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2023-2024学年福建省福州市部分学校教学联盟高一上学期期末质量检测数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年福建省福州市部分学校教学联盟高一上学期期末质量检测数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.cs225∘的值是
( )
A. 22B. −12C. − 22D. − 32
2.已知集合A=xx>1，B=x−1A. −1,3B. 1,3C. −1,+∞D. 1,+∞
3.设a=2−0.5，b=120.3，c=lg0.50.3，则a,b,c的大小关系为
( )
A. c4.若csα+π6=35，则sinπ3−α=( )
A. −45B. 45C. −35D. 35
5.函数fx=12lg2x−312x的零点所在区间为
( )
A. 0,1B. 1,2C. 2,3D. 3,4
6.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(12)ta(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于
( )
参考数据：lg20.79≈−0.34．
参考时间轴：
A. 战国B. 汉C. 唐D. 宋
7.函数fx=3x3+3sinxex+e−x的大致图象为
( )
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x+1)+f(x)=0”是“f(x)是周期为2的周期函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分又不必要条件D. 充要条件
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数a,b,c，其中a>b>1，则下列关系中恒成立的是
( )
A. ab>b2B. ac2b−cD. a+1b>b+1a
10.已知函数fx=cs2x+π12，则下列说法错误的是
( )
A. 函数fx的最小正周期为π
B. 函数fx的图象关于点1124π,0对称
C. 函数fx的图象关于直线x=−7π24对称
D. 函数fx在0,π4上单调递减
11.水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3,−3 3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x,y)，其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<π2，则下列叙述正确的是
( )
A. 水斗作周期运动的初相为−π3
B. 在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加
C. 在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是3 3
D. 当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
12.一般地，若函数fx的定义域为a,b，值域为ka,kb，则称a,b为fx的“k倍美好区间”，特别地，当k=1时，则称a,b为fx的“完美区间”.则下列说法正确的是
( )
A. 若1,b为函数fx=x2−2x+2的“完美区间”，则b=2
B. 函数fx=lg2x，存在“12倍美好区间”
C. 函数fx=2x−2，不存在“完美区间”
D. 函数fx=2x，有无数个“2倍美好区间”
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若幂函数g(x)=a2+5a+5xa+3在(0,+∞)上单调递增，则a= ．
14.若扇形的周长为10cm，面积为6cm2，圆心角为α0<α<π2，则α= ．
15.已知x1,x2为方程x2−1tanβ−1tanα+βx+23=0的两个实数根，且α,β∈0,π2，x1=3x2，则tanα的最大值为 ．
16.已知函数f(x)=|ax2−|x−2||+x−a，若函数f(x)恰有4个零点，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：2723−6163+eln3−lg23⋅lg 32+−20240．
18.(本小题12分)
(1)已知x>1，求y=4x+1x−1的最小值；
(2)若a,b均为正实数，且满足a+2b=1，求4a+1+1b的最小值．
19.(本小题12分)
已知函数fx=tan2x+φ(0<φ<π2)的图象关于点−π8,0对称．
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求不等式−1≤fx≤ 3的解集．
20.(本小题12分)
对于函数fx=a−2ex+1,a∈R．
(1)判断函数f(x)的单调性，并给出证明；
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？
21.(本小题12分)
网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．
(1)为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过π4，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD，AD=0.8m，AB=2.4m，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角α=π4的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．
(2)由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面).推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH，EH=1.2m.设∠PHG=β，当冰箱被卡住时(即点H、G分别在射线PR、PQ上，点O在线段EF上)，尝试用β表示冰箱高度EF的长，并求出EF的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？(结果精确到0.1m)
22.(本小题12分)
若函数fx与区间D同时满足：①区间D为fx的定义域的子集，②对任意x∈D，存在常数M≥0，使得fx≤M成立，则称fx是区间D上的有界函数，其中M称为函数fx的一个上界．(注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明)
(1)试判断函数f1x=9x−2⋅3x，f2x=2xx2−2x+3是否是R上的有界函数；(直接写结论)
(2)已知函数gx=lg12x+1x−1是区间2,3上的有界函数，求函数gx在区间2,3上的所有上界M构成的集合；
(3)对实数m进行讨论，探究函数fx=2+m⋅3x1+m⋅3x在区间0,1上是否存在上界M？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据诱导公式及特殊角的 三角函数值求解
【详解】cs225∘=cs180∘+45∘=−cs45∘=− 22．
故选：C
2.【答案】B
【解析】【分析】根据交集的 概念，求解即可得出答案．
【详解】根据交集的概念可得，A∩B=xx>1∩x−1故选：B．
3.【答案】B
【解析】【分析】利用指数函数y=2x的单调性得到a1，即可求出结果．
【详解】因为a=2−0.5，b=120.3=2−0.3，易知函数y=2x在R上是增函数，
又−0.5<−0.3<0，所以a又易知y=lg0.5x在0,+∞上是减函数，所以c=lg0.50.3>，
综上，a故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】先判断出α+π6+π3−α=π2，然后结合诱导公式求解出结果．
【详解】因为α+π6+π3−α=π2，
所以sinπ3−α=sinπ2−α+π6=csα+π6=35，
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】由函数的单调性，结合零点存在性定理判断选项即可．
【详解】因为fx=12lg2x−312x在0,+∞上为增函数，且f2=12lg22−3122=−14<0，
f3=12lg23−3123=12lg23−38，因为12lg23>12,38<12，所以f3>0，
所以fx=12lg2x−312x的零点所在区间为2,3．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数模型的应用，意在考查学生的应用能力，属于中档题．
根据题意得到函数关系式P=(12)t5730(t>0)，代入数据计算得到答案．
【解答】
解：由已知得12=(12)5730a，所以a=5730，
所以生物体内碳14的含量P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(12)t5730(t>0)，
由题P=(12)t5730=0.79，
∴t5730=lg120.79
∴t=5730×lg120.79=−5730×lg20.79≈1948，
所以2021−1948=73，对应朝代为汉，
故选B．
7.【答案】D
【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及特殊范围即可排除求解．
【详解】由于fx的定义域为R，
又f−x=3−x3+3sin−xe−x+ex=−3x3−3sinxe−x+ex=−fx，
所以fx为奇函数，故可排除AB，
由于当x∈0,π时，sinx>0,x3>0,∴fx=3x3+3sinxex+e−x>0，故排除C，
故选：D
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的周期性、充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
根据函数的周期性，充分条件，必要条件的定义判断即可．
【解答】解：若f(x)+f(x+1)=0成立，则f(x)=−f(x+1)，所以f(x+1)=−f(x+2)，
故f(x)=f(x+2)，即可得f(x)的周期为2，故充分性满足；
而f(x)的周期为2并不一定满足f(x)+f(x+1)=0，
例如函数f(x)=sin(πx)+1，周期为2，但f(0)+f(1)=2，故必要性不满足；
所以“f(x+1)+f(x)=0”是“f(x)是周期为2的周期函数”的充分不必要条件．
故选A．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】根据不等式性质可判断A，C；举反例判断B；利用作差法判断D．
【详解】对于A，由于a>b>1，故a>b两边同乘以b，即ab>b2， A正确；
对于B，当c=0时，ac2>bc2不成立， B错误；
对于C，由于a>b，故a−c>b−c， C正确；
对于D，因为a>b>1，则a−b>0,ab+1>0，
故a+1b−b+1a=a−b⋅ab+1ab>0，故a+1b>b+1a， D正确．
故选：ACD
10.【答案】BC
【解析】【分析】利用三角函数的性质逐个分析选项即可．
【详解】因为fx=cs2x+π12，所以函数的最小正周期T=2π2=π，故 A正确；
f11π24=cs2×11π24+π12=csπ=−1，所以函数fx的图象关于直线x=11π24对称，故 B错误；
f−7π24=cs2×−7π24+π12=cs−π2=csπ2=0，所以fx的图象关于点−7π24,0对称，故 C错误；
若x∈0,π4，则2x+π12∈π12,7π12，因为y=csx在0,π上单调递减，所以fx在0,π4上单调递减，故 D正确．
故选：BC．
11.【答案】AD
【解析】【分析】求出圆的半径R，利用周期求出ω，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质依次判断各选项即可．
【详解】对于A，由A(3,−3 3)，知R= 32+(−3 3)2=6，T=120，所以ω=2πT=π60；
当t=0时，点P在点A位置，有−3 3=6sinφ，解得sinφ=− 32，又|φ|<π2，所以φ=−π3，故 A正确；
对于B，可知f(t)=6sinπ60t−π3，当t∈0,60,π60t−π3∈−π3,2π3，所以函数f(x)先增后减，故 B错误；
对于C，当t∈0,60,π60t−π3∈−π3,2π3，sinπ60t−π3∈− 32,1，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C错误；
对于D，当t=100时，π60t−π3=4π3，P的纵坐标为y=−3 3，横坐标为x=−3，所以|PA|=−3−3=6，故 D正确．
故选：AD．
【点睛】方法点睛：求函数y=Asinωx+φ+B(A>0,ω>0)解析式的步骤：
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A=M−m2，B=M+m2．
(2)求ω，确定函数的周期T，则T=2πω.
(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误．
【详解】因为函数fx=x2−2x+2的对称轴为x=1，故函数fx在1,b单调递增。
所以值域1,b2−2b+2，又1,b为函数fx=x2−2x+2的“完美区间”，
所以b2−2b+2=b，得b=2或b=1，因为b>1，所以b=2，故 A对；
假设函数fx=lg2x，存在“12倍美好区间”设定义域为a,b，值域为12a,12b，
当0所以lg2a=12alg2b=12b，解得a=2b=4，故 B对；
因为fx=2x−2在1,+∞上单调递增，在−∞,1上单调递减，
假设函数fx=2x−2存在“完美区间”a,b，
当a则2−2a=b2−2b=a，解得a=0b=1，即假设成立，故 C错；
假设函数fx=2x定义域内任意子区间a,b，
因为fx=2x在R上单调递增，所以值域为2a,2b，故R内任意一个子区间都是fx=2x“2倍美好区间”，故D对
故选：ABD
13.【答案】−1
【解析】【分析】由幂函数定义得a=−4或a=−1，结合幂函数单调递增即可得解．
【详解】由a2+5a+5=1，得a=−4或a=−1．
又gx在0,+∞上单调递增，所以a=−1．
故答案为：−1．
14.【答案】43
【解析】【分析】由扇形的周长和面积公式进行求解即可．
【详解】设扇形的半径为r，
因为扇形的周长为αr+2r=10，扇形的面积为12αr2=6，
由αr+2r=1012αr2=6得，r=2α=3或r=3α=43，又因为0<α<π2，所以α=43．
故答案为：43．
15.【答案】12 2
【解析】【分析】由根与系数的关系及已知x1x2=23x1=3x2可求得x1= 2x2= 23，由x1+x2=1tanβ−1tanα+β=4 23，化简为关于tanβ的一元二次方程，根据方程有解，利用判别式计算即可得出结果．
【详解】因为x1,x2为方程x2−1tanβ−1tanα+βx+23=0的两个实数根，x1=3x2，
所以x1x2=23x1=3x2，解得x1= 2x2= 23，或x1=− 2x2=− 23,
若x1=− 2x2=− 23，则1tanβ−1tanα+β<0即1tanβ<1tanα+β，
因为α,β∈0,π2，故α+β∈0,π，
若α+β>π2，则tanα+β<0，1tanβ<1tanα+β不成立，
若0<α+β<π2，则tanα+β>tanβ，故1tanβ>1tanα+β，
故1tanβ<1tanα+β也不成立，故x1= 2x2= 23,
所以x1+x2=1tanβ−1tanα+β=4 23，则1tanβ−1−tanαtanβtanα+tanβ=4 23，
则tanα+tanβ−1−tanαtanβtanβ=4 23tanα+tanβ⋅tanβ，
化简可得
tanα−4 23tan2β−4 23tanαtanβ+tanα=0，由方程有解，可知：
Δ=329tan2α−4tanαtanα−4 23≥0，即tan2α−12 2tanα≤0．
解得：0≤tanα≤12 2，
则tanα的最大值为12 2．
故答案为：12 2．
16.【答案】(1,2)
【解析】【分析】根据给定条件，讨论当a≤0时，f(x)≥2，当a>0且x≥2时，f(x)>0，确定函数零点只可能在a>0且x<2的情况，再分析含绝对值符号的二次函数即可得解．
【详解】函数f(x)=|ax2−|x−2||+x−a的定义域为R，
当a≤0时，f(x)=−ax2+x−2+x−a=−ax2+2−a,x<2−ax2+2x−2−a,x≥2,
当x<2时，f(x)≥2−a≥2，当x≥2时，f(x)=−a(x2+1)+2x−2≥2x−2≥2，
此时函数f(x)无零点；
当a>0时，f(x)=ax2+x−2+x−a,x<2ax2−x+2+x−a,x≥2,
当x≥2时，若00，于是f(x)>0，
若a≥2，函数y=ax2−x+2的图象对称轴x=12a≤14，此函数在[2,+∞)上单调递增，
ax2−x+2≥ax2>0，f(x)=ax2−x+2+x−a=a(x2−1)+2>0，
即当a>0且x≥2时，f(x)>0，函数f(x)无零点；
于是只有当a>0且x<2时，函数f(x)=|ax2+x−2|+x−a才有零点，
当ax2+x−2≤0，即−1+ 1+8a2≤x≤−1+ 1+8a2时，f(x)=−ax2−x+2+x−a=−ax2+2−a，
当x∈[−1+ 1+8a2,−1+ 1+8a2]时，函数y=−ax2+2−a，当x=0时，ymax=2−a，
当x=−1+ 1+8a2时，函数y=−ax2+2−a取得最小值，而当x=−1+ 1+8a2时，y=−1+ 1+8a2−a，
显然当2−a>0−1+ 1+8a2−a<0，即1要函数f(x)恰有4个零点，必有1当x∈(−∞,−1+ 1+8a2)∪(−1+ 1+8a2,2)时，函数f(x)=ax2+2x−2−a的图象对称轴x=−1a∈(−1,−12)，
则函数f(x)在(−∞,−1+ 1+8a2)上单调递减，在(−1+ 1+8a2,2)上单调递增，
显然f(−1+ 1+8a2)而f(−3a)=9a3−7a−2=7a(a2−1)+2(a3−1)>0,f(2)=3a+2>0，
因此函数f(x)=ax2+2x−2−a在(−∞,−1+ 1+8a2)、(−1+ 1+8a2,2)上各有一个零点，
所以实数a的取值范围是(1,2)．
故答案为：(1,2)
【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键．
17.【答案】解：2723−6163+eln3−lg23⋅lg 32+−20240
=3323−2463+3−lg3lg2⋅lg212lg3+1
=9−4+3−2+1
=7
【解析】结合指数幂与对数运算性质计算即可得．
18.【答案】解：(1)因为x>1，所以x−1>0，
所以y=4x−1+1x−1+4≥2 4x−1×1x−1+4=4+4=8，
当且仅当4x−1=1x−1，即x=32时等号成立，
所以y=4x+1x−1的最小值为8．
(2)因为a,b均为正实数，a+2b=1，
所以a+1>0，b>0，a+1+2b=2，
则4a+1+1b=4a+1+22b=124a+1+22ba+1+2b
=126+8ba+1+a+1b≥126+2 8ba+1⋅a+1b=3+2 2，
当且仅当8ba+1=a+1b，即a=3−2 2,b= 2−1时等号成立，
所以4a+1+1b的最小值为3+2 2．
【解析】(1)先将函数解析式变形，再利用基本不等式求出最值；
(2)结合1的妙用，利用基本不等式求出最值．
19.【答案】解：(1)由题意知，fx=tan2x+φ的图象关于点−π8,0对称，
∴2×−π8+φ=kπ2,k∈Z，
即φ=kπ2+π4,k∈Z．
∵0<φ<π2,∴φ=π4，
故fx=tan2x+π4．
令−π2+kπ<2x+π4<π2+kπ,k∈Z，
得−3π4+kπ<2x<π4+kπ,k∈Z，
即−3π8+kπ2∴函数fx的单调递增区间为−3π8+kπ2,π8+kπ2,k∈Z．
(2)由(1)知，fx=tan2x+π4．
由−1≤tan2x+π4≤ 3，
得−π4+kπ≤2x+π4≤π3+kπ,k∈Z，
即−π4+kπ2≤x≤π24+kπ2,k∈Z．
∴不等式−1≤fx≤ 3的解集为x−π4+kπ2≤x≤π24+kπ2,k∈Z．
【解析】(1)由题意首先根据对称中心求得函数表达式，然后令−π2+kπ<2x+π4<π2+kπ,k∈Z，解不等式组即可得解．
(2)由−1≤tan2x+π4≤ 3，得−π4+kπ≤2x+π4≤π3+kπ,k∈Z，解不等式组即可得解．
20.【答案】解：(1)
f(x)在区间(−∞,+∞)上的单调递增．
证明如下：对任意x1,x2∈(−∞,+∞)，且x1fx1−fx2=a−2ex1+1−a−2ex2+1=2ex2+1−2ex1+1=2ex1−ex2ex1+1ex2+1，
因为y=ex在(0,+∞)单调递增，且x1又ex1+1>0,ex2+1>0，则2ex1−ex2ex1+1ex2+1<0，
即f(x1)−f(x2)<0，所以fx1所以f(x)在区间(−∞,+∞)上单调递增．
(2)假设存在实数a，使函数f(x)为奇函数，
则对任意x∈R，
都有f(−x)+f(x)=a−2e−x+1+a−2ex+1=a−21ex+1+a−2ex+1
=2a−2ex+1ex+1=2a−2=0，解得a=1，
故存在实数a，使函数f(x)是奇函数．
【解析】(1)利用单调性的定义证明函数f(x)的单调性；
(2)假设存在实数a，使函数f(x)为奇函数，由奇函数定义得到等式恒成立，则可求出a．
21.【答案】解：(1)过A，D作水平线l1,l2，作CF⊥l2,DE⊥l1如图，
当倾斜角α=π4时，冰箱倾斜后实际高度(即冰箱最高点到地面的距离)
ℎ=DE+CF=0.8sinπ4+2.4csπ4=8 25<2.3，
故冰箱能够按要求运送入客户家中．
(2)延长EF与直角走廊的边相交于M、N，
则MN=OM+ON=1.8sinβ+1.8csβ，EM=1.2tanβ，FN=1.2tanβ，
又EF=MN−ME−NF，
则EF=1.8sinβ+1.8csβ−1.2(tanβ+1tanβ)=1.8(sinβ+csβ)−1.2sinβcsβ，β∈0,π2．
设t=sinβ+csβ= 2sinβ+π4，
因为β∈0,π2，所以β+π4∈π4,3π4，所以t∈1, 2,
则EF=1.8t−1.212t2−1=65⋅3t−2t2−1，
再令m=3t−2，则EF=65⋅mm+232−1=545⋅1m−5m+4,m∈1,3 2−2,
易知，y=m−5m+4在z 上单调递增，
所以y=545⋅1m−5m+4,m∈1,3 2−2单调递减，
故当m=3 2−2，即t= 2，β=π4时，EF取得最小值18 2−125≈2.69．
由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为2.6米．
【解析】(1)过A，D作水平线l1,l2，作CF⊥l2,DE⊥l1，由ℎ=DE+CF可得；
(2)延长EF与直角走廊的边相交于M、N，由EF=MN−ME−NF表示出EF，设t=sinβ+csβ= 2sinβ+π4进行换元，利用单调性即可求解．
22.【答案】解：(1)∵f1x=9x−2⋅3x=3x−12−1∴f1x的值域为−1,+∞
∴f1x不是R上的有界函数，
f2x=2xx2−2x+3=2x+3x−2
x≥0时，x+3x≥2 3，此时f2x≤ 3−1
x<0时，f2x≥1− 32，此时f2x≤ 3−12∴f2x≤ 3−1
∴f2x是R上的有界函数
(2)gx=lg12x+1x−1=lg121+2x−1，易知gx在区间2,3上单调递增，
∴gx∈−lg23,−1,x∈2,3. ∴gx=lg121+xx−1∈1,lg23，
所以上界M构成的集合为lg23,+∞．
(3)fx=2+m⋅3x1+m⋅3x=1+11+m⋅3x，
当m=0时，fx=2，fx=2，此时M的取值范围是2,+∞,
当m>0时，fx=1+11+m⋅3x在0,1上是单调递减函数，
其值域为fx∈2+3m1+3m,2+m1+m，故fx∈2+3m1+3m,2+m1+m，
此时M的取值范围是2+m1+m,+∞,
当m<0时，1+m⋅3x∈3m+1,m+1，若fx在0,1上是有界函数，
则区间0,1为fx定义域的子集，所以3m+1,m+1不包含0，
所以3m+1>0或m+1<0，解得：m<−1或−13m<0时，fx=1+11+m⋅3x在0,1上是单调递增函数，
此时fx的值域为m+2m+1,3m+23m+1，
①3m+23m+1≥m+2m+1，即m≤−3− 33或−13此时M的取值范围是3m+23m+1,+∞,
②3m+23m+1此时M的取值范围是−m+2m+1,+∞,
综上：当m≥0时，存在上界M，M∈m+2m+1,+∞；
当m≤−1− 33或−13当−1− 33当−1≤m≤−13时，此时不存在上界M．
【解析】(1)根据有界函数的定义判断即可；
(2)先求解函数gx的值域，进而求解gx的取值范围，再根据有界函数的定义确定上界M的取值范围；
(3)先求解函数fx及fx，再根据有界函数的定义，讨论m取不同数值时，函数是否存在上界，并求解出对应的上界范围．
1.cs225∘的值是
( )
A. 22B. −12C. − 22D. − 32
2.已知集合A=xx>1，B=x−1
3.设a=2−0.5，b=120.3，c=lg0.50.3，则a,b,c的大小关系为
( )
A. c
A. −45B. 45C. −35D. 35
5.函数fx=12lg2x−312x的零点所在区间为
( )
A. 0,1B. 1,2C. 2,3D. 3,4
6.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(12)ta(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于
( )
参考数据：lg20.79≈−0.34．
参考时间轴：
A. 战国B. 汉C. 唐D. 宋
7.函数fx=3x3+3sinxex+e−x的大致图象为
( )
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x+1)+f(x)=0”是“f(x)是周期为2的周期函数”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分又不必要条件D. 充要条件
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数a,b,c，其中a>b>1，则下列关系中恒成立的是
( )
A. ab>b2B. ac2
10.已知函数fx=cs2x+π12，则下列说法错误的是
( )
A. 函数fx的最小正周期为π
B. 函数fx的图象关于点1124π,0对称
C. 函数fx的图象关于直线x=−7π24对称
D. 函数fx在0,π4上单调递减
11.水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3,−3 3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x,y)，其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<π2，则下列叙述正确的是
( )
A. 水斗作周期运动的初相为−π3
B. 在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加
C. 在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是3 3
D. 当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
12.一般地，若函数fx的定义域为a,b，值域为ka,kb，则称a,b为fx的“k倍美好区间”，特别地，当k=1时，则称a,b为fx的“完美区间”.则下列说法正确的是
( )
A. 若1,b为函数fx=x2−2x+2的“完美区间”，则b=2
B. 函数fx=lg2x，存在“12倍美好区间”
C. 函数fx=2x−2，不存在“完美区间”
D. 函数fx=2x，有无数个“2倍美好区间”
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若幂函数g(x)=a2+5a+5xa+3在(0,+∞)上单调递增，则a= ．
14.若扇形的周长为10cm，面积为6cm2，圆心角为α0<α<π2，则α= ．
15.已知x1,x2为方程x2−1tanβ−1tanα+βx+23=0的两个实数根，且α,β∈0,π2，x1=3x2，则tanα的最大值为 ．
16.已知函数f(x)=|ax2−|x−2||+x−a，若函数f(x)恰有4个零点，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：2723−6163+eln3−lg23⋅lg 32+−20240．
18.(本小题12分)
(1)已知x>1，求y=4x+1x−1的最小值；
(2)若a,b均为正实数，且满足a+2b=1，求4a+1+1b的最小值．
19.(本小题12分)
已知函数fx=tan2x+φ(0<φ<π2)的图象关于点−π8,0对称．
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求不等式−1≤fx≤ 3的解集．
20.(本小题12分)
对于函数fx=a−2ex+1,a∈R．
(1)判断函数f(x)的单调性，并给出证明；
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？
21.(本小题12分)
网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．
(1)为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角α不能超过π4，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD，AD=0.8m，AB=2.4m，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角α=π4的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．
(2)由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面).推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH，EH=1.2m.设∠PHG=β，当冰箱被卡住时(即点H、G分别在射线PR、PQ上，点O在线段EF上)，尝试用β表示冰箱高度EF的长，并求出EF的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？(结果精确到0.1m)
22.(本小题12分)
若函数fx与区间D同时满足：①区间D为fx的定义域的子集，②对任意x∈D，存在常数M≥0，使得fx≤M成立，则称fx是区间D上的有界函数，其中M称为函数fx的一个上界．(注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明)
(1)试判断函数f1x=9x−2⋅3x，f2x=2xx2−2x+3是否是R上的有界函数；(直接写结论)
(2)已知函数gx=lg12x+1x−1是区间2,3上的有界函数，求函数gx在区间2,3上的所有上界M构成的集合；
(3)对实数m进行讨论，探究函数fx=2+m⋅3x1+m⋅3x在区间0,1上是否存在上界M？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据诱导公式及特殊角的 三角函数值求解
【详解】cs225∘=cs180∘+45∘=−cs45∘=− 22．
故选：C
2.【答案】B
【解析】【分析】根据交集的 概念，求解即可得出答案．
【详解】根据交集的概念可得，A∩B=xx>1∩x−1
3.【答案】B
【解析】【分析】利用指数函数y=2x的单调性得到a
【详解】因为a=2−0.5，b=120.3=2−0.3，易知函数y=2x在R上是增函数，
又−0.5<−0.3<0，所以a
综上，a
4.【答案】D
【解析】【分析】先判断出α+π6+π3−α=π2，然后结合诱导公式求解出结果．
【详解】因为α+π6+π3−α=π2，
所以sinπ3−α=sinπ2−α+π6=csα+π6=35，
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】由函数的单调性，结合零点存在性定理判断选项即可．
【详解】因为fx=12lg2x−312x在0,+∞上为增函数，且f2=12lg22−3122=−14<0，
f3=12lg23−3123=12lg23−38，因为12lg23>12,38<12，所以f3>0，
所以fx=12lg2x−312x的零点所在区间为2,3．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数模型的应用，意在考查学生的应用能力，属于中档题．
根据题意得到函数关系式P=(12)t5730(t>0)，代入数据计算得到答案．
【解答】
解：由已知得12=(12)5730a，所以a=5730，
所以生物体内碳14的含量P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(12)t5730(t>0)，
由题P=(12)t5730=0.79，
∴t5730=lg120.79
∴t=5730×lg120.79=−5730×lg20.79≈1948，
所以2021−1948=73，对应朝代为汉，
故选B．
7.【答案】D
【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及特殊范围即可排除求解．
【详解】由于fx的定义域为R，
又f−x=3−x3+3sin−xe−x+ex=−3x3−3sinxe−x+ex=−fx，
所以fx为奇函数，故可排除AB，
由于当x∈0,π时，sinx>0,x3>0,∴fx=3x3+3sinxex+e−x>0，故排除C，
故选：D
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的周期性、充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
根据函数的周期性，充分条件，必要条件的定义判断即可．
【解答】解：若f(x)+f(x+1)=0成立，则f(x)=−f(x+1)，所以f(x+1)=−f(x+2)，
故f(x)=f(x+2)，即可得f(x)的周期为2，故充分性满足；
而f(x)的周期为2并不一定满足f(x)+f(x+1)=0，
例如函数f(x)=sin(πx)+1，周期为2，但f(0)+f(1)=2，故必要性不满足；
所以“f(x+1)+f(x)=0”是“f(x)是周期为2的周期函数”的充分不必要条件．
故选A．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】根据不等式性质可判断A，C；举反例判断B；利用作差法判断D．
【详解】对于A，由于a>b>1，故a>b两边同乘以b，即ab>b2， A正确；
对于B，当c=0时，ac2>bc2不成立， B错误；
对于C，由于a>b，故a−c>b−c， C正确；
对于D，因为a>b>1，则a−b>0,ab+1>0，
故a+1b−b+1a=a−b⋅ab+1ab>0，故a+1b>b+1a， D正确．
故选：ACD
10.【答案】BC
【解析】【分析】利用三角函数的性质逐个分析选项即可．
【详解】因为fx=cs2x+π12，所以函数的最小正周期T=2π2=π，故 A正确；
f11π24=cs2×11π24+π12=csπ=−1，所以函数fx的图象关于直线x=11π24对称，故 B错误；
f−7π24=cs2×−7π24+π12=cs−π2=csπ2=0，所以fx的图象关于点−7π24,0对称，故 C错误；
若x∈0,π4，则2x+π12∈π12,7π12，因为y=csx在0,π上单调递减，所以fx在0,π4上单调递减，故 D正确．
故选：BC．
11.【答案】AD
【解析】【分析】求出圆的半径R，利用周期求出ω，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质依次判断各选项即可．
【详解】对于A，由A(3,−3 3)，知R= 32+(−3 3)2=6，T=120，所以ω=2πT=π60；
当t=0时，点P在点A位置，有−3 3=6sinφ，解得sinφ=− 32，又|φ|<π2，所以φ=−π3，故 A正确；
对于B，可知f(t)=6sinπ60t−π3，当t∈0,60,π60t−π3∈−π3,2π3，所以函数f(x)先增后减，故 B错误；
对于C，当t∈0,60,π60t−π3∈−π3,2π3，sinπ60t−π3∈− 32,1，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C错误；
对于D，当t=100时，π60t−π3=4π3，P的纵坐标为y=−3 3，横坐标为x=−3，所以|PA|=−3−3=6，故 D正确．
故选：AD．
【点睛】方法点睛：求函数y=Asinωx+φ+B(A>0,ω>0)解析式的步骤：
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A=M−m2，B=M+m2．
(2)求ω，确定函数的周期T，则T=2πω.
(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误．
【详解】因为函数fx=x2−2x+2的对称轴为x=1，故函数fx在1,b单调递增。
所以值域1,b2−2b+2，又1,b为函数fx=x2−2x+2的“完美区间”，
所以b2−2b+2=b，得b=2或b=1，因为b>1，所以b=2，故 A对；
假设函数fx=lg2x，存在“12倍美好区间”设定义域为a,b，值域为12a,12b，
当0
因为fx=2x−2在1,+∞上单调递增，在−∞,1上单调递减，
假设函数fx=2x−2存在“完美区间”a,b，
当a
假设函数fx=2x定义域内任意子区间a,b，
因为fx=2x在R上单调递增，所以值域为2a,2b，故R内任意一个子区间都是fx=2x“2倍美好区间”，故D对
故选：ABD
13.【答案】−1
【解析】【分析】由幂函数定义得a=−4或a=−1，结合幂函数单调递增即可得解．
【详解】由a2+5a+5=1，得a=−4或a=−1．
又gx在0,+∞上单调递增，所以a=−1．
故答案为：−1．
14.【答案】43
【解析】【分析】由扇形的周长和面积公式进行求解即可．
【详解】设扇形的半径为r，
因为扇形的周长为αr+2r=10，扇形的面积为12αr2=6，
由αr+2r=1012αr2=6得，r=2α=3或r=3α=43，又因为0<α<π2，所以α=43．
故答案为：43．
15.【答案】12 2
【解析】【分析】由根与系数的关系及已知x1x2=23x1=3x2可求得x1= 2x2= 23，由x1+x2=1tanβ−1tanα+β=4 23，化简为关于tanβ的一元二次方程，根据方程有解，利用判别式计算即可得出结果．
【详解】因为x1,x2为方程x2−1tanβ−1tanα+βx+23=0的两个实数根，x1=3x2，
所以x1x2=23x1=3x2，解得x1= 2x2= 23，或x1=− 2x2=− 23,
若x1=− 2x2=− 23，则1tanβ−1tanα+β<0即1tanβ<1tanα+β，
因为α,β∈0,π2，故α+β∈0,π，
若α+β>π2，则tanα+β<0，1tanβ<1tanα+β不成立，
若0<α+β<π2，则tanα+β>tanβ，故1tanβ>1tanα+β，
故1tanβ<1tanα+β也不成立，故x1= 2x2= 23,
所以x1+x2=1tanβ−1tanα+β=4 23，则1tanβ−1−tanαtanβtanα+tanβ=4 23，
则tanα+tanβ−1−tanαtanβtanβ=4 23tanα+tanβ⋅tanβ，
化简可得
tanα−4 23tan2β−4 23tanαtanβ+tanα=0，由方程有解，可知：
Δ=329tan2α−4tanαtanα−4 23≥0，即tan2α−12 2tanα≤0．
解得：0≤tanα≤12 2，
则tanα的最大值为12 2．
故答案为：12 2．
16.【答案】(1,2)
【解析】【分析】根据给定条件，讨论当a≤0时，f(x)≥2，当a>0且x≥2时，f(x)>0，确定函数零点只可能在a>0且x<2的情况，再分析含绝对值符号的二次函数即可得解．
【详解】函数f(x)=|ax2−|x−2||+x−a的定义域为R，
当a≤0时，f(x)=−ax2+x−2+x−a=−ax2+2−a,x<2−ax2+2x−2−a,x≥2,
当x<2时，f(x)≥2−a≥2，当x≥2时，f(x)=−a(x2+1)+2x−2≥2x−2≥2，
此时函数f(x)无零点；
当a>0时，f(x)=ax2+x−2+x−a,x<2ax2−x+2+x−a,x≥2,
当x≥2时，若0
若a≥2，函数y=ax2−x+2的图象对称轴x=12a≤14，此函数在[2,+∞)上单调递增，
ax2−x+2≥ax2>0，f(x)=ax2−x+2+x−a=a(x2−1)+2>0，
即当a>0且x≥2时，f(x)>0，函数f(x)无零点；
于是只有当a>0且x<2时，函数f(x)=|ax2+x−2|+x−a才有零点，
当ax2+x−2≤0，即−1+ 1+8a2≤x≤−1+ 1+8a2时，f(x)=−ax2−x+2+x−a=−ax2+2−a，
当x∈[−1+ 1+8a2,−1+ 1+8a2]时，函数y=−ax2+2−a，当x=0时，ymax=2−a，
当x=−1+ 1+8a2时，函数y=−ax2+2−a取得最小值，而当x=−1+ 1+8a2时，y=−1+ 1+8a2−a，
显然当2−a>0−1+ 1+8a2−a<0，即1
则函数f(x)在(−∞,−1+ 1+8a2)上单调递减，在(−1+ 1+8a2,2)上单调递增，
显然f(−1+ 1+8a2)
因此函数f(x)=ax2+2x−2−a在(−∞,−1+ 1+8a2)、(−1+ 1+8a2,2)上各有一个零点，
所以实数a的取值范围是(1,2)．
故答案为：(1,2)
【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键．
17.【答案】解：2723−6163+eln3−lg23⋅lg 32+−20240
=3323−2463+3−lg3lg2⋅lg212lg3+1
=9−4+3−2+1
=7
【解析】结合指数幂与对数运算性质计算即可得．
18.【答案】解：(1)因为x>1，所以x−1>0，
所以y=4x−1+1x−1+4≥2 4x−1×1x−1+4=4+4=8，
当且仅当4x−1=1x−1，即x=32时等号成立，
所以y=4x+1x−1的最小值为8．
(2)因为a,b均为正实数，a+2b=1，
所以a+1>0，b>0，a+1+2b=2，
则4a+1+1b=4a+1+22b=124a+1+22ba+1+2b
=126+8ba+1+a+1b≥126+2 8ba+1⋅a+1b=3+2 2，
当且仅当8ba+1=a+1b，即a=3−2 2,b= 2−1时等号成立，
所以4a+1+1b的最小值为3+2 2．
【解析】(1)先将函数解析式变形，再利用基本不等式求出最值；
(2)结合1的妙用，利用基本不等式求出最值．
19.【答案】解：(1)由题意知，fx=tan2x+φ的图象关于点−π8,0对称，
∴2×−π8+φ=kπ2,k∈Z，
即φ=kπ2+π4,k∈Z．
∵0<φ<π2,∴φ=π4，
故fx=tan2x+π4．
令−π2+kπ<2x+π4<π2+kπ,k∈Z，
得−3π4+kπ<2x<π4+kπ,k∈Z，
即−3π8+kπ2
(2)由(1)知，fx=tan2x+π4．
由−1≤tan2x+π4≤ 3，
得−π4+kπ≤2x+π4≤π3+kπ,k∈Z，
即−π4+kπ2≤x≤π24+kπ2,k∈Z．
∴不等式−1≤fx≤ 3的解集为x−π4+kπ2≤x≤π24+kπ2,k∈Z．
【解析】(1)由题意首先根据对称中心求得函数表达式，然后令−π2+kπ<2x+π4<π2+kπ,k∈Z，解不等式组即可得解．
(2)由−1≤tan2x+π4≤ 3，得−π4+kπ≤2x+π4≤π3+kπ,k∈Z，解不等式组即可得解．
20.【答案】解：(1)
f(x)在区间(−∞,+∞)上的单调递增．
证明如下：对任意x1,x2∈(−∞,+∞)，且x1
因为y=ex在(0,+∞)单调递增，且x1
即f(x1)−f(x2)<0，所以fx1
(2)假设存在实数a，使函数f(x)为奇函数，
则对任意x∈R，
都有f(−x)+f(x)=a−2e−x+1+a−2ex+1=a−21ex+1+a−2ex+1
=2a−2ex+1ex+1=2a−2=0，解得a=1，
故存在实数a，使函数f(x)是奇函数．
【解析】(1)利用单调性的定义证明函数f(x)的单调性；
(2)假设存在实数a，使函数f(x)为奇函数，由奇函数定义得到等式恒成立，则可求出a．
21.【答案】解：(1)过A，D作水平线l1,l2，作CF⊥l2,DE⊥l1如图，
当倾斜角α=π4时，冰箱倾斜后实际高度(即冰箱最高点到地面的距离)
ℎ=DE+CF=0.8sinπ4+2.4csπ4=8 25<2.3，
故冰箱能够按要求运送入客户家中．
(2)延长EF与直角走廊的边相交于M、N，
则MN=OM+ON=1.8sinβ+1.8csβ，EM=1.2tanβ，FN=1.2tanβ，
又EF=MN−ME−NF，
则EF=1.8sinβ+1.8csβ−1.2(tanβ+1tanβ)=1.8(sinβ+csβ)−1.2sinβcsβ，β∈0,π2．
设t=sinβ+csβ= 2sinβ+π4，
因为β∈0,π2，所以β+π4∈π4,3π4，所以t∈1, 2,
则EF=1.8t−1.212t2−1=65⋅3t−2t2−1，
再令m=3t−2，则EF=65⋅mm+232−1=545⋅1m−5m+4,m∈1,3 2−2,
易知，y=m−5m+4在z 上单调递增，
所以y=545⋅1m−5m+4,m∈1,3 2−2单调递减，
故当m=3 2−2，即t= 2，β=π4时，EF取得最小值18 2−125≈2.69．
由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为2.6米．
【解析】(1)过A，D作水平线l1,l2，作CF⊥l2,DE⊥l1，由ℎ=DE+CF可得；
(2)延长EF与直角走廊的边相交于M、N，由EF=MN−ME−NF表示出EF，设t=sinβ+csβ= 2sinβ+π4进行换元，利用单调性即可求解．
22.【答案】解：(1)∵f1x=9x−2⋅3x=3x−12−1∴f1x的值域为−1,+∞
∴f1x不是R上的有界函数，
f2x=2xx2−2x+3=2x+3x−2
x≥0时，x+3x≥2 3，此时f2x≤ 3−1
x<0时，f2x≥1− 32，此时f2x≤ 3−12∴f2x≤ 3−1
∴f2x是R上的有界函数
(2)gx=lg12x+1x−1=lg121+2x−1，易知gx在区间2,3上单调递增，
∴gx∈−lg23,−1,x∈2,3. ∴gx=lg121+xx−1∈1,lg23，
所以上界M构成的集合为lg23,+∞．
(3)fx=2+m⋅3x1+m⋅3x=1+11+m⋅3x，
当m=0时，fx=2，fx=2，此时M的取值范围是2,+∞,
当m>0时，fx=1+11+m⋅3x在0,1上是单调递减函数，
其值域为fx∈2+3m1+3m,2+m1+m，故fx∈2+3m1+3m,2+m1+m，
此时M的取值范围是2+m1+m,+∞,
当m<0时，1+m⋅3x∈3m+1,m+1，若fx在0,1上是有界函数，
则区间0,1为fx定义域的子集，所以3m+1,m+1不包含0，
所以3m+1>0或m+1<0，解得：m<−1或−13
此时fx的值域为m+2m+1,3m+23m+1，
①3m+23m+1≥m+2m+1，即m≤−3− 33或−13
②3m+23m+1
综上：当m≥0时，存在上界M，M∈m+2m+1,+∞；
当m≤−1− 33或−13
【解析】(1)根据有界函数的定义判断即可；
(2)先求解函数gx的值域，进而求解gx的取值范围，再根据有界函数的定义确定上界M的取值范围；
(3)先求解函数fx及fx，再根据有界函数的定义，讨论m取不同数值时，函数是否存在上界，并求解出对应的上界范围．
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