高三数学高考高分突破之概率统计专题25 疾病问题（解析版）37

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（2）现取其中且份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为．
若，试求关于的函数关系式
若，试讨论采用何种检验方式更好？
参考数据：，，，，，．
【解析】解：（1）记恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件，
则（A）．
（2），的取值为1，，
计算，，
所以，
由，得，所以且．
，，所以，即．
设，，，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
且（8），，
所以的最大值为8；
所以，时，混合检验方式好，，时，逐份检验方式好；
例2． 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2月29日，该省已累计确诊1349例患者（无境外输入病例）．
（1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取100名确诊患者，统计他们的年龄数据，得如表的频数分布表：
由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄服从正态分布，，其中近似为这100名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上的患者比例；
（2）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立．现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按且是20的约数）个人一组平均分组，并将同组的个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的个人抽取的另一半血液逐一化验，记个人中患者的人数为，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的的值．
参考数据：若，则，，，，，．
【解析】解：（1）
所以．
．
所以该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上的患者比例为．
（2）由题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为，的可能取值为2，4，5，10．且
对于某组个人，化验次数的可能取值为1，．
，
所以，
则20人的化验总次数为，
经计算（2），（4），（5），．
所以，当时符合题意，即按4人一组检测，可是化验总次数最少．
例3． 新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则雷检验次．二是混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时份血液检验的次数总共为次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为．
（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；
（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）该混合样本阴性的概率是，
根据对立事件原理，阳性的概率为．
（Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为4，
方案二：由（Ⅰ）知，每组2个样本检验时，若阴性则检测次数为1，概率为，
若阳性，则检测次数为3，概率为，
设方案二的检验次数记为，则的可能取值为2，4，6，
其分布列为：
，
方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为，的可能取值为1，5，
其分布列为：
，
，故选择方案三最“优”．
例4． 2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为，某位患者在隔离之前，每天有位密切接触者，其中被感染的人数为，假设每位密切接触者不再接触其他患者.
（1）求一天内被感染人数为的概率与、的关系式和的数学期望；
（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有a位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第天新增患者的数学期望记为.
（i）求数列的通项公式，并证明数列为等比数列；
（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率，当取最大值时，计算此时所对应的值和此时对应的值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取）
（结果保留整数，参考数据：）
【解析】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：，
则,，
的数学期望.
（2）（i）第天被感染人数为，
第天被感染人数为，
由题目中均值的定义可知，
则，且.
是以为首项，为公比的等比数列.
（ii）令，
则.
在上单调递增，在上单调递减.
.
则当，.
.
.
戴口罩很有必要.
例5． 某市疾控中心流感监测结果显示,自2019年1月起,该市流感活动一度出现上升趋势,尤其是2月以来,呈现快速增长态势,截止目前流感病毒活动度仍处于较高水平,为了预防感冒快速扩散,某校医务室采取积极方式,对感染者进行短暂隔离直到康复假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染,需要通过化验血液来确定感染的同学,血液化验结果呈阳性即为感染,呈阴性即未被感染下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验,直到能确定感染同学为止；
方案乙：先任取3个同学,将它们的血液混在一起化验,若结果呈阳性则表明感染同学为这3位中的1位,后再逐个化验,直到能确定感染同学为止；若结果呈阴性则在另外3位同学中逐个检测；
求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；
表示依方案甲所需化验次数,表示依方案乙所需化验次数,假设每次化验的费用都相同,请从经济角度考虑那种化验方案最佳．
【解析】设2,3,4,分别表示依方案甲需化验为第i次,
表示依方案乙需化验为第j次,
,,
,
,
A表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数．
．
的可能取值为1,2,3,4,的可能取值为2,3．
,,
次,
,
,
次
故方案乙更佳．
例6． 某单位计划组织200名职工进行一种疾病的筛查,先到本单位医务室进行血检,血检呈阳性者再到医院进一步检测已知随机一人血检呈阳性的概率为,且每个人血检是否呈阳性相互独立．
根据经验,采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下：将待检人员随机分成20组,每组10人,先将每组的血样混在一起化验,若结果呈阴性,则可断定本组血样全部为阴性,不必再化验；若结果呈阳性,则本组中至少有一人呈阳性,再逐个化验设进行化验的总次数为X,试求X的数学期望；
Ⅱ若该疾病的患病率为,且患该疾病者血检呈阳性的概率为,该单位有一职工血检呈阳性,求该职工确实患该疾病的概率参考数据：,,
【解析】解：设每组化验的次数为,则取值为1,11．
,,
的分布列为：
．
进行化验的总次数为X的数学期望．
设事件A表示“血检呈阳性”,B表示事件“该疾病”．
由题意可得：,,,
由条件概率,可得．
．
单位有一职工血检呈阳性,则该职工确实患该疾病的概率为．
例7． 在一个人数很多的团体中普查某种疾病,为此要抽N个人的血,可以用两种方法进行将每个人的血分别去验,这就需N次按k个人一组进行分组,把从k个人抽出来的血混在一起进行检验,如果这混合血液呈阴性反应,就说明k个人的血液都呈阴性反应,这样,这k个人的血就只需验一次若呈阳性,则再对这k个人的血液分别进行化验这样,这k个人的血总共要化验次假设每个人化验呈阳性的概率为p,且这些人的试验反应是相互独立的．
Ⅰ设以k个人为一组时,记这k个人总的化验次数为X,求X的分布列与数学期望；
Ⅱ设以k个人为一组,从每个人平均需化验的次数的角度说明,若,选择适当的k,按第二种方法可以减少化验的次数,并说明k取什么值时最适宜取
【解析】解：Ⅰ个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为,呈阳性结果的概率为．
,
Ⅱ由题意,小于1且取得最小值时,就能得到最好的分组方法．
,
且,最适宜．
例8． 已知一种动物患有某种疾病的概率为,需要通过化验血液来确定是否患该种疾病,化验结果呈阳性则患病,呈阴性则没有患病,多只该种动物检测时,可逐个化验,也可将若干只动物的血样混在一起化验,仅当至少有一只动物的血呈阳性时混合血样呈阳性,若混合血样呈阳性,则该组血样需要再逐个化验．
Ⅰ求2只该种动物的混合血样呈阳性的概率；
Ⅱ现有4只该种动物的血样需要化验,有以下三种方案
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：混合在一起化验．
请问：哪一种方案更适合即化验次数的期望值更小．
【解析】解：Ⅰ设为2只该种动物中血液呈阳性的只数,则,
这2只动物中只要有一只血样呈阳性,它们的混合血样呈阳性,
所求概率为．
只该种动物的混合血样呈阳性的概率为．
Ⅱ方案一：4只动物都得化验,所需化验次数为4次；
方案二：设所需化验次数为X,则X的所有可能取值为2,4,6,
,
,
,
；
方案三：设所需化验次数为Y,则Y的所有可能取值为1,5,
由于4只动物的混合血样呈阴性的概率为,
,
,
．
,
只动物混合在一起化验更合适．
例9． 某种病毒性疾病,患该疾病的血液呈阳性,不患的呈阴性依据已发病例数据统计,一般人群中该病的阳性者的比例为某市体检中心一般采取了如下两种的检验方法：第一种是逐个抽血检验第二种为了减少工作量是把4位职工分为一组,将4人的血缸液混合检验,如果混合血液呈阴性,4人平均每人化验0.25次；如果混合血液呈阳性,则对4人再逐个进行化验,4人共做了5次化验,相当平均每人化验次,假设不同人之间患该疾病是相互独立的现某单位为1000名职工进行抽血体检,检验这种病毒性疾病．
Ⅰ若采取第一种化验方法,求甲乙丙丁4人中,恰有2人血液呈阴性的概率；
Ⅱ若医院采取第二种化验方法,比以往每人化验1次可减少多少工作量？
【解析】解：Ⅰ因为不同人之间患病是相互独立的,
所以采取第一种化验方法,求甲乙丙丁4人中,恰有2人血液呈阴性的概率为；
Ⅱ医院采取第二种化验方法,
设平均每人的化验次数为随机变量,所有可能的取值为,,
由题意可得4人混合血液呈阴性的概率为,阳性的概率为
所以随机变量的分布列为
所以的期望为,
1000名职工进行抽血体检,每人化验一次,平均化验次数为,
医院采取第二种化验方法,相当于减少第一种方法的工作量的以上．
例10．已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验,直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只,将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验记依方案甲所需化验次数为X,依方案乙所需化验次数为Y．
Ⅰ求随机变量X的分布列及期望；
Ⅱ求随机变量Y的分布列及方差；
Ⅲ求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率
【解析】解：Ⅰ随机变量X的分布列
；
Ⅱ随机变量Y的分布列为
于是, ；
Ⅲ
年龄
，
，
，
，
，
，
，
，
，
人数
2
6
12
18
22
22
12
4
2

2
4
6





1
5




1
11



X
1
P
0.25
1.25
P
X
1
2
3
4
概率
Y
2
3
概率