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专题31 圆中的重要模型之四点共圆模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用）
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这是一份专题31 圆中的重要模型之四点共圆模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用），文件包含专题31圆中的重要模型之四点共圆模型原卷版docx、专题31圆中的重要模型之四点共圆模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）
【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。
条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，
结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
例1．（2023春·广东梅州·九年级校考期中）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．
例2．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A．B．C．D．4
例3．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形的边绕点A逆时针旋转得到，连接，过点D作的垂线，垂足E在线段上，连接．若，，则的度数为 ．
例4．（2021·湖北随州·统考中考真题）如图，在中，，为的中点，平分交于点，，分别与，交于点，，连接，，则的值为 ；若，则的值为 ．
模型2、定边对双直角共圆模型
同侧型 异侧型
1）定边对双直角模型（同侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
2）定边对双直角模型（异侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。
例1．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为 ．
例2．（2022春·山东·九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是 ；
②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．
例3．（2022·湖北武汉·校考二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．
（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；
（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．若AP＝2，求△APC的面积；
例4．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（ ）
A．B．C．D．
模型3、定边对定角共圆模型
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆.
例1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上．
（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆．
例2．（2023·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（ ）
A．1B．C．D．
例3．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
例4．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）
点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（依据2）
点，，，四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________．
(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．①求证：，，，四点共圆；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
模型4、对角互补共圆模型
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆.
1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）
A．B．C．2D．1
例2．（2023·河南周口·校考三模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ．
例3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ．
例4．（2023·山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．
(1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；(3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
课后专项训练
1．（2023秋·河北张家口·九年级校考期末）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．平分
3．（2023·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·北京海淀·九年级校考期中）如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．请写出图中任意一组互补的角为 和 （不添加辅助线，不添加数字角标和字母）
5．（2023·广东·二模）如图，点为线段的中点，点到点的距离相等，若则的度数是
6．（2023·浙江金华·统考二模）如图，在中，，，，P是上一动点，于点E，于点D，则线段的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
7．（2023·浙江·模拟预测）如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ．
8．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为 ．
9．（2023·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，其中点与点对应，点与点对应．(1)画出．(2)直线与直线相交于点，证明：A，，，四点共圆．
10.（2023·湖北九年级课时练习）如图1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．直线BE交直线CD于G点．
(1)小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝ ∠ACB，（填写数量关系）
∴∠AEB＝ °．
(2)如图2，连接BF，求证A、B、F、C四点共圆；
(3)线段AE最大值为 ，若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 ．
11．（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）已知：菱形的对角线交于点，以为斜边构造等腰，连接．
(1)如图1，若，，求的面积．(2)如图2，延长交于点，过点作于点，过点作于点，与交于点，且．求证：．
12．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出 如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：．
尝试应用 如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：．
问题拓展 如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）．
13．（2023·江苏·九年级假期作业）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D ∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
(1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： ；依据2： ．
(2)如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 ．
拓展探究：(3)如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由
14．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．
（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）分别求△ABC和△ABD的面积；（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．
15．（2023·重庆九年级课时练习）如图，四边形内接于，对角线，垂足为，于点，直线与直线于点．
（1）若点在内，如图1，求证：和关于直线对称；
（2）连接，若，且与相切，如图2，求的度数．
16．（2023·江苏·九年级假期作业）【问题情境】如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆．
小吉同学的作法如下：连结，取的中点，连结、，请你帮助小吉补全余下的证明过程；
【问题解决】如图②，在正方形中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，连结，，作于点P．
（1）如图②，当点P恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为 ；
（2）如图③，过点P分别作于点，于点，连结，则的最小值为 ．
17．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）在和中，，，，用这两个直角三角形研究图形的变换．
【翻折】(1)如图1，将沿线段翻折，连接，下列对所得四边形的说法正确的是___．①平分、，②、互相平分，③，④、、、四点共圆．
【平移】(2)如图2，将沿线段向右平移，使点移到的中点，连接、、，请猜想四边形的形状，并说明理由．
【旋转】(3)如图3，将绕点逆时针方向旋转，使，连接、，则旋转角为______°，______cm．
18．（2023·河南南阳·校考三模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．
特殊情况分析：(1)如图1，正方形中，点为对角线上一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转的度数，交直线于点．
小明的思考如下：连接，
∵，，∴，（依据1）
∵，∴，∴点共圆，
∴，，（依据2）
∴，∴．（依据3）
填空：①依据1应为___________，②依据2应为___________，③依据3应为___________；
一般结论探究：(2)将图1中的正方形改为菱形，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由；
结论拓展延伸：(3)如图2，若，，当为直角三角形时，请直接写出线段的长．
四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）
【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。
条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，
结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
例1．（2023春·广东梅州·九年级校考期中）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．
例2．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A．B．C．D．4
例3．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形的边绕点A逆时针旋转得到，连接，过点D作的垂线，垂足E在线段上，连接．若，，则的度数为 ．
例4．（2021·湖北随州·统考中考真题）如图，在中，，为的中点，平分交于点，，分别与，交于点，，连接，，则的值为 ；若，则的值为 ．
模型2、定边对双直角共圆模型
同侧型 异侧型
1）定边对双直角模型（同侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
2）定边对双直角模型（异侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。
例1．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为 ．
例2．（2022春·山东·九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是 ；
②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．
例3．（2022·湖北武汉·校考二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．
（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；
（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．若AP＝2，求△APC的面积；
例4．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（ ）
A．B．C．D．
模型3、定边对定角共圆模型
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆.
例1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上．
（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆．
例2．（2023·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（ ）
A．1B．C．D．
例3．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．
例4．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）
点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（依据2）
点，，，四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________．
(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．①求证：，，，四点共圆；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
模型4、对角互补共圆模型
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆.
1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）
A．B．C．2D．1
例2．（2023·河南周口·校考三模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ．
例3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ．
例4．（2023·山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．
(1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；(3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
课后专项训练
1．（2023秋·河北张家口·九年级校考期末）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．平分
3．（2023·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·北京海淀·九年级校考期中）如图，点O为线段的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接，．请写出图中任意一组互补的角为 和 （不添加辅助线，不添加数字角标和字母）
5．（2023·广东·二模）如图，点为线段的中点，点到点的距离相等，若则的度数是
6．（2023·浙江金华·统考二模）如图，在中，，，，P是上一动点，于点E，于点D，则线段的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
7．（2023·浙江·模拟预测）如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ．
8．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为 ．
9．（2023·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，将绕点A逆时针旋转，得到，其中点与点对应，点与点对应．(1)画出．(2)直线与直线相交于点，证明：A，，，四点共圆．
10.（2023·湖北九年级课时练习）如图1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．直线BE交直线CD于G点．
(1)小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝ ∠ACB，（填写数量关系）
∴∠AEB＝ °．
(2)如图2，连接BF，求证A、B、F、C四点共圆；
(3)线段AE最大值为 ，若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 ．
11．（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）已知：菱形的对角线交于点，以为斜边构造等腰，连接．
(1)如图1，若，，求的面积．(2)如图2，延长交于点，过点作于点，过点作于点，与交于点，且．求证：．
12．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出 如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：．
尝试应用 如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：．
问题拓展 如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）．
13．（2023·江苏·九年级假期作业）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D ∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
(1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： ；依据2： ．
(2)如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 ．
拓展探究：(3)如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．①求证：A，D，B，E四点共圆；②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由
14．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．
（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）分别求△ABC和△ABD的面积；（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．
15．（2023·重庆九年级课时练习）如图，四边形内接于，对角线，垂足为，于点，直线与直线于点．
（1）若点在内，如图1，求证：和关于直线对称；
（2）连接，若，且与相切，如图2，求的度数．
16．（2023·江苏·九年级假期作业）【问题情境】如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆．
小吉同学的作法如下：连结，取的中点，连结、，请你帮助小吉补全余下的证明过程；
【问题解决】如图②，在正方形中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，连结，，作于点P．
（1）如图②，当点P恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为 ；
（2）如图③，过点P分别作于点，于点，连结，则的最小值为 ．
17．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）在和中，，，，用这两个直角三角形研究图形的变换．
【翻折】(1)如图1，将沿线段翻折，连接，下列对所得四边形的说法正确的是___．①平分、，②、互相平分，③，④、、、四点共圆．
【平移】(2)如图2，将沿线段向右平移，使点移到的中点，连接、、，请猜想四边形的形状，并说明理由．
【旋转】(3)如图3，将绕点逆时针方向旋转，使，连接、，则旋转角为______°，______cm．
18．（2023·河南南阳·校考三模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．
特殊情况分析：(1)如图1，正方形中，点为对角线上一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转的度数，交直线于点．
小明的思考如下：连接，
∵，，∴，（依据1）
∵，∴，∴点共圆，
∴，，（依据2）
∴，∴．（依据3）
填空：①依据1应为___________，②依据2应为___________，③依据3应为___________；
一般结论探究：(2)将图1中的正方形改为菱形，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由；
结论拓展延伸：(3)如图2，若，，当为直角三角形时，请直接写出线段的长．
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