹣180）（单位：cm）的中学生的平均体重；（保留小数点后一位）
（Ⅱ）依据数据一、二，计算身高（取值为区间中点）和体重的相关系数约为0.99，能否用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关关系，请说明理由；若能，求出该回归直线方程；
（Ⅲ）说明残差平方和或相关指数R2与线性回归模型拟合效果之间关系．（只需写出结论，不需要计算）
参考公式：b̂=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2=i=1n xiyi−nx⋅yi=1n xi2−nx2，â=y−b̂x．
参考数据：（1）145×45+155×53.6+165×60+185×75＝38608；
（2）1452+1552+1652+1752+1852﹣5×1652＝1000．
（3）663×175＝116025，664×175＝116200，665×175＝116375．
（4）728×165＝120120．
【解析】解：（1）身高在[170，180）的总人数为：
20+60+100+100+80+20+10+10＝400，
体重在[55﹣60）的频率为：
60400=0.15，
体重在[70﹣75）的 频率为：
80400=0.2，
平均体重为：
52.5×0.05+57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.25+72.5×0.2
+77.5×0.05+82.5×0.025+87.5×0.025≈66.4，
（2）因为 r＝0.99→1，线性相关很强，故可以用线性回归直线来
刻画中学生身高与体重的相关，
x=145+155+165+175+1855=165，y=45+75+60+53.6+66.45=60，
b̂=i=18 xiyi−8x⋅yi=18 xi2−8x2=38608+175×66.4−5×165×601000=0.728，
â=y−b̂x=60−0.728×165=−60.12，
所以回归直线方程为：ŷ=0.728x−60.12，
（3）残差平方和越小或相关指数 R2 越接近于1，线性回归模型拟合效果越好．
例11．2019年的“金九银十”变成“铜九铁十”，国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．如图是该地某小区2018年11月至2019年1月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1～13分别对应2018年11月～2019年11月）
根据散点图选择y=a+bx和y＝c+dlnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为y^=0.9369+0.0285x和y^=0.9554+0.0306lnx，并得到以下一些统计量的值：
（1）请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好；
（2）某位购房者拟于2020年4月购买这个小区m（70≤m≤160）平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）．
若购房时该小区所有住房的房产证均已满2但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：
（i）估算该购房者应支付的购房金额；（购房金额＝房款+税费，房屋均价精确到0.001万元/平方米）
（ii）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积．（精确到1平方米）
附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格（计税价格＝房款）进行征收的．
房产证满2年但未满5年的征收方式如下：首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且140平方米以内（含140平方米）1.5%；首套面积140平方米以上或非首套为3%．
参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln17≈2.83，ln19≈2.94，2≈1.41，3≈1.73，17≈4.12，19≈4.36．
参考公式：相关指数R2=1−i=1n (yi−y^i)2i=1n (yi−y)2．
【解析】解：（1）模型一中，ŷ=0.9369+0.0285x 的残差平方和为0.000591，
相关指数为 R21−≈0.923，
模型二中，ŷ=0.9554+0.0306lnx 的残差平方和为 0.000164，
相关指数为 R21−≈0.973，
∴ 相关指数较大的模型二拟合效果好些．
（2）通过散点图确定2020年4月对应的 x＝18，
代入（1）中拟合效果更好的模型二，代入计算
ŷ=0.9554+0.0306ln18
＝0.9554+0.0306×（ln2+2ln3）
＝0.9554+0.0306×（0.69+2×1.10）
≈1.044 （万元/平方米），
则2020年4月份二手房均价的预测值为1.044（万元/平方米）．
（i）设该购房者应支付的购房金额 h 万元，因为税费中淵方只需缴纳契税，
①当70⩽m⩽90 时，契税为计税价格的 1%，
故h＝m×1.044×（1%+1）＝1.05444m；
②当90＜m⩽144 时，契税为计税价格的 1.5%，
故h＝m×1.044×（1.5%+1）＝1.05966m；
③当144＜m⩽160 时，契税为计税价格的 3%，
故h＝m×1.044×（3%+1）＝1.07532m；
∴ℎ=1.05444m，70⩽m⩽901.05966m，90＜m⩽1441.07532m，144＜m⩽160；
∴ 当 70⩽m⩽90 时购房金额为 1.05444m 万元，
当 90＜m⩽144 时购房金额为 1.05966m 万元，
当 144＜m⩽160 时购房金额为 1.07532m 万元．
（ii）设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为 t 平方米，
由（i） 知，当70⩽m⩽90时，应支付的购房金额为 1.05444t，又1.05444t⩽1.05444×90＜100，
又因为房屋均价约为1.044万元/平方米，所以 t＜100，所以90⩽t＜100，
由1.05966t⩽100，解得 t⩽1001.05966，且 1001.05966≈94.4，
所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为94平方米．
例12．某新兴科技公司为了确定新研发的产品下一季度的营销计划，需了解月宣传费x（单位：万元）对月销售量y（单位：千件）的影响，收集了2020年3月至2020年8月共6个月的月宣传费x和月销售量y的数据如表：
现分别用模型①ŷ=b̂x+â和模型②ŷ=em̂x+n̂对以上数据进行拟合，得到回归模型，并计算出模型的残差如表：
（模型①和模型②的残差分别为ê1和ê2，残差＝实际值﹣预报值）
（1）根据上表的残差数据，应选择哪个模型来拟合月宣传费x与月销售量y的关系较为合适，简要说明理由；
（2）为了优化模型，将（1）中选择的模型残差绝对值最大所对应的一组数据（x，y）剔除，根据剩余的5组数据，求该模型的回归方程，并预测月宣传费为12万元时，该公司的月销售量．
（剔除数据前的参考数据：x=7.5，y=5.9，i=16 xiyi=299.8，i=16 xi2=355，z＝lny．z≈−1.41，i=16 xiyi=−73.10，ln10.7≈2.37，e4.034≈56.49．）
参考公式：b̂=i=1n xiyi−nxyi=1n xi2−nx2，â=ŷ−b̂x．
【解析】解：（1）应选择模型①，
因为模型①每组数据对应的残差绝对值都比模型②的小，
残差波动小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明拟合精度高．
（2）由（1）知，需剔除第一组数据，
则剔除后的x=7.5×6−55=8，y=5.9×6−0.45=7，
5xy=280，5x2=320，
i=15 xiyi=299.8−5×0.4=297.8，i=15 xi2=355−25=330．
∴b̂=i=15 xiyi−5xyi=15 xi2−5x2=297.8−280330−320=1.78，â=y−b̂x=7−1.78×8=−7.24．
得①的回归方程为ŷ=1.78x−7.24，
则当x＝12时，ŷ=1.78×12−7.24=14.12．
故月宣传费为12万元时，该公司的月销售量为14.12千件．
例13．新型冠状病毒肺炎COVID﹣19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长．如表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．
为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：
①ŷ=bx2+a，
②ŷ=dx+c对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差ei=yi−yi）：经过计算得它i=18 (xi−x)(yi−y)=728，i=18 (xi−x)2=42，i=18 (zi−z)(yi−y)=6868，i=18 (zi−z)2=3570，其中zi=xi2，z=18i=18 zi.
（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；
（2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）；
（3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布．小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数做出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b̂=i=18 (xi−x)(yi−y)i=18 (xi−x)2，â=y−b̂x．
【解析】解：（1）选择模型①，理由如下：根据残差图可以看出，
模型①的估计值和真实值相对比较接近，
模型②的残差相对比较大，所以模型①的拟合效果相对较好；
（2）由（1）可知y关于x的回归方程为ŷ=bx2+a，
令z＝x2，则ŷ=bz+a，
由所给的数据可得：z=18(1+4+9+16+25+36+49+64)=25.5，
y=18(4+8+16+31+51+71+97+122)=50，
b̂=i=18 (zi−z)(yi−y)i=18 (zi−z)2=68683570≈1.92，
则â=y−b̂z≈50﹣1.92×25.5＝1.04，
所以y关于x的回归方程为ŷ=1.92x2+1.04；
（3）将x＝9代入回归方程，可得ŷ=1.92×92+1.04＝156.56≈157（人），
所以预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数约为157人．
例14．H市某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改革、探索销售模式．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x（吨）与相应的生产总成本y（万元）的五组对照数据．
（Ⅰ）根据上达数据，若用最小二乘法进行线性模拟，试求y关于x的线性回归方程ŷ=b̂x+â；
参考公式：b̂=i=1n xiyi−nxyi=1n xi2−nx2，â=y−b̂x．
（Ⅱ）记第（Ⅰ）问中所求y与x的线性回归方程ŷ=b̂x+â为模型①，同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了y与x的回归模型②：ŷ=12x2+1．其中模型②的残差图（残差＝实际值﹣预报值）如图所示：
请完成模型①的残差表与残差图，并根据残差图，判断哪一个模型更适宜作为y关于x的回归方程？并说明理由；
（Ⅲ）根据模型①中y与x的线性回归方程，预测产量为6吨时生产总成本为多少万元？
【解析】解：（Ⅰ）计算x=15(1+2+3+4+5)=3，
y=15(3+7+8+10+12)=8，
i=15 xi2=12+22+32+42+52=55，
i=15 xiyi=1⋅3+2⋅7+3⋅8+4⋅10+5⋅12=141，
b̂=i=15 xiyi−nxyi=15 xi2−nx2=141−5×3×855−5×9=2.1，
â=y−b̂x=8−2.1×3=1.7，
因此，回归直线方程为ŷ=2.1x+1.7．
（Ⅱ）模型①的残差表为：
画出残差图，如图所示；
结论：模型①更适宜作为y关于x的回归方程，因为：
理由1：模型①的4个样本点的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄；
理由2：模型①的4个样本点的残差点比模型②的残差点更贴近进x轴．．
（不列残差表不扣分，写出一个理由即可得分．）
（Ⅲ）根据模型①中y与x的回归直线方程，
计算x＝6时，ŷ=2.1×6+1.7=14.3，
所以预测产量为6吨时生产总成本为14.3万元．
例15．为了解某企业生产的某产品的年利润与年广告投入的关系，该企业对最近一些相关数据进行了调查统计，得出相关数据见表：
根据以上数据，研究人员分别借助甲．乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：
方程甲：ŷ（1）=b̂（x﹣1）2+2.75，方程乙：ŷ（2）=ĉx﹣1.6．
（1）求b̂（结果精确到0.01）与ĉ的值．
（2）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．
①完成下表（备注：ei=yi−yi，ei称为相应于点（xi，yi）的残差；
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好．
【解析】解：（1）设t＝（x﹣1）2，则t=15(1+4+9+16+25)=11．
∵y=6.4，∴6.4=b̂×11+2.75，解得b̂≈0.33．
又x=4，∴6.4=ĉ×4−1.6，即ĉ=2．
（2）①经计算，可得下表：
②Q1=(−0.08)2+(−0.07)2+0.282+(−0.03)2=0.0906．
Q2=0．62×2+(−0.4)2×3=1.2．
∵Q1＜Q2，∴模型甲的拟合效果更好
使用年限
台数
款式
1年
2年
3年
4年
5年
甲款
5
20
15
10
50
乙款
15
20
10
5
50
X
﹣50
0
50
100
P
0.1
0.4
0.3
0.2
Y
﹣30
20
70
120
P
0.3
0.4
0.2
0.1
周光照量X（单位：小时）
30＜X＜50
50≤X≤70
n≥2
光照控制仪最多可运行台数
5
4
2
等级
A
B
C
D
E
比例
约15%
约35%
约35%
约13%
约2%
政治学科
各等级对应的原始分区间
[81，98]
[72，80]
[66，71]
[63，65]
[60，62]
生物学科
各等级对应的原始分区间
[90，100]
[77，89]
[69，76]
[66，68]
[63，65]
等级
A
B
C
D
E
原始分从高到低排序的等级人数占比
约15%
约35%
约35%
约13%
约2%
转换分T的赋分区间
[86，100]
[71，85]
[56，70]
[41，55]
[30，40]
ŷ=0.9369+0.0285x
ŷ=0.9554+0.0306lnx
i=113 (yi−ŷi)2
0.000591
0.000164
i=113 (yi−y)2
0.006050
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
13
22
31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
66
回归模型
模型①
模型②
回归方程
ŷ=4.1x+11.8
ŷ=21.3x−14.4
i=17 (yi−ŷi)2
182.4
79.2
Y
0
2
4
P
0.02275
0.8186
0.15865
数据一：身高在[170，180）（单位：cm）的体重频数统计
体重（kg）
[50，55）
[55，60）
[60，65）
[65，70）
[70，75）
[75，80）
[80，85）
[85，90）
人数
20
60
100
100
80
20
10
10
身高x（cm）
[140，150）
[150，160）
[160﹣170）
[170﹣180）
[180﹣190）
平均体重y（kg）
45
53.6
60
75
y^=0.9369+0.0285x
y^=0.9554+0.0306lnx
i=113 (yi−y^i)2
0.000591
0.000164
i=113 (yi−y)2
0.006050
月份
3
4
5
6
7
8
宣传费x
5
6
7
8
9
10
月销售量y
0.4
3.5
5.2
7.0
8.6
10.7
x
5
6
7
8
9
10
y
0.4
3.5
5.3
7.0
8.6
10.7
ê1
﹣0.6
0.54
0.28
0.12
﹣0.24
﹣0.1
ê2
﹣0.63
1.71
2.10
1.63
﹣0.7
﹣5.42
日期代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
累计确诊人数y
4
8
16
32
51
71
97
122
产量x（件）
1
2
3
4
5
生产总成本y（万元）
3
7
8
10
12
x
1
2
3
4
5
y
3
7
8
10
12
ŷ
3.8
5.9
8
10.1
12.2
ê
﹣0.8
1.1
0
﹣0.1
﹣0.2
年广告投入x（万元）
2
3
4
5
6
年利润y（十万元）
3
4
6
8
11
年广告投入x（万元）
2
3
4
5
6
年利润y（十万元）
3
4
6
8
11
模型甲
估计值yi（1）
残差ei（1）
模型乙
估计值yi（2）
残差ei（2）
年广告投入x（万元）
2
3
4
5
6
年利润y（十万元）
3
4
6
8
11
模型甲
估计值yi（1）
3.08
4.07
5.72
8.03
11
残差ei（1）
﹣0.08
﹣0.07
0.28
﹣0.03
0
模型乙
估计值yi（2）
2.4
4.4
6.4
8.4
10.4
残差ei（2）
0.6
﹣0.4
﹣0.4
﹣0.4
0.6
A．﹣2B．1C．2D．5
【解析】解：当x＝1时，ŷ=5x+1＝6，
∴方程在样本（1，4）处的残差是4﹣6＝﹣2．
故选：A．
例2．研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论
①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好；
③在回归直线方程ŷ=−0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量ŷ平均减少0.2个单位；
④若变量y和x之间的相关系数为r＝﹣0.9462，则变量y和x之间的负相关很强．
以上正确说法的是 ①③④ ．
【解析】解：①可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故①正确；
②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大说明拟合效果越好，故②错误；
③在回归直线方程ŷ=−0.2x+0.8中中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量ŷ平均减少0.2个单位，故③正确；
④若变量y和x之间的相关系数为r＝﹣0.9462，r的绝对值趋向于1，则变量y和x之间的负相关很强，故④正确．
故答案为：①③④．
例3．下列命题中，正确的命题有 ②③ ．
①回归直线ŷ=b̂x+â恒过样本点中心（x，y），且至少过一个样本点；
②用相关指数R2来刻画回归效果，表示预报变量对解释变量变化的贡献率，R2越接近于1说明模型的拟合效果越好；
③残差图中残差点比较均匀的落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适；
④两个模型中残差平方和越大的模型的拟合效果越好．
【解析】解：①回归直线ŷ=b̂x+â恒过样本点中心（x，y），不一定过样本点，故①正确；
②用相关指数R2来刻画回归效果，表示预报变量对解释变量变化的贡献率，R2越接近于1说明模型的拟合效果越好，正确；
③残差图中残差点比较均匀的落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，正确；
④两个模型中残差平方和越大的模型的拟合效果越差．故④错误，
故正确的是②③，
故答案为：②③
例4．下列命题：
①相关指数R2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好．
②对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”可信程度越大．
③残差点比较均匀地落在水平带状区域内，带状区域越宽，说明模型拟合精度越高．
④两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0．
其中错误命题的个数为 4 ．
【解析】解：对于①，相关指数R2越小，则残差平方和越大，此时模型的拟合效果越差，所以①错误；
对于②，对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”可信程度越小，所以②错误；
对于③，残差点比较均匀地落在水平带状区域内，带状区域越宽，说明模型拟合精度越低，所以③错误；
对于④，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，所以④错误．
综上知，错误命题的序号是①②③④，共4个．
故答案为：4．
例5．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理．某市为调査产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据（xi，yi）（i＝1，2，……，20），其中xi和yi分别表示第i个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得i=120 xi=80，i=120 yi=4000，i=120 （xi−x）2＝80，i=120 （yi−y）2＝8000，i=120 （xi−x）（yi−y）＝7000．
（1）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
（2）求y关于x的线性回归方程；
（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，如表是以往两款垃圾处理机器的使用年限（整年）统计表：
某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率．根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？
参考公式：相关系数r=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)i=1n (yi−y)2．
对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，……，n），其回归直线ŷ=b̂x+â的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b̂=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2，â=y−b̂x．
【解析】解：（1）由题意知相关系数r=i=120 (xi−x)(yi−y)i=120 (xi−x)2i=120 (yi−y)2=70080×8000=78=0.875，
因为y与x的相关系数接近1，
所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．
（2）由题意可得，b̂=i=120 (xi−x)(yi−y)i=120 (xi−x)2=70080=8.75，â=y−b̂x=400020−8.75×8020=200−8.75×4=165，
所以ŷ=8.75x+165．
（3）以频率估计概率，购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X（单位：万元）的分布列为
E（X）＝﹣50×0.1+0×0.4+50×0.3+100×0.2＝30（万元）
购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y（单位：万元）的分布列为：
E（Y）＝﹣30×0.3+20×0.4+70×0.2+120×0.1＝25（万元）
因为E（X）＞E（Y），所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算．
例6．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．据统计该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．
（1）依据数据的折线图，请计算相关系数r（精确到0.01），并以此判定是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若是请求出回归直线方程，若不是请说明理由；
（2）过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了5台光照控制仪，求商家在过去50周每周利润的平均值．
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn），其相关系数公式r=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2i=1n (yi−y)2，回归直线ŷ=b̂x+â的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b̂=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2=i=1n xiyi−nxyi=1n (xi−x)2，â=y−b̂x，参考数据0.3≈0.55，0.9≈0.95．
【解析】解：（1）由已知数据可得x=2+4+5+6+85=5，y=3+4+4+4+55=4，
因为i=15 (xi−x)(yi−y)=(−3)×(−1)+0+0+0+3×1=6，
i=15 (xi−x)2=(−3)2+(−1)2+02+12+32=25，
i=15 (yi−y)2=(−1)2+02+02+02+12=2．
所以相关系数r=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2i=1n (yi−y)2=625⋅2=910≈0.95，
因为r＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系，
因为b̂=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2=620=0.3，â=y−b̂x=2.5，所以回归直线方程y＝0.3x+2.5．
（2）记商家周总利润为Y元，由条件可得在过去50周里：X＞70时，共有10周，只有2台光照控制仪运行，周总利润Y＝2×3000﹣3×1000＝3000元，
当50≤X≤70时，共有35周，有4台光照控制仪运行，周总利润Y＝4×3000﹣1×1000＝11000元，
当X＜50时，共有5周，5台光照控制仪都运行，周总利润Y＝5×3000＝15000元，
所以过去50周每周利润的平均值Y=3000×10+11000×35+15000×550=9800元，
所以商家在过去50周每周利润的平均值为9800元．
例7．湖南省从2021年开始将全面推行“3+1+2”的新高考模式，新高考对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分．
某校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如表：
现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据，作出茎叶图：
（1）根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；
（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考生物学科，其原始分为91分，根据赋分转换公式，分别求出这两位同学的转化分；
（3）根据生物成绩在等级B的6个原始分和对应的6个转化分，得到样本数据（Yi，Ti），请计算生物原始分Yi与生物转换分Ti之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法．
附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间
附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：Y2−YY−Y1=T2−TT−T1．（其中：Y1，Y2别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；T1，T2分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限．T的计算结果按四舍五入取整）．
附3：i=16 （Yi−Y）（Ti−T）＝74，i=16 (Yi−Y)2i=16 (Ti−T)2=5494≈74.12，r=i=1n (Yi−Y)(Ti−T)i=1n (Yi−Y)2i=1n (Ti−T)2．
【解析】解：（1）根据茎叶图知，政治成绩的中位数为72，生物成绩的众数为73；
（2）甲同学选考政治学科的等级为A，由转换赋分公式：98−8282−81=100−TT−86，解得T＝87；
乙同学选考生物学科的等级为A，由赋分转换公式：100−9191−90=100−TT−86，解得T＝87；
所以甲、乙两位同学的转换分都是87分．
（3）由题意知，r=i=1n (Yi−Y)(Ti−T)i=1n (Yi−Y)2i=1n (Ti−T)2=7474.12≈0.998，
说法1：等级转换赋分公平，因为相关系数十分接近1，接近函数关系，因此高考这种“等级转换赋分”具有公平性与合理性．
说法2：等级转换赋分法不公平，在同一等级内，原始分与转化分是确定的函数关系，理论上原始分与转化分的相关系数为1，在实际赋分过程中由于数据的四舍五入，使得实际的转化分与应得的转化分有一定的误差，极小部分同学赋分后会出现偏高或偏低的现象．
（只要说法有道理，都可以得分）．
例8．某市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m（单位：平方米，60≤m≤130）进行了一次调查统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年1月至2019年1月期间当月在售二手房均价y（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1﹣13分别对应2018年1月至2019年1月）．
（Ⅰ）试估计该市市民的购房面积的中位数m0；
（Ⅱ）现采用分层抽样的方法从购房面积位于[110，130]的40位市民中随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在[120，130]的概率；
（Ⅲ）根据散点图选择ŷ=â+b̂x和ŷ=ĉ+d̂lnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为ŷ=0.9369+0.0285x和ŷ=0.9554+0.0306lnx，并得到一些统计量的值如表所示：
请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出2019年12月份的二手房购房均价（精确到0.001）．
【参考数据】ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln23≈3.14，ln25≈3.22，2≈141，3≈1.73，23≈4.80．
【参考公式】R2=1−i=1n (yi−ŷi)2i=1n (yi−y)2．
【解析】解：（I）由频率分布直方图，可得，前三组频率和为0.05+0.1+0.2＝0.35，
前四组频率和为0.05+0.1+0.2+025＝0.6，
故中位数出现在第四组，且m0=90+10×．
（Ⅱ）设从位于[110，120）的市民中抽取x人，从位于[120，130]的市民中抽取y人，
由分层抽样可知：440=x30=y10，则x＝3，y＝1，
在抽取的4人中，记3名位于[11，120）的市民为A1，A2，A3，位于[120，130]的市民为B则所有抽样情况为：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B），（A2，A3），（A2，B），（A3，B）共6种．
而其中恰有一人在位于购房面积[120，130]的情况共有3种，故所求概率P=36=12，
（III）设模型ŷ=0.9369+0.0285x和ŷ=0.955+0.0306lnx的相关指数分别为R12，R22，
则R12=1−，R22=1−，
显然R12＜R22，
故模型ŷ=0.9554+0.0306lnx的拟合效果更好．
由2019年12月份对应的代码为24，
则ŷ=0.9554+0.0306ln24=0.9554+0.0306(3ln2+ln3)≈1.052万元/平方米．
例9．某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如表：
当0＜x≤16时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：ŷ=4.1x+11.8；模型②：ŷ=21.3x−14.4；当x＞16时，确定y与x满足的线性回归方程为：ŷ=−0.7x+a．
（Ⅰ）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤16时模型①、②的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益．
（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1−i=1n (yi−ŷi)2i=1n (yi−y)2．）
（Ⅱ）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入16元与20亿元时公司实际收益的大小；
（附：用最小二乘法求线性回归方程ŷ=b̂x+â的系数公式b̂=i=1n xiyi−nx⋅yi=1n xi2−nx2=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2；â=y−b̂x）
（Ⅲ）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布N（0.52，0.012），
公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%但不超过53%，不予奖励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元．求每台发动机获得奖励的数学期望．
（附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9545．）
【解析】解：（Ⅰ）由表格中的数据，有182.4＞79.2，即182.4i=17 (yi−y)2＞79.2i=17 (yi−y)2，
∴模型①的R2小于模型②的R2，说明模型②的刻画效果更好．
∴当x＝16亿元时，科技改造直接收益的预测值为ŷ=21.3×16−14.4=70.8（亿元）；
（Ⅱ）由已知可得，x−20=0.5+2+3.5+4+55=3，则x=23，
y−60=8.5+8+7.5+6+65=7.2，则y=67.2，
∴â=y−0.7x=67.2+0.7×23=83.3，
∴当x＞16亿元时，y与x满足线性回归方程ŷ=−0.7x+83.3，
当x＝20亿元时，科技改造直接收益的预测值为ŷ=−0.7×20+83.3=69.3．
∴当x＝20亿元时，实际收益的预测值为69.3+10＝79.3亿元＞70.8亿元．
∴科技改造投入20亿元时，公司的实际收益更大；
（Ⅲ）∵P（0.52﹣0.02＜X＜0.52+0.02）＝0.9545，
∴P（X＞0.50）=1+0.95452=0.97725，P（X≤0.50）=1−0.95452=0.02275，
∵P（0.52﹣0.01＜X＜0.52+0.01）＝0.6827，
∴P（X＞0.53）=1−0.68272=0.15865，
∴P（0.50＜X≤0.53）＝0.97725﹣0.15865＝0.8186．
设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为：
∴每台发动机获得的奖励的数学期望为：
E（Y）＝0×0.02275+2×0.8186+4×0.15865＝2.2718（万元）．
例10．某高中数学建模兴趣小组的同学为了研究所在地区男高中生的身高与体重的关系，从若干个高中男学生中抽取了1000个样本，得到如下数据．
数据二：身高所在的区间含样本的个数及部分数据
（Ⅰ）依据数据一将下面男高中生身高在[170﹣180）（单位：cm）体重的频率分布直方图补充完整，并利用频率分布直方图估计身高在[170﹣180）（单位：cm）的中学生的平均体重；（保留小数点后一位）
（Ⅱ）依据数据一、二，计算身高（取值为区间中点）和体重的相关系数约为0.99，能否用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关关系，请说明理由；若能，求出该回归直线方程；
（Ⅲ）说明残差平方和或相关指数R2与线性回归模型拟合效果之间关系．（只需写出结论，不需要计算）
参考公式：b̂=i=1n (xi−x)(yi−y)i=1n (xi−x)2=i=1n xiyi−nx⋅yi=1n xi2−nx2，â=y−b̂x．
参考数据：（1）145×45+155×53.6+165×60+185×75＝38608；
（2）1452+1552+1652+1752+1852﹣5×1652＝1000．
（3）663×175＝116025，664×175＝116200，665×175＝116375．
（4）728×165＝120120．
【解析】解：（1）身高在[170，180）的总人数为：
20+60+100+100+80+20+10+10＝400，
体重在[55﹣60）的频率为：
60400=0.15，
体重在[70﹣75）的 频率为：
80400=0.2，
平均体重为：
52.5×0.05+57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.25+72.5×0.2
+77.5×0.05+82.5×0.025+87.5×0.025≈66.4，
（2）因为 r＝0.99→1，线性相关很强，故可以用线性回归直线来
刻画中学生身高与体重的相关，
x=145+155+165+175+1855=165，y=45+75+60+53.6+66.45=60，
b̂=i=18 xiyi−8x⋅yi=18 xi2−8x2=38608+175×66.4−5×165×601000=0.728，
â=y−b̂x=60−0.728×165=−60.12，
所以回归直线方程为：ŷ=0.728x−60.12，
（3）残差平方和越小或相关指数 R2 越接近于1，线性回归模型拟合效果越好．
例11．2019年的“金九银十”变成“铜九铁十”，国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．如图是该地某小区2018年11月至2019年1月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1～13分别对应2018年11月～2019年11月）
根据散点图选择y=a+bx和y＝c+dlnx两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为y^=0.9369+0.0285x和y^=0.9554+0.0306lnx，并得到以下一些统计量的值：
（1）请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好；
（2）某位购房者拟于2020年4月购买这个小区m（70≤m≤160）平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）．
若购房时该小区所有住房的房产证均已满2但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题：
（i）估算该购房者应支付的购房金额；（购房金额＝房款+税费，房屋均价精确到0.001万元/平方米）
（ii）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积．（精确到1平方米）
附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格（计税价格＝房款）进行征收的．
房产证满2年但未满5年的征收方式如下：首套面积90平方米以内（含90平方米）为1%；首套面积90平方米以上且140平方米以内（含140平方米）1.5%；首套面积140平方米以上或非首套为3%．
参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln17≈2.83，ln19≈2.94，2≈1.41，3≈1.73，17≈4.12，19≈4.36．
参考公式：相关指数R2=1−i=1n (yi−y^i)2i=1n (yi−y)2．
【解析】解：（1）模型一中，ŷ=0.9369+0.0285x 的残差平方和为0.000591，
相关指数为 R21−≈0.923，
模型二中，ŷ=0.9554+0.0306lnx 的残差平方和为 0.000164，
相关指数为 R21−≈0.973，
∴ 相关指数较大的模型二拟合效果好些．
（2）通过散点图确定2020年4月对应的 x＝18，
代入（1）中拟合效果更好的模型二，代入计算
ŷ=0.9554+0.0306ln18
＝0.9554+0.0306×（ln2+2ln3）
＝0.9554+0.0306×（0.69+2×1.10）
≈1.044 （万元/平方米），
则2020年4月份二手房均价的预测值为1.044（万元/平方米）．
（i）设该购房者应支付的购房金额 h 万元，因为税费中淵方只需缴纳契税，
①当70⩽m⩽90 时，契税为计税价格的 1%，
故h＝m×1.044×（1%+1）＝1.05444m；
②当90＜m⩽144 时，契税为计税价格的 1.5%，
故h＝m×1.044×（1.5%+1）＝1.05966m；
③当144＜m⩽160 时，契税为计税价格的 3%，
故h＝m×1.044×（3%+1）＝1.07532m；
∴ℎ=1.05444m，70⩽m⩽901.05966m，90＜m⩽1441.07532m，144＜m⩽160；
∴ 当 70⩽m⩽90 时购房金额为 1.05444m 万元，
当 90＜m⩽144 时购房金额为 1.05966m 万元，
当 144＜m⩽160 时购房金额为 1.07532m 万元．
（ii）设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为 t 平方米，
由（i） 知，当70⩽m⩽90时，应支付的购房金额为 1.05444t，又1.05444t⩽1.05444×90＜100，
又因为房屋均价约为1.044万元/平方米，所以 t＜100，所以90⩽t＜100，
由1.05966t⩽100，解得 t⩽1001.05966，且 1001.05966≈94.4，
所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为94平方米．
例12．某新兴科技公司为了确定新研发的产品下一季度的营销计划，需了解月宣传费x（单位：万元）对月销售量y（单位：千件）的影响，收集了2020年3月至2020年8月共6个月的月宣传费x和月销售量y的数据如表：
现分别用模型①ŷ=b̂x+â和模型②ŷ=em̂x+n̂对以上数据进行拟合，得到回归模型，并计算出模型的残差如表：
（模型①和模型②的残差分别为ê1和ê2，残差＝实际值﹣预报值）
（1）根据上表的残差数据，应选择哪个模型来拟合月宣传费x与月销售量y的关系较为合适，简要说明理由；
（2）为了优化模型，将（1）中选择的模型残差绝对值最大所对应的一组数据（x，y）剔除，根据剩余的5组数据，求该模型的回归方程，并预测月宣传费为12万元时，该公司的月销售量．
（剔除数据前的参考数据：x=7.5，y=5.9，i=16 xiyi=299.8，i=16 xi2=355，z＝lny．z≈−1.41，i=16 xiyi=−73.10，ln10.7≈2.37，e4.034≈56.49．）
参考公式：b̂=i=1n xiyi−nxyi=1n xi2−nx2，â=ŷ−b̂x．
【解析】解：（1）应选择模型①，
因为模型①每组数据对应的残差绝对值都比模型②的小，
残差波动小，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明拟合精度高．
（2）由（1）知，需剔除第一组数据，
则剔除后的x=7.5×6−55=8，y=5.9×6−0.45=7，
5xy=280，5x2=320，
i=15 xiyi=299.8−5×0.4=297.8，i=15 xi2=355−25=330．
∴b̂=i=15 xiyi−5xyi=15 xi2−5x2=297.8−280330−320=1.78，â=y−b̂x=7−1.78×8=−7.24．
得①的回归方程为ŷ=1.78x−7.24，
则当x＝12时，ŷ=1.78×12−7.24=14.12．
故月宣传费为12万元时，该公司的月销售量为14.12千件．
例13．新型冠状病毒肺炎COVID﹣19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长．如表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．
为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：
①ŷ=bx2+a，
②ŷ=dx+c对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差ei=yi−yi）：经过计算得它i=18 (xi−x)(yi−y)=728，i=18 (xi−x)2=42，i=18 (zi−z)(yi−y)=6868，i=18 (zi−z)2=3570，其中zi=xi2，z=18i=18 zi.
（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；
（2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留两位小数）；
（3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布．小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数做出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b̂=i=18 (xi−x)(yi−y)i=18 (xi−x)2，â=y−b̂x．
【解析】解：（1）选择模型①，理由如下：根据残差图可以看出，
模型①的估计值和真实值相对比较接近，
模型②的残差相对比较大，所以模型①的拟合效果相对较好；
（2）由（1）可知y关于x的回归方程为ŷ=bx2+a，
令z＝x2，则ŷ=bz+a，
由所给的数据可得：z=18(1+4+9+16+25+36+49+64)=25.5，
y=18(4+8+16+31+51+71+97+122)=50，
b̂=i=18 (zi−z)(yi−y)i=18 (zi−z)2=68683570≈1.92，
则â=y−b̂z≈50﹣1.92×25.5＝1.04，
所以y关于x的回归方程为ŷ=1.92x2+1.04；
（3）将x＝9代入回归方程，可得ŷ=1.92×92+1.04＝156.56≈157（人），
所以预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数约为157人．
例14．H市某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改革、探索销售模式．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x（吨）与相应的生产总成本y（万元）的五组对照数据．
（Ⅰ）根据上达数据，若用最小二乘法进行线性模拟，试求y关于x的线性回归方程ŷ=b̂x+â；
参考公式：b̂=i=1n xiyi−nxyi=1n xi2−nx2，â=y−b̂x．
（Ⅱ）记第（Ⅰ）问中所求y与x的线性回归方程ŷ=b̂x+â为模型①，同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了y与x的回归模型②：ŷ=12x2+1．其中模型②的残差图（残差＝实际值﹣预报值）如图所示：
请完成模型①的残差表与残差图，并根据残差图，判断哪一个模型更适宜作为y关于x的回归方程？并说明理由；
（Ⅲ）根据模型①中y与x的线性回归方程，预测产量为6吨时生产总成本为多少万元？
【解析】解：（Ⅰ）计算x=15(1+2+3+4+5)=3，
y=15(3+7+8+10+12)=8，
i=15 xi2=12+22+32+42+52=55，
i=15 xiyi=1⋅3+2⋅7+3⋅8+4⋅10+5⋅12=141，
b̂=i=15 xiyi−nxyi=15 xi2−nx2=141−5×3×855−5×9=2.1，
â=y−b̂x=8−2.1×3=1.7，
因此，回归直线方程为ŷ=2.1x+1.7．
（Ⅱ）模型①的残差表为：
画出残差图，如图所示；
结论：模型①更适宜作为y关于x的回归方程，因为：
理由1：模型①的4个样本点的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄；
理由2：模型①的4个样本点的残差点比模型②的残差点更贴近进x轴．．
（不列残差表不扣分，写出一个理由即可得分．）
（Ⅲ）根据模型①中y与x的回归直线方程，
计算x＝6时，ŷ=2.1×6+1.7=14.3，
所以预测产量为6吨时生产总成本为14.3万元．
例15．为了解某企业生产的某产品的年利润与年广告投入的关系，该企业对最近一些相关数据进行了调查统计，得出相关数据见表：
根据以上数据，研究人员分别借助甲．乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：
方程甲：ŷ（1）=b̂（x﹣1）2+2.75，方程乙：ŷ（2）=ĉx﹣1.6．
（1）求b̂（结果精确到0.01）与ĉ的值．
（2）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．
①完成下表（备注：ei=yi−yi，ei称为相应于点（xi，yi）的残差；
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q1及Q2，并通过比较Q1，Q2的大小，判断哪个模型拟合效果更好．
【解析】解：（1）设t＝（x﹣1）2，则t=15(1+4+9+16+25)=11．
∵y=6.4，∴6.4=b̂×11+2.75，解得b̂≈0.33．
又x=4，∴6.4=ĉ×4−1.6，即ĉ=2．
（2）①经计算，可得下表：
②Q1=(−0.08)2+(−0.07)2+0.282+(−0.03)2=0.0906．
Q2=0．62×2+(−0.4)2×3=1.2．
∵Q1＜Q2，∴模型甲的拟合效果更好
使用年限
台数
款式
1年
2年
3年
4年
5年
甲款
5
20
15
10
50
乙款
15
20
10
5
50
X
﹣50
0
50
100
P
0.1
0.4
0.3
0.2
Y
﹣30
20
70
120
P
0.3
0.4
0.2
0.1
周光照量X（单位：小时）
30＜X＜50
50≤X≤70
n≥2
光照控制仪最多可运行台数
5
4
2
等级
A
B
C
D
E
比例
约15%
约35%
约35%
约13%
约2%
政治学科
各等级对应的原始分区间
[81，98]
[72，80]
[66，71]
[63，65]
[60，62]
生物学科
各等级对应的原始分区间
[90，100]
[77，89]
[69，76]
[66，68]
[63，65]
等级
A
B
C
D
E
原始分从高到低排序的等级人数占比
约15%
约35%
约35%
约13%
约2%
转换分T的赋分区间
[86，100]
[71，85]
[56，70]
[41，55]
[30，40]
ŷ=0.9369+0.0285x
ŷ=0.9554+0.0306lnx
i=113 (yi−ŷi)2
0.000591
0.000164
i=113 (yi−y)2
0.006050
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
13
22
31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
66
回归模型
模型①
模型②
回归方程
ŷ=4.1x+11.8
ŷ=21.3x−14.4
i=17 (yi−ŷi)2
182.4
79.2
Y
0
2
4
P
0.02275
0.8186
0.15865
数据一：身高在[170，180）（单位：cm）的体重频数统计
体重（kg）
[50，55）
[55，60）
[60，65）
[65，70）
[70，75）
[75，80）
[80，85）
[85，90）
人数
20
60
100
100
80
20
10
10
身高x（cm）
[140，150）
[150，160）
[160﹣170）
[170﹣180）
[180﹣190）
平均体重y（kg）
45
53.6
60
75
y^=0.9369+0.0285x
y^=0.9554+0.0306lnx
i=113 (yi−y^i)2
0.000591
0.000164
i=113 (yi−y)2
0.006050
月份
3
4
5
6
7
8
宣传费x
5
6
7
8
9
10
月销售量y
0.4
3.5
5.2
7.0
8.6
10.7
x
5
6
7
8
9
10
y
0.4
3.5
5.3
7.0
8.6
10.7
ê1
﹣0.6
0.54
0.28
0.12
﹣0.24
﹣0.1
ê2
﹣0.63
1.71
2.10
1.63
﹣0.7
﹣5.42
日期代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
累计确诊人数y
4
8
16
32
51
71
97
122
产量x（件）
1
2
3
4
5
生产总成本y（万元）
3
7
8
10
12
x
1
2
3
4
5
y
3
7
8
10
12
ŷ
3.8
5.9
8
10.1
12.2
ê
﹣0.8
1.1
0
﹣0.1
﹣0.2
年广告投入x（万元）
2
3
4
5
6
年利润y（十万元）
3
4
6
8
11
年广告投入x（万元）
2
3
4
5
6
年利润y（十万元）
3
4
6
8
11
模型甲
估计值yi（1）
残差ei（1）
模型乙
估计值yi（2）
残差ei（2）
年广告投入x（万元）
2
3
4
5
6
年利润y（十万元）
3
4
6
8
11
模型甲
估计值yi（1）
3.08
4.07
5.72
8.03
11
残差ei（1）
﹣0.08
﹣0.07
0.28
﹣0.03
0
模型乙
估计值yi（2）
2.4
4.4
6.4
8.4
10.4
残差ei（2）
0.6
﹣0.4
﹣0.4
﹣0.4
0.6
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