2023-2024学年广东省河源市紫金县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省河源市紫金县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在下列各组数中，是勾股数的是( )
A. 1，2，3B. 0.3，0.4，0.5C. 6，8，10D. 4，5，6
2.下列计算正确的是( )
A. (−3)2=−3B. 2+ 3= 5
C. 5 3×5 2=5 6D. 8÷ 2=2
3.若点P在x轴的下方、y轴的左方，到每条坐标轴的距离都是5，则点P的坐标为( )
A. (5,5)B. (−5,5)C. (−5,−5)D. (5,−5)
4.在直角坐标系中，点M(3,−3)关于x轴对称的点是( )
A. (3,−3)B. (3,3)C. (−3,3)D. (−3,−3)
5.如图，下列条件中，不能判断直线a/​/b的是( )
A. ∠1+∠3=180°
B. ∠2=∠3
C. ∠4=∠5
D. ∠4=∠6
6.下列关于直线y=−3x+1的结论中，正确的是( )
A. 图象必经过点(1,−4)B. 图象经过一、二、三象限
C. 当x>1时，y<−2D. y随x的增大而增大
7.已知x=1,y=−1和x=2,y=1是二元一次方程ax+by=3的两个解，则a，b的值分别为( )
A. 2，−1B. −2，1C. −1，2D. 1，−2
8.某校篮球队有14名队员，队员的年龄情况统计如下表：
则这14名队员年龄的中位数和众数分别是( )
A. 17，16B. 16.5，17C. 16，17D. 16.5，16
9.某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是( )
A. 310元B. 300元C. 290元D. 280元
10.两条直线y1=mx−n与y2=nx−m在同一坐标系中的图象可能是图中的( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.比较大小：4 15(填“>”或“<”)
12.有一组数据：1，3，5，则这组数据的方差是______．
13.若|a−3|+ b+5=0，则a−b的立方根是______．
14.如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=20°，则∠2的度数是 ．
15.我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱，问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为y钱，可列方程组为______．
16.如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为(1,0)，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作第一个正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为点A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作第二个正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为点A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作第三个正方形A3B3C3D3，…，依此类推，则第2024个正方形A2024B2024C2024D2024的面积是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：( 3+ 2)2− 24+ 13．
18.(本小题4分)
解二元一次方程组：2x−y=5①5x+3y=7②．
19.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(−3,2)，B(−4,−3)，C(−2,−2)．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)在y轴上有一点P，则PA+PB的最小值是______．
20.(本小题6分)
某校八年级260名学生开展“好书伴成长”读书活动，要求每人每学期至少阅读4～7本课外读物，学期结束后随机抽查了若干名学生每人阅读课外书的数量，并分为四种类型，A：4本；B：5本；C：6本；D：7本，将各类的人数绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图．
(1)求这次被调查学生的人数；
(2)写出被调查学生每人阅读课外书数量的众数、中位数；
(3)求被调查学生每人阅读课外书数量的平均数，并估计这260名学生阅读课外书的总数．
21.(本小题8分)
电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法.若某户居民每月应交电费y(元)与用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题：
(1)分别求出当0≤x≤100和x>100时，y与x的函数关系式；
(2)若该用户某月用了72度电，则应缴费多少元？
(3)若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？
22.(本小题10分)
(1)如图1，在△ABC中，AC=13，AD=5，CD=12，BC=20，求△ABC的面积；
(2)如图2，在△EFG中，EF=13，EG=20，FG=11，求△EFG的面积．
23.(本小题10分)
如图，E为AC上一点，AC⊥BC，AC⊥AD，AB=DE，AB，DE交于点F，且AB⊥DE．
(1)判断线段BC，DA，CE的数量关系，并说明理由；
(2)连接BD，BE，若设BC=a，AC=b，AB=c，利用此图证明勾股定理．
24.(本小题12分)
已知在△ABC中，∠A=70°，∠ACB=36°，D为边BC延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点．
(1)如图，连接CE，
①若CE/​/AB，求∠BEC的度数；
②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数．
(2)若直线CE垂直于△ABC的一边，求∠BEC的度数．
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过点A(−1,3)的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB=OC，直线AD交x轴负半轴于点D(−3,0)．

(1)直线AB的解析式为______；直线AD的解析式为______；
(2)横坐标为m的点P在线段AB上(不与点A，B重合)，过点P作x轴的平行线交AD于点E，设PE的长为y(y≠0)，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、∵12+22≠32，
∴这组数不是勾股数，不符合题意；
B、∵0.3，0.4，0.5，不是正整数，
∴这组数不是勾股数，不符合题意；
C、∵62+82=102，
∴这组数是勾股数，符合题意；
D、∵42+52≠62，
∴这组数不是勾股数，不符合题意．
故选：C．
根据勾股数的概念，逐一判断选项，从而得到答案．
本题主要考查勾股数的概念，熟练掌握“若a2+b2=c2，且a，b，c是正整数，则a，b，c是勾股数”，是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、原式=3，所以A选项错误；
B、 2与 3不能合并，所以B选项错误；
C、原式=25 6，所以C选项错误；
D、原式= 8÷2=2，所以D选项正确．
故选：D．
根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减运算对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3.【答案】C
【解析】解：∵点P在x轴的下方、y轴的左方，
∴点P在第三象限，横纵坐标皆为负，
∵到每条坐标轴的距离都是5，
∴P(−5,−5)，
故选：C．
根据点P在x轴的下方、y轴的左方，确定点P的象限，再根据到每条坐标轴的距离都是5，即可确定点P的坐标．
本题考查平面直角坐标系中点的特点，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：点M(3,−3)关于x轴对称的点是(3,3)．
故选：B．
直接利用关于x轴对称点的性质，进而得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标关系是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：A.由∠1+∠3=180°，∠1+∠2=180°，可得∠2=∠3，故能判断直线a/​/b；
B.由∠2=∠3，能直接判断直线a/​/b；
C.由∠4=∠5，不能直接判断直线a/​/b；
D.由∠4=∠6，能直接判断直线a/​/b；
故选：C．
结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法判断．
本题考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了一次函数的图象与性质，属于基础题．
根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【解答】
解：A.当x=1时，y=−2，函数图象经过点(1,−2)，故A错误；
B.因为k=−3<0，b=1>0，所以函数图象经过第一、二、四象限，故B错误；
C.当当x>1时，y<−2，故C正确；
D.因为k=−3<0，所以y随x的增大而减小，故D错误．
故选C．
7.【答案】A
【解析】解：∵x=1y=−1和x=2y=1是二元一次方程ax+by=3的两个解，
∴a−b=3①2a+b=3②，
①+②，得3a=6，a=2，
b=a−3=2−3=−1，
故选：A．
把方程组的解代入方程组，得出关于a、b的方程组，解方程组即可．
此题考查二元一次方程组的解，解题关键是方程组的解代入方程组，得出关于a、b的方程组．
8.【答案】B
【解析】解：篮球队14名队员的年龄出现次数最多的是17岁，共出现5次，因此众数是17岁，
将这14名队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的两个数都是16岁和17岁，因此中位数是(16+17)÷2=16.5岁，
故选：B．
出现最多的数据是众数；中位数先排好顺序，位于中间的数，即第7、8名队员，再求出这两个数的平均数即可．
本题考查了众数、中位数的定义，解题的关键是掌握众数、中位数的定义．
9.【答案】B
【解析】解：设y=kx+b，由图知，直线过(1,800)(2,1300)，代入得：
k+b=8002k+b=1300，
解之得：k=500b=300
∴y=500x+300，
当x=0时，y=300.即营销人员没有销售时的收入是300元．
故选：B．
设销量为x，收入为y，即求x=0时y的值．由图知求直线与y轴交点坐标，由两点求直线解析式后再求交点．
此题为一次函数的简单应用，主要是会求直线解析式．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了一次函数的图象，掌握一次函数图象与系数的关系是本题的关键．
根据一次函数图象的性质加以分析即可．
【解答】
解：根据一次函数的图象与性质分析如下：
A.由y1=mx−n图象可知m<0，n<0；由y2=nx−m图象可知m<0，n>0，A错误；
B.由y1=mx−n图象可知m>0，n<0；由y2=nx−m图象可知m>0，n<0，B正确；
C.由y1=mx−n图象可知m>0，n>0；由y2=nx−m图象可知m<0，n<0，C错误；
D.由y1=mx−n图象可知m>0，n>0；由y2=nx−m图象可知m>0，n<0.D错误，
故选：B．
11.【答案】>
【解析】【分析】
本题考查了实数的大小比较，关键是知道4= 16，题目较好，难度也不大．首先求出4= 16，比较 16和 15的值即可．
【解答】
解：∵4= 16，
16> 15，
∴4> 15，
故答案为>．
12.【答案】83
【解析】解：这组数据的平均数是x−=1+3+53=3，
这组数据的方差是S2=(1−3)2+(3−3)2+(5−3)23=83，
故答案为：83．
先求出平均数，然后根据S2=(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯⋯+(xn−x−)2n求解即可．
本题考查方差的计算公式，熟记方差的计算公式是解答本题的关键．
13.【答案】2
【解析】解；∵|a−3|+ b+5=0，|a−3|≥0, b+5≥0，
∴|a−3|= b+5=0，
∴a−3=0，b+5=0，
∴a=3，b=−5，
∴a−b=3−(−5)=8，
∵8的立方根是2，
∴a−b的立方根是2，
故答案为：2．
根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到a=3，b=−5，进而求出a−b=3−(−5)=8，再根据立方根的定义可得答案．
本题主要考查了非负数的性质及立方根，熟知几个非负数的和为0时，每一项都等于0是解题的关键．
14.【答案】50°
【解析】解：如图，
∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20°，∠F=30°，
∴∠BEF=∠1+∠F=50°，
∵AB/​/CD，
∴∠2=∠BEF=50°，
故答案为50°．
首先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，此题难度不大．
15.【答案】y=8x−3y=7x+4
【解析】解：设人数为x人，物价为y钱，
由题意得：y=8x−3y=7x+4．
故答案为：y=8x−3y=7x+4．
设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多3钱：每人出7钱，又会差4钱”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
16.【答案】(92)2023
【解析】解：∵直线l为正比例函数y=x的图象，
∴∠D1OA1=45°，D1A1=OA1=1，
正方形 A1B1C1D1的面积为1；
由勾股定理得，OD1= 2,D1A2= 22，
∴A2B2=A2O=3 22，
正方形A2B2C2D2的面积为92=(92)2−1；
同理A3D3=OA3=92，正方形A3B3C3D3的面积为814=(92)3−1；
由规律可知，正方形AnBnCnDn的面积为(92)n−1；
∴正方形A2024B2024C2024D2024的面积为(92)2023．
故答案为：(92)2023．
根据正比例函数的性质得到∠D1OA1=45°，分别求出正方形A1B1C1D1、正方形A2B2C2D2、正方形A3B3C3D3的面积，…，总结规律得到一般形式，即可求得结果．
本题考查了正方形的性质，一次函数的图象与性质，勾股定理，通过由特殊归纳得到一般结论是解题的关键．
17.【答案】解：( 3+ 2)2− 24+ 13
=3+2 6+2−2 6+ 33
=5+ 33．
【解析】去括号化简各个式子，再合并同类二次根式．
本题考查二次根式的混合运算和完全平方公式，掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：2x−y=5①5x+3y=7②，
由①得：y=2x−5，
将y=2x−5代入②，得：5x+3(2x−5)=7，
解得：x=2．
把x=2代入y=2x−5，得：y=−1．
∴原二元一次方程组的解为：x=2,y=−1.
【解析】先由①得y=2x−5，再将y=2x−5代入②，得5x+3(2x−5)=7，由此解出x=2，再将x=2代入y=2x−5之中求出y即可．
此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法与技巧是解决问题的关键．
19.【答案】 74
【解析】解：(1)如图1，连结A1，B1，C1，△A1B1C1即为所求，
∵△ABC和△A1B1C1关于y轴对称，
∴A1(3,2)，B1(4,−3)，C1(2,−2)；
(2)如图2，连结A1B，P即为所求，
∵A1B= 52+72= 74，
∴PA+PB的最小值是 74，
故答案为： 74．
(1)根据关于y轴对称，横坐标变相反数，纵坐标不变，描出各点，连结即可；
(2)根据轴对称和三角形两边之和大于第三边，可知A1B是PA+PB的最小值，再根据勾股定理求出A1B即可．
本题考查作图−轴对称变换，轴对称最短问题，勾股定理，三角形两边之和大于第三边，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
20.【答案】解：(1)解：8÷40%=20(名)．
∴这次被调查学生有20名；
(2)∵读了5本课外书的有8人，最多，
∴被调查学生阅读课外书数量的众数为5本．
∵共有20人，
∴中位数是第10人和第11人的平均数，
∴被调查学生阅读课外书数量的中位数为5+52=5(本)；
(3)平均数为4×4+5×8+6×6+7×220=5.3(本)．
估计这260名学生阅读课外书的总数约为5.3×260=1378(本)．
【解析】(1)利用B类的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数；
(2)根据众数、中位数的定义即可直接求解；
(3)首先求得调查的20人的平均数，乘以总人数260即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，平均数，众数，中位数的求解，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)当0≤x≤100时，
设y与x的函数关系式是y=kx，
则有65=100k，
解得k=0.65，
∴y与x的函数关系式是y=0.65x；
当x>100时，
设y与x的函数关系式是y=ax+b，
则有100a+b=65130a+b=89，
解得a=0.8b=−15，
∴y与x的函数关系式y=0.8x−15；
(2)当x=72时，y=0.65×72=46.8(元)，
∴该用户某月用了72度电，应缴费46.8元；
(3)∵该用户某月缴费105元，
∴该用户该月用电量超过100度，
将y=105代入y=0.8x−15，
得105=0.8x−15，
解得x=150，
∴该用户该月用了150度电．
【解析】(1)当0≤x≤100时，设y与x的函数关系式是y=kx，把(100,65)代入求解，得到y与x的函数关系式，当x>100时，设y与x的函数关系式是y=ax+b，把(100,65)，(130,89)代入求解，即得答案；
(2)当x=72时，代入y=0.65x计算即得答案；
(3)因为该用户某月缴费105元，所以该用户该月用电量超过100度，将y=105代入y=0.8x−15计算即得答案．
本题考查了一次函数的图象，一次函数的应用，通过一次函数的图象获取有用的信息是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵AC=13，AD=5，CD=12，
∴CD2+AD2=122+52=169，AC2=132=169，
∴CD2+AD2=AC2，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=90°，
由勾股定理得BD= BC2−CD2= 202−122=16，
∴AB=AD+BD=5+16=21，
∴S△ABC=12AB⋅CD=12×21×12=126．
(2)如图，过点E作EM⊥FG，交GF的延长线于点M.设FM=x，则GM=11+x，

∵在Rt△FEM和Rt△GEM中，由勾股定理得EM2=EF2−FM2，EM2=EG2−GM2，
∴EF2−FM2=EG2−GM2，
∴132−x2=202−(11+x)2，
解得x=5，即FM=5，
∴EM= 132−52=12，
∴S△EFG=12FG⋅EM=12×11×12=66．
【解析】(1)根据勾股定理求出CD2+AD2=169，AC2=169，求出CD2+AD2=AC2，根据勾股定理的逆定理得出△ADC是直角三角形，根据勾股定理求出BD，求出AB，再求出△ABC的面积即可；
(2)过点E作EM⊥FG，交GF的延长线于点M.设FM=x，则GM=11+x，根据勾股定理得出EM2=EF2−FM2=EG2−GM2，代入求出x，再求出EM，最后求出△EFG的面积即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
23.【答案】解：(1)DA=CE+BC．
理由如下：
∵AC⊥BC，AC⊥AD，
∴∠DAE=∠ACB=90°．
又∵AB⊥DE，
∴∠DFA=∠EFA=90°．

∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3．
在△ABC和△DEA中，
∠ACB=∠DAE∠1=∠3AB=DE，
∴△ABC≌△DEA(AAS)．
∴AC=DA，BC=EA．
又∵AC=CE+EA，
∴DA=CE+EA=CE+BC．
(2)∵S四边形ADBE=S△ADE+S△BDE=12DE⋅AF+12DE⋅BF=12DE⋅AB=12c2，
S四边形ADBE=S△ABE+S△ABD=12a2+12b2，
∴12a2+12b2=12c2，
∴a2+b2=c2．
【解析】(1)根据AAS证明△ABC≌△DEA，可得答案；
(2)根据S四边形ADBE=S△ADE+S△BDE，可得答案．
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，求四边形的面积，勾股定理的证明，
24.【答案】解：(1)①∵∠A=70°，∠ACB=36°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠ACB=180°−70°−36°=74°．
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC=12×74°=37°．
∵CE//AB，
∴∠BEC=∠ABE=37°．
(2)∵∠A=70°，∠ACB=36°，
∴∠ABC=74°，∠ACD=180°−∠ACB=180°−36°=144°．
∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠CBE=12∠ABC=37°，∠ECD=12∠ACD=72°．
∴∠BEC=∠ECD−∠CBE=72°−37°=35°．
(2)(2)①如图1，当CE⊥BC时，∠ECB=90°．

由(1)得∠CBE=37°，
∴∠BEC=90°−∠CBE=90°−37°=53°．
②如图2，当CE⊥AB于点F时，∠BFC=90°．
由(1)得∠CBE=∠FBE=37°，
∴∠BEC=∠BFC+∠FBE=90°+37°=127°．
③如图3，当CE⊥AC时，∠ACE=90°．
由(1)得∠CBE=37°，∠ACB=36°，
∴∠BEC=180°−∠CBE−∠ACB−∠ACE=180°−37°−36°−90°=17°．
综上所述，∠BEC=127°或53°或17°．
【解析】(1)①根据三角形内角和定理可得∠ABC=74°，由BM平分∠ABC可得∠ABE=37°，由平行线的性质可得∠BEC=∠ABE=37°；
②先根据三角形的内角和定理和外角定理求出∠ABC和∠ACD的度数，再根据角平分线的定义求出∠CBE和∠ECD的度数，再由三角形的外角定理即可求出∠BEC的度数．
(2)分三种情况：①当CE⊥BC时，由∠BEC=90°−∠CBE即可求出∠BEC的度数；
②当CE⊥AB于点F时，由∠BEC=∠BFC+∠FBE即可求出∠BEC的度数；③当CE⊥AC时，由∠BEC=180°−∠CBE−∠ACB−∠ACE即可求出∠BEC的度数．
本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角定理和角平分线的定义．熟练掌握以上知识并且注意分类讨论是解题的关键．
本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角定理和角平分线的定义．熟练掌握以上知识并且注意分类讨论是解题的关键．
25.【答案】y=−x+2 y=32x+92
【解析】解：(1)∵OB=OC，
∴设直线AB的解析式为y=−x+n，
∵直线AB经过A(−1,3)，
∴1+n=3，
∴n=2，
∴直线AB的解析式为y=−x+2，
设直线AD为y=kx+b，
∴−3k+b=0−k+b=3，
解得：k=32b=92，
∴直线AD为：y=32x+92；
(2)∵点P在AB上，且横坐标为m，
m，∴P(m,−m+2)．
∵PE/​/x轴，
∴点E的纵坐标为−m+2．
代入直线y=32x+92，得−m+2=32x+92，
解得x=−5−2m3．
∴E(−5−2m3,−m+2)．
∴y=m−−5−2m3=53m+53．
即y与m之间的函数关系式为y=53m+53(−1(3)①如图1，当∠FPE=90°时，有PF=PE，PF=−m+2，PE=53m+53，

∴−m+2=53m+53，
解得m=18．
∴F(18,0)．
②如图2，当∠PEF=90°时，有EP=EF，EF的长等于点E的纵坐标，

∴EF=−m+2．
∴−m+2=53m+53，
解得m=18．
∴点E的横坐标为−5−2m3=−74．
∴F(−74,0)．
③如图3，当∠PFE=90°时，有PF=EF，

∴∠FPE=∠FEP．
∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°，
∴∠FPE=∠FEP=45°．
过点F作FR⊥PE于点R，
∴∠PFR=180°−∠FPE−∠PRF=45°．
∠PFR=180°−∠FPE−∠PRF=45°.∴∠PFR=∠RPF，即FR=PR．
同理可得FR=ER．
∴FR=12PE．
∵点R与点P的纵坐标相同，
∴FR=−m+2．
∴−m+2=12⋅5m+53，
解得m=711．
∴PR=FR=−m+2=−711+2=1511．
∴点F的横坐标为711−1511=−811．
∴F(−811,0)．
综上所述，在x轴上存在点F的坐标为(18,0)或(−74,0)或(−811,0)，使△PEF为等腰直角三角形．
(1)先设出函数解析式，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
(2)设P(m,−m+2).可得点E的纵坐标为−m+2.求解x=−5−2m3.可得E(−5−2m3,−m+2).从而可得函数解析式；
(3)分三种情况讨论：①如图1，当∠FPE=90°时，有PF=PE，PF=−m+2，PE=53m+53；②如图2，当∠PEF=90°时，有EP=EF，EF的长等于点E的纵坐标；③如图3，当∠PFE=90°时，有PF=EF，再利用等腰直角三角形的性质与方程思想解题即可．
本题属于一次函数综合题，主要考查的是一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，熟练的利用数形结合的思想解题是关键．年龄/岁
15
16
17
18
人数
3
4
5
2