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2024年高考数学复习全程规划【一轮复习讲义】 专题01集合的概念与运算（17种题型2个易错考点）（原卷版+解析）
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这是一份2024年高考数学复习全程规划【一轮复习讲义】 专题01集合的概念与运算（17种题型2个易错考点）（原卷版+解析），共53页。试卷主要包含了 真题多维细目表，命题规律与备考策略，考点清单，题型方法，易错分析，刷基础等内容，欢迎下载使用。
二、命题规律与备考策略
本专题是高考必考内容，难度小，分值5分，重点考察集合的基本运算，，常与不等式结合，考察集合的交、并、补运算，复习时以基础知识为主。
三、 2022真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共4小题）
1．（2022•新高考Ⅰ）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（ ）
A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}D．{x|≤x＜16}
2．（2022•新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{﹣1，4}
3．（2021•新高考Ⅱ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁UB＝（ ）
A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}
4．（2021•新高考Ⅰ）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（ ）
A．{2，3，4}B．{3，4}C．{2，3}D．{2}
四、考点清单
考点一：集合及其关系
1.集合的确定性、互异性、无序性
集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征．
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．
（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．
（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．
【解题方法点拨】
解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复．
【命题方向】
本部分内容属于了解性内容，但是近几年高考中基本考查选择题或填空题，试题多以集合相等，含参数的集合的讨论为主．
2. 集合间的基本关系
（1）集合的相等
（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．
（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A＝B．
（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：
①两个集合的元素个数相等；
②两个集合的元素之和相等；
③两个集合的元素之积相等． 由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．
【解题方法点拨】
集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．
【命题方向】
通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．
（2）子集与真子集
1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．
记作：A⊆B（或B⊇A）．
2、真子集是对于子集来说的．
真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．
所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．
{1，3}⊂{1，2，3，4}
{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}
3、真子集和子集的区别
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；
注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；
另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．
一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
【解题方法点拨】
注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．
【命题方向】
本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．
考点二：集合的基本运算
（1）集合的基本运算
（2）集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
（3）常用结论
（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；
②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）；
空集是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅A）．
（2）子集个数：若有限集A中有n个元素，
则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有个．
（3）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B．
（4）(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B) ．
五、题型方法
一．集合的含义（共3小题）
1．（2022秋•保定期末）下列说法正确的是（ ）
A．高一年级全体高个子同学可以组成一个集合
B．0∈N*
C．∃x∈R，x2+x+1≤0
D．符合条件{a，b，c}⊆P⊆{a，b，c，d，e}集合P有4个
2．（2022秋•南昌期末）已知集合M＝{（x，y）|x，y∈N*，x+y≤2}，则M中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2022秋•浦东新区期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 ．
①上海市2022年入学的全体高一年级新生；
②在平面直角坐标系中，到定点（0，0）的距离等于1的所有点；
③影响力比较大的中国数学家；
④不等式3x﹣10＜0的所有正整数解．
二．元素与集合关系的判断（共3小题）
4．（2022秋•衡阳期末）集合A＝{x|lgπx＞1}，则（ ）
A．1∈AB．2∈AC．3∈AD．4∈A
5．（2022秋•西安期末）集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（2022秋•徐汇区期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1）0∈A，1∈A；（2）若x、y∈A，则x﹣y∈A；（3）若x∈A且x≠0，则．则称A为“好集”．
已知命题：
①集合{1，0，﹣1}是好集；
②对任意一个“好集”A，若x、y∈A，则x+y∈A．
以下判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
三．集合的确定性、互异性、无序性（共4小题）
7．（2022•渭滨区校级模拟）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（ ）
A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或2
8．（2022春•南开区期末）已知x∈{1，2，x2}，则实数x＝ ．
9．（2022•安化县校级开学）集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
10．（2022秋•丰城市校级月考）下列说法中，正确的有 （填序号）．
①单词bk的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素：a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列，可分别构成不同的两个集合；
④集合M＝{3，4}与N＝{（3，4）}表示同一个集合．
四．集合的表示法（共3小题）
11．（2022秋•浦城县月考）若用列举法表示集合A＝{（x，y）|}，则下列表示正确的是（ ）
A．{x＝3，y＝0}B．{（3，0）}C．{3，0}D．{0，3}
12．（2022秋•武冈市期中）用列举法表示＝ ．
13．（2022秋•宁德期末）下列集合与区间（1，2）表示的集合相等的是（ ）
A．{（1，2）}B．{x|x2﹣3x+2＜0}
C．{x|x2﹣3x+2＝0}D．{（x，y）|x＝1，y＝2}
五．集合的相等（共3小题）
14．（2022秋•安顺期末）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}
B．M＝{1，2}，N＝{2，1}
C．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}
15．（2022秋•临渭区校级月考）已知集合A＝{0，2，4}，．若A＝B，则实数n的值为（ ）
A．2或B．2或C．﹣2或D．﹣2或
16．（2022秋•浦东新区校级期中）下列表示同一集合的是（ ）
A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
B．M＝{（x，y）|2x+y＝1}，N＝{y|2x+y＝1}
C．M＝{1，2}，N＝{2，1}
D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}
六．集合的包含关系判断及应用（共5小题）
17．（2022秋•秀英区校级期中）已知集合A＝{2，4，a2﹣4a+6}，B＝{2，a}，若A∪B＝A，则a的取值集合为 ．
18．（2022秋•建邺区校级期中）已知U＝R，集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|x2＜9}，则下列关系正确的是（ ）
A．A∪B＝AB．A∩B＝∅C．A∩B＝AD．∁UA⊆∁UB
（多选）19．（2022秋•河北期中）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤7}，B＝{x|a+2≤x≤2a﹣1}，若使B⊆A成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（ ）
A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，3]C．（3，4]D．[4，5）
20．（2022春•鲤城区校级期中）已知A＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{x|m＜x＜1+m}．
（1）当m＝1时，求A∪B；
（2）若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．
21．（2022秋•青秀区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，．
（1）求A∩B；
（2）若C＝{x||x﹣m|≤1}，且C⊆A，求实数m的取值范围．
七．子集与真子集（共3小题）
22．（2022秋•沈阳期中）已知集合A＝{x∈N|﹣2＜x＜3}，则集合A的所有非空真子集的个数是（ ）
A．6B．7C．14D．15
23．（2022秋•湖南期中）已知集合P＝{1，3，4，6，8，9}，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素m都乘（﹣1）m再求和，例如A＝{3，4，6}，则可求得和为（﹣1）3×3+（﹣1）4×4+（﹣1）6×6＝7，对P所有非空子集，这些和的总和为（ ）
A．80B．160C．162D．320
24．（2022秋•响水县校级月考）集合{2，4，6}的非空子集的个数是（ ）
A．8B．7C．4D．3
八．集合中元素个数的最值（共3小题）
25．（2022秋•朝阳区校级期中）集合A＝{x∈N*|x﹣6＜0}中的元素个数是（ ）
A．0B．4C．5D．6
26．（2022秋•松桃县月考）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
27．（2022秋•浦北县校级月考）对于集合A，B，定义A﹣B＝{x|x∈A，x∉B}，A⊕B＝（A﹣B）∪（B﹣A）．设M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，则M⊕N中元素的个数为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
九．空集的定义、性质及运算（共4小题）
28．（2022秋•松江区校级期中）已知集合A＝{x|ax+1＝0}为空集，则a＝ ．
29．（2022秋•昆都仑区校级月考）若集合A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，4）B．[0，4）C．（0，4]D．[0，4]
30．（2022秋•北京月考）下列集合表示空集的是（ ）
A．{x∈R|x2+1＝0}B．{∅}C．{0}D．0
31．（2022•新罗区校级开学）已知集合A＝{x|x2+4ax﹣4a+3＝0}，B＝{x|x2+（a﹣1）x+a2＝0}，C＝{x|x2+2ax﹣2a＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围．
一十．集合关系中的参数取值问题（共4小题）
32．（2022秋•双流区校级期中）若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有一个元素，则实数k的值为（ ）
A．0或1B．1C．0D．k＜1
33．（2022秋•栖霞区校级期中）已知集合A＝{x|x2+ax+b＝0}，B＝{x|x2+cx+15＝0}，若A∪B＝{3，5}，A∩B＝{3}，则实数a的值为 ．
34．（2022秋•芙蓉区校级月考）设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，集合B＝{x|2m＜x＜1}．
（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若B∩∁RA中只有一个整数，求实数m的取值范围．
35．（2022•朝阳区二模）已知集合A＝{α|α＝（x1，x2，x3，x4），xi∈N，i＝1，2，3，4}．对集合A中的任意元素α＝（x1，x2，x3，x4），定义T（α）＝（|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x4|，|x4﹣x1|），当正整数n≥2时，定义Tn（α）＝T（Tn﹣1（α））（约定T1（α）＝T（α））．
（Ⅰ）若α＝（2，0，2，1），β＝（2，0，2，2），求T4（α）和T4（β）；
（Ⅱ）若α＝（x1，x2，x3，x4）满足xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4）且T2（α）＝（1，1，1，1），求α的所有可能结果；
（Ⅲ）是否存在正整数n使得对任意α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有Tn（α）＝（0，0，0，0）？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．
一十一．并集及其运算（共3小题）
36．（2022秋•台江区校级月考）已知集合A＝{x|ex＜1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．（﹣2，0）D．（﹣1，2）
37．（2022秋•上月考）若集合M＝{x|2x＞4}，N＝{x|lg3x≤1}，则M∪N＝（ ）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜2或x＞2）D．R
38．（2022秋•西城区校级月考）已知集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∪B＝（ ）
A．{1，2}B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．{﹣1}∪[1，+∞）
一十二．交集及其运算（共3小题）
39．（2022秋•上月考）已知A＝{y|y＝ax（a＞0，a≠1）}，B＝{x|x2＞x}，则A∩B＝（ ）
A．（0，+∞）B．（1，+∞）
C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
40．（2022•赣县区校级开学）已知集合A＝{x||x|＜4，x∈Z}，B＝{y|y2＞4}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣4，﹣3，3，4}B．{﹣3，3}C．{3}D．∅
41．（2022秋•河南月考）若集合A＝{0，1，3，4，7}，B＝{﹣2，0，3，4}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．1
一十三．补集及其运算（共3小题）
42．（2022秋•城西区校级月考）设全集U＝{x∈Z|x2≤2x+3}，集合A＝{0，1，2}，则∁UA＝（ ）
A．{0，3}B．{﹣1，0}C．{﹣1，3}D．{﹣1，0，3}
43．（2022春•高县校级月考）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x|x2﹣6x+8≤0，x∈Z}，则∁UA＝（ ）
A．{2，3，4}B．{1，5，6}C．{4，5，6}D．{1，2，3}
44．（2021秋•东城区校级期末）全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2＜5，x∈Z}，则∁UA＝（ ）
A．∁UA＝{﹣3，﹣2，2，3，4，5}B．∁UA＝{﹣3，3，4，5}
C．∁UA＝{3，4，5}D．∁UA＝{﹣2，﹣1，0，1，2}
一十四．全集及其运算（共1小题）
45．（2022秋•北京期中）设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
一十五．交、并、补集的混合运算（共2小题）
46．（2022秋•资阳月考）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，M＝{x|x＞0}，N＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}，则M∩（∁UN）＝（ ）
A．{3}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{﹣2，2，3}
47．（2022秋•黄埔区校级月考）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，3}，集合B＝{2，3，4}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{2，4}B．{3，4}C．{2，3}D．{4}
一十六．子集与交集、并集运算的转换（共3小题）
48．（2022秋•宝山区校级期中）用C（A）表非空集合A中元素的个数，定义，若A＝{1}，B＝{x|x（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）＝（ ）
A．4B．3C．2D．9
49．（2022秋•浦东新区校级月考）设集合M、P≠∅，定义集合M﹣P＝{x|x∈M，x∉P}，则集合M﹣（M﹣P）是（ ）
A．PB．MC．M∪PD．M∩P
50．（2022春•红塔区校级期中）定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，则A*B的元素个数为（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
一十七．Venn图表达集合的关系及运算（共3小题）
51．（2022秋•邢台月考）集合论是德国数学家康托尔（G．Cantr）于19世纪末创立的．在他的集合理论中，用card（A）表示有限集合A中元素的个数，例如：A＝{a，b，c}，则card（A）＝3．对于任意两个有限集合A，B，有card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）
A．28B．23C．18D．16
52．（2022秋•浦北县校级期中）若全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{x|x＜3}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{3，4，5，6}B．{0，1，2}C．{0，1，2，3}D．{4，5，6}
53．（2022春•重庆月考）如图，U是全集，M，N，P是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．（∁UM）∩（∁UN）∩PB．（∁UM）∩P
C．∁U（M∩N）∩PD．∁U（M∪N）∪P
六、易错分析
易错点1：忽视集合元素的互异性致错
已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.
易错点2：忽视空集致错
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
七、刷基础
一．选择题（共10小题）
1．（2023•沙坪坝区校级模拟）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{1，﹣1，0}，B＝{﹣1，2}，则A∪∁UB＝（ ）
A．{0，1}B．{﹣2，0，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}
2．（2023•武汉模拟）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|2x+3＞0}，则A∩B＝（ ）
A．B．C．D．
3．（2023•泰州模拟）若M，N是U的非空子集，M∩N＝M，则（ ）
A．M⊆NB．N⊆MC．∁UM＝ND．∁UN＝M
4．（2023•安徽模拟）已知集合A＝{x|ln（x﹣2）＜0}，B＝{x|5﹣2x＞0}，则A∩B＝（ ）
A．B．C．D．{x|1＜x＜2}
5．（2023•全国二模）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣x+m＝0}，若A∩B＝{2}，则B＝（ ）
A．{2，1}B．{2，4}C．{2，3}D．{2，﹣1}
6．（2023•五华区校级模拟）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90%，对物理感兴趣的占56%，对历史感兴趣的占74%，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（ ）
A．70%B．56%C．40%D．30%
7．（2023•河南二模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x2＜4x}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，4）C．（﹣1，0）D．（0，2）
8．（2023•哈尔滨二模）已知集合A＝{x||x﹣3|＜2}，，则A∪B＝（ ）
A．（1，2]B．（1，2）C．[﹣1，5]D．[﹣1，5）
9．（2023•怀仁市模拟）若集合A＝{x|x＜4}，B＝，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．（﹣∞，1]B．（0，1]
C．（﹣∞，0）∪（0，1]D．（﹣∞，0]∪（1，4）
10．（2023•铁岭模拟）设，N＝{x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＜1B．a≤1C．D．
二．多选题（共1小题）
（多选）11．（2023•福建二模）非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则；②若x，y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有（ ）
A．﹣1∉AB．
C．若x，y∈A，则xy∈AD．若x，y∈A，则x﹣y∈A
三．填空题（共4小题）
12．（2023•大荔县一模）设三元集合，则a2022+b2022＝ ．
13．（2023•湖南模拟）若一个非空数集F满足：对任意a，b∈F，有a+b，a﹣b，ab∈F，且当b≠0时，有，则称F为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；
（2）若数域F有非零元素，则2021∈F；
（3）集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域；
（4）有理数集为数域；
真命题的个数为 ．
14．（2023•浑南区一模）已知集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x|y＝}，A∩（∁RB）＝ ．
15．（2023•晋江市校级模拟）对于集合E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{，，…，}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中＝＝…＝＝1，其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0．
（1）子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”的前四项和等于 ；
（2）若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi+pi+1＝1，1≤i≤99，E的子集Q的“特征数列”为q1，q2，…，q100，满足q1＝1，qj+qj+1+qj+2＝2，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为 ．
四．解答题（共1小题）
16．（2023•建水县校级模拟）已知集合A＝{x|a≤x≤a+2}，B＝{x|2x+2＞0}，全集U＝R．
（1）若a＝﹣2，求A∩B，A∩（∁UB）；
（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
八.刷易错
一．选择题（共11小题）
1．（2023•天津模拟）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，集合B＝{2，3，5}，则（∁UB）∩A＝（ ）
A．{2}B．{2，3}C．{1}D．{1，4}
2．（2023•甘肃一模）已知集合A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣3∈AB．3∉BC．A∪B＝BD．A∩B＝B
3．（2022•朝阳区校级三模）已知集合A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|ax+1＝0}，若B⊆A，则实数a的取值组成的集合是（ ）
A．{﹣1}B．{}C．{﹣1，}D．{﹣1，0，}
4．（2022•天门校级模拟）已知集合A＝{y|y＝2x﹣1，1≤x≤2}，B＝{x|y＝lg（2﹣x）}，则下列结论正确的是（ ）
A．A⊆BB．A∩B＝[0，2]C．A∪B＝（﹣∞，2]D．（∁RA）∪B＝R
5．（2022•梅州模拟）已知集合M＝{x∈N|1≤x≤9}，集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有3个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为（ ）
A．60B．63C．56D．57
6．（2022•沙河口区校级一模）已知有限集X，Y，定义集合X﹣Y＝{x|x∈X，且x∉Y}，|X|表示集合X中的元素个数．若x＝{1，2，3，4}，Y＝{3，4，5}，则|（X﹣Y）∪（Y﹣X）|＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2022•河西区模拟）设集合M＝{x|x2≤4}，集合N＝{x|1≤x≤2}，则∁MN＝（ ）
A．{x|﹣2≤x＜1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{x|x≤﹣2}D．{x|0＜x＜2}
8．（2022•定海区校级模拟）若集合A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为（ ）
A．{a|2≤a≤7}B．{a|6≤a≤7}C．{a|a≤7}D．∅
9．（2022•汉中模拟）设集合M＝{x|x＜4}，集合N＝{x|x2﹣2x＜0}，则下列关系中正确的是（ ）
A．M∪N＝MB．M∪（∁RN）＝MC．N∪（∁RM）＝RD．M∩N＝M
10．（2022•滨海县校级模拟）已知集合A＝{2，﹣2}，B＝{x|x2﹣ax+4＝0}，若A∪B＝A，则实数a满足（ ）
A．{a|﹣4＜a＜4}B．{a|﹣2＜a＜2}C．{﹣4，4}D．{a|﹣4≤a≤4}
11．（2022•渭滨区校级模拟）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（ ）
A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或2
考题
考点
考向
2022新高考1，第1题
集合的基本运算
交集运算
2022新高考2，第1题
集合的基本运算
交集运算
2021新高考1，第1题
集合的基本运算
交集运算
2021新高考2，第2题
集合的基本运算
交集，补集运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
专题01集合的概念与运算（17种题型2个易错考点）
一、 真题多维细目表
二、命题规律与备考策略
本专题是高考必考内容，难度小，分值5分，重点考察集合的基本运算，，常与不等式结合，考察集合的交、并、补运算，复习时以基础知识为主。
三、 2022真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共4小题）
1．（2022•新高考Ⅰ）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（ ）
A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}D．{x|≤x＜16}
【分析】分别求解不等式化简M与N，再由交集运算得答案．
【解答】解：由＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x|＜4}＝{x|0≤x＜16}，
由3x≥1，得x，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|x}，
∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|≤x＜16}．
故选：D．
【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
2．（2022•新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{﹣1，4}
【分析】解不等式求集合B，再根据集合的运算求解即可．
【解答】解：|x﹣1|≤1，解得：0≤x≤2，
∴集合B＝{x|0≤x≤2}
∴A∩B＝{1，2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键．
3．（2021•新高考Ⅱ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁UB＝（ ）
A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}
【分析】先利用补集的定义求出∁UB，再利用交集的定义求解即可．
【解答】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，
所以∁UB＝{1，5，6}，
故A∩∁UB＝{1，6}．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集与补集的求解，解题的关键是掌握交集和补集的定义，属于基础题．
4．（2021•新高考Ⅰ）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（ ）
A．{2，3，4}B．{3，4}C．{2，3}D．{2}
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，
∴A∩B＝{2，3}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四、考点清单
考点一：集合及其关系
1.集合的确定性、互异性、无序性
集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征．
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．
（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．
（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．
【解题方法点拨】
解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复．
【命题方向】
本部分内容属于了解性内容，但是近几年高考中基本考查选择题或填空题，试题多以集合相等，含参数的集合的讨论为主．
2. 集合间的基本关系
（1）集合的相等
（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．
（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A＝B．
（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：
①两个集合的元素个数相等；
②两个集合的元素之和相等；
③两个集合的元素之积相等． 由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．
【解题方法点拨】
集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．
【命题方向】
通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．
（2）子集与真子集
1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．
记作：A⊆B（或B⊇A）．
2、真子集是对于子集来说的．
真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．
所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．
{1，3}⊂{1，2，3，4}
{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}
3、真子集和子集的区别
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；
注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；
另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．
一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
【解题方法点拨】
注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．
【命题方向】
本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．
考点二：集合的基本运算
（1）集合的基本运算
（2）集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
5．常用结论
（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；
②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）；
空集是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅A）．
（2）子集个数：若有限集A中有n个元素，
则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有个．
（3）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B．
（4）(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B) ．
五、题型方法
一．集合的含义（共3小题）
1．（2022秋•保定期末）下列说法正确的是（ ）
A．高一年级全体高个子同学可以组成一个集合
B．0∈N*
C．∃x∈R，x2+x+1≤0
D．符合条件{a，b，c}⊆P⊆{a，b，c，d，e}集合P有4个
【分析】根据集合的特征可判断A，利用N*为正整数集可判断B，根据存在量词命题的真假可判断C，根据子集的定义可判断D．
【解答】解：对于A，高个子同学具有不确定性，故不能组成一个集合，故错误；
对于B，N*是正整数集，所以0∉N*，故错误；
对于C，x2+x+1＝（x+）2+≥＞0，故错误；
对于D，因为{a，b，c}⊆P⊆{a，b，c，d，e}，
所以P可为{a，b，c}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，c，d，e}，故正确；
故选：D．
【点评】本题考查判断元素能否构成集合，判断元素与集合的关系，判断集合的子集（真子集）的个数，判断特称（存在性）命题的真假，属于基础题．
2．（2022秋•南昌期末）已知集合M＝{（x，y）|x，y∈N*，x+y≤2}，则M中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据正整数集的定义以及集合的定义即可求解．
【解答】解：因为集合M＝{（x，y）|x，y∈N*，x+y≤2}，
所以当x＝1时，y＝1，
即集合M＝{（1，1）}，
所以集合M中元素个数为1个，
故选：A．
【点评】本题考查了集合的定义，涉及到正整数集的定义，考查了学生的转化能力，属于基础题．
3．（2022秋•浦东新区期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 ．
①上海市2022年入学的全体高一年级新生；
②在平面直角坐标系中，到定点（0，0）的距离等于1的所有点；
③影响力比较大的中国数学家；
④不等式3x﹣10＜0的所有正整数解．
【分析】根据已知条件，结合集合的含义，即可求解．
【解答】解：①上海市2022年入学的全体高一年级新生，符合集合的定义，故①正确，
②在平面直角坐标系中，到定点（0，0）的距离等于1的所有点，符合集合的定义，故②正确，
③影响力比较大的中国数学家，不符合集合的确定性，故③错误，
④不等式3x﹣10＜0的所有正整数解，即原不等式的集合为{1，2，3}，符合集合的定义，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查集合的含义，属于基础题．
二．元素与集合关系的判断（共3小题）
4．（2022秋•衡阳期末）集合A＝{x|lgπx＞1}，则（ ）
A．1∈AB．2∈AC．3∈AD．4∈A
【分析】求出集合A，结合元素与集合关系判断即可．
【解答】解：∵lgπx＞1＝lgππ，∴x＞π，∴A＝{x|x＞π}，
可知1∉A，2∉A，3∉A，故A、B、C错误；4∈A，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查元素与集合关系的判断，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（2022秋•西安期末）集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】利用已知条件，直接求出a+b，根据集合中元素互异性特点，可求得集合M中元素的个数．
【解答】解：因为集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，
所以a+b的值可能为：1+2＝3、1+3＝4、1+4＝5、2+2＝4、2+3＝5、2+4＝6、3+2＝5、3+3＝6、3+4＝7，
所以M中元素只有：3，4，5，6，7，共5个，
故选：C．
【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力，属于基础题．
6．（2022秋•徐汇区期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1）0∈A，1∈A；（2）若x、y∈A，则x﹣y∈A；（3）若x∈A且x≠0，则．则称A为“好集”．
已知命题：
①集合{1，0，﹣1}是好集；
②对任意一个“好集”A，若x、y∈A，则x+y∈A．
以下判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
【分析】根据“好集”的定义逐一判断即可．
【解答】解：对于①，因为1∈{1，0，﹣1}，﹣1∈{1，0，﹣1}，而﹣1﹣1＝﹣2∉{﹣1，0，1}，
所以集合{1，0，﹣1}不是“好集”，故①错误；
对于②，因为集合A是“好集”，
所以0∈A，0﹣y＝﹣y∈A，
所以x﹣（﹣y）＝x+y∈A，故②正确，
所以①为假命题，②为真命题，
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的新定义问题，考查了元素与集合的关系，属于基础题．
三．集合的确定性、互异性、无序性（共4小题）
7．（2022•渭滨区校级模拟）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（ ）
A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或2
【分析】分别由1﹣a＝4，a2﹣a+2＝4，求出a的值，代入观察即可．
【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3，
∴a2﹣a+2＝14，
∴A＝{2，4，14}；
若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1，
a＝2时，1﹣a＝﹣1，
∴A＝{2，﹣1，4}；
a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍），
故选：C．
【点评】本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，本题是一道基础题．
8．（2022春•南开区期末）已知x∈{1，2，x2}，则实数x＝ ．
【分析】利用元素与集合的关系知x是集合的一个元素，分类讨论列出方程求出x代入集合检验集合的元素满足的三要素．
【解答】解：∵x∈{1，2，x2}，
分情况讨论可得：
①x＝1此时集合为{1，2，1}不合题意
②x＝2此时集合为{1，2，4}合题意
③x＝x2解得x＝0或x＝1
当x＝0时集合为{1，2，0}合题意
故答案为0或2．
【点评】本题考查元素与集合的关系、在解集合中的参数问题时，一定要检验集合的元素满足的三要素：确定性、互异性、无序性．
9．（2022•安化县校级开学）集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
【分析】根据已知条件，分k＝0，k≠0两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：①当k＝0时，方程kx2﹣8x+16＝0变为﹣8x+16＝0，解得x＝2，满足题意，
②当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}中只有一个元素，
则方程kx2﹣8x+16＝0只有一个实数根，
所以Δ＝64﹣64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意，
综上所述，k＝0或k＝1，
故实数k的值组成的集合为{0，1}．
【点评】本题主要考查集合的应用，属于基础题．
10．（2022秋•丰城市校级月考）下列说法中，正确的有 （填序号）．
①单词bk的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素：a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列，可分别构成不同的两个集合；
④集合M＝{3，4}与N＝{（3，4）}表示同一个集合．
【分析】利用集合的定义和性质逐项分析可得
【解答】解：①不正确．单词bk中的字母有重复，共有3个不同字母，因此单词bk的所有字母组成的集合的元素个数是3．
②正确．因为a，b，c是集合M中的3个元素，所以a，b，c互不相等，因此△ABC的三边长互不相等，故△ABC不可能是等腰三角形．
③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，构成的集合里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的．
④不正确．集合M＝{3，4}表示数3，4构成的集合，集合中有两个元素，集合N＝{（3，4）}表示点集，集合中有一个元素，故集合M与N不是同一个集合．
故答案为：②．
【点评】本题考查集合元素的性质，属于基础题．
四．集合的表示法（共3小题）
11．（2022秋•浦城县月考）若用列举法表示集合A＝{（x，y）|}，则下列表示正确的是（ ）
A．{x＝3，y＝0}B．{（3，0）}C．{3，0}D．{0，3}
【分析】解方程组得，即可得到集合．
【解答】解：由，解得，
所以A＝{（3，0）}．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的表示法，属于基础题．
12．（2022秋•武冈市期中）用列举法表示＝ ．
【分析】根据已知条件，先求出a的值，即可求解．
【解答】解：∵且a∈N，
∴a﹣1＝1或a﹣1＝2 或a﹣1＝3或a﹣1＝6，解得a＝2或a＝3或a＝4或a＝7，
∴对应的值为6，3，2，1，
故＝{1，2，3，6}．
故答案为：{1，2，3，6}．
【点评】本题主要考查集合的表示法，属于基础题．
13．（2022秋•宁德期末）下列集合与区间（1，2）表示的集合相等的是（ ）
A．{（1，2）}B．{x|x2﹣3x+2＜0}
C．{x|x2﹣3x+2＝0}D．{（x，y）|x＝1，y＝2}
【分析】根据区间表示的集合，再结合选项，即可判断．
【解答】解：区间（1，2）表示的集合为{x|1＜x＜2}，
对于A，集合{（1，2）}表示点集，只有一个元素，故A错误；
对于B，{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，故B正确；
对于C，{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，表示数集，其中只有2个元素，故C错误；
对于D，{（x，y）|x＝1，y＝2}＝{（1，2）}，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的表示方法，属于基础题．
五．集合的相等（共3小题）
14．（2022秋•安顺期末）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}
B．M＝{1，2}，N＝{2，1}
C．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}
【分析】根据集合元素的性质及集合相等定义判断即可．
【解答】解：对AD，两集合的元素类型不一致，则M≠N，AD错；
对B，由集合元素的无序性可知，M＝N，B对；
对C，两集合的唯一元素不相等，则M≠N，C错；
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题．
15．（2022秋•临渭区校级月考）已知集合A＝{0，2，4}，．若A＝B，则实数n的值为（ ）
A．2或B．2或C．﹣2或D．﹣2或
【分析】由题意，得m+n＝0或，分两种情况求出n的值即可．
【解答】解：由题意，得m+n＝0或，
当m+n＝0时，，即m＝2n+4，
故2n+4+n＝0，解得，
故，所以B＝{4，0，2}，满足题意；
当时，m+n＝2，解得n＝2，
所以n＝2或．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题．
16．（2022秋•浦东新区校级期中）下列表示同一集合的是（ ）
A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
B．M＝{（x，y）|2x+y＝1}，N＝{y|2x+y＝1}
C．M＝{1，2}，N＝{2，1}
D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}
【分析】根据集合的概念及相同集合的性质判断各选项集合是否相同即可．
【解答】解：A：集合M，N中的元素不为同一个点，不是同一集合，故A错误；
B、D：集合M，N的元素不同，一个是数，一个是实数对，不是同一集合，故BD错误；
C：根据集合元素的无序性，可知集合M＝N，即为同一集合，故C正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题．
六．集合的包含关系判断及应用（共5小题）
17．（2022秋•秀英区校级期中）已知集合A＝{2，4，a2﹣4a+6}，B＝{2，a}，若A∪B＝A，则a的取值集合为 ．
【分析】由题意可得，B⊆A，再分类讨论，即可求解．
【解答】解：∵A∪B＝A，
∴B⊆A，
当a＝4时，a2﹣4a+6＝6，即A＝{2，4，6}，B＝{2，4}，符合题意，
当a2﹣4a+6＝a，解得a＝2或a＝3，
当a＝2时，集合A不符合互异性，舍去，
当a＝3时，集合A＝{2，4，3}，B＝{2，3}，符合题意，
故a的取值集合为{3，4}．
故答案为：{3，4}．
【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
18．（2022秋•建邺区校级期中）已知U＝R，集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|x2＜9}，则下列关系正确的是（ ）
A．A∪B＝AB．A∩B＝∅C．A∩B＝AD．∁UA⊆∁UB
【分析】先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解．
【解答】解：因为A＝{﹣1，1}，B＝{x|x2＜9}＝{x|﹣3＜x＜3}，
所以对于选项A，A∪B＝{x|﹣3＜x＜3}＝B，故A错；
对于选项BC，A∩B＝{﹣1，1}＝A，故B错，C对；
对于选项D，∁UA＝{x|x≠±1}，∁UB＝{x|x＞3或x＜﹣3}，所以∁UA⊇∁UB，故D错．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
（多选）19．（2022秋•河北期中）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤7}，B＝{x|a+2≤x≤2a﹣1}，若使B⊆A成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（ ）
A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，3]C．（3，4]D．[4，5）
【分析】根据已知条件，分集合B是否为空集讨论，求出a的取值范围，再结合真子集的定义，即可求解．
【解答】解：当B＝∅时，a+2＞2a﹣1，解得a＜3，
当B≠∅时，﹣1≤a+2≤2a﹣1≤7，解得3≤a≤4，
故实数a的取值范围为（﹣∞，4]，即M＝（﹣∞，4]，
所以M的一个真子集可以是（﹣∞，3]或（3，4]．
故选：BC．
【点评】本题主要考查真子集的定义，以及集合的包含关系，属于基础题．
20．（2022春•鲤城区校级期中）已知A＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{x|m＜x＜1+m}．
（1）当m＝1时，求A∪B；
（2）若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．
【分析】（1）求出B即可，求A与B并集即可；
（2）求出∁RA，由B⊆∁RA列出关于m的不等式组，解出m即可．
【解答】解：（1）当m＝1时，B＝（1，2），所以A∪B＝（﹣1，3]；
（2）∵1+m＞m，∴B≠∅，∁RA＝（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞），
∵B⊆∁RA，∴m+1≤﹣1或m≥3，
故m的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．
【点评】本题考查集合的相关运算，属于基础题．
21．（2022秋•青秀区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，．
（1）求A∩B；
（2）若C＝{x||x﹣m|≤1}，且C⊆A，求实数m的取值范围．
【分析】（1）先求出集合A，B，再利用集合的交集运算求解．
（2）先化简集合C，再根据C⊆A列出不等式组，求出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，＝{x|﹣3＜x＜1}，
∴A∩B＝{x|﹣2≤x＜1}．
（2）C＝{x||x﹣m|≤1}＝{x|m﹣1≤x≤m+1}，A＝{x|﹣2≤x≤4}，
又∵C⊆A，
∴，解得﹣1≤m≤3，
即实数m的取值范围为[﹣1，3]．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
七．子集与真子集（共3小题）
22．（2022秋•沈阳期中）已知集合A＝{x∈N|﹣2＜x＜3}，则集合A的所有非空真子集的个数是（ ）
A．6B．7C．14D．15
【分析】根据已知条件，结合非空真子集的定义，即可求解．
【解答】解：A＝{x∈N|﹣2＜x＜3}＝{0，1，2}，元素个数为3个，
则集合A的所有非空真子集的个数是23﹣2＝6．
故选：A．
【点评】本题主要考查非空真子集的定义，属于基础题．
23．（2022秋•湖南期中）已知集合P＝{1，3，4，6，8，9}，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素m都乘（﹣1）m再求和，例如A＝{3，4，6}，则可求得和为（﹣1）3×3+（﹣1）4×4+（﹣1）6×6＝7，对P所有非空子集，这些和的总和为（ ）
A．80B．160C．162D．320
【分析】先计算出集合的非空子集个数，然后结合新定义计算结果所出现的情况，把结果相加即可．
【解答】解：因为元素1，3，4，6，8，9在集合P的所有非空子集中分别出现25次，
则对P的所有非空子集中元素m执行乘（﹣1）m再求和，
则这些和的总和是25×[（﹣1）1×1+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4+（﹣1）6×6+（﹣1）8×8+（﹣1）9×9]＝160．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合的新定义问题，以及集合非空子集个数公式，属于基础题．
24．（2022秋•响水县校级月考）集合{2，4，6}的非空子集的个数是（ ）
A．8B．7C．4D．3
【分析】根据集合非空子集个数与集合中元素个数关系2n﹣1即可得到答案．
【解答】解：根据非空子集个数公式为2n﹣1＝23﹣1＝7．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合非空子集的定义，属于基础题．
八．集合中元素个数的最值（共3小题）
25．（2022秋•朝阳区校级期中）集合A＝{x∈N*|x﹣6＜0}中的元素个数是（ ）
A．0B．4C．5D．6
【分析】列举法求集合A，从而确定元素个数．
【解答】解：A＝{x∈N*|x﹣6＜0}＝{1，2，3，4，5}，
故集合A中有5个元素，
故选：C．
【点评】本题考查了集合的列举法的应用，属于基础题．
26．（2022秋•松桃县月考）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
【分析】根据x，y为整数，分析所有可能的情况求解即可
【解答】解：当x＝﹣1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，
当x＝0时，y2≤3，得y＝﹣1，0，1，
当x＝1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，
即集合A中元素有9个，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键，属于基础题．
27．（2022秋•浦北县校级月考）对于集合A，B，定义A﹣B＝{x|x∈A，x∉B}，A⊕B＝（A﹣B）∪（B﹣A）．设M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，则M⊕N中元素的个数为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据题中集合的新定义以及集合的运算可解．
【解答】解：因为集合A，B，定于A﹣B＝{x|x∈A，x∉B}，A⊕B＝（A﹣B）∪（B﹣A）．
又M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，
则M﹣N＝{1，2，3}，N﹣M＝{7，8，9，10}，
则M⊕N＝（M﹣N）∪（N﹣M）＝{1，2，3，7，8，9，10}共有7个元素，
故选：C．
【点评】本题考查集合的新定义以及集合的运算，属于基础题．
九．空集的定义、性质及运算（共4小题）
28．（2022秋•松江区校级期中）已知集合A＝{x|ax+1＝0}为空集，则a＝ ．
【分析】根据已知条件，结合空集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|ax+1＝0}为空集，
则a＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查空集的定义，属于基础题．
29．（2022秋•昆都仑区校级月考）若集合A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，4）B．[0，4）C．（0，4]D．[0，4]
【分析】由题意说明不等式ax2﹣ax+1＜0无实解，分类讨论a＝0和a≠0两种情况．
【解答】解：由题意不等式ax2﹣ax+1＜0无实解，
a＝0时，不等式为1＜0，无实解．
a≠0时，，解得0＜a≤4，
综上，a∈[0，4]．
故选：D．
【点评】本题考查不等式恒不成立问题，即不等式无实解．注意要对最高次系数分类讨论．
30．（2022秋•北京月考）下列集合表示空集的是（ ）
A．{x∈R|x2+1＝0}B．{∅}C．{0}D．0
【分析】根据空集的定义判断即可．
【解答】解：对于A，∵方程x2+1＝0无实根，∴集合{x∈R|x2+1＝0}＝∅，故A正确，
对于B，∵集合{∅}中有一个元素∅，∴不是空集，故B错误，
对于C，∵集合{0}中有一个元素0，∴不是空集，故C错误，
对于D，0不是集合，故D错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查了空集的定义，属于基础题．
31．（2022•新罗区校级开学）已知集合A＝{x|x2+4ax﹣4a+3＝0}，B＝{x|x2+（a﹣1）x+a2＝0}，C＝{x|x2+2ax﹣2a＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围．
【分析】关于“至少“至多”“不存在”等问题可考虑反面，本题的反面是A、B、C都是空集，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：假设集合A、B、C都是空集，
对于A，元素是x，A＝∅，表示不存在x使得式子x2+4ax﹣4a+3＝0，
所以Δ＝16a2﹣4（﹣4a+3）＜0，解得﹣＜a＜；
对于B，B＝∅，同理Δ＝（a﹣1）2﹣4a2＜0，解得a＞或者a＜﹣1；
对于集合C，C＝∅，同理Δ＝（2a）2+8a＜0，解得﹣2＜a＜0；
三者交集为﹣＜a＜﹣1．
取反面即可得A、B、C三个集合至少有一个集合不为空集，
∴a的取值范围是a≥﹣1或a≤﹣．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
一十．集合关系中的参数取值问题（共4小题）
32．（2022秋•双流区校级期中）若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有一个元素，则实数k的值为（ ）
A．0或1B．1C．0D．k＜1
【分析】当k＝0 时，集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}＝{x|x＝﹣1}，满足条件．当k≠0时，由判别式等于0可得 k＝1，此时，集合A＝{﹣2}，满足条件，由此得出结论．
【解答】解：当k＝0 时，集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}＝{x|x＝﹣1}，满足条件．
当k≠0时，由判别式等于0可得 16﹣16k＝0，解得 k＝1，此时，集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}＝{x|x2+4x+4＝0}＝{﹣2}，满足条件．
综上可得，实数k的值为0或1．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
33．（2022秋•栖霞区校级期中）已知集合A＝{x|x2+ax+b＝0}，B＝{x|x2+cx+15＝0}，若A∪B＝{3，5}，A∩B＝{3}，则实数a的值为 ．
【分析】根据A∩B＝{3}，B＝{x|x2+cx+15＝0}，先求出集合B，进而求出集合A，由此可得实数a，b，c．
【解答】解：∵A∩B＝{3}，
∴9+3a+b＝0，9+3c+15＝0，解得c＝﹣8，
∴B＝{x|x2+8x+15＝0}＝{3，5}，
∵A∪B＝{3，5}，A∩B＝{3}，
∴A＝{3}，
∴a2﹣4b＝0，
又∵9+3a+b＝0，
∴a＝﹣6，b＝9．故答案为：﹣6．
【点评】本题考查集合的运算，考查计算能力，属于基础题．
34．（2022秋•芙蓉区校级月考）设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，集合B＝{x|2m＜x＜1}．
（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若B∩∁RA中只有一个整数，求实数m的取值范围．
【分析】（1）“x∈A”是“x∈B”的必要条件，等价于B⊆A，据此列式可得；
（2）B∩∁RA中只有一个整数，只能是﹣2这个整数．
【解答】解：（1）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以“x∈B“是“x∈A“的充分条件，
所以B⊆A，所以或 2m≥1，解得：﹣≤m或m≥，
所以m；
（2）因为A＝[﹣1，2]，所以∁RA＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），
又B∩∁RA中只有一个整数，所以这个整数必定是﹣2，
故2m∈[﹣3，﹣2），所以m∈[﹣，﹣1）
【点评】本题考查了集合关系中的参数取值问题．属基础题．
35．（2022•朝阳区二模）已知集合A＝{α|α＝（x1，x2，x3，x4），xi∈N，i＝1，2，3，4}．对集合A中的任意元素α＝（x1，x2，x3，x4），定义T（α）＝（|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x4|，|x4﹣x1|），当正整数n≥2时，定义Tn（α）＝T（Tn﹣1（α））（约定T1（α）＝T（α））．
（Ⅰ）若α＝（2，0，2，1），β＝（2，0，2，2），求T4（α）和T4（β）；
（Ⅱ）若α＝（x1，x2，x3，x4）满足xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4）且T2（α）＝（1，1，1，1），求α的所有可能结果；
（Ⅲ）是否存在正整数n使得对任意α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有Tn（α）＝（0，0，0，0）？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．
【分析】（I）根据定义依次写出Tn（α），n∈{1，2，3，4}、Tn（β），n∈{1，2，3，4}即可得结果．
（Ⅱ）由题设T（α）有（1，0，1，0）或（0，1，0，1），再依据定义确定α的所有可能结果；
（Ⅲ）由定义得T（α）＝（x1﹣x2，x2﹣x3，x4﹣x3，x1﹣x4），依次写出Tn（α）直到Tn（α）＝（0，0，0，0）即可判断存在性，并确定n的所有取值．
【解答】解：（I）由题意T（α）＝（2，2，1，1），T2（α）＝（0，1，0，1），T3（α）＝（1，1，1，1），T4（α）＝（0，0，0，0），
T（β）＝（2，2，0，0），T2（β）＝（0，2，0，2），T3（β）＝（2，2，2，2），T4（β）＝（0，0，0，0），
（Ⅱ）由T2（α）＝（1，1，1，1）且xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4），|x1﹣x2|﹣|x2﹣x3||＝1，
同理，x2＝0或1时，||x1﹣x2|﹣|x2﹣x3||＝|x1﹣x3|＝1，
x3＝0或1时，||x2﹣x3|﹣|x3﹣x4||＝|x2﹣x4|＝1，
x4＝0或1时，||x3﹣x4|﹣|x4﹣x1||＝|x1﹣x3|＝1，
所以（1）等价于，则x1≠x3，x2≠x4，
当x1＝0，x2＝0，则α为（0，0，1，1）满足；
当x1＝0，x2＝1，则α为（0，1，1，0）满足，
当x1＝1，x2＝0，则α为（1，0，0，1）满足，
当x1＝1，x2＝1，则α为（1，1，0，0）满足，
综上，α的所有可能结果（1，0，0，1）、（0，1，1，0）、（1，1，0，0）、（0，0，1，1）．
（Ⅲ）存在正整数n使Tn（α）＝（0，0，0，0）且{n∈N*|n≥6}，理由如下：
由α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3），则T（α）＝（x1﹣x2，x2﹣x3，x4﹣x3，x1﹣x4），
所以T2（α）＝（|x1+x3﹣2x2|，x2﹣x4，|x1+x3﹣2x4|，x2﹣x4），
若a＝|x1+x3﹣2x2|，b＝|x1+x3﹣2x4|，
所以T3（α）＝（|x2﹣x4﹣a|，|x2﹣x4﹣b|，|x2﹣x4﹣b|，|x2﹣x4﹣a|），
若c＝|x2﹣x4﹣a|﹣|x2﹣x4﹣b||，则T4（α）＝（c，0，c，0），T5（α）＝（c，c，c，c），T6（α）＝（0，0，0，0），
所以，对α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有T6（α）＝（0，0，0，0），
当n≥7时，Tn（α）＝（0，0，0，0）恒成立，
综上，n所有取值为{，n∈N*|n≥6使Tn（α）＝（0，0，0，0）成立．
【点评】本题考查集合的新定义，考查学生的推理运算能力，属于中档题．
一十一．并集及其运算（共3小题）
36．（2022秋•台江区校级月考）已知集合A＝{x|ex＜1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．（﹣2，0）D．（﹣1，2）
【分析】先求出集合A，B，再结合并集的运算，即可求解．
【解答】解：A＝{x|ex＜1，x∈R}＝{x|x＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}＝{x|﹣1＜x＜2}，
则A∪B＝（﹣∞，2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
37．（2022秋•上月考）若集合M＝{x|2x＞4}，N＝{x|lg3x≤1}，则M∪N＝（ ）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜2或x＞2）D．R
【分析】根据已知条件，先求出M，N，再结合并集的定义，即可求解．
【解答】解：M＝{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，N＝{x|lg3x≤1}＝{x|0＜x≤3}，
故M∪N＝{x|x＞0}．
故选：B．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
38．（2022秋•西城区校级月考）已知集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∪B＝（ ）
A．{1，2}B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．{﹣1}∪[1，+∞）
【分析】利用并集的运算求解即可．
【解答】解：集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，
则A∪B＝{﹣1}∪[1，+∞）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
一十二．交集及其运算（共3小题）
39．（2022秋•上月考）已知A＝{y|y＝ax（a＞0，a≠1）}，B＝{x|x2＞x}，则A∩B＝（ ）
A．（0，+∞）B．（1，+∞）
C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
【分析】根据指数函数的值域，集合的交集运算即可．
【解答】解：易知A＝{y|y＞0}，B＝{x|x2＞x}＝{x|x（x﹣1）＞0}＝（﹣∞，0）∪（1，+∞），
所以A∩B＝（1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
40．（2022•赣县区校级开学）已知集合A＝{x||x|＜4，x∈Z}，B＝{y|y2＞4}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣4，﹣3，3，4}B．{﹣3，3}C．{3}D．∅
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x||x|＜4，x∈Z}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{y|y2＞4}＝{y|y＞2或y＜﹣2}，
则A∩B＝{﹣3，3}．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
41．（2022秋•河南月考）若集合A＝{0，1，3，4，7}，B＝{﹣2，0，3，4}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．1
【分析】由交集的定义即可得出答案．
【解答】解：因为集合A＝{0，1，3，4，7}，B＝{﹣2，0，3，4}，
所以A∩B＝{0，3，4}，A∩B中元素的个数为3．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
一十三．补集及其运算（共3小题）
42．（2022秋•城西区校级月考）设全集U＝{x∈Z|x2≤2x+3}，集合A＝{0，1，2}，则∁UA＝（ ）
A．{0，3}B．{﹣1，0}C．{﹣1，3}D．{﹣1，0，3}
【分析】先求出全集U，再利用补集运算求解即可．
【解答】解：∵U＝{x∈Z|x2≤2x+3}＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，
A＝{0，1，2}，
∴∁UA＝{﹣1，3}，
故选：C．
【点评】本题考查集合的补集运算，是基础题．
43．（2022春•高县校级月考）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x|x2﹣6x+8≤0，x∈Z}，则∁UA＝（ ）
A．{2，3，4}B．{1，5，6}C．{4，5，6}D．{1，2，3}
【分析】解不等式求出A，求出∁UA的值即可．
【解答】解：U＝{1，2，3，4，5，6}，
A＝{x|x2﹣6x+8≤0，x∈Z}＝{2，3，4}，
则∁UA＝{1，5，6}，
故选：B．
【点评】本题考查了解不等式问题和集合的运算，是基础题．
44．（2021秋•东城区校级期末）全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2＜5，x∈Z}，则∁UA＝（ ）
A．∁UA＝{﹣3，﹣2，2，3，4，5}B．∁UA＝{﹣3，3，4，5}
C．∁UA＝{3，4，5}D．∁UA＝{﹣2，﹣1，0，1，2}
【分析】求出集合A，利用补集定义能求出∁UA．
【解答】解：全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，
集合A＝{x|x2＜5，x∈Z}＝{x|，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
则∁UA＝{﹣3，3，4，5}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
一十四．全集及其运算（共1小题）
45．（2022秋•北京期中）设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．
【解答】解：A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，
A∩B＝{4，7，9}∴∁U（A∩B）＝{3，5，8}故选A．
也可用摩根律：∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）
故选：A．
【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．
一十五．交、并、补集的混合运算（共2小题）
46．（2022秋•资阳月考）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，M＝{x|x＞0}，N＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}，则M∩（∁UN）＝（ ）
A．{3}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{﹣2，2，3}
【分析】根据集合的补集运算、交集运算求解即可．
【解答】解：∵N＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}＝{﹣1，0，1}，
∴∁UN＝{﹣2，2，3}，
∴M∩（∁UN）＝{2，3}．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合交集及补集运算，属于基础题．
47．（2022秋•黄埔区校级月考）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，3}，集合B＝{2，3，4}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{2，4}B．{3，4}C．{2，3}D．{4}
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解作答．
【解答】解：全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，3}，则∁UA＝{2，4，5}，而B＝{2，3，4}，
所以（∁UA）∩B＝{2，4}．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
一十六．子集与交集、并集运算的转换（共3小题）
48．（2022秋•宝山区校级期中）用C（A）表非空集合A中元素的个数，定义，若A＝{1}，B＝{x|x（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）＝（ ）
A．4B．3C．2D．9
【分析】根据新定义可确定几何B中元素个数，从而解得a的取值即可．
【解答】解：由于，A＝{1}，且A*B＝1，则C（B）＝0或2，
显然0∈B，则B≠∅，故C（B）＝2，
由于0不是x2+ax+2＝0的根，则x2+ax+2＝0有两个相等的实数根，
故Δ＝a2﹣8＝0，从而，故C（S）＝2．
故选：C．
【点评】本题考查集合中元素个数，属于基础题．
49．（2022秋•浦东新区校级月考）设集合M、P≠∅，定义集合M﹣P＝{x|x∈M，x∉P}，则集合M﹣（M﹣P）是（ ）
A．PB．MC．M∪PD．M∩P
【分析】由条件中差集的定义便可表示M﹣（M﹣P）＝{x|x∈M，且x∉（M﹣P）}，然后用venn图表示集合M，P，由图形即可得出答案．
【解答】解：根据差集的定义，M﹣（M﹣P）＝{x|x∈M，且x∉（M﹣P）}，用venn图表示集合M，P的关系如图：
阴影部分表示M﹣P，
∴M﹣（M﹣P）＝M∩P．
故选：D．
【点评】本题主要考查对差集定义的理解，描述法表示集合，借助venn图解决集合问题的方法．
50．（2022春•红塔区校级期中）定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，则A*B的元素个数为（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【分析】根据新定义A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，把集合A与集合B中的元素分别代入即可得到答案．
【解答】解：∵A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，
∴A*B＝{2，3，4，5}，
则A*B的元素个数为4，
故选：C．
【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，属于基础题，关键是根据新定义求解．
一十七．Venn图表达集合的关系及运算（共3小题）
51．（2022秋•邢台月考）集合论是德国数学家康托尔（G．Cantr）于19世纪末创立的．在他的集合理论中，用card（A）表示有限集合A中元素的个数，例如：A＝{a，b，c}，则card（A）＝3．对于任意两个有限集合A，B，有card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）
A．28B．23C．18D．16
【分析】由题意画出韦恩图，由此即可求解．
【解答】解：由已知画出韦恩图：
则该班的人数共有10+5+8＝23人，
故选：B．
【点评】本题考查了韦恩图的应用，属于基础题．
52．（2022秋•浦北县校级期中）若全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{x|x＜3}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{3，4，5，6}B．{0，1，2}C．{0，1，2，3}D．{4，5，6}
【分析】由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩（∁UB），再利用集合的基本运算即可求解．
【解答】解：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩（∁UB），
∵全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{x|x＜3}，
∴∁RB＝{x|≥3}，
∴A∩（∁RB）＝{3，4，5，6}，
故选：A．
【点评】本题主要考查了韦恩图，以及集合的基本运算，是基础题．
53．（2022春•重庆月考）如图，U是全集，M，N，P是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．（∁UM）∩（∁UN）∩PB．（∁UM）∩P
C．∁U（M∩N）∩PD．∁U（M∪N）∪P
【分析】根据维恩图的意义，阴影部分所表示的集合是集合M，N在全集上的补集的公共部分和集合P的交集，由此能求出结果．
【解答】解：根据维恩图的意义，知阴影部分所表示的集合是集合M，N在全集上的补集的公共部分和集合P的交集，
∴阴影部分所表示的集合是（∁UM）∩（∁UN）∩P．
故选：A．
【点评】本题考查集合的求法，考查补集、交集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
六、易错分析
易错点1：忽视集合元素的互异性致错
已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.
【错解】由A∩B＝{3,7}得a2＋4a＋2＝7，
解得a＝1或a＝－5.
当a＝1时，集合B＝{0,7,3,1}；
当a＝－5时，集合B＝{0,7,3}．
综上知集合B＝{0,7,3,1}或B＝{0,7,3}．
【错因】由题设条件知集合B中有四个元素，集合中出现了相同的元素，与集合中元素的互异性矛盾，导致错解．
【正解】应将当a＝－5时的集合B＝{0,7,3}舍去，故集合B＝{0,7,3,1}．
【答案】{0,7,3,1}
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
易错点2：忽视空集致错
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
【错解】由B⊆A，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≥－2，,2m－1≤5，,m＋1≤2m－1，))解得2≤m≤3.
【错因】上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法．
原因是考虑不全面，由集合B的含义及B⊆A，忽略了集合为∅的可能而漏掉解．
【正解】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.
①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，
此时有B⊆A；
②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B⊆A，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥2，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.
由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.
【答案】{m|m≤3}.
七、刷基础
一．选择题（共10小题）
1．（2023•沙坪坝区校级模拟）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{1，﹣1，0}，B＝{﹣1，2}，则A∪∁UB＝（ ）
A．{0，1}B．{﹣2，0，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}
【分析】由已知求得∁UB，再由并集运算的定义得答案．
【解答】解：∵全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，2}，
∴∁UB＝{﹣2，0，1}，又A＝{1，﹣1，0}，
∴A∪∁UB＝{﹣2，﹣1，0，1}．
故选：D．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．
2．（2023•武汉模拟）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|2x+3＞0}，则A∩B＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】求解不等式化简A与B，再由交集运算的定义得答案．
【解答】解：∵A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝（﹣2，3），B＝{x|2x+3＞0}＝（，+∞），
∴A∩B＝（﹣2，3）∩（，+∞）＝（，3）．
故选：C．
【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
3．（2023•泰州模拟）若M，N是U的非空子集，M∩N＝M，则（ ）
A．M⊆NB．N⊆MC．∁UM＝ND．∁UN＝M
【分析】根据集合交集的运算性质可得集合的包含关系即可一一判断．
【解答】解：因为M∩N＝M，所以M⊆N，A正确，B错误；
因为M，N是U的非空子集，所以∁UM≠N，∁UN≠M，C，D错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的交集和补集运算，集合的包含关系，属于基础题．
4．（2023•安徽模拟）已知集合A＝{x|ln（x﹣2）＜0}，B＝{x|5﹣2x＞0}，则A∩B＝（ ）
A．B．C．D．{x|1＜x＜2}
【分析】根据对数不等式、一元一次不等式的解法求出集合A、B，结合交集的概念和运算即可求解．
【解答】解：由题意得，，
则A＝{x|2＜x＜3}，，
故．
故选：A．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
5．（2023•全国二模）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣x+m＝0}，若A∩B＝{2}，则B＝（ ）
A．{2，1}B．{2，4}C．{2，3}D．{2，﹣1}
【分析】由已知可推得2∈B，代入即可解得m＝﹣2，代入即可得出答案．
【解答】解：由题意可知，2∈B，即22﹣2+m＝0，解得m＝﹣2，
故B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{2，﹣1}．
故选：D．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
6．（2023•五华区校级模拟）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90%，对物理感兴趣的占56%，对历史感兴趣的占74%，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（ ）
A．70%B．56%C．40%D．30%
【分析】根据公式card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）列方程求解即可．
【解答】解：对物理感兴趣的同学占56%，对历史感兴趣的同学占74%，
这两组的比例数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比例，
设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例为x，
则对物理或历史感兴趣的同学的比例是56%+74%﹣x，
所以56%+74%﹣x＝90%，解得x＝40%．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的应用，属于基础题．
7．（2023•河南二模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x2＜4x}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，4）C．（﹣1，0）D．（0，2）
【分析】解不等式可得集合B，根据集合的并集运算，即得答案．
【解答】解：解x2＜4x可得0＜x＜4，
则A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜4}，
故A∪B＝（﹣1，4）．
故选：B．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
8．（2023•哈尔滨二模）已知集合A＝{x||x﹣3|＜2}，，则A∪B＝（ ）
A．（1，2]B．（1，2）C．[﹣1，5]D．[﹣1，5）
【分析】求出集合A、B，利用并集的定义可求得集合A∪B．
【解答】解：因为A＝{x||x﹣3|＜2}＝{x|﹣2＜x﹣3＜2}＝{x|1＜x＜5}，
由可得，解得﹣1≤x＜2，则B＝{x|﹣1≤x＜2}，
故A∪B＝[﹣1，5）．
故选：D．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
9．（2023•怀仁市模拟）若集合A＝{x|x＜4}，B＝，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．（﹣∞，1]B．（0，1]
C．（﹣∞，0）∪（0，1]D．（﹣∞，0]∪（1，4）
【分析】先根据分式不等式的解法求出集合B，再根据交集和补集的定义即可得解．
【解答】解：由得，
则，解得0＜x≤1，
B＝（0，1]，则∁RB＝（﹣∞，0]∪（1，+∞），
故A∩（∁RB）＝（﹣∞，0]∪（1，4）．
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
10．（2023•铁岭模拟）设，N＝{x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＜1B．a≤1C．D．
【分析】先求出集合M，再根据M⊆N，即可求得a的取值范围．
【解答】解：∵，
∵N＝{x|x＞a}，M⊆N，
∴a＜1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合包含关系的应用，属于基础题．
二．多选题（共1小题）
（多选）11．（2023•福建二模）非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则；②若x，y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有（ ）
A．﹣1∉AB．
C．若x，y∈A，则xy∈AD．若x，y∈A，则x﹣y∈A
【分析】用反证法，证明矛盾即可判断A；由1开始类推，能得到所有自然数均属于集合A，由题知两者相除也属于集合A，即可判断B；由集合A的性质可得x•y∈A，x﹣y∈A，即可判断选项C和D．
【解答】解：对于A，假设﹣1∈A，则令x＝y＝﹣1，则＝1∈A，x+y＝﹣2∈A，
令x＝﹣1，y＝1，则＝﹣1∈A，x+y＝0∈A，
令x＝1，y＝0，不存在，即y≠0，矛盾，
∴﹣1∉A，故A对；
对于B，由题，1∈A，则1+1＝2∈A，2+1＝3∈A，…，2022∈A，2023∈A，
∴∈A，故B对；
对于C，∵1∈A，x∈A，∴∈A，
∵y∈A，∈A，∴＝xy∈A，故C对；
对于D，∵1∈A，2∈A，
若x＝2，y＝1，则x﹣y＝1∈A，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查元素与集合关系的判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
12．（2023•大荔县一模）设三元集合，则a2022+b2022＝ ．
【分析】根据集合相等求得a，b，即可求解．
【解答】解：依题意，a≠0，
则，解得b＝0，a＝﹣1，
此时两个集合都是{﹣1，0，1}，符合题意，
故a2022+b2022＝（﹣1）2022+0＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查集合的相等，属于基础题．
13．（2023•湖南模拟）若一个非空数集F满足：对任意a，b∈F，有a+b，a﹣b，ab∈F，且当b≠0时，有，则称F为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；
（2）若数域F有非零元素，则2021∈F；
（3）集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域；
（4）有理数集为数域；
真命题的个数为 ．
【分析】根据新定义逐一判断即可求解．
【解答】解：（1）当a＝b时，a﹣b＝0属于数域，故（1）正确；
（2）若数域F有非零元素，则，
从而1+1＝2∈F，2+1∈F，⋯，2020+1＝2021∈F，故（2）正确；
（3）由集合P，可知x是3的倍数，当a＝6，b＝3时，，故（3）错误；
（4）若F是有理数集，则当a，b∈F，则a+b，a﹣b，ab∈F，且当b≠0时，”都成立，故（4）正确，
故真命题的个数是3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查命题真假的判断，集合中的新定义，考查逻辑推理能力，属于基础题．
14．（2023•浑南区一模）已知集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x|y＝}，A∩（∁RB）＝ ．
【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义，计算即可．
【解答】解：集合A＝{x|≤0}＝{x|0≤x＜2}，
集合B＝{x|y＝}＝{x|1﹣2x﹣1≥0}＝{x|x≤1}，
所以∁RB＝{x|x＞1}，
所以A∩（∁RB）＝{x|1＜x＜2}．
故答案为：{x|1＜x＜2}．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
15．（2023•晋江市校级模拟）对于集合E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{，，…，}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中＝＝…＝＝1，其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0．
（1）子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”的前四项和等于 ；
（2）若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi+pi+1＝1，1≤i≤99，E的子集Q的“特征数列”为q1，q2，…，q100，满足q1＝1，qj+qj+1+qj+2＝2，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为 ．
【分析】（1）根据“特征数列”的定义求出子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”，由此能求出它的前四项和．
（2）由已知定义可求出集合P，Q，由此能求出P∩Q的元素个数．
【解答】解：（1）根据“特征数列”的定义可知子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”为：
1，0，1，1，1，0，0，•••，0，
∴子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”的前四项和为：1+0+1+1＝3．
（2）P的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，•••，1，0，
Q的“特征数列”满足qj+qj+1+qj+2＝2，且q1＝1，q2＝1，q3＝0或q2＝0，q3＝1，
∴Q的“特征数列”为1，1，0，1，1，0，1，1，0，•••，0，1或1，0，1，1，0，1，•••，0，1，1，
∴P＝{a1，a3，a5，a7，•••，a97，a99}，
Q＝{a1，a2，a4，a5，•••，a97，a98，a99}或Q＝{a1，a3，a4，a6，•••，a97，a99，a100}＜
∵P，Q的“特征数列”周期的最小公倍数为6，
一个周期内P∩Q的元素个数为2，共有100÷6＝16••••••4，
∴P∩Q的元素个数为16×2+1＝33或16×2+2＝34个．
故答案为：3；33或34．
【点评】本题考查集合的运算，考查新定义、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四．解答题（共1小题）
16．（2023•建水县校级模拟）已知集合A＝{x|a≤x≤a+2}，B＝{x|2x+2＞0}，全集U＝R．
（1）若a＝﹣2，求A∩B，A∩（∁UB）；
（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
【分析】（1）可求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可；
（2）根据条件可得出a+2≤﹣1，然后解出a的范围即可．
【解答】解：（1）a＝﹣2时，A＝{x|﹣2≤x≤0}，
∵B＝{x|x＞﹣1}，
∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤0}，∁UB＝{x|x≤﹣1}，A∩（∁UB）＝{x|﹣2≤x≤﹣1}；
（2）∵A＝{x|a≤x≤a+2}，B＝{x|x＞﹣1}，且A∩B＝∅，
∴a+2≤﹣1，解得a≤﹣3，
∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]．
【点评】本题考查了集合的描述法的定义，交集和补集的定义及运算，全集的定义，空集的定义，考查了计算能力，属于容易题．
八.刷易错
一．选择题（共11小题）
1．（2023•天津模拟）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，集合B＝{2，3，5}，则（∁UB）∩A＝（ ）
A．{2}B．{2，3}C．{1}D．{1，4}
【分析】根据补集与交集的定义计算即可．
【解答】解：全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，集合B＝{2，3，5}，
∴∁UB＝{1，4}，
∴（∁UB）∩A＝{1}．
故选：C．
【点评】本题考查了补集与交集的定义与应用问题，是基础题．
2．（2023•甘肃一模）已知集合A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣3∈AB．3∉BC．A∪B＝BD．A∩B＝B
【分析】先把集合A的范围解出来，再进行判断即可．
【解答】解：因为A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}＝{y|y≥﹣1}，
又B＝{x|x≥2}，
故A∩B＝B，
故选：D．
【点评】本题主要考查元素与集合、集合与集合间的关系，属于基础题．
3．（2022•朝阳区校级三模）已知集合A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|ax+1＝0}，若B⊆A，则实数a的取值组成的集合是（ ）
A．{﹣1}B．{}C．{﹣1，}D．{﹣1，0，}
【分析】先化简集合A＝{﹣2，1}，集合B中至多有一个元素，分类对其求解即可，本题要分成两类，一类为无解，一类为有一解．
【解答】解：集合A＝{1，﹣2}，集合B中至多有一个元素，
若集合B为空集，即a＝0时，显然满足条件A∪B＝A，故a＝0成立，
若集合B非空集，即a≠0，此时B＝{﹣}，
若﹣＝﹣2，则a＝，若﹣＝1，则a＝﹣1，
故a的取值集合为{0，，﹣1}．
故选：D．
【点评】本题的考点是集合的包含关系判断及应用，本题考查利用集合的包含关系求参数，此类题一般要进行分类讨论求参数的值，求解本题时不要忘记集合为空集的情况，此为本题的易错点．
4．（2022•天门校级模拟）已知集合A＝{y|y＝2x﹣1，1≤x≤2}，B＝{x|y＝lg（2﹣x）}，则下列结论正确的是（ ）
A．A⊆BB．A∩B＝[0，2]C．A∪B＝（﹣∞，2]D．（∁RA）∪B＝R
【分析】由集合的定义分别化简集合A、B，再依次判断即可．
【解答】解：A＝{y|y＝2x﹣1，1≤x≤2}＝[1，2]，
B＝{x|y＝lg（2﹣x）}＝（﹣∞，2），
故A、B没有子集关系，故选项A错误；
A∩B＝[1，2），故选项B错误；
A∪B＝（﹣∞，2]，故选项C正确；
（∁RA）∪B＝{x|x≠2}，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．
5．（2022•梅州模拟）已知集合M＝{x∈N|1≤x≤9}，集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有3个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为（ ）
A．60B．63C．56D．57
【分析】由集合M中最小值1与最大值9构成集合A1中两个元素，若使X1+X2+X3取得最大值，则将2∈A1，从而依次确定X1、X2、X3，同理求最小值，从而解得．
【解答】解：∵集合M＝{x∈N|1≤x≤9}中最小值为1，最大值为9，
∴不妨记1∈A1，9∈A1，则X1＝10，
若使X1+X2+X3取得最大值，
则使A1＝{1，2，9}，
剩余的数中最小值为3，最大值为8，
同理可令A2＝{3，4，8}，X2＝11，
则A3＝{5，6，7}，X3＝12，
则此时X1+X2+X3＝33，
同理可知，当A1＝{1，8，9}，A2＝{2，6，7}，A3＝{3，4，5}时，
X1+X2+X3有最小值27，
故X1+X2+X3的最大值与最小值的和为60，
故选：A．
【点评】本题考查了集合的性质应用，难点在于对新定义的理解，属于中档题．
6．（2022•沙河口区校级一模）已知有限集X，Y，定义集合X﹣Y＝{x|x∈X，且x∉Y}，|X|表示集合X中的元素个数．若x＝{1，2，3，4}，Y＝{3，4，5}，则|（X﹣Y）∪（Y﹣X）|＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由题意知X﹣Y＝{1，2}，Y﹣X＝{5}，即可求得（X﹣Y）∪（Y﹣X）＝{1，2，5}，从而得到|（X﹣Y）∪（Y﹣X）|＝3．
【解答】解：∵X＝{1，2，3，4}，Y＝{3，4，5}，
∴X﹣Y＝{1，2}，Y﹣X＝{5}，
故（X﹣Y）∪（Y﹣X）＝{1，2，5}，
故|（X﹣Y）∪（Y﹣X）|＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了集合的运算及学习能力、转化能力，是中档题．
7．（2022•河西区模拟）设集合M＝{x|x2≤4}，集合N＝{x|1≤x≤2}，则∁MN＝（ ）
A．{x|﹣2≤x＜1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{x|x≤﹣2}D．{x|0＜x＜2}
【分析】可以求出集合M，N，然后进行补集的运算即可．
【解答】解：因为集合M＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}，集合N＝{x|1≤x≤2}，
∴∁MN＝[﹣2，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了描述法，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
8．（2022•定海区校级模拟）若集合A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为（ ）
A．{a|2≤a≤7}B．{a|6≤a≤7}C．{a|a≤7}D．∅
【分析】利用A⊆B，建立不等关系即可求解，注意当A＝∅时，也成立
【解答】解：若A＝∅，即2a+1＞3a﹣5，解得a＜6时，满足A⊆B．
若A≠∅，即a≥6时，要使A⊆B成立，
则，即解得2≤a≤7，此时6≤a≤7．
综上a≤7．
故选：C．
【点评】本题主要考查利用集合关系求参数取值问题，注意对集合A为空集时也成立，注意端点取值等号的取舍问题．
9．（2022•汉中模拟）设集合M＝{x|x＜4}，集合N＝{x|x2﹣2x＜0}，则下列关系中正确的是（ ）
A．M∪N＝MB．M∪（∁RN）＝MC．N∪（∁RM）＝RD．M∩N＝M
【分析】化简集合N，根据集合的基本运算结果判断选项是否正确即可．
【解答】解：集合M＝{x|x＜4}，集合N＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，
则M∪N＝M，A正确；
∁RN＝{x|x≤0或x≥2}，∴M∪∁RN＝R≠M，B错误；
∁RM＝{x|x≥4}，∴N∪∁RM＝{x|0＜x＜2或x≥4}≠R，C错误；
M∩N＝{x|0＜x＜2}≠M，D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了集合的运算问题，是基础题．
10．（2022•滨海县校级模拟）已知集合A＝{2，﹣2}，B＝{x|x2﹣ax+4＝0}，若A∪B＝A，则实数a满足（ ）
A．{a|﹣4＜a＜4}B．{a|﹣2＜a＜2}C．{﹣4，4}D．{a|﹣4≤a≤4}
【分析】根据A与B的并集为A，得到B为A的子集，分B为空集与不为空集两种情况考虑，分别求出求出a的范围即可．
【解答】解：由A∪B＝A得，B⊆A，则B＝∅或B≠∅，
（1）当B＝∅时，即有：Δ＝a2﹣16＜0，解得﹣4＜a＜4，
适合条件B⊆A，实数a满足：﹣4＜a＜4；
（2）当B≠∅时，且A＝{﹣2，2}，
①若B＝{﹣2}，表明x2﹣ax+4＝0有两个相等的实根﹣2，
则（﹣2）2﹣a×（﹣2）+4＝0，则a＝﹣4，满足Δ＝a2﹣16＝0；
②若B＝{2}，表明x2﹣ax+4＝0有两个相等的实根2，
则22﹣a×2+4＝0，解得a＝4，满足Δ＝a2﹣16＝0；
③若B＝{﹣2，2}，表明x2﹣ax+4＝0有两个的实根﹣2和2，
则（﹣2）2﹣a×（﹣2）+4＝0，22﹣a×2+4＝0，则a不存在；
综上得：所有满足条件的实数a组成的集合为[﹣4，4]，
故选：D．
【点评】本题考查并集及其运算，集合的包含关系判断及应用，本题易错主要是忽略B＝∅的情况，考查分类讨论思想．
11．（2022•渭滨区校级模拟）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（ ）
A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或2
【分析】分别由1﹣a＝4，a2﹣a+2＝4，求出a的值，代入观察即可．
【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3，
∴a2﹣a+2＝14，
∴A＝{2，4，14}；
若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1，
a＝2时，1﹣a＝﹣1，
∴A＝{2，﹣1，4}；
a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍），
故选：C．
【点评】本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，本题是一道基础题考题
考点
考向
2022新高考1，第1题
集合的基本运算
交集运算
2022新高考2，第1题
集合的基本运算
交集运算
2021新高考1，第1题
集合的基本运算
交集运算
2021新高考2，第2题
集合的基本运算
交集，补集运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
二、命题规律与备考策略
本专题是高考必考内容，难度小，分值5分，重点考察集合的基本运算，，常与不等式结合，考察集合的交、并、补运算，复习时以基础知识为主。
三、 2022真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共4小题）
1．（2022•新高考Ⅰ）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（ ）
A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}D．{x|≤x＜16}
2．（2022•新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{﹣1，4}
3．（2021•新高考Ⅱ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁UB＝（ ）
A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}
4．（2021•新高考Ⅰ）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（ ）
A．{2，3，4}B．{3，4}C．{2，3}D．{2}
四、考点清单
考点一：集合及其关系
1.集合的确定性、互异性、无序性
集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征．
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．
（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．
（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．
【解题方法点拨】
解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复．
【命题方向】
本部分内容属于了解性内容，但是近几年高考中基本考查选择题或填空题，试题多以集合相等，含参数的集合的讨论为主．
2. 集合间的基本关系
（1）集合的相等
（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．
（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A＝B．
（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：
①两个集合的元素个数相等；
②两个集合的元素之和相等；
③两个集合的元素之积相等． 由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．
【解题方法点拨】
集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．
【命题方向】
通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．
（2）子集与真子集
1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．
记作：A⊆B（或B⊇A）．
2、真子集是对于子集来说的．
真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．
所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．
{1，3}⊂{1，2，3，4}
{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}
3、真子集和子集的区别
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；
注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；
另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．
一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
【解题方法点拨】
注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．
【命题方向】
本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．
考点二：集合的基本运算
（1）集合的基本运算
（2）集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
（3）常用结论
（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；
②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）；
空集是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅A）．
（2）子集个数：若有限集A中有n个元素，
则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有个．
（3）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B．
（4）(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B) ．
五、题型方法
一．集合的含义（共3小题）
1．（2022秋•保定期末）下列说法正确的是（ ）
A．高一年级全体高个子同学可以组成一个集合
B．0∈N*
C．∃x∈R，x2+x+1≤0
D．符合条件{a，b，c}⊆P⊆{a，b，c，d，e}集合P有4个
2．（2022秋•南昌期末）已知集合M＝{（x，y）|x，y∈N*，x+y≤2}，则M中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2022秋•浦东新区期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 ．
①上海市2022年入学的全体高一年级新生；
②在平面直角坐标系中，到定点（0，0）的距离等于1的所有点；
③影响力比较大的中国数学家；
④不等式3x﹣10＜0的所有正整数解．
二．元素与集合关系的判断（共3小题）
4．（2022秋•衡阳期末）集合A＝{x|lgπx＞1}，则（ ）
A．1∈AB．2∈AC．3∈AD．4∈A
5．（2022秋•西安期末）集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（2022秋•徐汇区期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1）0∈A，1∈A；（2）若x、y∈A，则x﹣y∈A；（3）若x∈A且x≠0，则．则称A为“好集”．
已知命题：
①集合{1，0，﹣1}是好集；
②对任意一个“好集”A，若x、y∈A，则x+y∈A．
以下判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
三．集合的确定性、互异性、无序性（共4小题）
7．（2022•渭滨区校级模拟）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（ ）
A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或2
8．（2022春•南开区期末）已知x∈{1，2，x2}，则实数x＝ ．
9．（2022•安化县校级开学）集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
10．（2022秋•丰城市校级月考）下列说法中，正确的有 （填序号）．
①单词bk的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素：a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列，可分别构成不同的两个集合；
④集合M＝{3，4}与N＝{（3，4）}表示同一个集合．
四．集合的表示法（共3小题）
11．（2022秋•浦城县月考）若用列举法表示集合A＝{（x，y）|}，则下列表示正确的是（ ）
A．{x＝3，y＝0}B．{（3，0）}C．{3，0}D．{0，3}
12．（2022秋•武冈市期中）用列举法表示＝ ．
13．（2022秋•宁德期末）下列集合与区间（1，2）表示的集合相等的是（ ）
A．{（1，2）}B．{x|x2﹣3x+2＜0}
C．{x|x2﹣3x+2＝0}D．{（x，y）|x＝1，y＝2}
五．集合的相等（共3小题）
14．（2022秋•安顺期末）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}
B．M＝{1，2}，N＝{2，1}
C．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}
15．（2022秋•临渭区校级月考）已知集合A＝{0，2，4}，．若A＝B，则实数n的值为（ ）
A．2或B．2或C．﹣2或D．﹣2或
16．（2022秋•浦东新区校级期中）下列表示同一集合的是（ ）
A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
B．M＝{（x，y）|2x+y＝1}，N＝{y|2x+y＝1}
C．M＝{1，2}，N＝{2，1}
D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}
六．集合的包含关系判断及应用（共5小题）
17．（2022秋•秀英区校级期中）已知集合A＝{2，4，a2﹣4a+6}，B＝{2，a}，若A∪B＝A，则a的取值集合为 ．
18．（2022秋•建邺区校级期中）已知U＝R，集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|x2＜9}，则下列关系正确的是（ ）
A．A∪B＝AB．A∩B＝∅C．A∩B＝AD．∁UA⊆∁UB
（多选）19．（2022秋•河北期中）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤7}，B＝{x|a+2≤x≤2a﹣1}，若使B⊆A成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（ ）
A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，3]C．（3，4]D．[4，5）
20．（2022春•鲤城区校级期中）已知A＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{x|m＜x＜1+m}．
（1）当m＝1时，求A∪B；
（2）若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．
21．（2022秋•青秀区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，．
（1）求A∩B；
（2）若C＝{x||x﹣m|≤1}，且C⊆A，求实数m的取值范围．
七．子集与真子集（共3小题）
22．（2022秋•沈阳期中）已知集合A＝{x∈N|﹣2＜x＜3}，则集合A的所有非空真子集的个数是（ ）
A．6B．7C．14D．15
23．（2022秋•湖南期中）已知集合P＝{1，3，4，6，8，9}，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素m都乘（﹣1）m再求和，例如A＝{3，4，6}，则可求得和为（﹣1）3×3+（﹣1）4×4+（﹣1）6×6＝7，对P所有非空子集，这些和的总和为（ ）
A．80B．160C．162D．320
24．（2022秋•响水县校级月考）集合{2，4，6}的非空子集的个数是（ ）
A．8B．7C．4D．3
八．集合中元素个数的最值（共3小题）
25．（2022秋•朝阳区校级期中）集合A＝{x∈N*|x﹣6＜0}中的元素个数是（ ）
A．0B．4C．5D．6
26．（2022秋•松桃县月考）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
27．（2022秋•浦北县校级月考）对于集合A，B，定义A﹣B＝{x|x∈A，x∉B}，A⊕B＝（A﹣B）∪（B﹣A）．设M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，则M⊕N中元素的个数为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
九．空集的定义、性质及运算（共4小题）
28．（2022秋•松江区校级期中）已知集合A＝{x|ax+1＝0}为空集，则a＝ ．
29．（2022秋•昆都仑区校级月考）若集合A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，4）B．[0，4）C．（0，4]D．[0，4]
30．（2022秋•北京月考）下列集合表示空集的是（ ）
A．{x∈R|x2+1＝0}B．{∅}C．{0}D．0
31．（2022•新罗区校级开学）已知集合A＝{x|x2+4ax﹣4a+3＝0}，B＝{x|x2+（a﹣1）x+a2＝0}，C＝{x|x2+2ax﹣2a＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围．
一十．集合关系中的参数取值问题（共4小题）
32．（2022秋•双流区校级期中）若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有一个元素，则实数k的值为（ ）
A．0或1B．1C．0D．k＜1
33．（2022秋•栖霞区校级期中）已知集合A＝{x|x2+ax+b＝0}，B＝{x|x2+cx+15＝0}，若A∪B＝{3，5}，A∩B＝{3}，则实数a的值为 ．
34．（2022秋•芙蓉区校级月考）设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，集合B＝{x|2m＜x＜1}．
（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若B∩∁RA中只有一个整数，求实数m的取值范围．
35．（2022•朝阳区二模）已知集合A＝{α|α＝（x1，x2，x3，x4），xi∈N，i＝1，2，3，4}．对集合A中的任意元素α＝（x1，x2，x3，x4），定义T（α）＝（|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x4|，|x4﹣x1|），当正整数n≥2时，定义Tn（α）＝T（Tn﹣1（α））（约定T1（α）＝T（α））．
（Ⅰ）若α＝（2，0，2，1），β＝（2，0，2，2），求T4（α）和T4（β）；
（Ⅱ）若α＝（x1，x2，x3，x4）满足xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4）且T2（α）＝（1，1，1，1），求α的所有可能结果；
（Ⅲ）是否存在正整数n使得对任意α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有Tn（α）＝（0，0，0，0）？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．
一十一．并集及其运算（共3小题）
36．（2022秋•台江区校级月考）已知集合A＝{x|ex＜1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．（﹣2，0）D．（﹣1，2）
37．（2022秋•上月考）若集合M＝{x|2x＞4}，N＝{x|lg3x≤1}，则M∪N＝（ ）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜2或x＞2）D．R
38．（2022秋•西城区校级月考）已知集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∪B＝（ ）
A．{1，2}B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．{﹣1}∪[1，+∞）
一十二．交集及其运算（共3小题）
39．（2022秋•上月考）已知A＝{y|y＝ax（a＞0，a≠1）}，B＝{x|x2＞x}，则A∩B＝（ ）
A．（0，+∞）B．（1，+∞）
C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
40．（2022•赣县区校级开学）已知集合A＝{x||x|＜4，x∈Z}，B＝{y|y2＞4}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣4，﹣3，3，4}B．{﹣3，3}C．{3}D．∅
41．（2022秋•河南月考）若集合A＝{0，1，3，4，7}，B＝{﹣2，0，3，4}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．1
一十三．补集及其运算（共3小题）
42．（2022秋•城西区校级月考）设全集U＝{x∈Z|x2≤2x+3}，集合A＝{0，1，2}，则∁UA＝（ ）
A．{0，3}B．{﹣1，0}C．{﹣1，3}D．{﹣1，0，3}
43．（2022春•高县校级月考）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x|x2﹣6x+8≤0，x∈Z}，则∁UA＝（ ）
A．{2，3，4}B．{1，5，6}C．{4，5，6}D．{1，2，3}
44．（2021秋•东城区校级期末）全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2＜5，x∈Z}，则∁UA＝（ ）
A．∁UA＝{﹣3，﹣2，2，3，4，5}B．∁UA＝{﹣3，3，4，5}
C．∁UA＝{3，4，5}D．∁UA＝{﹣2，﹣1，0，1，2}
一十四．全集及其运算（共1小题）
45．（2022秋•北京期中）设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
一十五．交、并、补集的混合运算（共2小题）
46．（2022秋•资阳月考）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，M＝{x|x＞0}，N＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}，则M∩（∁UN）＝（ ）
A．{3}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{﹣2，2，3}
47．（2022秋•黄埔区校级月考）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，3}，集合B＝{2，3，4}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{2，4}B．{3，4}C．{2，3}D．{4}
一十六．子集与交集、并集运算的转换（共3小题）
48．（2022秋•宝山区校级期中）用C（A）表非空集合A中元素的个数，定义，若A＝{1}，B＝{x|x（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）＝（ ）
A．4B．3C．2D．9
49．（2022秋•浦东新区校级月考）设集合M、P≠∅，定义集合M﹣P＝{x|x∈M，x∉P}，则集合M﹣（M﹣P）是（ ）
A．PB．MC．M∪PD．M∩P
50．（2022春•红塔区校级期中）定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，则A*B的元素个数为（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
一十七．Venn图表达集合的关系及运算（共3小题）
51．（2022秋•邢台月考）集合论是德国数学家康托尔（G．Cantr）于19世纪末创立的．在他的集合理论中，用card（A）表示有限集合A中元素的个数，例如：A＝{a，b，c}，则card（A）＝3．对于任意两个有限集合A，B，有card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）
A．28B．23C．18D．16
52．（2022秋•浦北县校级期中）若全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{x|x＜3}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{3，4，5，6}B．{0，1，2}C．{0，1，2，3}D．{4，5，6}
53．（2022春•重庆月考）如图，U是全集，M，N，P是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．（∁UM）∩（∁UN）∩PB．（∁UM）∩P
C．∁U（M∩N）∩PD．∁U（M∪N）∪P
六、易错分析
易错点1：忽视集合元素的互异性致错
已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.
易错点2：忽视空集致错
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
七、刷基础
一．选择题（共10小题）
1．（2023•沙坪坝区校级模拟）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{1，﹣1，0}，B＝{﹣1，2}，则A∪∁UB＝（ ）
A．{0，1}B．{﹣2，0，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}
2．（2023•武汉模拟）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|2x+3＞0}，则A∩B＝（ ）
A．B．C．D．
3．（2023•泰州模拟）若M，N是U的非空子集，M∩N＝M，则（ ）
A．M⊆NB．N⊆MC．∁UM＝ND．∁UN＝M
4．（2023•安徽模拟）已知集合A＝{x|ln（x﹣2）＜0}，B＝{x|5﹣2x＞0}，则A∩B＝（ ）
A．B．C．D．{x|1＜x＜2}
5．（2023•全国二模）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣x+m＝0}，若A∩B＝{2}，则B＝（ ）
A．{2，1}B．{2，4}C．{2，3}D．{2，﹣1}
6．（2023•五华区校级模拟）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90%，对物理感兴趣的占56%，对历史感兴趣的占74%，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（ ）
A．70%B．56%C．40%D．30%
7．（2023•河南二模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x2＜4x}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，4）C．（﹣1，0）D．（0，2）
8．（2023•哈尔滨二模）已知集合A＝{x||x﹣3|＜2}，，则A∪B＝（ ）
A．（1，2]B．（1，2）C．[﹣1，5]D．[﹣1，5）
9．（2023•怀仁市模拟）若集合A＝{x|x＜4}，B＝，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．（﹣∞，1]B．（0，1]
C．（﹣∞，0）∪（0，1]D．（﹣∞，0]∪（1，4）
10．（2023•铁岭模拟）设，N＝{x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＜1B．a≤1C．D．
二．多选题（共1小题）
（多选）11．（2023•福建二模）非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则；②若x，y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有（ ）
A．﹣1∉AB．
C．若x，y∈A，则xy∈AD．若x，y∈A，则x﹣y∈A
三．填空题（共4小题）
12．（2023•大荔县一模）设三元集合，则a2022+b2022＝ ．
13．（2023•湖南模拟）若一个非空数集F满足：对任意a，b∈F，有a+b，a﹣b，ab∈F，且当b≠0时，有，则称F为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；
（2）若数域F有非零元素，则2021∈F；
（3）集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域；
（4）有理数集为数域；
真命题的个数为 ．
14．（2023•浑南区一模）已知集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x|y＝}，A∩（∁RB）＝ ．
15．（2023•晋江市校级模拟）对于集合E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{，，…，}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中＝＝…＝＝1，其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0．
（1）子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”的前四项和等于 ；
（2）若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi+pi+1＝1，1≤i≤99，E的子集Q的“特征数列”为q1，q2，…，q100，满足q1＝1，qj+qj+1+qj+2＝2，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为 ．
四．解答题（共1小题）
16．（2023•建水县校级模拟）已知集合A＝{x|a≤x≤a+2}，B＝{x|2x+2＞0}，全集U＝R．
（1）若a＝﹣2，求A∩B，A∩（∁UB）；
（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
八.刷易错
一．选择题（共11小题）
1．（2023•天津模拟）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，集合B＝{2，3，5}，则（∁UB）∩A＝（ ）
A．{2}B．{2，3}C．{1}D．{1，4}
2．（2023•甘肃一模）已知集合A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣3∈AB．3∉BC．A∪B＝BD．A∩B＝B
3．（2022•朝阳区校级三模）已知集合A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|ax+1＝0}，若B⊆A，则实数a的取值组成的集合是（ ）
A．{﹣1}B．{}C．{﹣1，}D．{﹣1，0，}
4．（2022•天门校级模拟）已知集合A＝{y|y＝2x﹣1，1≤x≤2}，B＝{x|y＝lg（2﹣x）}，则下列结论正确的是（ ）
A．A⊆BB．A∩B＝[0，2]C．A∪B＝（﹣∞，2]D．（∁RA）∪B＝R
5．（2022•梅州模拟）已知集合M＝{x∈N|1≤x≤9}，集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有3个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为（ ）
A．60B．63C．56D．57
6．（2022•沙河口区校级一模）已知有限集X，Y，定义集合X﹣Y＝{x|x∈X，且x∉Y}，|X|表示集合X中的元素个数．若x＝{1，2，3，4}，Y＝{3，4，5}，则|（X﹣Y）∪（Y﹣X）|＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2022•河西区模拟）设集合M＝{x|x2≤4}，集合N＝{x|1≤x≤2}，则∁MN＝（ ）
A．{x|﹣2≤x＜1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{x|x≤﹣2}D．{x|0＜x＜2}
8．（2022•定海区校级模拟）若集合A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为（ ）
A．{a|2≤a≤7}B．{a|6≤a≤7}C．{a|a≤7}D．∅
9．（2022•汉中模拟）设集合M＝{x|x＜4}，集合N＝{x|x2﹣2x＜0}，则下列关系中正确的是（ ）
A．M∪N＝MB．M∪（∁RN）＝MC．N∪（∁RM）＝RD．M∩N＝M
10．（2022•滨海县校级模拟）已知集合A＝{2，﹣2}，B＝{x|x2﹣ax+4＝0}，若A∪B＝A，则实数a满足（ ）
A．{a|﹣4＜a＜4}B．{a|﹣2＜a＜2}C．{﹣4，4}D．{a|﹣4≤a≤4}
11．（2022•渭滨区校级模拟）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（ ）
A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或2
考题
考点
考向
2022新高考1，第1题
集合的基本运算
交集运算
2022新高考2，第1题
集合的基本运算
交集运算
2021新高考1，第1题
集合的基本运算
交集运算
2021新高考2，第2题
集合的基本运算
交集，补集运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
专题01集合的概念与运算（17种题型2个易错考点）
一、 真题多维细目表
二、命题规律与备考策略
本专题是高考必考内容，难度小，分值5分，重点考察集合的基本运算，，常与不等式结合，考察集合的交、并、补运算，复习时以基础知识为主。
三、 2022真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共4小题）
1．（2022•新高考Ⅰ）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（ ）
A．{x|0≤x＜2}B．{x|≤x＜2}C．{x|3≤x＜16}D．{x|≤x＜16}
【分析】分别求解不等式化简M与N，再由交集运算得答案．
【解答】解：由＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x|＜4}＝{x|0≤x＜16}，
由3x≥1，得x，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|x}，
∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|≤x＜16}．
故选：D．
【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
2．（2022•新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{﹣1，4}
【分析】解不等式求集合B，再根据集合的运算求解即可．
【解答】解：|x﹣1|≤1，解得：0≤x≤2，
∴集合B＝{x|0≤x≤2}
∴A∩B＝{1，2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键．
3．（2021•新高考Ⅱ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁UB＝（ ）
A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}
【分析】先利用补集的定义求出∁UB，再利用交集的定义求解即可．
【解答】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，
所以∁UB＝{1，5，6}，
故A∩∁UB＝{1，6}．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集与补集的求解，解题的关键是掌握交集和补集的定义，属于基础题．
4．（2021•新高考Ⅰ）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（ ）
A．{2，3，4}B．{3，4}C．{2，3}D．{2}
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，
∴A∩B＝{2，3}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四、考点清单
考点一：集合及其关系
1.集合的确定性、互异性、无序性
集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征．
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．
（2）互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．
（3）无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与{3，2，1}是相同的集合，也是相等的两个集合．
【解题方法点拨】
解答判断型题目，注意元素必须满足三个特性；一般利用分类讨论逐一研究，转化为函数与方程的思想，解答问题，结果需要回代验证，元素不许重复．
【命题方向】
本部分内容属于了解性内容，但是近几年高考中基本考查选择题或填空题，试题多以集合相等，含参数的集合的讨论为主．
2. 集合间的基本关系
（1）集合的相等
（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．
（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A＝B．
（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：
①两个集合的元素个数相等；
②两个集合的元素之和相等；
③两个集合的元素之积相等． 由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．
【解题方法点拨】
集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．
【命题方向】
通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．
（2）子集与真子集
1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．
记作：A⊆B（或B⊇A）．
2、真子集是对于子集来说的．
真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．
所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．
{1，3}⊂{1，2，3，4}
{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}
3、真子集和子集的区别
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；
注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；
另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．
一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
【解题方法点拨】
注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．
【命题方向】
本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．
考点二：集合的基本运算
（1）集合的基本运算
（2）集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
5．常用结论
（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；
②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）；
空集是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅A）．
（2）子集个数：若有限集A中有n个元素，
则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有个．
（3）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B．
（4）(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B) ．
五、题型方法
一．集合的含义（共3小题）
1．（2022秋•保定期末）下列说法正确的是（ ）
A．高一年级全体高个子同学可以组成一个集合
B．0∈N*
C．∃x∈R，x2+x+1≤0
D．符合条件{a，b，c}⊆P⊆{a，b，c，d，e}集合P有4个
【分析】根据集合的特征可判断A，利用N*为正整数集可判断B，根据存在量词命题的真假可判断C，根据子集的定义可判断D．
【解答】解：对于A，高个子同学具有不确定性，故不能组成一个集合，故错误；
对于B，N*是正整数集，所以0∉N*，故错误；
对于C，x2+x+1＝（x+）2+≥＞0，故错误；
对于D，因为{a，b，c}⊆P⊆{a，b，c，d，e}，
所以P可为{a，b，c}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，c，d，e}，故正确；
故选：D．
【点评】本题考查判断元素能否构成集合，判断元素与集合的关系，判断集合的子集（真子集）的个数，判断特称（存在性）命题的真假，属于基础题．
2．（2022秋•南昌期末）已知集合M＝{（x，y）|x，y∈N*，x+y≤2}，则M中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据正整数集的定义以及集合的定义即可求解．
【解答】解：因为集合M＝{（x，y）|x，y∈N*，x+y≤2}，
所以当x＝1时，y＝1，
即集合M＝{（1，1）}，
所以集合M中元素个数为1个，
故选：A．
【点评】本题考查了集合的定义，涉及到正整数集的定义，考查了学生的转化能力，属于基础题．
3．（2022秋•浦东新区期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 ．
①上海市2022年入学的全体高一年级新生；
②在平面直角坐标系中，到定点（0，0）的距离等于1的所有点；
③影响力比较大的中国数学家；
④不等式3x﹣10＜0的所有正整数解．
【分析】根据已知条件，结合集合的含义，即可求解．
【解答】解：①上海市2022年入学的全体高一年级新生，符合集合的定义，故①正确，
②在平面直角坐标系中，到定点（0，0）的距离等于1的所有点，符合集合的定义，故②正确，
③影响力比较大的中国数学家，不符合集合的确定性，故③错误，
④不等式3x﹣10＜0的所有正整数解，即原不等式的集合为{1，2，3}，符合集合的定义，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查集合的含义，属于基础题．
二．元素与集合关系的判断（共3小题）
4．（2022秋•衡阳期末）集合A＝{x|lgπx＞1}，则（ ）
A．1∈AB．2∈AC．3∈AD．4∈A
【分析】求出集合A，结合元素与集合关系判断即可．
【解答】解：∵lgπx＞1＝lgππ，∴x＞π，∴A＝{x|x＞π}，
可知1∉A，2∉A，3∉A，故A、B、C错误；4∈A，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查元素与集合关系的判断，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（2022秋•西安期末）集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】利用已知条件，直接求出a+b，根据集合中元素互异性特点，可求得集合M中元素的个数．
【解答】解：因为集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，
所以a+b的值可能为：1+2＝3、1+3＝4、1+4＝5、2+2＝4、2+3＝5、2+4＝6、3+2＝5、3+3＝6、3+4＝7，
所以M中元素只有：3，4，5，6，7，共5个，
故选：C．
【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力，属于基础题．
6．（2022秋•徐汇区期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1）0∈A，1∈A；（2）若x、y∈A，则x﹣y∈A；（3）若x∈A且x≠0，则．则称A为“好集”．
已知命题：
①集合{1，0，﹣1}是好集；
②对任意一个“好集”A，若x、y∈A，则x+y∈A．
以下判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
【分析】根据“好集”的定义逐一判断即可．
【解答】解：对于①，因为1∈{1，0，﹣1}，﹣1∈{1，0，﹣1}，而﹣1﹣1＝﹣2∉{﹣1，0，1}，
所以集合{1，0，﹣1}不是“好集”，故①错误；
对于②，因为集合A是“好集”，
所以0∈A，0﹣y＝﹣y∈A，
所以x﹣（﹣y）＝x+y∈A，故②正确，
所以①为假命题，②为真命题，
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的新定义问题，考查了元素与集合的关系，属于基础题．
三．集合的确定性、互异性、无序性（共4小题）
7．（2022•渭滨区校级模拟）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（ ）
A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或2
【分析】分别由1﹣a＝4，a2﹣a+2＝4，求出a的值，代入观察即可．
【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3，
∴a2﹣a+2＝14，
∴A＝{2，4，14}；
若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1，
a＝2时，1﹣a＝﹣1，
∴A＝{2，﹣1，4}；
a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍），
故选：C．
【点评】本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，本题是一道基础题．
8．（2022春•南开区期末）已知x∈{1，2，x2}，则实数x＝ ．
【分析】利用元素与集合的关系知x是集合的一个元素，分类讨论列出方程求出x代入集合检验集合的元素满足的三要素．
【解答】解：∵x∈{1，2，x2}，
分情况讨论可得：
①x＝1此时集合为{1，2，1}不合题意
②x＝2此时集合为{1，2，4}合题意
③x＝x2解得x＝0或x＝1
当x＝0时集合为{1，2，0}合题意
故答案为0或2．
【点评】本题考查元素与集合的关系、在解集合中的参数问题时，一定要检验集合的元素满足的三要素：确定性、互异性、无序性．
9．（2022•安化县校级开学）集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
【分析】根据已知条件，分k＝0，k≠0两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：①当k＝0时，方程kx2﹣8x+16＝0变为﹣8x+16＝0，解得x＝2，满足题意，
②当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}中只有一个元素，
则方程kx2﹣8x+16＝0只有一个实数根，
所以Δ＝64﹣64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意，
综上所述，k＝0或k＝1，
故实数k的值组成的集合为{0，1}．
【点评】本题主要考查集合的应用，属于基础题．
10．（2022秋•丰城市校级月考）下列说法中，正确的有 （填序号）．
①单词bk的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素：a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列，可分别构成不同的两个集合；
④集合M＝{3，4}与N＝{（3，4）}表示同一个集合．
【分析】利用集合的定义和性质逐项分析可得
【解答】解：①不正确．单词bk中的字母有重复，共有3个不同字母，因此单词bk的所有字母组成的集合的元素个数是3．
②正确．因为a，b，c是集合M中的3个元素，所以a，b，c互不相等，因此△ABC的三边长互不相等，故△ABC不可能是等腰三角形．
③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，构成的集合里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的．
④不正确．集合M＝{3，4}表示数3，4构成的集合，集合中有两个元素，集合N＝{（3，4）}表示点集，集合中有一个元素，故集合M与N不是同一个集合．
故答案为：②．
【点评】本题考查集合元素的性质，属于基础题．
四．集合的表示法（共3小题）
11．（2022秋•浦城县月考）若用列举法表示集合A＝{（x，y）|}，则下列表示正确的是（ ）
A．{x＝3，y＝0}B．{（3，0）}C．{3，0}D．{0，3}
【分析】解方程组得，即可得到集合．
【解答】解：由，解得，
所以A＝{（3，0）}．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的表示法，属于基础题．
12．（2022秋•武冈市期中）用列举法表示＝ ．
【分析】根据已知条件，先求出a的值，即可求解．
【解答】解：∵且a∈N，
∴a﹣1＝1或a﹣1＝2 或a﹣1＝3或a﹣1＝6，解得a＝2或a＝3或a＝4或a＝7，
∴对应的值为6，3，2，1，
故＝{1，2，3，6}．
故答案为：{1，2，3，6}．
【点评】本题主要考查集合的表示法，属于基础题．
13．（2022秋•宁德期末）下列集合与区间（1，2）表示的集合相等的是（ ）
A．{（1，2）}B．{x|x2﹣3x+2＜0}
C．{x|x2﹣3x+2＝0}D．{（x，y）|x＝1，y＝2}
【分析】根据区间表示的集合，再结合选项，即可判断．
【解答】解：区间（1，2）表示的集合为{x|1＜x＜2}，
对于A，集合{（1，2）}表示点集，只有一个元素，故A错误；
对于B，{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，故B正确；
对于C，{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，表示数集，其中只有2个元素，故C错误；
对于D，{（x，y）|x＝1，y＝2}＝{（1，2）}，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的表示方法，属于基础题．
五．集合的相等（共3小题）
14．（2022秋•安顺期末）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}
B．M＝{1，2}，N＝{2，1}
C．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}
【分析】根据集合元素的性质及集合相等定义判断即可．
【解答】解：对AD，两集合的元素类型不一致，则M≠N，AD错；
对B，由集合元素的无序性可知，M＝N，B对；
对C，两集合的唯一元素不相等，则M≠N，C错；
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题．
15．（2022秋•临渭区校级月考）已知集合A＝{0，2，4}，．若A＝B，则实数n的值为（ ）
A．2或B．2或C．﹣2或D．﹣2或
【分析】由题意，得m+n＝0或，分两种情况求出n的值即可．
【解答】解：由题意，得m+n＝0或，
当m+n＝0时，，即m＝2n+4，
故2n+4+n＝0，解得，
故，所以B＝{4，0，2}，满足题意；
当时，m+n＝2，解得n＝2，
所以n＝2或．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题．
16．（2022秋•浦东新区校级期中）下列表示同一集合的是（ ）
A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
B．M＝{（x，y）|2x+y＝1}，N＝{y|2x+y＝1}
C．M＝{1，2}，N＝{2，1}
D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}
【分析】根据集合的概念及相同集合的性质判断各选项集合是否相同即可．
【解答】解：A：集合M，N中的元素不为同一个点，不是同一集合，故A错误；
B、D：集合M，N的元素不同，一个是数，一个是实数对，不是同一集合，故BD错误；
C：根据集合元素的无序性，可知集合M＝N，即为同一集合，故C正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题．
六．集合的包含关系判断及应用（共5小题）
17．（2022秋•秀英区校级期中）已知集合A＝{2，4，a2﹣4a+6}，B＝{2，a}，若A∪B＝A，则a的取值集合为 ．
【分析】由题意可得，B⊆A，再分类讨论，即可求解．
【解答】解：∵A∪B＝A，
∴B⊆A，
当a＝4时，a2﹣4a+6＝6，即A＝{2，4，6}，B＝{2，4}，符合题意，
当a2﹣4a+6＝a，解得a＝2或a＝3，
当a＝2时，集合A不符合互异性，舍去，
当a＝3时，集合A＝{2，4，3}，B＝{2，3}，符合题意，
故a的取值集合为{3，4}．
故答案为：{3，4}．
【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
18．（2022秋•建邺区校级期中）已知U＝R，集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|x2＜9}，则下列关系正确的是（ ）
A．A∪B＝AB．A∩B＝∅C．A∩B＝AD．∁UA⊆∁UB
【分析】先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解．
【解答】解：因为A＝{﹣1，1}，B＝{x|x2＜9}＝{x|﹣3＜x＜3}，
所以对于选项A，A∪B＝{x|﹣3＜x＜3}＝B，故A错；
对于选项BC，A∩B＝{﹣1，1}＝A，故B错，C对；
对于选项D，∁UA＝{x|x≠±1}，∁UB＝{x|x＞3或x＜﹣3}，所以∁UA⊇∁UB，故D错．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
（多选）19．（2022秋•河北期中）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤7}，B＝{x|a+2≤x≤2a﹣1}，若使B⊆A成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（ ）
A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，3]C．（3，4]D．[4，5）
【分析】根据已知条件，分集合B是否为空集讨论，求出a的取值范围，再结合真子集的定义，即可求解．
【解答】解：当B＝∅时，a+2＞2a﹣1，解得a＜3，
当B≠∅时，﹣1≤a+2≤2a﹣1≤7，解得3≤a≤4，
故实数a的取值范围为（﹣∞，4]，即M＝（﹣∞，4]，
所以M的一个真子集可以是（﹣∞，3]或（3，4]．
故选：BC．
【点评】本题主要考查真子集的定义，以及集合的包含关系，属于基础题．
20．（2022春•鲤城区校级期中）已知A＝{x|﹣1＜x≤3}，B＝{x|m＜x＜1+m}．
（1）当m＝1时，求A∪B；
（2）若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．
【分析】（1）求出B即可，求A与B并集即可；
（2）求出∁RA，由B⊆∁RA列出关于m的不等式组，解出m即可．
【解答】解：（1）当m＝1时，B＝（1，2），所以A∪B＝（﹣1，3]；
（2）∵1+m＞m，∴B≠∅，∁RA＝（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞），
∵B⊆∁RA，∴m+1≤﹣1或m≥3，
故m的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．
【点评】本题考查集合的相关运算，属于基础题．
21．（2022秋•青秀区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，．
（1）求A∩B；
（2）若C＝{x||x﹣m|≤1}，且C⊆A，求实数m的取值范围．
【分析】（1）先求出集合A，B，再利用集合的交集运算求解．
（2）先化简集合C，再根据C⊆A列出不等式组，求出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，＝{x|﹣3＜x＜1}，
∴A∩B＝{x|﹣2≤x＜1}．
（2）C＝{x||x﹣m|≤1}＝{x|m﹣1≤x≤m+1}，A＝{x|﹣2≤x≤4}，
又∵C⊆A，
∴，解得﹣1≤m≤3，
即实数m的取值范围为[﹣1，3]．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
七．子集与真子集（共3小题）
22．（2022秋•沈阳期中）已知集合A＝{x∈N|﹣2＜x＜3}，则集合A的所有非空真子集的个数是（ ）
A．6B．7C．14D．15
【分析】根据已知条件，结合非空真子集的定义，即可求解．
【解答】解：A＝{x∈N|﹣2＜x＜3}＝{0，1，2}，元素个数为3个，
则集合A的所有非空真子集的个数是23﹣2＝6．
故选：A．
【点评】本题主要考查非空真子集的定义，属于基础题．
23．（2022秋•湖南期中）已知集合P＝{1，3，4，6，8，9}，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素m都乘（﹣1）m再求和，例如A＝{3，4，6}，则可求得和为（﹣1）3×3+（﹣1）4×4+（﹣1）6×6＝7，对P所有非空子集，这些和的总和为（ ）
A．80B．160C．162D．320
【分析】先计算出集合的非空子集个数，然后结合新定义计算结果所出现的情况，把结果相加即可．
【解答】解：因为元素1，3，4，6，8，9在集合P的所有非空子集中分别出现25次，
则对P的所有非空子集中元素m执行乘（﹣1）m再求和，
则这些和的总和是25×[（﹣1）1×1+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4+（﹣1）6×6+（﹣1）8×8+（﹣1）9×9]＝160．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合的新定义问题，以及集合非空子集个数公式，属于基础题．
24．（2022秋•响水县校级月考）集合{2，4，6}的非空子集的个数是（ ）
A．8B．7C．4D．3
【分析】根据集合非空子集个数与集合中元素个数关系2n﹣1即可得到答案．
【解答】解：根据非空子集个数公式为2n﹣1＝23﹣1＝7．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合非空子集的定义，属于基础题．
八．集合中元素个数的最值（共3小题）
25．（2022秋•朝阳区校级期中）集合A＝{x∈N*|x﹣6＜0}中的元素个数是（ ）
A．0B．4C．5D．6
【分析】列举法求集合A，从而确定元素个数．
【解答】解：A＝{x∈N*|x﹣6＜0}＝{1，2，3，4，5}，
故集合A中有5个元素，
故选：C．
【点评】本题考查了集合的列举法的应用，属于基础题．
26．（2022秋•松桃县月考）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
【分析】根据x，y为整数，分析所有可能的情况求解即可
【解答】解：当x＝﹣1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，
当x＝0时，y2≤3，得y＝﹣1，0，1，
当x＝1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，
即集合A中元素有9个，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键，属于基础题．
27．（2022秋•浦北县校级月考）对于集合A，B，定义A﹣B＝{x|x∈A，x∉B}，A⊕B＝（A﹣B）∪（B﹣A）．设M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，则M⊕N中元素的个数为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据题中集合的新定义以及集合的运算可解．
【解答】解：因为集合A，B，定于A﹣B＝{x|x∈A，x∉B}，A⊕B＝（A﹣B）∪（B﹣A）．
又M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，
则M﹣N＝{1，2，3}，N﹣M＝{7，8，9，10}，
则M⊕N＝（M﹣N）∪（N﹣M）＝{1，2，3，7，8，9，10}共有7个元素，
故选：C．
【点评】本题考查集合的新定义以及集合的运算，属于基础题．
九．空集的定义、性质及运算（共4小题）
28．（2022秋•松江区校级期中）已知集合A＝{x|ax+1＝0}为空集，则a＝ ．
【分析】根据已知条件，结合空集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|ax+1＝0}为空集，
则a＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查空集的定义，属于基础题．
29．（2022秋•昆都仑区校级月考）若集合A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}为空集，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，4）B．[0，4）C．（0，4]D．[0，4]
【分析】由题意说明不等式ax2﹣ax+1＜0无实解，分类讨论a＝0和a≠0两种情况．
【解答】解：由题意不等式ax2﹣ax+1＜0无实解，
a＝0时，不等式为1＜0，无实解．
a≠0时，，解得0＜a≤4，
综上，a∈[0，4]．
故选：D．
【点评】本题考查不等式恒不成立问题，即不等式无实解．注意要对最高次系数分类讨论．
30．（2022秋•北京月考）下列集合表示空集的是（ ）
A．{x∈R|x2+1＝0}B．{∅}C．{0}D．0
【分析】根据空集的定义判断即可．
【解答】解：对于A，∵方程x2+1＝0无实根，∴集合{x∈R|x2+1＝0}＝∅，故A正确，
对于B，∵集合{∅}中有一个元素∅，∴不是空集，故B错误，
对于C，∵集合{0}中有一个元素0，∴不是空集，故C错误，
对于D，0不是集合，故D错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查了空集的定义，属于基础题．
31．（2022•新罗区校级开学）已知集合A＝{x|x2+4ax﹣4a+3＝0}，B＝{x|x2+（a﹣1）x+a2＝0}，C＝{x|x2+2ax﹣2a＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围．
【分析】关于“至少“至多”“不存在”等问题可考虑反面，本题的反面是A、B、C都是空集，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：假设集合A、B、C都是空集，
对于A，元素是x，A＝∅，表示不存在x使得式子x2+4ax﹣4a+3＝0，
所以Δ＝16a2﹣4（﹣4a+3）＜0，解得﹣＜a＜；
对于B，B＝∅，同理Δ＝（a﹣1）2﹣4a2＜0，解得a＞或者a＜﹣1；
对于集合C，C＝∅，同理Δ＝（2a）2+8a＜0，解得﹣2＜a＜0；
三者交集为﹣＜a＜﹣1．
取反面即可得A、B、C三个集合至少有一个集合不为空集，
∴a的取值范围是a≥﹣1或a≤﹣．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
一十．集合关系中的参数取值问题（共4小题）
32．（2022秋•双流区校级期中）若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有一个元素，则实数k的值为（ ）
A．0或1B．1C．0D．k＜1
【分析】当k＝0 时，集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}＝{x|x＝﹣1}，满足条件．当k≠0时，由判别式等于0可得 k＝1，此时，集合A＝{﹣2}，满足条件，由此得出结论．
【解答】解：当k＝0 时，集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}＝{x|x＝﹣1}，满足条件．
当k≠0时，由判别式等于0可得 16﹣16k＝0，解得 k＝1，此时，集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}＝{x|x2+4x+4＝0}＝{﹣2}，满足条件．
综上可得，实数k的值为0或1．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
33．（2022秋•栖霞区校级期中）已知集合A＝{x|x2+ax+b＝0}，B＝{x|x2+cx+15＝0}，若A∪B＝{3，5}，A∩B＝{3}，则实数a的值为 ．
【分析】根据A∩B＝{3}，B＝{x|x2+cx+15＝0}，先求出集合B，进而求出集合A，由此可得实数a，b，c．
【解答】解：∵A∩B＝{3}，
∴9+3a+b＝0，9+3c+15＝0，解得c＝﹣8，
∴B＝{x|x2+8x+15＝0}＝{3，5}，
∵A∪B＝{3，5}，A∩B＝{3}，
∴A＝{3}，
∴a2﹣4b＝0，
又∵9+3a+b＝0，
∴a＝﹣6，b＝9．故答案为：﹣6．
【点评】本题考查集合的运算，考查计算能力，属于基础题．
34．（2022秋•芙蓉区校级月考）设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，集合B＝{x|2m＜x＜1}．
（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若B∩∁RA中只有一个整数，求实数m的取值范围．
【分析】（1）“x∈A”是“x∈B”的必要条件，等价于B⊆A，据此列式可得；
（2）B∩∁RA中只有一个整数，只能是﹣2这个整数．
【解答】解：（1）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以“x∈B“是“x∈A“的充分条件，
所以B⊆A，所以或 2m≥1，解得：﹣≤m或m≥，
所以m；
（2）因为A＝[﹣1，2]，所以∁RA＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），
又B∩∁RA中只有一个整数，所以这个整数必定是﹣2，
故2m∈[﹣3，﹣2），所以m∈[﹣，﹣1）
【点评】本题考查了集合关系中的参数取值问题．属基础题．
35．（2022•朝阳区二模）已知集合A＝{α|α＝（x1，x2，x3，x4），xi∈N，i＝1，2，3，4}．对集合A中的任意元素α＝（x1，x2，x3，x4），定义T（α）＝（|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x4|，|x4﹣x1|），当正整数n≥2时，定义Tn（α）＝T（Tn﹣1（α））（约定T1（α）＝T（α））．
（Ⅰ）若α＝（2，0，2，1），β＝（2，0，2，2），求T4（α）和T4（β）；
（Ⅱ）若α＝（x1，x2，x3，x4）满足xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4）且T2（α）＝（1，1，1，1），求α的所有可能结果；
（Ⅲ）是否存在正整数n使得对任意α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有Tn（α）＝（0，0，0，0）？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．
【分析】（I）根据定义依次写出Tn（α），n∈{1，2，3，4}、Tn（β），n∈{1，2，3，4}即可得结果．
（Ⅱ）由题设T（α）有（1，0，1，0）或（0，1，0，1），再依据定义确定α的所有可能结果；
（Ⅲ）由定义得T（α）＝（x1﹣x2，x2﹣x3，x4﹣x3，x1﹣x4），依次写出Tn（α）直到Tn（α）＝（0，0，0，0）即可判断存在性，并确定n的所有取值．
【解答】解：（I）由题意T（α）＝（2，2，1，1），T2（α）＝（0，1，0，1），T3（α）＝（1，1，1，1），T4（α）＝（0，0，0，0），
T（β）＝（2，2，0，0），T2（β）＝（0，2，0，2），T3（β）＝（2，2，2，2），T4（β）＝（0，0，0，0），
（Ⅱ）由T2（α）＝（1，1，1，1）且xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4），|x1﹣x2|﹣|x2﹣x3||＝1，
同理，x2＝0或1时，||x1﹣x2|﹣|x2﹣x3||＝|x1﹣x3|＝1，
x3＝0或1时，||x2﹣x3|﹣|x3﹣x4||＝|x2﹣x4|＝1，
x4＝0或1时，||x3﹣x4|﹣|x4﹣x1||＝|x1﹣x3|＝1，
所以（1）等价于，则x1≠x3，x2≠x4，
当x1＝0，x2＝0，则α为（0，0，1，1）满足；
当x1＝0，x2＝1，则α为（0，1，1，0）满足，
当x1＝1，x2＝0，则α为（1，0，0，1）满足，
当x1＝1，x2＝1，则α为（1，1，0，0）满足，
综上，α的所有可能结果（1，0，0，1）、（0，1，1，0）、（1，1，0，0）、（0，0，1，1）．
（Ⅲ）存在正整数n使Tn（α）＝（0，0，0，0）且{n∈N*|n≥6}，理由如下：
由α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3），则T（α）＝（x1﹣x2，x2﹣x3，x4﹣x3，x1﹣x4），
所以T2（α）＝（|x1+x3﹣2x2|，x2﹣x4，|x1+x3﹣2x4|，x2﹣x4），
若a＝|x1+x3﹣2x2|，b＝|x1+x3﹣2x4|，
所以T3（α）＝（|x2﹣x4﹣a|，|x2﹣x4﹣b|，|x2﹣x4﹣b|，|x2﹣x4﹣a|），
若c＝|x2﹣x4﹣a|﹣|x2﹣x4﹣b||，则T4（α）＝（c，0，c，0），T5（α）＝（c，c，c，c），T6（α）＝（0，0，0，0），
所以，对α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有T6（α）＝（0，0，0，0），
当n≥7时，Tn（α）＝（0，0，0，0）恒成立，
综上，n所有取值为{，n∈N*|n≥6使Tn（α）＝（0，0，0，0）成立．
【点评】本题考查集合的新定义，考查学生的推理运算能力，属于中档题．
一十一．并集及其运算（共3小题）
36．（2022秋•台江区校级月考）已知集合A＝{x|ex＜1，x∈R}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．（﹣2，0）D．（﹣1，2）
【分析】先求出集合A，B，再结合并集的运算，即可求解．
【解答】解：A＝{x|ex＜1，x∈R}＝{x|x＜0}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0，x∈R}＝{x|﹣1＜x＜2}，
则A∪B＝（﹣∞，2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
37．（2022秋•上月考）若集合M＝{x|2x＞4}，N＝{x|lg3x≤1}，则M∪N＝（ ）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜2或x＞2）D．R
【分析】根据已知条件，先求出M，N，再结合并集的定义，即可求解．
【解答】解：M＝{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，N＝{x|lg3x≤1}＝{x|0＜x≤3}，
故M∪N＝{x|x＞0}．
故选：B．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
38．（2022秋•西城区校级月考）已知集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∪B＝（ ）
A．{1，2}B．[1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．{﹣1}∪[1，+∞）
【分析】利用并集的运算求解即可．
【解答】解：集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，
则A∪B＝{﹣1}∪[1，+∞）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
一十二．交集及其运算（共3小题）
39．（2022秋•上月考）已知A＝{y|y＝ax（a＞0，a≠1）}，B＝{x|x2＞x}，则A∩B＝（ ）
A．（0，+∞）B．（1，+∞）
C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
【分析】根据指数函数的值域，集合的交集运算即可．
【解答】解：易知A＝{y|y＞0}，B＝{x|x2＞x}＝{x|x（x﹣1）＞0}＝（﹣∞，0）∪（1，+∞），
所以A∩B＝（1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
40．（2022•赣县区校级开学）已知集合A＝{x||x|＜4，x∈Z}，B＝{y|y2＞4}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣4，﹣3，3，4}B．{﹣3，3}C．{3}D．∅
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x||x|＜4，x∈Z}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{y|y2＞4}＝{y|y＞2或y＜﹣2}，
则A∩B＝{﹣3，3}．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
41．（2022秋•河南月考）若集合A＝{0，1，3，4，7}，B＝{﹣2，0，3，4}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．1
【分析】由交集的定义即可得出答案．
【解答】解：因为集合A＝{0，1，3，4，7}，B＝{﹣2，0，3，4}，
所以A∩B＝{0，3，4}，A∩B中元素的个数为3．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
一十三．补集及其运算（共3小题）
42．（2022秋•城西区校级月考）设全集U＝{x∈Z|x2≤2x+3}，集合A＝{0，1，2}，则∁UA＝（ ）
A．{0，3}B．{﹣1，0}C．{﹣1，3}D．{﹣1，0，3}
【分析】先求出全集U，再利用补集运算求解即可．
【解答】解：∵U＝{x∈Z|x2≤2x+3}＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，
A＝{0，1，2}，
∴∁UA＝{﹣1，3}，
故选：C．
【点评】本题考查集合的补集运算，是基础题．
43．（2022春•高县校级月考）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x|x2﹣6x+8≤0，x∈Z}，则∁UA＝（ ）
A．{2，3，4}B．{1，5，6}C．{4，5，6}D．{1，2，3}
【分析】解不等式求出A，求出∁UA的值即可．
【解答】解：U＝{1，2，3，4，5，6}，
A＝{x|x2﹣6x+8≤0，x∈Z}＝{2，3，4}，
则∁UA＝{1，5，6}，
故选：B．
【点评】本题考查了解不等式问题和集合的运算，是基础题．
44．（2021秋•东城区校级期末）全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2＜5，x∈Z}，则∁UA＝（ ）
A．∁UA＝{﹣3，﹣2，2，3，4，5}B．∁UA＝{﹣3，3，4，5}
C．∁UA＝{3，4，5}D．∁UA＝{﹣2，﹣1，0，1，2}
【分析】求出集合A，利用补集定义能求出∁UA．
【解答】解：全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，
集合A＝{x|x2＜5，x∈Z}＝{x|，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
则∁UA＝{﹣3，3，4，5}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
一十四．全集及其运算（共1小题）
45．（2022秋•北京期中）设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．
【解答】解：A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，
A∩B＝{4，7，9}∴∁U（A∩B）＝{3，5，8}故选A．
也可用摩根律：∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）
故选：A．
【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．
一十五．交、并、补集的混合运算（共2小题）
46．（2022秋•资阳月考）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，M＝{x|x＞0}，N＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}，则M∩（∁UN）＝（ ）
A．{3}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{﹣2，2，3}
【分析】根据集合的补集运算、交集运算求解即可．
【解答】解：∵N＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}＝{﹣1，0，1}，
∴∁UN＝{﹣2，2，3}，
∴M∩（∁UN）＝{2，3}．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合交集及补集运算，属于基础题．
47．（2022秋•黄埔区校级月考）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，3}，集合B＝{2，3，4}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{2，4}B．{3，4}C．{2，3}D．{4}
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解作答．
【解答】解：全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，3}，则∁UA＝{2，4，5}，而B＝{2，3，4}，
所以（∁UA）∩B＝{2，4}．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
一十六．子集与交集、并集运算的转换（共3小题）
48．（2022秋•宝山区校级期中）用C（A）表非空集合A中元素的个数，定义，若A＝{1}，B＝{x|x（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）＝（ ）
A．4B．3C．2D．9
【分析】根据新定义可确定几何B中元素个数，从而解得a的取值即可．
【解答】解：由于，A＝{1}，且A*B＝1，则C（B）＝0或2，
显然0∈B，则B≠∅，故C（B）＝2，
由于0不是x2+ax+2＝0的根，则x2+ax+2＝0有两个相等的实数根，
故Δ＝a2﹣8＝0，从而，故C（S）＝2．
故选：C．
【点评】本题考查集合中元素个数，属于基础题．
49．（2022秋•浦东新区校级月考）设集合M、P≠∅，定义集合M﹣P＝{x|x∈M，x∉P}，则集合M﹣（M﹣P）是（ ）
A．PB．MC．M∪PD．M∩P
【分析】由条件中差集的定义便可表示M﹣（M﹣P）＝{x|x∈M，且x∉（M﹣P）}，然后用venn图表示集合M，P，由图形即可得出答案．
【解答】解：根据差集的定义，M﹣（M﹣P）＝{x|x∈M，且x∉（M﹣P）}，用venn图表示集合M，P的关系如图：
阴影部分表示M﹣P，
∴M﹣（M﹣P）＝M∩P．
故选：D．
【点评】本题主要考查对差集定义的理解，描述法表示集合，借助venn图解决集合问题的方法．
50．（2022春•红塔区校级期中）定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，则A*B的元素个数为（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【分析】根据新定义A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，把集合A与集合B中的元素分别代入即可得到答案．
【解答】解：∵A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，
∴A*B＝{2，3，4，5}，
则A*B的元素个数为4，
故选：C．
【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，属于基础题，关键是根据新定义求解．
一十七．Venn图表达集合的关系及运算（共3小题）
51．（2022秋•邢台月考）集合论是德国数学家康托尔（G．Cantr）于19世纪末创立的．在他的集合理论中，用card（A）表示有限集合A中元素的个数，例如：A＝{a，b，c}，则card（A）＝3．对于任意两个有限集合A，B，有card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）．某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有13人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（ ）
A．28B．23C．18D．16
【分析】由题意画出韦恩图，由此即可求解．
【解答】解：由已知画出韦恩图：
则该班的人数共有10+5+8＝23人，
故选：B．
【点评】本题考查了韦恩图的应用，属于基础题．
52．（2022秋•浦北县校级期中）若全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{x|x＜3}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{3，4，5，6}B．{0，1，2}C．{0，1，2，3}D．{4，5，6}
【分析】由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩（∁UB），再利用集合的基本运算即可求解．
【解答】解：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为A∩（∁UB），
∵全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3，4，5，6}，B＝{x|x＜3}，
∴∁RB＝{x|≥3}，
∴A∩（∁RB）＝{3，4，5，6}，
故选：A．
【点评】本题主要考查了韦恩图，以及集合的基本运算，是基础题．
53．（2022春•重庆月考）如图，U是全集，M，N，P是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．（∁UM）∩（∁UN）∩PB．（∁UM）∩P
C．∁U（M∩N）∩PD．∁U（M∪N）∪P
【分析】根据维恩图的意义，阴影部分所表示的集合是集合M，N在全集上的补集的公共部分和集合P的交集，由此能求出结果．
【解答】解：根据维恩图的意义，知阴影部分所表示的集合是集合M，N在全集上的补集的公共部分和集合P的交集，
∴阴影部分所表示的集合是（∁UM）∩（∁UN）∩P．
故选：A．
【点评】本题考查集合的求法，考查补集、交集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
六、易错分析
易错点1：忽视集合元素的互异性致错
已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.
【错解】由A∩B＝{3,7}得a2＋4a＋2＝7，
解得a＝1或a＝－5.
当a＝1时，集合B＝{0,7,3,1}；
当a＝－5时，集合B＝{0,7,3}．
综上知集合B＝{0,7,3,1}或B＝{0,7,3}．
【错因】由题设条件知集合B中有四个元素，集合中出现了相同的元素，与集合中元素的互异性矛盾，导致错解．
【正解】应将当a＝－5时的集合B＝{0,7,3}舍去，故集合B＝{0,7,3,1}．
【答案】{0,7,3,1}
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
易错点2：忽视空集致错
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
【错解】由B⊆A，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≥－2，,2m－1≤5，,m＋1≤2m－1，))解得2≤m≤3.
【错因】上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法．
原因是考虑不全面，由集合B的含义及B⊆A，忽略了集合为∅的可能而漏掉解．
【正解】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.
①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，
此时有B⊆A；
②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B⊆A，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥2，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.
由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.
【答案】{m|m≤3}.
七、刷基础
一．选择题（共10小题）
1．（2023•沙坪坝区校级模拟）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{1，﹣1，0}，B＝{﹣1，2}，则A∪∁UB＝（ ）
A．{0，1}B．{﹣2，0，1}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}
【分析】由已知求得∁UB，再由并集运算的定义得答案．
【解答】解：∵全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，2}，
∴∁UB＝{﹣2，0，1}，又A＝{1，﹣1，0}，
∴A∪∁UB＝{﹣2，﹣1，0，1}．
故选：D．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．
2．（2023•武汉模拟）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|2x+3＞0}，则A∩B＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】求解不等式化简A与B，再由交集运算的定义得答案．
【解答】解：∵A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝（﹣2，3），B＝{x|2x+3＞0}＝（，+∞），
∴A∩B＝（﹣2，3）∩（，+∞）＝（，3）．
故选：C．
【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
3．（2023•泰州模拟）若M，N是U的非空子集，M∩N＝M，则（ ）
A．M⊆NB．N⊆MC．∁UM＝ND．∁UN＝M
【分析】根据集合交集的运算性质可得集合的包含关系即可一一判断．
【解答】解：因为M∩N＝M，所以M⊆N，A正确，B错误；
因为M，N是U的非空子集，所以∁UM≠N，∁UN≠M，C，D错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的交集和补集运算，集合的包含关系，属于基础题．
4．（2023•安徽模拟）已知集合A＝{x|ln（x﹣2）＜0}，B＝{x|5﹣2x＞0}，则A∩B＝（ ）
A．B．C．D．{x|1＜x＜2}
【分析】根据对数不等式、一元一次不等式的解法求出集合A、B，结合交集的概念和运算即可求解．
【解答】解：由题意得，，
则A＝{x|2＜x＜3}，，
故．
故选：A．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
5．（2023•全国二模）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣x+m＝0}，若A∩B＝{2}，则B＝（ ）
A．{2，1}B．{2，4}C．{2，3}D．{2，﹣1}
【分析】由已知可推得2∈B，代入即可解得m＝﹣2，代入即可得出答案．
【解答】解：由题意可知，2∈B，即22﹣2+m＝0，解得m＝﹣2，
故B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}＝{2，﹣1}．
故选：D．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
6．（2023•五华区校级模拟）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90%，对物理感兴趣的占56%，对历史感兴趣的占74%，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（ ）
A．70%B．56%C．40%D．30%
【分析】根据公式card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）列方程求解即可．
【解答】解：对物理感兴趣的同学占56%，对历史感兴趣的同学占74%，
这两组的比例数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比例，
设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例为x，
则对物理或历史感兴趣的同学的比例是56%+74%﹣x，
所以56%+74%﹣x＝90%，解得x＝40%．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的应用，属于基础题．
7．（2023•河南二模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x2＜4x}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，4）C．（﹣1，0）D．（0，2）
【分析】解不等式可得集合B，根据集合的并集运算，即得答案．
【解答】解：解x2＜4x可得0＜x＜4，
则A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜4}，
故A∪B＝（﹣1，4）．
故选：B．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
8．（2023•哈尔滨二模）已知集合A＝{x||x﹣3|＜2}，，则A∪B＝（ ）
A．（1，2]B．（1，2）C．[﹣1，5]D．[﹣1，5）
【分析】求出集合A、B，利用并集的定义可求得集合A∪B．
【解答】解：因为A＝{x||x﹣3|＜2}＝{x|﹣2＜x﹣3＜2}＝{x|1＜x＜5}，
由可得，解得﹣1≤x＜2，则B＝{x|﹣1≤x＜2}，
故A∪B＝[﹣1，5）．
故选：D．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
9．（2023•怀仁市模拟）若集合A＝{x|x＜4}，B＝，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．（﹣∞，1]B．（0，1]
C．（﹣∞，0）∪（0，1]D．（﹣∞，0]∪（1，4）
【分析】先根据分式不等式的解法求出集合B，再根据交集和补集的定义即可得解．
【解答】解：由得，
则，解得0＜x≤1，
B＝（0，1]，则∁RB＝（﹣∞，0]∪（1，+∞），
故A∩（∁RB）＝（﹣∞，0]∪（1，4）．
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
10．（2023•铁岭模拟）设，N＝{x|x＞a}，若M⊆N，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＜1B．a≤1C．D．
【分析】先求出集合M，再根据M⊆N，即可求得a的取值范围．
【解答】解：∵，
∵N＝{x|x＞a}，M⊆N，
∴a＜1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合包含关系的应用，属于基础题．
二．多选题（共1小题）
（多选）11．（2023•福建二模）非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则；②若x，y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有（ ）
A．﹣1∉AB．
C．若x，y∈A，则xy∈AD．若x，y∈A，则x﹣y∈A
【分析】用反证法，证明矛盾即可判断A；由1开始类推，能得到所有自然数均属于集合A，由题知两者相除也属于集合A，即可判断B；由集合A的性质可得x•y∈A，x﹣y∈A，即可判断选项C和D．
【解答】解：对于A，假设﹣1∈A，则令x＝y＝﹣1，则＝1∈A，x+y＝﹣2∈A，
令x＝﹣1，y＝1，则＝﹣1∈A，x+y＝0∈A，
令x＝1，y＝0，不存在，即y≠0，矛盾，
∴﹣1∉A，故A对；
对于B，由题，1∈A，则1+1＝2∈A，2+1＝3∈A，…，2022∈A，2023∈A，
∴∈A，故B对；
对于C，∵1∈A，x∈A，∴∈A，
∵y∈A，∈A，∴＝xy∈A，故C对；
对于D，∵1∈A，2∈A，
若x＝2，y＝1，则x﹣y＝1∈A，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查元素与集合关系的判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
12．（2023•大荔县一模）设三元集合，则a2022+b2022＝ ．
【分析】根据集合相等求得a，b，即可求解．
【解答】解：依题意，a≠0，
则，解得b＝0，a＝﹣1，
此时两个集合都是{﹣1，0，1}，符合题意，
故a2022+b2022＝（﹣1）2022+0＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查集合的相等，属于基础题．
13．（2023•湖南模拟）若一个非空数集F满足：对任意a，b∈F，有a+b，a﹣b，ab∈F，且当b≠0时，有，则称F为一个数域，以下命题中：
（1）0是任何数域的元素；
（2）若数域F有非零元素，则2021∈F；
（3）集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域；
（4）有理数集为数域；
真命题的个数为 ．
【分析】根据新定义逐一判断即可求解．
【解答】解：（1）当a＝b时，a﹣b＝0属于数域，故（1）正确；
（2）若数域F有非零元素，则，
从而1+1＝2∈F，2+1∈F，⋯，2020+1＝2021∈F，故（2）正确；
（3）由集合P，可知x是3的倍数，当a＝6，b＝3时，，故（3）错误；
（4）若F是有理数集，则当a，b∈F，则a+b，a﹣b，ab∈F，且当b≠0时，”都成立，故（4）正确，
故真命题的个数是3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查命题真假的判断，集合中的新定义，考查逻辑推理能力，属于基础题．
14．（2023•浑南区一模）已知集合A＝{x|≤0}，集合B＝{x|y＝}，A∩（∁RB）＝ ．
【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义，计算即可．
【解答】解：集合A＝{x|≤0}＝{x|0≤x＜2}，
集合B＝{x|y＝}＝{x|1﹣2x﹣1≥0}＝{x|x≤1}，
所以∁RB＝{x|x＞1}，
所以A∩（∁RB）＝{x|1＜x＜2}．
故答案为：{x|1＜x＜2}．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
15．（2023•晋江市校级模拟）对于集合E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{，，…，}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中＝＝…＝＝1，其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0．
（1）子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”的前四项和等于 ；
（2）若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi+pi+1＝1，1≤i≤99，E的子集Q的“特征数列”为q1，q2，…，q100，满足q1＝1，qj+qj+1+qj+2＝2，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为 ．
【分析】（1）根据“特征数列”的定义求出子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”，由此能求出它的前四项和．
（2）由已知定义可求出集合P，Q，由此能求出P∩Q的元素个数．
【解答】解：（1）根据“特征数列”的定义可知子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”为：
1，0，1，1，1，0，0，•••，0，
∴子集{a1，a3，a4，a5}的“特征数列”的前四项和为：1+0+1+1＝3．
（2）P的“特征数列”为1，0，1，0，1，0，•••，1，0，
Q的“特征数列”满足qj+qj+1+qj+2＝2，且q1＝1，q2＝1，q3＝0或q2＝0，q3＝1，
∴Q的“特征数列”为1，1，0，1，1，0，1，1，0，•••，0，1或1，0，1，1，0，1，•••，0，1，1，
∴P＝{a1，a3，a5，a7，•••，a97，a99}，
Q＝{a1，a2，a4，a5，•••，a97，a98，a99}或Q＝{a1，a3，a4，a6，•••，a97，a99，a100}＜
∵P，Q的“特征数列”周期的最小公倍数为6，
一个周期内P∩Q的元素个数为2，共有100÷6＝16••••••4，
∴P∩Q的元素个数为16×2+1＝33或16×2+2＝34个．
故答案为：3；33或34．
【点评】本题考查集合的运算，考查新定义、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四．解答题（共1小题）
16．（2023•建水县校级模拟）已知集合A＝{x|a≤x≤a+2}，B＝{x|2x+2＞0}，全集U＝R．
（1）若a＝﹣2，求A∩B，A∩（∁UB）；
（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．
【分析】（1）可求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可；
（2）根据条件可得出a+2≤﹣1，然后解出a的范围即可．
【解答】解：（1）a＝﹣2时，A＝{x|﹣2≤x≤0}，
∵B＝{x|x＞﹣1}，
∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤0}，∁UB＝{x|x≤﹣1}，A∩（∁UB）＝{x|﹣2≤x≤﹣1}；
（2）∵A＝{x|a≤x≤a+2}，B＝{x|x＞﹣1}，且A∩B＝∅，
∴a+2≤﹣1，解得a≤﹣3，
∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]．
【点评】本题考查了集合的描述法的定义，交集和补集的定义及运算，全集的定义，空集的定义，考查了计算能力，属于容易题．
八.刷易错
一．选择题（共11小题）
1．（2023•天津模拟）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，集合B＝{2，3，5}，则（∁UB）∩A＝（ ）
A．{2}B．{2，3}C．{1}D．{1，4}
【分析】根据补集与交集的定义计算即可．
【解答】解：全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，集合B＝{2，3，5}，
∴∁UB＝{1，4}，
∴（∁UB）∩A＝{1}．
故选：C．
【点评】本题考查了补集与交集的定义与应用问题，是基础题．
2．（2023•甘肃一模）已知集合A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣3∈AB．3∉BC．A∪B＝BD．A∩B＝B
【分析】先把集合A的范围解出来，再进行判断即可．
【解答】解：因为A＝{y|y＝|x|﹣1，x∈R}＝{y|y≥﹣1}，
又B＝{x|x≥2}，
故A∩B＝B，
故选：D．
【点评】本题主要考查元素与集合、集合与集合间的关系，属于基础题．
3．（2022•朝阳区校级三模）已知集合A＝{x|x2+x﹣2＝0}，B＝{x|ax+1＝0}，若B⊆A，则实数a的取值组成的集合是（ ）
A．{﹣1}B．{}C．{﹣1，}D．{﹣1，0，}
【分析】先化简集合A＝{﹣2，1}，集合B中至多有一个元素，分类对其求解即可，本题要分成两类，一类为无解，一类为有一解．
【解答】解：集合A＝{1，﹣2}，集合B中至多有一个元素，
若集合B为空集，即a＝0时，显然满足条件A∪B＝A，故a＝0成立，
若集合B非空集，即a≠0，此时B＝{﹣}，
若﹣＝﹣2，则a＝，若﹣＝1，则a＝﹣1，
故a的取值集合为{0，，﹣1}．
故选：D．
【点评】本题的考点是集合的包含关系判断及应用，本题考查利用集合的包含关系求参数，此类题一般要进行分类讨论求参数的值，求解本题时不要忘记集合为空集的情况，此为本题的易错点．
4．（2022•天门校级模拟）已知集合A＝{y|y＝2x﹣1，1≤x≤2}，B＝{x|y＝lg（2﹣x）}，则下列结论正确的是（ ）
A．A⊆BB．A∩B＝[0，2]C．A∪B＝（﹣∞，2]D．（∁RA）∪B＝R
【分析】由集合的定义分别化简集合A、B，再依次判断即可．
【解答】解：A＝{y|y＝2x﹣1，1≤x≤2}＝[1，2]，
B＝{x|y＝lg（2﹣x）}＝（﹣∞，2），
故A、B没有子集关系，故选项A错误；
A∩B＝[1，2），故选项B错误；
A∪B＝（﹣∞，2]，故选项C正确；
（∁RA）∪B＝{x|x≠2}，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．
5．（2022•梅州模拟）已知集合M＝{x∈N|1≤x≤9}，集合A1，A2，A3满足：①每个集合都恰有3个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为（ ）
A．60B．63C．56D．57
【分析】由集合M中最小值1与最大值9构成集合A1中两个元素，若使X1+X2+X3取得最大值，则将2∈A1，从而依次确定X1、X2、X3，同理求最小值，从而解得．
【解答】解：∵集合M＝{x∈N|1≤x≤9}中最小值为1，最大值为9，
∴不妨记1∈A1，9∈A1，则X1＝10，
若使X1+X2+X3取得最大值，
则使A1＝{1，2，9}，
剩余的数中最小值为3，最大值为8，
同理可令A2＝{3，4，8}，X2＝11，
则A3＝{5，6，7}，X3＝12，
则此时X1+X2+X3＝33，
同理可知，当A1＝{1，8，9}，A2＝{2，6，7}，A3＝{3，4，5}时，
X1+X2+X3有最小值27，
故X1+X2+X3的最大值与最小值的和为60，
故选：A．
【点评】本题考查了集合的性质应用，难点在于对新定义的理解，属于中档题．
6．（2022•沙河口区校级一模）已知有限集X，Y，定义集合X﹣Y＝{x|x∈X，且x∉Y}，|X|表示集合X中的元素个数．若x＝{1，2，3，4}，Y＝{3，4，5}，则|（X﹣Y）∪（Y﹣X）|＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由题意知X﹣Y＝{1，2}，Y﹣X＝{5}，即可求得（X﹣Y）∪（Y﹣X）＝{1，2，5}，从而得到|（X﹣Y）∪（Y﹣X）|＝3．
【解答】解：∵X＝{1，2，3，4}，Y＝{3，4，5}，
∴X﹣Y＝{1，2}，Y﹣X＝{5}，
故（X﹣Y）∪（Y﹣X）＝{1，2，5}，
故|（X﹣Y）∪（Y﹣X）|＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了集合的运算及学习能力、转化能力，是中档题．
7．（2022•河西区模拟）设集合M＝{x|x2≤4}，集合N＝{x|1≤x≤2}，则∁MN＝（ ）
A．{x|﹣2≤x＜1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{x|x≤﹣2}D．{x|0＜x＜2}
【分析】可以求出集合M，N，然后进行补集的运算即可．
【解答】解：因为集合M＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}，集合N＝{x|1≤x≤2}，
∴∁MN＝[﹣2，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了描述法，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
8．（2022•定海区校级模拟）若集合A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为（ ）
A．{a|2≤a≤7}B．{a|6≤a≤7}C．{a|a≤7}D．∅
【分析】利用A⊆B，建立不等关系即可求解，注意当A＝∅时，也成立
【解答】解：若A＝∅，即2a+1＞3a﹣5，解得a＜6时，满足A⊆B．
若A≠∅，即a≥6时，要使A⊆B成立，
则，即解得2≤a≤7，此时6≤a≤7．
综上a≤7．
故选：C．
【点评】本题主要考查利用集合关系求参数取值问题，注意对集合A为空集时也成立，注意端点取值等号的取舍问题．
9．（2022•汉中模拟）设集合M＝{x|x＜4}，集合N＝{x|x2﹣2x＜0}，则下列关系中正确的是（ ）
A．M∪N＝MB．M∪（∁RN）＝MC．N∪（∁RM）＝RD．M∩N＝M
【分析】化简集合N，根据集合的基本运算结果判断选项是否正确即可．
【解答】解：集合M＝{x|x＜4}，集合N＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，
则M∪N＝M，A正确；
∁RN＝{x|x≤0或x≥2}，∴M∪∁RN＝R≠M，B错误；
∁RM＝{x|x≥4}，∴N∪∁RM＝{x|0＜x＜2或x≥4}≠R，C错误；
M∩N＝{x|0＜x＜2}≠M，D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了集合的运算问题，是基础题．
10．（2022•滨海县校级模拟）已知集合A＝{2，﹣2}，B＝{x|x2﹣ax+4＝0}，若A∪B＝A，则实数a满足（ ）
A．{a|﹣4＜a＜4}B．{a|﹣2＜a＜2}C．{﹣4，4}D．{a|﹣4≤a≤4}
【分析】根据A与B的并集为A，得到B为A的子集，分B为空集与不为空集两种情况考虑，分别求出求出a的范围即可．
【解答】解：由A∪B＝A得，B⊆A，则B＝∅或B≠∅，
（1）当B＝∅时，即有：Δ＝a2﹣16＜0，解得﹣4＜a＜4，
适合条件B⊆A，实数a满足：﹣4＜a＜4；
（2）当B≠∅时，且A＝{﹣2，2}，
①若B＝{﹣2}，表明x2﹣ax+4＝0有两个相等的实根﹣2，
则（﹣2）2﹣a×（﹣2）+4＝0，则a＝﹣4，满足Δ＝a2﹣16＝0；
②若B＝{2}，表明x2﹣ax+4＝0有两个相等的实根2，
则22﹣a×2+4＝0，解得a＝4，满足Δ＝a2﹣16＝0；
③若B＝{﹣2，2}，表明x2﹣ax+4＝0有两个的实根﹣2和2，
则（﹣2）2﹣a×（﹣2）+4＝0，22﹣a×2+4＝0，则a不存在；
综上得：所有满足条件的实数a组成的集合为[﹣4，4]，
故选：D．
【点评】本题考查并集及其运算，集合的包含关系判断及应用，本题易错主要是忽略B＝∅的情况，考查分类讨论思想．
11．（2022•渭滨区校级模拟）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（ ）
A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或2
【分析】分别由1﹣a＝4，a2﹣a+2＝4，求出a的值，代入观察即可．
【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3，
∴a2﹣a+2＝14，
∴A＝{2，4，14}；
若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1，
a＝2时，1﹣a＝﹣1，
∴A＝{2，﹣1，4}；
a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍），
故选：C．
【点评】本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，本题是一道基础题考题
考点
考向
2022新高考1，第1题
集合的基本运算
交集运算
2022新高考2，第1题
集合的基本运算
交集运算
2021新高考1，第1题
集合的基本运算
交集运算
2021新高考2，第2题
集合的基本运算
交集，补集运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
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2024年高考数学复习全程规划【一轮复习讲义】 考点07对数函数（12种题型2个易错考点）（原卷版+解析）： 这是一份2024年高考数学复习全程规划【一轮复习讲义】 考点07对数函数（12种题型2个易错考点）（原卷版+解析），共54页。试卷主要包含了 真题多维细目表，命题规律与备考策略，考点清单，题型方法，易错分析，刷基础等内容，欢迎下载使用。
