2023-2024学年广东省河源市江东新区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省河源市江东新区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列计算，正确的是( )
A. 2 3+2 2=2 5B. 2 3×2 2=2 6
C. 8÷ 2=2D. (−2)2=−2
2.在Rt△ABC中，斜边BC=5，则AB2+AC2+BC2的值为( )
A. 15B. 25C. 50D. 无法计算
3.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 两直线平行，内错角相等B. 如果a=b，那么a2=b2
C. 钝角三角形中有两个锐角D. 对顶角相等
4.点A(x1,y1)和B(x2,y2)都在直线y=−5x+1上，且x1A. y1≤y2B. y1≥y2C. y1y2
5.如图，下列条件中不能判定AB/​/CD的是( )
A. ∠3=∠4B. ∠1=∠5C. ∠1+∠4=180°D. ∠3=∠5
6.点P(−2,1)与点Q(a,b)关于直线y=−1对称，则点Q的坐标为( )
A. (−2,−3)
B. (−2,−1)
C. (−2,−2)
D. (−2,−4)
7.甲乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为S甲2=2.56，
S乙2=1.92，那么成绩比较整齐的班级是( )
A. 甲班B. 乙班C. 两班一样整齐D. 无法确定
8.如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长5m，高3m的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3m，则共需购买红地毯( )
A. 21m2B. 45m2C. 24m2D. 12m2
9.甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的距离y(km)与时间x(h)的函数图象，有以下结论：
①m=1；
②a=40；
③甲车从A地到B地共用了7小时；
④当两车相距50km时，乙车用时为14h.其中正确结论的个数是．( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.写出一个解为x=1y=2的二元一次方程组______．
11.如图，在原点为O的数轴上，作一个两直角边长分别是1和2，斜边为OB的直角三角形，点A在点O左边的数轴上，且OA=OB，则点A表示的实数是______．
12.直线y=kx+b平行于直线y=3x，且过点(1,−2)，则其解析式为 ．
13.在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处(离树20米)的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______米．
14.如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=kx+b相交于点P(2,a)，则方程组y=2x+1y=kx+b的解为______．
15.如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2022，则∠A2023= ______°.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算： 12+ 27．
17.(本小题8分)
计算：( 13+3)( 13−3)．
18.(本小题8分)
解方程组：2x−y=3x+3y=5．
19.(本小题8分)
计算：( 5+ 3)( 5− 3)−|3−2 3|+(5−2π)0．
20.(本小题8分)
已知∠ABC=50°，D为AB上一点，DE/​/BC．
(1)尺规作图：在边BC上求作一点F，使得EF/​/AB；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)求∠DEF的度数．
21.(本小题8分)
已知：如图AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，∠BAC=70°．
(1)AB与DG平行吗？为什么？
(2)求∠DGA的度数．
22.(本小题8分)
西川实验学校为调查本校学生周末平均每天做作业所用时间的情况，随机调查了50名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分.请根据以上信息．
解答下列问题：
(1)请你补全条形统计图；
(2)在这次调查的数据中，做作业所用时间的众数是______小时，中位数是______小时，平均数是______小时；
(3)若该校共有1500名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生每天做作业时间在3小时内(含3小时)同学共有多少人？
23.(本小题8分)
为迎接：“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
(1)求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
(2)该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中买A型垃圾箱不超过16个．
①求购买垃圾箱的总花费w(元)与A型垃圾箱x(个)之间的函数关系式；
②当买A型垃圾箱多少个时总费用最少，最少费用是多少？？
24.(本小题8分)
如图，正比例函数y=−3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P(m,3)，一次函数图象经过点B(1,1)，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
(1)求一次函数表达式；
(2)求D点的坐标；
(3)求△COP的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：2 3、2 2不是同类二次根式，不能进行加减，故选项A错误，不符合题意；
2 3×2 2=4 6，故选项B错误，不符合题意；
8÷ 2= 8÷2= 4=2，故选项C正确，符合题意；
(−2)2=2，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题主要考查二次根式的性质及运算，掌握运算法则是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵在Rt△ABC中，斜边BC=5，
∴AB2+AC2=BC2=25，
∴AB2+AC2+BC2=25+25=50，
故选：C．
由直角三角形的性质可得AB2+AC2=BC2=25，即可求解．
本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合题意；
B、如果a=b，那么a2=b2的逆命题是如果a2=b2，那么a=b，逆命题是假命题，不符合题意；
C、钝角三角形中有两个锐角的逆命题是有两个锐角的三角形是钝角三角形，逆命题是假命题，不符合题意；
D、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；
故选：A．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
4.【答案】D
【解析】解：对于直线y=−5x+1，
∵k=−5<0，
∴该函数值y随x的增大而减小，
又∵x1∴y1>y2．
故选：D．
根据题意，确定还函数图象的增减性，即可获得答案．
本题主要考查了函数值比较大小，理解并掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：∠3=∠5是同旁内角相等，但不一定互补，所以不能判定AB/​/CD．
故选：D．
由平行线的判定定理易知A、B都能判定AB/​/CD；
选项C中可得出∠1=∠5，从而判定AB/​/CD；
选项D中同旁内角相等，但不一定互补，所以不能判定AB/​/CD．
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
6.【答案】A
【解析】解：∵点P(−2,1)与点Q(a,b)关于直线y=−1对称，
∴1+b2=−1，
解得：b=−3，
∴点Q的横坐标为a=−2，纵坐标为b=−3，
∴点Q的坐标为(−2,−3)，故A正确．
故选：A．
根据轴对称的性质进行解答即可．
本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
7.【答案】B
【解析】解：∵S甲2=2.56，S乙2=1.92，
∴S甲2>S乙2，
∴成绩较为整齐的是乙班．
故选B．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，图中直角三角形一直角边为3m，斜边为5m，
根据勾股定理，可得另一直角边长为 52−32=4m，
则需购买红地毯的长为4+3=7m，
又因为红地毯的宽，即台阶的宽为3m，
所以共需购买红地毯3×7=21m2．
故选：A．
首先利用勾股定理解得图中直角三角形的另一直角边长，进而可得所需购买红地毯的总长度，即可获得答案．
本题主要考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息求出地毯的长度是解题关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是从图形中获得必要的信息进行计算，运用待定系数法求一次函数的解析式．解答此类试题时，需要掌握建立函数模型的方法以及采用分段函数解决问题的思想．
①由函数图象中的信息求出m的值；
②根据“路程÷时间=速度”求出甲的速度，并求出a的值；
③求出甲车行驶的路程y与时间x之间的解析式解答；
④根据甲、乙两车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可．
【解答】
解：由题意，得m=1.5−0.5=1，故①结论正确；
120÷(3.5−0.5)=40(km/h)，则a=40，故②结论正确；
设甲车休息之后行驶路程y(km)与时间x(h)的函数关系式为y=kx+b，由题意，得：
40=1.5k+b120=3.5k+b，
解得k=40b=−20，
∴y甲=40x−20，
当y=260时，260=40x−20，
解得：x=7，
∴甲车从A地到B地共用了7小时，故③结论正确；
当1.5设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k′x+b′，由题意得：
0=2k′+b′120=3.5k′+b′，
解得k′=80b′=−160，
∴y乙=80x−160，
当40x−20−50=80x−160时，
解得：x=94，
当40x−20+50=80x−160时，
解得：x=194，
∴94−2=14，194−2=114，
所以乙车行驶14小时或114小时，两车恰好相距50km，故④结论错误．
∴正确结论的个数是3个．
故选：B．
10.【答案】x+y=3x−y=−1.(答案不唯一)
【解析】解：由1+2=3，1−2=−1.列出方程组得x+y=3x−y=−1．
故答案为：x+y=3x−y=−1.(答案不唯一)．
所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时应先围绕x=1y=2列一组算式，然后用x，y代换即可
本题主要考查的是二元一次方程组的解的定义，此题是开放题，要学生理解方程组的解的定义，围绕解列不同的算式即可列不同的方程组．
11.【答案】− 5
【解析】解：由题知，在直角三角形中，根据勾股定理得，
直角三角形的斜边OB= 12+22= 5，
则OA=OB= 5，
∵如图，点A是以原点O为圆心 5为半径作弧与数轴的交点，
∴点A表示的数为− 5．
故答案为：− 5．
根据勾股定理求出直角三角形斜边OB的长度，也就求出了OA的长，结合图中点A的位置确定点A表示的数．
本题考查了实数与数轴，根据勾股定理确定斜边的长度，即确定OA的长度是解答本题的关键．
12.【答案】y=3x−5
【解析】【分析】
本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．先利用两直线平行问题得到k=3，然后把(1,−2)代入y=3x+b求出b即可．
【解答】
解：∵直线y=kx+b平行于直线y=3x，
∴k=3，
∴直线y=kx+b的解析式为y=3x+b，
把点(1,−2)代入得，−2=3+b，
解得，b=−5，
∴该直线的解析式是y=3x−5
故答案为y=3x−5．
13.【答案】15
【解析】【分析】
把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．
根据两只猴子所经过的距离相等，将两只猴子所走的路程表示出来，根据勾股定理列出方程求解．
【解答】
解：设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．
由勾股定理得：x2+202=[30−(x−10)]2，解得x=15米．
故这棵树高15米．
故答案为15．
14.【答案】x=2y=5
【解析】解：∵y=2x+1经过P(2,a)，
∴a=2×2+1=5，
∴直线l1：y=x+2与直线l2：y=kx+b相交于点P(2,5)，
即x=2y=5，
故答案为：x=2y=5．
由两条直线的交点坐标(2,a)，先求出a，再求出方程组的解即可．
本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型．
15.【答案】m22023
【解析】解：∵∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD．
∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∴∠A1=∠A1CD−∠A1BC
=12∠ACD−12∠ABC
=12(∠ACD−∠ABC)．
∵∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A1=12(∠ABC+∠A−∠ABC)
=12∠A
=12m°．
同理可得：∠A2=12∠A1=122m°，
∠A3=12∠A2=123m°...
∴∠A2023=122023m°=(m22023)°．
故答案为：m22023．
利用角平分线的性质和三角形外角与内角的关系，先用m°表示出∠A1、∠A2并找出规律，再利用规律得到结论．
本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的外角与内角的关系及角平分线的性质是解决本题的关键．
16.【答案】解：原式=2 3+3 3
=5 3．
【解析】首先将 12和 27化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
本题主要考查了二次根式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
17.【答案】解：原式=( 13)2−32
=13−9
=4．
【解析】利用平方差公式进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算及平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键．
18.【答案】解：2x−y①x+3y②，
由①得y=2x−3③，
把③代入②，得x+3(2x−3)=5，
解得x=2．
把x=2代入③，得y=1．
∴这个方程组的解为x=2y=1．
【解析】用代入消元法求解即可．
本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
19.【答案】解：( 5+ 3)( 5− 3)−|3−2 3|+(5−2π)0
=5−3−(2 3−3)+1
=3−2 3+3
=6−2 3．
【解析】分别利用平方差公式、绝对值及零指数幂计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，绝对值及零指数幂，掌握平方差公式是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，点F即为所求；

(2)∵DE/​/BC，∠ABC=50°，
∴∠ADE=∠ABC=50°，
∵EF//AB，
∴∠DEF=∠ADE=50°．
【解析】(1)过点E作AB得平行线交BC于点F即可；
(2)根据平行线的性质，先求∠ADE，再求∠DEF即可．
本题考查了平行线的作图，以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)AB//DG，理由如下：
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADC=∠FEC=90°，
∴AD/​/EF，
∴∠1=∠DAB，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠DAB，
∴AB//DG；
(2)∵AB//DG，
∴∠DGA+∠BAC=180°，
∵∠BAC=70°，
∴∠DGA=110°．
【解析】(1)求出AD/​/EF，根据平行线的性质得出∠1=∠DAB，求出∠2=∠DAB，根据平行线的判定得出即可；
(2)根据平行线的性质得出∠DGA+∠BAC=180°，代入求出即可．
本题考查了平行线的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
22.【答案】3 3 3
【解析】解：(1)每天作业用时是4小时的人数是：50−6−12−16−8=8(人)，
补全条形统计图如图所示：
(2)∵每天作业用时是3小时的人数最多，是16人，
∴众数是3小时；
∵从小到大排列后排在第25和第26位的都是每天作业用时是3小时的人，
∴中位数是3小时；
平均数是6+12×2+16×3+8×4+8×550=3(小时)，
故答案为：3，3，3；
(3)1500×6+12+1650=1020(人)，
故估计该校全体学生每天作业时间在3小时内(含3小时)的同学共有1020人．
(1)用样本容量减已知各部分的人数，求出平均每天作业用时是4小时的人数，然后补全统计图；
(2)利用众数，中位数，平均数的定义即可求解；
(3)利用总人数1500乘以每天做作业时间在3小时内(含3小时)的同学所占的比例，即可求解．
本题考查的是条形统计图，平均数、中位数、众数的求法和用样本估计总体的知识，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)设每个A型垃圾箱m元，每个B型垃圾箱n元，
根据题意得：3m+2n=5402m+160=3n，
解得：m=100n=120．
答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元．
(2)①设购买x个A型垃圾箱，则购买(30−x)个B型垃圾箱，
根据题意得：w=100x+120(30−x)=−20x+3600(0≤x≤16且x为整数)．
②∵w=−20x+3600中k=−20<0，
∴w随x值增大而减小，
∴当x=16时，w取最小值，最小值=−20×16+3600=3280．
答：买16个A型垃圾箱总费用最少，最少费用是3280元．
【解析】(1)设每个A型垃圾箱m元，每个B型垃圾箱n元，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元”，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)①设购买x个A型垃圾箱，则购买(30−x)个B型垃圾箱，根据总价=单价×购进数量，即可得出w关于x的函数关系式；
②利用一次函数的性质解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)①根据各数量间的关系，找出w关于x的函数关系式；②利用一次函数的性质，解决最值问题．
24.【答案】解：(1)∵正比例函数y=−3x的图象过点P(m,3)，
∴3=−3m，
解得：m=−1，
∴P(−1,3)，
∵一次函数y=kx+b的图象过点P(−1,3)，B(1,1)，
∴3=−k+b1=k+b，
解得：k=−1b=2，
∴一次函数表达式为y=−x+2；
(2)由(1)知一次函数表达式是y=−x+2，
令x=0，则y=2，
∴点D(0,2)．
(3)由(1)知，一次函数表达式为y=−x+2，
令y=0，−x+2=0，
解得：x=2，
∴C(2,0)，
∴OC=2，
∴S△COP=12×2×3=3．
【解析】(1)将点P(m,3)代入正比例函数y=−3x中，可得m=−1，则P(−1,3)，再根据一次函数y=kx+b的图象过点P(−1,3)，B(1,1)，直接利用待定系数法即可求解；
(2)令x=0，求出y，即可得答案；
(3)先求出C(2,0)，利用三角形面积公式即可得答案．
本题主要考查用待定系数法求一次函数的解析式，两直线相交问题，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键．