专题12圆与三角函数、相似问题（最新模拟预测40题）-【临考预测】2023中考数学重难题型押题培优【全国通用】

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一、解答题
1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，D是AB的中点， ∠FAC=12∠BDC．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若BC=6,sinB=45，求⊙O的半径及OD的长．
2．（2023·河南安阳·统考一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD是⊙O的直径，E是DA长线上一点，且∠CED=∠CAB．
(1)判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若DE=35，tanB=12，求线段CE的长．
3．（2023·河南安阳·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，AB=5，点D是⊙O外一点，连接DB交⊙O于点C，连接OC，AC，AD，已知∠D+12∠AOC=90°．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若sinB=35，求线段CD的长．
4．（2023·广西南宁·校考一模）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，连结AC，AF，OC，AC平分∠FAB，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若tan∠DAC=12，AB=10，求线段DF的长．
5．（2023·福建福州·统考模拟预测）如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60°．直线l过点C，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．
(1)求证：直线l是⊙O的切线；
(2)若AF=43，求图中阴影部分的面积．
6．（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，C，E在⊙O上，AC平分∠EAB，CD⊥AE，垂足为D，DC，AB的延长线交于点F．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若DE=1,AE=2，求图中阴影部分的面积．
7．（2023·广西防城港·校考一模）如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC=AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．
(1)求证：FG与⊙O相切；
(2)连接EF，求tan∠EFC的值．
8．（2023·北京西城·校考一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且点E为CD的中点．点F在弧AD上，过点F作⊙O的切线交CD的延长线于点G，交BA的延长线于点P，BF与CD交于点H．
(1)求证：∠G=2∠B；
(2)若⊙O的半径为4，sinG=35，求BF的长．
9．（2023·福建漳州·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在BA延长线上，点D在⊙O上，连接CD，AD，∠ADC=∠B，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若S△COF:S△CBD=9:16，求sinC的值．
10．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如图，AB是⊙O的直径，已知点D是弧BC的中点，连接DO并延长，在延长线上有一点E，连接AE，且∠E=∠B．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)连接AC，若AC=6，CF=4，求OE的长．
11．（2023·福建龙岩·校考一模）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
(1)动手操作：利用尺规作∠ABC的平分线，交AC于点O，再以O为圆心，OC的长为半径作⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)综合运用：请根据所作的图，若AC=8，sin∠OBC=13，求OB的长．
12．（2023·浙江宁波·统考一模）△ABC内接于⊙O，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于点D，连接BD，已知BC=6，∠BAC=α
(1)连接BI，CI，则∠BIC=______（用含有α的代数式表示）
(2)求证：BD=DI；
(3)连接OI，若tanα2=34，求OI的最小值
(4)若tanα2=33，△ABE为等腰三角形，直接写出AB的值．
13．（2023·吉林松原·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D，连接CE．
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若CD=3,BC=23，求AC的长（结果保留π）．
14．（2023·云南昆明·昆明八中校考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上的一动点（不写点A，点B重合），点C是AB延长线上的一点，连接PA，PB，PC，且有∠CPB=∠PDB，作∠APB的平分线PD交⊙O于点D，交AB于点E．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)【问题探究】若PC=23，∠C=30°，则PE⋅PD的值为________；
(3)【拓展延伸】若PC=m，∠C=α，求PE⋅PD的值．（用含m和α的代数式表示）
15．（2023·北京海淀·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为⊙O外一点，连接AC，BC，BD，CD，满足BC=BD，∠CBD=2∠CBA．
(1)证明：直线CD为⊙O的切线；
(2)射线DC与射线BA交于点E，若AB=6，sinE=13，求BD的长．
16．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)连接BE，求证：BE2=EH⋅EA；
(3)若⊙O的半径为10，sinA=35，求BH的长．
17．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考一模）已知：AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，连接AC、AD，且∠CAB=∠DAB；
(1)如图①，求证：AC=AD；
(2)如图②，连接CD交AB于点M，点E、G在CM上，点F在BM上，连接EF、BG交于点H，若H为BG的中点，且EG=BF，求tan∠EFM的值；
(3)如图③，在（2）的条件下，连接DF，且DF∥AC，连接AG并延长交EF于点P，若∠GAB=∠PHG，AC=10，求线段PG的长．
18．（2023·广东·统考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC，垂足为F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)求证：CE2=EH⋅EA；
(3)若⊙O的半径为52，sinA=35，求BH和DF的长．
19．（2023·北京丰台·北京市第十二中学校考一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且AD=DC．过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F，且CF=DC，求sin∠CAE的值．
20．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为底边BC的中点，AB切⊙O于点D，连接OD，⊙O交BC于点M，N．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)∠B=42°，①若OD=4，求劣弧DM的长；
②如图2，连接DM，若DM=4，直接写出OD的长．
（参考数据：sin24°取0.4，cs24°取0.9，tan24°取0.45）
21．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC并交BC于点E，点O在AB上，经过点A，E的半圆O分别交AC，AB于点F，D，连接ED．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)判断∠DEB和∠EAB的数量关系，并说明理由；
(3)若⊙O的半径为5，AC=8，求点E到直线AB的距离．
22．（2023·安徽合肥·统考一模）已知等腰△ABC，AB=AC，且BC=CD，连接AD交BC于点E，以DE为直径的⊙O上有一点F，使得EF=DF，连接CF交DE于点G，若∠BAD=90°．
(1)判断AC与⊙O的关系，并说明理由；
(2)若CE=1，求CF⋅GF的值．
23．（2023·河南周口·统考一模）如图，已知点D是⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE=DE．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AC=4，sinC=13，
①求⊙O的半径；
②求BD的长．
24．（2023·河南郑州·统考一模）如图，点O在△ABC的边AB上，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别交于点D，F，且DE=EF．
(1)求证：∠C=90°；
(2)当BC=3,AC=4时，求⊙O半径的长．
25．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，连接EC并延长，AD垂直EC于点D．
(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，BE=2，求线段AD的长．
26．（2023·黑龙江大庆·校考一模）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．
(1)如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI；
(2)如图2，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；
(3)如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：GF=GH．
27．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E，与⊙O相交于点F，连接BF．
(1)求证：BD=BE；
(2)若DE=2，BD= 5，求AE的长．
28．（2023·山东聊城·统考一模）如图，⊙O的弦AB，CD交于点E，连接AC，BC，延长DC到点P，连结PB，PB与⊙O相切，且PB=PE．
(1)求证：点A是CD的中点；
(2)若AE=BE，AC=4，求AE的长．
29．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图1，抛物线y=ax2+3ax（a为常数，a<0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．
(1)①求点A的坐标；
②求证：CE=DE；
(2)如图2，连接AB，AC，BE，BO，当a=−233，∠CAE=∠OBE时，
①求证：AB2=AC⋅BE；
②求1OD−1OE的值．
30．（2023·陕西咸阳·校考二模）如图，EF是⊙O的直径，点A为线段OF上一点，点B为AE的中点，过点B作BC⊥EF交⊙O于点C，连接AC、CE，过点E作⊙O的切线ED交AC的延长线于点D．
(1)求证：CD=CE；
(2)若OA=2OB=2，求DE的长．
31．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD．
(1)求证：FD是⊙O的一条切线；
(2)若FA=5,AB=15，连接AD、DB，请问ADDB是一个定值吗？若是定值，请求出这个定值，并对结论加以证明；
(3)在（2）的条件下，求BD、BC的长．
32．（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）AB、AC为圆O的弦，OA平分∠BAC．
(1)如图1，求证：AB=AC；
(2)如图2，连接BO并延长交圆O于点F，连接AF，作BG⊥AC于点G，延长AO交BG于点M，求证：AF=BM；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接OG，延长BG交圆O于点D，连接CD并延长，与AF的延长线交于点K，AB=2FK，BC=6，求OG的长．
33．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点D是劣弧AC的中点，连接AC、BC、BD，AC与BD交于点E，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点F．
(1)求证：AE=AF；
(2)若AB=4，BC=1，求AF的长．
34．（2023·山东济宁·济宁市第十三中学校考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线，并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．
(1)求证：∠CAD=∠CDE；
(2)若AB=2，AC=22，求AE的长．
35．（2023·山东济宁·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD=∠B．
(1)求证：DC为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，sinB=35，求AD的长．
36．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD
(1)求证：FD是⊙O的切线；
(2)若AB=10，BC=6，求DF的长．
37．（2023·广东东莞·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F，G为AB的下半圆弧的中点，DG交AB于H，连接DB、GB．
(1)证明：EF是⊙O的切线；
(2)若圆的半径R=5，BH=3，求GH的长；
(3)求证：DF2=AF⋅BF．
38．（2023·广西贵港·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BM是边AC的中线，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE，⊙O是△DBE的外接圆，点P是DE的中点，连接PB交DE于点H．
(1)求证：BM是⊙O的切线；
(2)若AB=1，∠BAC=60°，求PH⋅PB的值．
39．（2023·湖南永州·校考一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
(1)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证；BC2=CD⋅AC
(3)若cs∠BAD=35，BE=6，求OE的长．
40．（2023·江苏盐城·校联考模拟预测）如图，DE是⊙O的直径，CA为⊙O的切线，切点为C，交DE的延长线于点A，点F是⊙O上的一点，且点C是弧EF的中点，连接DF并延长交AC的延长线于点B．
(1)求证：∠ABD=90°；
(2)若BD=3，tan∠DAB=34，求⊙O的半径．