高三数学高考高分突破之概率统计专题20 放回不放回问题（解析版）27

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(2)求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率；
(3)记录至少有一只球的盒子，以表示这些盒子编号的最大值，求
【解析】(1)设“三只小球恰在两个盒子中”为事件，则
(2)设“恰有两个球的编号与盒子编号不同”为事件，“三个球的编号与盒子的编号不同”为事件则“至少有两个球的编号与所在盒子编号不同”为事件：，
，
，
与互斥，
故
(3)
；
；
；
；
故
例2． 为庆祝“2017年中国长春国际马拉松赛”，某单位在庆祝晚会中进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有“长春马拉松”和“美丽长春”两种标志，摇匀后，规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球(登记后放回并摇匀)，若抽到的两个小球都印有“长春马拉松”即可中奖，并停止抽奖，否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次.已知从盒中抽取两个小球不都是“美丽长春”标志的概率为.
(Ⅰ)求盒中印有“长春马拉松”标志的小球个数；
(Ⅱ)用η表示某位嘉宾抽奖的次数，求η的分布列和期望．
【解析】（Ⅰ）设印有“美丽长春”的球有n个，同时抽两球不都是“美丽长春”标志为事件A，则同时抽取两球都是“美丽长春”标志的概率是，
由对立事件的概率：P(A)＝1－＝.
即，解得n＝3.
（Ⅱ）由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1，2，3，
，,
P(η＝3)＝1－P(η＝1)－P(η＝2)＝.
则η的分布列为
所以E(η)＝1×＋2×＋3×＝.
例3． 已知一个口袋中装有n个红球(且)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．
（Ⅰ）当时，设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为X，求X的分布列；
（II）记三次摸球中(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P，当n取多少时，P最大？
【解析】（1）当时，每次摸出两个球，中奖的概率，则
；；
；．
所以X的分布列为
（2）设每次摸球中奖的概率为p，则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为
，．
对于函数，，
当时，， 在上单调递增，
当时，， 在上单调递减，
故当时，取得最大值．
令，即，解得或，
所以当或2时，P最大．
例4． 袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为. 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，……，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止. 每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的.用表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.
（1）求随机变量的概率分布列和数学期望；
（2）求甲取到白棋的概率.
【解析】设袋中白棋共有个，，则依题意知：，∴，
即 ，解之得（舍去）.
（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量的所有可能取值是1，2，3，4，5.
，，，
，.
（注：此段4分的分配是每错1个扣1分，错到4个即不得分.）
随机变量的概率分布列为：
所以.
（2）记事件“甲取到白棋”，则事件包括以下三个互斥事件：
“甲第1次取棋时取出白棋”；
“甲第2次取棋时取出白棋”；
“甲第3次取棋时取出白棋”.
依题意知：，，，
所以，甲取到白棋的概率为
例5． 袋中有大小相同的3个红球和2个白球,现从袋中每次取出一个球,若取出的是红球，则放回袋中,继续取一个球,若取出的是白球,则不放回,再从袋中取一球,直到取出两个白球或者取球5次,则停止取球,设取球次数为,
(1)求取球3次则停止取球的概率;
(2)求随机变量的分布列.
【解析】（1）记“取球3次停止”为事件， 则；
（2）由题意，可能的取值为2,3,4,5，
；
；

其分布表如下：
例6． 某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值
为，当时,产品为一级品；当时，产品为二级品，当时，产品为三级品，现用两种新配方(分别称为配方和配方)做实验，各生产了100件这种产品，
并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：(以下均视频率为概率)
配方的频数分配表
配方的频数分配表
（Ⅰ）若从配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的配方产品中至少1件二级品”为事件，求事件发生的概率；
（Ⅱ）若两种新产品的利润率与质量指标满足如下关系：其中，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？
【解析】（Ⅰ）由题意知，从配方产品中随机抽取一次抽中二级品的概率为，则没有抽中二级品的概率为，
所以，.
（Ⅱ）配方立品的利润分布列为
所以
配方产品的利润分布列为
所以，因为，所以
所以投资配方产品的平均利润率较大.
例7． 一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为，，，，，．
（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取次，求取出的两个球编号之和为的概率．
（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取次，求恰有次抽到号球的概率．
（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取个球，记球的最大编号为，求随机变量的分布列．
（Ⅳ）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取次，记球的最大编号为，求随机变量的分布列．
【解析】（Ⅰ）共有种，和为的共种，
∴．
（Ⅱ）为抽个球，有的概率，
∴为所求．
（Ⅲ）可取，，，，
，，
，．
∴X的分布列为
（Ⅳ），
，
，
，
，
．
∴X的分布列为
例8． 从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.
(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.
(ⅰ)分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；
(ⅱ)求抽到红球次数的数学期望及方差.
(Ⅱ)若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数的分布列.
【解析】（1）抽1次得到红球的概率为，得白球的概率为得黑球的概率为
①所以恰2次为红色球的概率为
抽全三种颜色的概率
②,则，
（2）的可能取值为2，3，4，5
, ,
，
即分布列为：
例9． 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
（1）求最后取出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求的分布列和数学期望
【解析】（1）最后取出的是正品对应的事件是：①3件都是正品；
②前3件里有1件次品2件正品，第4件是正品.
前3件都是正品的概率是：
3件里有1件次品2件正品，第4件是正品概率是：
所以最后取出的是正品的概率：
（2）的可能取值为，，.
，，
，
故的分布列为：
例10．已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N＋)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出2个球，若2个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．
(1)当n＝3时，设三次摸球中中奖的次数为X，求随机变量X的分布列；
(2)记三次摸球中恰有两次中奖的概率为P，求当n取多少时，P的值最大．
【解析】（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率，
； ；
；；
ξ分布列为：
（2）设每次摸奖中奖的概率为p，
则三次摸球（每次摸奖后放回）恰有两次中奖的概率为：
，0＜p＜1，
P'=-9p2+6p=-3p（3p-2），知在上P为增函数，在上P为减函数，
当时P取得最大值．
又，
故n2-3n+2=0，解得：n=1或n=2，
故n为1或2时，P有最大值．
例11．某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：
（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率；
（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：
预计去年消费金额在内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：
方案 1：按分层抽样从普通会员， 银卡会员， 金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元； 银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元； 金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.
方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有 3 个白球、 2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中， 有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2，则可获得 200 元奖励金； 若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） .
以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由.
【解析】（1）设随机抽取的2人中，去年的消费金额超过4000元的消费者有人，
则的可能值为“0，1，2”，
∴ .
（或者.
（2）方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为：
，，，
∴按照方案1奖励的总金额为：元，
方案2：设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，
则的可能值为“0，200，300”，
∵摸到红球的概率：，∴ ，
，，
∴的分布列为
∴元，
∴按照方案2奖励的总金额为：
元，
∵方案1奖励的总金额多于方案1奖励的总金额，
∴预计方案2投资较少.
η
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
1
2
3
4
5
2
3
4
5
指标值分组
频数
10
30
40
20
指标值分组
频数
5
10
15
40
30
0.6
0.4
0.7
0.25
0.05
2
3
4
5
P
200
300
400
ξ
0
1
2
3
p
会员等级
消费金额
普通会员
2000
银卡会员
2700
金卡会员
3200
0
200
300