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2024福建省部分学校教学联盟高一下学期开学质量监测试题数学含答案
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这是一份2024福建省部分学校教学联盟高一下学期开学质量监测试题数学含答案，共9页。试卷主要包含了cs300°=，已知命题p等内容，欢迎下载使用。
2023~2024学年第二学期福建省部分学校教学联盟高一年级开学质量监测
数 学 试 卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
温馨提示：请将所有答案填写到答题卡的相应位置上！请不要错位、越界答题！
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．设集合M={x∣−1≤x<5},N={x∈N||x|≤2}，则M∩N=
A．x∣−1≤x≤2 B．{x∣−1≤x<5} C．−1,0,1,2 D．0,1,2
2．cs300°=
A．12B．32C．−12D．−32
3．已知a>b>0>c，则下列结论正确的是
A．abc C．ca−c4．王昌龄是著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的
A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知命题p:∃x0∈R,x02+2x0−a≤0.若p为假命题，则实数a的取值范围是
A．−1,+∞ B．−∞,−1 C．−1,+∞ D．−∞,−1
6．函数fx＝lg2x2x－2－x的图象大致为
A． B． C． D．
7．“学如逆水行舟，不进则退;心似平原跑马，易放难收”，《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1+1%)365=1.01365;如果每天的“落后”率都是1%，那么一年后是(1−1%)365=0.99365.一年后“进步”的是“落后”的≈1481倍.现假设每天的“进步”率和“落后”率都是20%，要使“进步”的是“落后”的100倍，则大约需要经过
(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
A．15天 B．11天 C．7天 D．3天
中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．
用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．
同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B．
同一日内，甲地日影长是乙地日影长的56，记甲地中直线AB与地面所成的角为θ，且sinθ=45．则甲、乙两地之间的距离约为
A．10千里 B．12千里 C．14千里 D．16千里
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．函数fx=csωx+π6的部分图象如图，则
A．x=5π12是函数fx的一条对称轴 B．x=−π12是函数fx的一条对称轴
C．fx=cs12x+π6 D．fx=cs2x+π6
10．已知函数fx，gx的定义域均为R，且fx+g2−x=5，gx−fx−4=7．若x=2是gx的对称轴，且g2=4，则下列结论正确的是
A．fx是奇函数 B．3,6是gx的对称中心
C．2是fx的周期 D．k=122gk=130
11．波恩哈德·黎曼（～）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为0,1，其解析式为：L(x)=1q,x=pq(p,q∈Z∗,p,q互质)0，x=0或1或(0,1)内的无理数，下列关于黎曼函数的说法正确的是
A．Lx=L1−x B．LaLb≤Lab
C．La+b≥La+Lb D．关于x的不等式Lx>15x+15的解集为12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,8，M=1,3,6，P=3,4,5，指出Venn图中阴影部分表示的集合是 .
13．已知sinα=450<α<π2，则tan2α= .
14．已知函数fx=x+ax−2a+x+4aa<0，若fsin0+fsinπ6+fsinπ2=0，则关于x的不等式−fx+2a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
已知函数fx=3x−a3x+1+3的图象经过点1,16．
(1)求a的值，判断fx的单调性并说明理由；
(2)若存在x∈−2,−1，不等式fx2+mx+fx2+4>0成立，求实数m的取值范围．
16．（本题满分15分）
杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买x台“机器狗”的总成本为fx=180x2+x+20 万元.
(1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台?
(2)现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为T1，T2，T3. “汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） V1奔跑，另一半的时间以速度V2奔跑；“汪2”全程以速度V1V2奔跑；“汪3”有一半的路程以速度V1奔跑，另一半的路程以速度V2奔跑，其中V1>0，V2>0，且V1≠V2 则哪台机器狗用的时间最少? 请说明理由.
17．（本题满分15分）
筒车（chinese nria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为6m，筒车直径为8m，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要24s，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置P0距水面的距离为4m．
(1)盛水筒A经过ts后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数ℎ=ft的解析式；
(2)盛水筒B（视为质点）与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含π的代数式表示），及此时对应的t．
（参考公式：sinθ−sinφ=2csθ+φ2sinθ−φ2，csθ−csφ=2sinθ+φ2sinφ−θ2）
18．（本题满分17分）
某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间x（单位：小时）的关系如下：y=168−x−2t,0≤x≤6,9−x2t,6(1)若注射1ml药品，求药品的有效治疗时间；
(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml药品，12小时之后又注射aml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求a的最小值．
19．（本题满分17分）
已知函数fx=2sinxcsx−2cs2x+22.
(1)求函数fx的单调递增区间；
(2)若gx=fx+fx+π4−fx⋅fx+π4，存在x1,x2∈R，对任意x∈R，有gx1≤gx≤gx2恒成立，求x1−x2的最小值；
(3)若函数Fx=−f2x+π8+afx+π8+2−3在0,nπn∈N+内恰有2023个零点，求a与n的值.
2023~2024学年第二学期福建省部分学校教学联盟高一年级开学质量监测
数学试题参考答案
阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步骤与本参考答案不同，但解答科学合理的同样给分。有错的，根据考生错误的性质参考评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
注意：全部选对的得6分，第9题选对其中一个选项得2分，第10、11题选对其中一个选项得3分。有错选的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2,3,7,8 13．−247 14．1,32
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分，第一小题6分，第二小题7分）
解：（1）函数f(x)=3x−a3x+1+3经过点1,16，
所以3−a12=16，解得a=1，即f(x)=3x−13x+1+3=3x−13(3x+1)，
f(x)=3x−13(3x+1)=13−23⋅13x+1，
则f(x)是R上的单调递增函数，理由如下：
任取x1、x2∈R，且x13x1，
则f(x1)−f(x2)=23(13x2+1−13x1+1)=23⋅3x1−3x2(3x1+1)(3x2+1)<0，
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)是定义域R上的单调递增函数．
（2）因为f(−x)=3−x−13(3−x+1)=1−3x3(3x+1)=−f(x)，
故f(x)是奇函数且在R上单调递增，
则不等式f(x2+mx)+f(x2+4)>0等价于f(x2+mx)>−f(x2+4)=f(−x2−4)，
所以x2+mx>−x2−4，即2x2+mx+4>0，
即存在x∈−2,−1,不等式2x2+mx+4>0有解，
即m<−2x−4x在[−2,−1]上有解，
由x∈[−2,−1]，可得−x∈[1,2]，
由对勾函数性质易知：y=x+2x在1,2单调递减，在2,2单调递增，
且1+21=2+22=3，故y=x+2x在[1,2]的最大值为3，
所以2−x−2x≤6，即−2x−4x≤6
所以m<(−2x−4x)max=6，
即实数m的取值范围是(−∞,6)．
16．（本题满分15分，第一小题6分，第二小题9分）
解：（1）由题意，购买x台“机器狗”的总成本为fx=180x2+x+20，
则每台机器狗的平均成本为y=fxx=180x+20x+1≥2180x⋅20x+1=1+1=2，
当且仅当180x=20x时，即x=40时，等号成立，
所以，若使每台“机器狗”的平均成本最低，应买40台.
（2）由题意，“汪1”满足12T1V1+12T1V2=120，可得T1=120V1+V22，
“汪2”满足T2V1V2=120，可得T2=120V1V2，
“汪3”满足T3=60V1+60V2=1202V1V2V1+V2，
2V1V2V1+V2≤2V1V22V1V2=V1V2，V1≠V2，
所以2V1V2V1+V2因为V1>0，V2>0，且V1≠V2，
所以可得V1+V22>V1V2，则V1+V22>V1V2>2V1V2V1+V2>0，
所以T117．（本题满分15分，第一小题6分，第二小题9分）
解：（1）以简车转轮的中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，
设ℎ=Msin(ωt+φ)+N，t∈0,24，由题意知，2M=8，M+N=6，
∴M=4，N=2，即ℎ=4sin(ωt+φ)+2，
当t=0时，ℎ=4sinφ+2=4，解得sinφ=12，
结合图像初始位置可知φ=π6，
又因为T=2πω=24，所以ω=π12，
综上ℎ=4sinπ12t+π6+2,t∈0,24．
（2）经过ts后A距离水面的高度ℎ=4sinπ12t+π6+2，
由题意知∠AOB=2π8=π4，所以经过ts后B距离水面的高度ℎ′=4sinπ12t−π12+2，
则盛水筒B与盛水筒A的高度差为H=ℎ−ℎ′=4sinπ12t+π6−sinπ12t−π12，
利用sinθ−sinφ=2csθ+φ2sinθ−φ2，
H=4sinπ12t+π6−sinπ12t−π12=8sinπ8csπ12t+π24，
当π12t+π24=kπ,k∈Z，即t=−12+12k,k∈Z时，H取最大值8sinπ8m，
又因为t∈[0,24]，所以当t=11.5或t=23.5时，H取最大值，
综上，盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值约为8sinπ8m，此时t=11.5或t=23.5．
18．（本题满分17分，第一小题6分，第二小题11分）
解：（1）注射1ml该药品，其浓度为y=168−x−2,0≤x≤6,9−x2,6当0≤x≤6时，2≤168−x−2，解得4≤x≤6；
当6所以一次注射1ml该药品，则药物有效时间可达14−4=10小时．
（2）设从第一次注射起，经x(12≤x≤18)小时后，
其浓度g(x)=9−x2+a168−(x−12)−2=20−x2+16a20−x−2a−1，则20−x∈[2,8]，
因为20−x2+16a20−x−2a−1≥2(20−x)2⋅16a(20−x)−2a−1=42a−2a−1，
当20−x2=16a20−x时，即x=20−42a时，等号成立．
a>0，当a∈18,2时，x=20−42a∈[12,18]，
所以42a−2a−1≥218≤a≤2，因为2a−42a+3=(2a−1)(2a−3)≤0，
解得0.5≤a≤2，所以a≥0.5．
当a=18时，g(x)=20−x2+220−x−54，g(18)=34<2，所以a∈0,18不能保证持续有效，
综上，要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，a的最小值为0.5．
19．（本题满分17分，第一小题4分，第二小题5分，第三小题8分）
解：（1）fx=2sinxcsx−2cs2x+22
=22sin2x−221+cs2x+22
=22sin2x−22cs2x=sin2x−π4
令−π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπk∈Z，
得−π8+kπ≤x≤3π8+kπk∈Z
∴函数fx的单调递增区间为−π8+kπ,3π8+kπk∈Z
（2）gx=fx+fx+π4−fx⋅fx+π4
=sin2x−π4+cs2x−π4−sin2x−π4cs2x−π4
令sin2x−π4+cs2x−π4=tt=2sin2x∈−2,2，
则sin2x−π4cs2x−π4=t2−12
gx=ℎt=−12t2+t+12=−12t−12+1
可得，当t=1即sin2x=22时，gxmax=1；
当t=−2即sin2x=−1时，gxmin=−2−12
∵存在x1,x2∈R，对任意x∈R，有gx1≤gx≤gx2恒成立，
∴gx1为gx的最小值，gx2为gx的最大值，
∴sin2x1=−1，sin2x2=22，
∴2x1−2x2min=3π2−3π4=3π4，
∴x1−x2min=3π8.
（3）令Fx=−f2x+π8+afx+π8+2−3=0，
方程可化为a=sin22x+3sin2x+2=sin22x−4+7sin2x+2=sin2x+2+7sin2x+2−4，
令sin2x+2=mm∈1,3，则a+4=m+7mm∈1,3，
当a+4=8时，m=1，sin2x=−1，此时函数Fx在0,nπn∈N+上有n个零点，
∴a=4，n=2023适合题意；
当a+4∈163,112∪112,8时，m在1,2∪2,73内有一解，
sin2x在−1,0或0,13内有一取值，则此时函数Fx在0,nπn∈N+上有2n个零点，不适合题意；
当a+4=112时，m=2,sin2x=0，此时函数Fx在0,nπn∈N+上有2n−1个零点，
∴a=32，n=1012适合题意；
当a+4=163时，m=3或73，sin2x=1或13，则此时函数Fx在0,nπn∈N+上有3n个零点，不适合题意；
当a+4∈27,163时，m在73,7和7,3内各有一解，sin2x在13,7−2和7−2,1内各有一取值，
则此时函数Fx在0,nπn∈N+上有4n个零点，不适合题意；
当a+4=27时，m=7，sin2x=7−2，则此时函数Fx在0,nπn∈N+上有2n个零点，不适合题意.
综上所述，a=4，n=2023，或a=32，n=1012.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
A
B
C
B
B
题号
9
10
11
答案
ABD
BD
AB
2023~2024学年第二学期福建省部分学校教学联盟高一年级开学质量监测
数 学 试 卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
温馨提示：请将所有答案填写到答题卡的相应位置上！请不要错位、越界答题！
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．设集合M={x∣−1≤x<5},N={x∈N||x|≤2}，则M∩N=
A．x∣−1≤x≤2 B．{x∣−1≤x<5} C．−1,0,1,2 D．0,1,2
2．cs300°=
A．12B．32C．−12D．−32
3．已知a>b>0>c，则下列结论正确的是
A．abc C．ca−c
A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知命题p:∃x0∈R,x02+2x0−a≤0.若p为假命题，则实数a的取值范围是
A．−1,+∞ B．−∞,−1 C．−1,+∞ D．−∞,−1
6．函数fx＝lg2x2x－2－x的图象大致为
A． B． C． D．
7．“学如逆水行舟，不进则退;心似平原跑马，易放难收”，《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1+1%)365=1.01365;如果每天的“落后”率都是1%，那么一年后是(1−1%)365=0.99365.一年后“进步”的是“落后”的≈1481倍.现假设每天的“进步”率和“落后”率都是20%，要使“进步”的是“落后”的100倍，则大约需要经过
(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
A．15天 B．11天 C．7天 D．3天
中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．
用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．
同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B．
同一日内，甲地日影长是乙地日影长的56，记甲地中直线AB与地面所成的角为θ，且sinθ=45．则甲、乙两地之间的距离约为
A．10千里 B．12千里 C．14千里 D．16千里
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．函数fx=csωx+π6的部分图象如图，则
A．x=5π12是函数fx的一条对称轴 B．x=−π12是函数fx的一条对称轴
C．fx=cs12x+π6 D．fx=cs2x+π6
10．已知函数fx，gx的定义域均为R，且fx+g2−x=5，gx−fx−4=7．若x=2是gx的对称轴，且g2=4，则下列结论正确的是
A．fx是奇函数 B．3,6是gx的对称中心
C．2是fx的周期 D．k=122gk=130
11．波恩哈德·黎曼（～）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为0,1，其解析式为：L(x)=1q,x=pq(p,q∈Z∗,p,q互质)0，x=0或1或(0,1)内的无理数，下列关于黎曼函数的说法正确的是
A．Lx=L1−x B．LaLb≤Lab
C．La+b≥La+Lb D．关于x的不等式Lx>15x+15的解集为12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,8，M=1,3,6，P=3,4,5，指出Venn图中阴影部分表示的集合是 .
13．已知sinα=450<α<π2，则tan2α= .
14．已知函数fx=x+ax−2a+x+4aa<0，若fsin0+fsinπ6+fsinπ2=0，则关于x的不等式−fx+2a
15．（本题满分13分）
已知函数fx=3x−a3x+1+3的图象经过点1,16．
(1)求a的值，判断fx的单调性并说明理由；
(2)若存在x∈−2,−1，不等式fx2+mx+fx2+4>0成立，求实数m的取值范围．
16．（本题满分15分）
杭州，作为2023年亚洲运动会的举办城市，以其先进的科技和创新能力再次吸引了全球的目光.其中首次采用“机器狗”在田径赛场上运送铁饼等，迅速成为了全场的焦点.已知购买x台“机器狗”的总成本为fx=180x2+x+20 万元.
(1)若使每台“机器狗”的平均成本最低，问应买多少台?
(2)现安排标明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3台“机器狗”在同一场次运送铁饼，且运送的距离都是120米. 3台“机器狗”所用时间（单位:秒）分别为T1，T2，T3. “汪1”有一半的时间以速度（单位:米/秒） V1奔跑，另一半的时间以速度V2奔跑；“汪2”全程以速度V1V2奔跑；“汪3”有一半的路程以速度V1奔跑，另一半的路程以速度V2奔跑，其中V1>0，V2>0，且V1≠V2 则哪台机器狗用的时间最少? 请说明理由.
17．（本题满分15分）
筒车（chinese nria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为6m，筒车直径为8m，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要24s，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置P0距水面的距离为4m．
(1)盛水筒A经过ts后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数ℎ=ft的解析式；
(2)盛水筒B（视为质点）与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含π的代数式表示），及此时对应的t．
（参考公式：sinθ−sinφ=2csθ+φ2sinθ−φ2，csθ−csφ=2sinθ+φ2sinφ−θ2）
18．（本题满分17分）
某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间x（单位：小时）的关系如下：y=168−x−2t,0≤x≤6,9−x2t,6
(2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml药品，12小时之后又注射aml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求a的最小值．
19．（本题满分17分）
已知函数fx=2sinxcsx−2cs2x+22.
(1)求函数fx的单调递增区间；
(2)若gx=fx+fx+π4−fx⋅fx+π4，存在x1,x2∈R，对任意x∈R，有gx1≤gx≤gx2恒成立，求x1−x2的最小值；
(3)若函数Fx=−f2x+π8+afx+π8+2−3在0,nπn∈N+内恰有2023个零点，求a与n的值.
2023~2024学年第二学期福建省部分学校教学联盟高一年级开学质量监测
数学试题参考答案
阅卷说明：参考答案是用来说明评分标准的。如果考生的答案、方法、步骤与本参考答案不同，但解答科学合理的同样给分。有错的，根据考生错误的性质参考评分标准及阅卷教师教学经验适当扣分。
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
注意：全部选对的得6分，第9题选对其中一个选项得2分，第10、11题选对其中一个选项得3分。有错选的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2,3,7,8 13．−247 14．1,32
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分，第一小题6分，第二小题7分）
解：（1）函数f(x)=3x−a3x+1+3经过点1,16，
所以3−a12=16，解得a=1，即f(x)=3x−13x+1+3=3x−13(3x+1)，
f(x)=3x−13(3x+1)=13−23⋅13x+1，
则f(x)是R上的单调递增函数，理由如下：
任取x1、x2∈R，且x1
则f(x1)−f(x2)=23(13x2+1−13x1+1)=23⋅3x1−3x2(3x1+1)(3x2+1)<0，
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)
（2）因为f(−x)=3−x−13(3−x+1)=1−3x3(3x+1)=−f(x)，
故f(x)是奇函数且在R上单调递增，
则不等式f(x2+mx)+f(x2+4)>0等价于f(x2+mx)>−f(x2+4)=f(−x2−4)，
所以x2+mx>−x2−4，即2x2+mx+4>0，
即存在x∈−2,−1,不等式2x2+mx+4>0有解，
即m<−2x−4x在[−2,−1]上有解，
由x∈[−2,−1]，可得−x∈[1,2]，
由对勾函数性质易知：y=x+2x在1,2单调递减，在2,2单调递增，
且1+21=2+22=3，故y=x+2x在[1,2]的最大值为3，
所以2−x−2x≤6，即−2x−4x≤6
所以m<(−2x−4x)max=6，
即实数m的取值范围是(−∞,6)．
16．（本题满分15分，第一小题6分，第二小题9分）
解：（1）由题意，购买x台“机器狗”的总成本为fx=180x2+x+20，
则每台机器狗的平均成本为y=fxx=180x+20x+1≥2180x⋅20x+1=1+1=2，
当且仅当180x=20x时，即x=40时，等号成立，
所以，若使每台“机器狗”的平均成本最低，应买40台.
（2）由题意，“汪1”满足12T1V1+12T1V2=120，可得T1=120V1+V22，
“汪2”满足T2V1V2=120，可得T2=120V1V2，
“汪3”满足T3=60V1+60V2=1202V1V2V1+V2，
2V1V2V1+V2≤2V1V22V1V2=V1V2，V1≠V2，
所以2V1V2V1+V2
所以可得V1+V22>V1V2，则V1+V22>V1V2>2V1V2V1+V2>0，
所以T1
解：（1）以简车转轮的中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，
设ℎ=Msin(ωt+φ)+N，t∈0,24，由题意知，2M=8，M+N=6，
∴M=4，N=2，即ℎ=4sin(ωt+φ)+2，
当t=0时，ℎ=4sinφ+2=4，解得sinφ=12，
结合图像初始位置可知φ=π6，
又因为T=2πω=24，所以ω=π12，
综上ℎ=4sinπ12t+π6+2,t∈0,24．
（2）经过ts后A距离水面的高度ℎ=4sinπ12t+π6+2，
由题意知∠AOB=2π8=π4，所以经过ts后B距离水面的高度ℎ′=4sinπ12t−π12+2，
则盛水筒B与盛水筒A的高度差为H=ℎ−ℎ′=4sinπ12t+π6−sinπ12t−π12，
利用sinθ−sinφ=2csθ+φ2sinθ−φ2，
H=4sinπ12t+π6−sinπ12t−π12=8sinπ8csπ12t+π24，
当π12t+π24=kπ,k∈Z，即t=−12+12k,k∈Z时，H取最大值8sinπ8m，
又因为t∈[0,24]，所以当t=11.5或t=23.5时，H取最大值，
综上，盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值约为8sinπ8m，此时t=11.5或t=23.5．
18．（本题满分17分，第一小题6分，第二小题11分）
解：（1）注射1ml该药品，其浓度为y=168−x−2,0≤x≤6,9−x2,6
当6
（2）设从第一次注射起，经x(12≤x≤18)小时后，
其浓度g(x)=9−x2+a168−(x−12)−2=20−x2+16a20−x−2a−1，则20−x∈[2,8]，
因为20−x2+16a20−x−2a−1≥2(20−x)2⋅16a(20−x)−2a−1=42a−2a−1，
当20−x2=16a20−x时，即x=20−42a时，等号成立．
a>0，当a∈18,2时，x=20−42a∈[12,18]，
所以42a−2a−1≥218≤a≤2，因为2a−42a+3=(2a−1)(2a−3)≤0，
解得0.5≤a≤2，所以a≥0.5．
当a=18时，g(x)=20−x2+220−x−54，g(18)=34<2，所以a∈0,18不能保证持续有效，
综上，要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，a的最小值为0.5．
19．（本题满分17分，第一小题4分，第二小题5分，第三小题8分）
解：（1）fx=2sinxcsx−2cs2x+22
=22sin2x−221+cs2x+22
=22sin2x−22cs2x=sin2x−π4
令−π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπk∈Z，
得−π8+kπ≤x≤3π8+kπk∈Z
∴函数fx的单调递增区间为−π8+kπ,3π8+kπk∈Z
（2）gx=fx+fx+π4−fx⋅fx+π4
=sin2x−π4+cs2x−π4−sin2x−π4cs2x−π4
令sin2x−π4+cs2x−π4=tt=2sin2x∈−2,2，
则sin2x−π4cs2x−π4=t2−12
gx=ℎt=−12t2+t+12=−12t−12+1
可得，当t=1即sin2x=22时，gxmax=1；
当t=−2即sin2x=−1时，gxmin=−2−12
∵存在x1,x2∈R，对任意x∈R，有gx1≤gx≤gx2恒成立，
∴gx1为gx的最小值，gx2为gx的最大值，
∴sin2x1=−1，sin2x2=22，
∴2x1−2x2min=3π2−3π4=3π4，
∴x1−x2min=3π8.
（3）令Fx=−f2x+π8+afx+π8+2−3=0，
方程可化为a=sin22x+3sin2x+2=sin22x−4+7sin2x+2=sin2x+2+7sin2x+2−4，
令sin2x+2=mm∈1,3，则a+4=m+7mm∈1,3，
当a+4=8时，m=1，sin2x=−1，此时函数Fx在0,nπn∈N+上有n个零点，
∴a=4，n=2023适合题意；
当a+4∈163,112∪112,8时，m在1,2∪2,73内有一解，
sin2x在−1,0或0,13内有一取值，则此时函数Fx在0,nπn∈N+上有2n个零点，不适合题意；
当a+4=112时，m=2,sin2x=0，此时函数Fx在0,nπn∈N+上有2n−1个零点，
∴a=32，n=1012适合题意；
当a+4=163时，m=3或73，sin2x=1或13，则此时函数Fx在0,nπn∈N+上有3n个零点，不适合题意；
当a+4∈27,163时，m在73,7和7,3内各有一解，sin2x在13,7−2和7−2,1内各有一取值，
则此时函数Fx在0,nπn∈N+上有4n个零点，不适合题意；
当a+4=27时，m=7，sin2x=7−2，则此时函数Fx在0,nπn∈N+上有2n个零点，不适合题意.
综上所述，a=4，n=2023，或a=32，n=1012.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
A
B
C
B
B
题号
9
10
11
答案
ABD
BD
AB
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