高三数学高考高分突破之概率统计专题27 数列问题（解析版）41

这是一份高三数学高考高分突破之概率统计专题27 数列问题（解析版）41，共14页。试卷主要包含了 某人玩硬币走跳棋的游戏， 有人玩掷硬币走跳棋的游戏， 一种抛硬币游戏的规则是等内容，欢迎下载使用。

（1）公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束.
参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中.
①请分别求出甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率；
②请求出甲参加抽奖活动次数的分布列和期望.
（2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广.
报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第次抽奖中奖的概率为，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行次，已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于.
【解析】（1）①甲在第一次中奖的概率为
乙在第二次中奖的概率为
②设甲参加抽奖活动的次数为X，则，
；；，
.
（2）证明：丙在第奇数次中奖的概率为，在第偶数次中奖的概率为.
设丙参加抽奖活动的次数为Y，“丙中奖”为事件A，则，
令，，则丙在第次中奖的概率
在第次中奖的概率，
即，
在丙中奖的条件下，在第，次中奖的概率为，
则丙参加活动次数的均值为
设，
则，
，
，
所以.
例2． 某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为、购买的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为、购买产品的概率也是，如此往复.记某人第次来购买产品的概率为.
（1）求，并证明数列是等比数列；
（2）记第二次来公司购买产品的3个人中有个人购买产品，求的分布列并求；
（3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备、产品各多少份.（直接写结论、不必说明理由）.
【解析】（1）
依题意，知，则
当时，可得，
∴数列是首项为公比为的等比数列.
（2）第二次买A产品的概率；
第二次买B产品的概率
∴第二次来的3人中有个人购买产品，
的所有可能取值为0、1、2、3
有，
∴的分布列为
故.
（3）由(1)知：
∴当趋于无穷大时，，即第次来购买产品的概率约为.
故公司每天应至少准备产品320份、产品480份.
例3． 从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设可到达点的概率为
(1)求和的值；(2)求证：；(3)求的表达式.
【解析】(1)(2)证明：到达点有两种情况：
①从点按向量移动，即②从点按向量移动，即
(3)数列是以为首项，为公比的等比数列.
又
例4． 某人玩硬币走跳棋的游戏。已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、、第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从到)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从到)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第站的概率为.
(1)求的值；
(2)求证：，其中；
(3)求玩该游戏获胜的概率及失败的概率.
【解析】(1)解：棋子开始在第0站为必然事件，.
第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，.
棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：
①前两次掷硬币都出现正面，其概率为；②第一次掷硬币出现反面，其概率为.
.
(2)证明：棋子跳到第站的情况是下列两种，而且也只有两种：
①棋子先到第站，又掷出反面，其概率为；
②棋子先到第站，又掷出正面，其概率为.
.
(3)解：由(2)知当时，数列是首项为，公比为的等比数列.
.
以上各式相加，得，
获胜的概率为，
失败的概率
例5． 有人玩掷硬币走跳棋的游戏。已知硬币岀现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、、第100站。一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从到）；若掷出反面，祺子向前跳二站（从到），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束。设棋子跳到第站的概率为.
（1）求的值
（2）写出的递推关系，其中，且；
（3）求玩该游戏获胜的概率.
【解析】（1）棋子开始在第0站为必然事件，所以.
第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，所以.
棋子跳到第2站有下列两种情况：
情形一 前二次掷硬币均出现正面，其概率为;
情形二 第一次掷硬币出现反面，其概率为.
所以；
（2）棋子跳到第站有下列两种情况：
情形一 棋子先跳到第站，又掷出反面，其概率为；
情形二 棋子先跳到第站，又掷出正面，其概率为.
所以，从而；
（3）由（1）与（2）知，，则，即，
所以数列是首相为，公比为的等比数列，
所以.
于是
，
于是.
所以玩游戏获胜的概率为.
例6． 4人互相传球，由开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到手中，则不同的传球方式有多少种？若有个人相互传球次后又回到发球人手中的不同传球方式有多少种？
【解析】4人传球时，传球次共有种传法。设第次将球传给的方法数共有种传法，则不传给的有种，故，且不传给的下次均可传给，即
两边同除以得，
令，则，则
当时，.
当人数为时，分别用，n取代3,4时，可得.
例7． 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得分，反面向上得分.
(1)设抛掷次的得分为，求的分布列和数学期望；
(2)求恰好得到分的概率.
【解析】(1)的可能取值为.
设抛掷5次得分的概率为
其分布列如下表：
；
(2)设表示恰好得到分的概率.不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面.因为"不出现分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因为“掷一次出现反面”的概率是.
所以，即，.
所以是以为首项，以为公比的等比数列.
所以，即.
答：恰好得到分的概率为.
例8． 质点在轴上从原点出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到点的概率为。
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）用表示，并证明是等比数列；
（Ⅲ）求．
【解析】（Ⅰ）P1=，
（Ⅱ）由题意可知，质点到达点（n,0），可分两种情形，由点（n-1,0）右移1个单位或由点（n-2,0）右移2个单位，故由条件可知：（n≥3）
上式可变形为
是以为公比的等比数列。
其首项P2－P1=
（Ⅲ）由（Ⅱ）知Pn－Pn－1=（n≥2）
∴
例9． 某人抛掷一颗质地均匀的骰子，构造数列{an}，使，记Sn＝a1＋a2＋＋an(n∈Z)．
(1)求S6＝2的概率；
(2)求S2≠0且S6＝2的概率．
【解析】(1)S6＝2，需6次中出现4次偶数点2次奇数点，
设其概率为P1，则P1＝.
(2)S2≠0，即前两次同时出现偶数点或同时出现奇数点．
①当前两次同时出现偶数点时，S2＝2.
要使S6＝2，需后四次中出现两次偶数点，两次奇数点，
设其概率为P2，则P2＝××()2×()2＝.
②当前两次同时出现奇数点时，S2＝－2.
要使S6＝2，需后四次全出现偶数点，
设其概率为P3，则P3＝××()4＝.
所以S2≠0且S6＝2的概率P＝P2＋P3＝.
例10．某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是相等的，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站。一枚棋子开始在第0站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束。设棋子跳到第n站的概率为.
（1）求；(2) 求证：为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率.
【解析】（1）显然，跳动一站有点数为1或2两种情况，共有6钟情况，故，跳动两站分两种情况：跳两次概率为，跳一次概率为，故；
(2) 由题意知：
是首项为公比为的等比数列 ；
（3）由（2）知，
于是，将这98个式子累加得：，
于是，
所以玩该游戏获胜的概率为.
例11．春节来临，有农民工兄弟、、、四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响.若、、、获得火车票的概率分别是，其中，又成等比数列，且、两人恰好有一人获得火车票的概率是.
（1）求的值；
（2）若、是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家.设表示、、、能够回家过年的人数，求的分布列和期望.
【解析】（1）、两人恰好有一人获得火车票的概率是

联立方程 ，
，解得
（2）




的分布列为
.
例12．武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.
（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量，求的分布列与数学期望；
（2）（i）若从游客中随机抽取人，记总分恰为分的概率为，求数列的前10项和；
（ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为分的概率为，探讨与之间的关系，并求数列的通项公式.
【解析】解：（1）可能取值为3，4，5，6.
，，，.
∴的分布列为
∴
（2）（i）总分恰为分的概率为，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
前10项和.
（ⅱ）已调查过的累计得分恰为分的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得2
分，概率为，.
所以，即
∴.
∴，
∴.
X
1
2
3
P
0
1
2
3
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
3
4
5
6