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专题13 全等模型-倍长中线与截长补短模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用）
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这是一份专题13 全等模型-倍长中线与截长补短模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用），文件包含专题13全等模型-倍长中线与截长补短模型原卷版docx、专题13全等模型-倍长中线与截长补短模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
模型1.倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则；
2、中点型:如图2，为的中点.
证明思路：若延长至点，使得，连结，则;
若延长至点，使得，连结，则.
3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点.
证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则.
例1．（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解：
如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；
（2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见详解；（3），理由见详解
【分析】（1）根据旋转的性质可证明，，在中根据三角形三边关系即可得出答案；（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，可得出，根据垂直平分线的性质可得出，利用三角形三边关系即可得出结论；
（3）延长AB至N，使BN=DF，连接CN，可得，证明，得出，利用角的和差关系可推出，再证明，得出，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵
∴∴
在中根据三角形三边关系可得出：，即
∴故答案为：；
（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，
同（1）可得出，∵∴
在中，∴；
（3），理由如下：延长AB至N，使BN=DF，连接CN，
∵∴
∴∴
∵∴
∴（SAS）∴
∴∴．
【点睛】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．
例2．（2023·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析
【解析】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3．
∵AB-BE
（2）AC=BF，理由如下：延长AD至点G，使GD=AD，连接BG，
在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS）．∴BG=AC，∠G=∠DAC．．
∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE． ∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF．
【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD到点E，使DE=AD，构造全等三角形是解题的关键．
例3．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……
请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析
【分析】(1) 延长AD至M，使，连接MC，证明，结合等角对等边证明即可．
(2) 延长DF至点M，使，连接BM、AM，证明，△ABM是等边三角形，代换后得证．
【详解】（1）证明：延长AD至M，使，连接MC．
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，∵，∴，∴，∴．
（2）线段DF与AD的数量关系为：．
证明如下：延长DF至点M，使，连接BM、AM，如图2所示：
∵点F为BE的中点，∴
在和中，∵，∴
∴，，∴ ∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE
∴，，∴
∵是等边三角形∵，，∴
∵，∴
在和中，∵，∴
∴，，∴
∴是等边三角形，∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
例4．（2022·河南商丘·一模）阅读材料
如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
(1)类比迁移：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF．
小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……请根据小明的思路完成证明过程．
(2)方法运用：如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；
【答案】(1)见解析(2)线段DF与AD的数量关系为：AD＝2DF，证明见解析；
【分析】（1）类比材料，运用倍长中线辅助线作法，证得结论．
（2）运用倍长中线辅助线作法，结合三角形全等证明及等边三角形性质，得出结论．
（1）证明：如图，延长AD至M，使MD＝FD，连接MC，
在△BDF和△CDM中，∵，
∴△BDF≌△CDM（SAS），∴MC＝BF，∠M＝∠BFM，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFM，∴∠M＝∠MAC，∴AC＝MC，∴AC＝BF；
（2）解：线段DF与AD的数量关系为：AD＝2DF，
证明如下：延长DF至点M，使DF＝FM，连接BM、AM，如图所示：
∵点F为BE的中点，∴BF＝EF，
在△BFM和△EFD中，∵，∴△BFM≌△EFD（SAS），
∴BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，∴BM∥DE，
∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，∴CD＝DE＝BM，∠BDE＝120°，
∴∠MBD＝180°﹣120°＝60°，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝60°+60°＝120°，
∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABM＝∠ACD，
在△ABM和△ACD中，∵，∴△ABM≌△ACD（SAS），
∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，∴∠MAD＝∠MAC+∠CAD＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，
∴△AMD是等边三角形，∴AD＝DM＝2DF；
【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线作法，全等三角形的证明，在倍长中线构造全等三角形的基础上，综合运用相关知识是解题的关键．
模型2.截长补短模型
【模型解读】
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC； = 2 \* GB3 ②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例：如图，求证BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD； = 2 \* GB3 ②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE
例1．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
【答案】证明见解析
【分析】如图，在上截取证明再证明可得 从而可得结论.
【详解】证明：如图，在上截取
平分
平分
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键.
例2．（2023·广东肇庆·校考一模）课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
【答案】(1)，证明见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论；（2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论；（3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论．
【详解】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则，∴，∵平分∴，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴．故答案为：．
（2）证明：如图3，在上截取，使，连接
∵分别平分，
∴，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴．
（3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则，
∴，∵，∴，
∵， ∴，∴，∴，∴，
在和中，，∴∴，即平分．
【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
例3．（2023·广西·九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
(1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
【答案】(1)AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD，证明见解析．
【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC=FC，∠ACB=∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF=ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF=CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，从而可证得结论．
【详解】（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB．
∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．
∵C是BD边的中点，∴BC=CD，∴CF=CD．
∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD．
在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．
∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE．故答案为：AE=AB+DE；
（2）猜想：AE=AB+DE+BD．
证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．
∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，∴CG=CF．∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°，
∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等边三角形，∴FG=FC=BD．
∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+BD．
【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．
例4．（2023·广东·九年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）．
【分析】（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
（2）延长到点，使，连接，证明，可得，即
（3）连接，过点作于，证明，，进而根据即可得出结论．
【详解】解：（1）方法1：在上截，连接，如图．
平分，．在和中，，
，，．
，．．，．
方法2：延长到点，使得，连接，如图．
平分，．
在和中，，．，．
，．，，．
（2）、、之间的数量关系为：．（或者：，）．
延长到点，使，连接，如图2所示．
由（1）可知，．为等边三角形．，．
，．．
，为等边三角形．，．
，，即．
在和中，，．，
，．
（3），，之间的数量关系为：．（或者：，）
解：连接，过点作于，如图3所示．
，．．
在和中，，，，．
在和中，，．，
，．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
课后专项训练：
1．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．证△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝2，再利用三角形的三边关系求出AE的范围即可解决问题．
【详解】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝2，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，解得1＜AD＜3，故选：B．
【点睛】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键．
2．（2022·浙江湖州·二模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（ ）．
A．2B．C．D．3
【答案】C
【分析】延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长．
【详解】解：延长BE交CD延长线于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中，
∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5
又∵CD＝3，∴PD=2，∵∴∴BE＝BP＝．故选：C．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP．
3．（2022·广东湛江·校考二模）已知：如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，，，则的长为 ___________．
【答案】/
【分析】在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．想办法证明，推出，推出即可解决问题．
【详解】解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．
∵，，，
∴，∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴， ∴，∴，∴，
∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
4．（2023秋·江西九江·八年级校考期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，则BC的长为 ．
【答案】
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE．先运用SAS证明△ADC≌△EDB，得出BE=13．再由勾股定理的逆定理证明出∠BAE=90°，然后在△ABD中运用勾股定理求出BD的长，从而得出BC=2BD．
【详解】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE．
在△ADC与△EDB中，， ∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=13．
在△ABE中，AB=5，AE=12，BE=13，∴AB2+AE2=BE2，∴∠BAE=90°．
在△ABD中，∠BAD=90°，AB=5，AD=6，∴BD=，∴BC=．故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，综合性较强，难度中等．题中延长中线的一倍是常用的辅助线的作法．
5．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________，中线的取值范围是___________；
（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；
（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系．
【答案】（1），；（2）见解析；（3），
【分析】（1）通过证明，得到，在中，根据三角形三边关系可得：，即，从而可得到中线的取值范围；
（2）延长至点，使，连接，通过证明，得到，由，，得到，在中，由三角形的三边关系得：；
（3）延长于，使得，连接，延长交于，证明得到，证明得到，，在通过三角形内角和进行角度的转化即可得到．
【详解】（1）解：如图1，延长至，使，连接，
为边上的中线，，
在和中，，，，
在中，根据三角形三边关系可得：，即，
，，，故答案为：，；
（2）证明：如图2中，延长至点，使，连接，
点是的中点，，在和中，，
∴，∴，∵，，∴，
在中，由三角形的三边关系得：，∴；
（3）解：结论：，，
如图3，延长于，使得，连接，延长交于，
点是的中点，，在和中，，
，，
，，，
，，
在和中，，，
，，，
， ，，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三家形的判定与性质，三角形的三边关系以及三角形内角和定理，作出恰当的辅助线是解题的关键．
6．（2023·黑龙江大庆·统考三模）如图，四边形中，°，为边上一点，连接，，为的中点，延长交的延长线于点，交于点，连接交于点．
(1)求证；(2)若，，求证：四边形为矩形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）证明，则，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到；（2）由和都是等腰直角三角形得到，则可得到，，进而可得，，于是可判断四边形为平行四边形，加上，则可判断四边形为矩形．
【详解】（1）证明：∵∴∴，
∵为的中点，∴，
在和中，，∴
∴，∴为斜边上的中线∴
（2）由（1）知，又，，
∴，∴为等腰直角三角形．
又由（1）知，∴，，
又和都是等腰直角三角形．∴，
∴，，∴，，∴四边形为平行四边形，
∵∴平行四边形为矩形，
【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质、直角三角形斜边中线定理、矩形的判断，掌握矩形的证明步骤-先证明是平行四边形，再证明有直角是解题关键．
7．（2023·广东云浮·八年级统考期中）（1）阅读理解：如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______；
（2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：；
（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到可得，得出 ，然后根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而求得的取值范围；
（2）如图②：绕着点D旋转 得到可得，得出 ，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出 即可得出结论；
（3）将绕着点C按逆时针方向旋转得到可得，得出，证出 ，再由证明，得出，进而证明结论．
【详解】解：（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到
∴（），∴，,即
∵是边上的中线，∴，在中，由三角形的三边关系得：，
∴ ，即，∴；故答案为；
（2）证明：如图②：绕着点D旋转 得到
∴（），∴， ∵∴，
在中，由三角形的三边关系得： ，∴；
（3），理由如下：如图③，将绕着点C按逆时针方向旋转∴△DCF≌△BCH，
∴ ∴
∵ ∴，∴点A、B、H三点共线
∵，∴ ∴，
在和中，，∴（）∴，
∵∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.
8．（2023·江苏·九年级假期作业）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．
①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；
（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．
【答案】（1）①见解析；②1＜x＜4；（2）见解析
【分析】（1）由AD是△ABC的中线推出CD＝BD，再用SAS证明即可；
（2）由△ABD≌△ECD推出AB＝EC=5，由ED=AD推出AE=2x，由△ACE三边关系将已求代入解不等式即可；
（3）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．用SAS证明△CDF≌△BDG，△EDF≌△EDG，从而得到CF＝BG，EF＝EG，最后利用在△BEG的三边关系BE+BG＞EG得证．
【详解】（1）①∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，
在△ABD与△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）
②1＜x＜4， 理由如下：∵△ABD≌△ECD，AB＝5，∴AB＝EC=5，∵ED=AD，AD＝x，∴AE=2x．
由△ACE三边关系得：，
又∵AC＝3，∴，解得：1＜x＜4．故答案是：1＜x＜4．
（2）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
∵D是BC边上的中点，∴CD＝DB．
在△CDF与△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS）．∴CF＝BG，
∵DE⊥DF，∴．
在△EDF与△EDG中，，∴△EDF≌△EDG．∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的性质与判定，根据题意画辅助线是解题的关键．
9．（2022秋·北京昌平·九年级校联考期中）如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的长；
（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．
【答案】（1）2；（2），理由见解析
【分析】（1）由已知条件∠BOE＝∠BAO，且公共角，证明△OBE∽△ABO，进而列出比例式，代入数值即可求得；（2）延长OE到点F，使得，连接AF，FB，证明△AOF≌△DOC，进而可得，即
【详解】（1）解：∵∠BOE＝∠BAO，，∴△OBE∽△ABO，∴，
∵AB＝，E为AB的中点，∴∴，∴（舍负）.
（2）线段OE和CD的数量关系是：，理由如下，
证明：如图，延长OE到点F，使得，连接AF，FB.
∵∴四边形AFBO是平行四边形，∴，，∴，
∵∠AOB+∠COD＝，∴，∵OB＝OC，∴，
在△AOF和△DOC中，，∴△AOF≌△ODC，∴∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，第（2）小问中，根据题意正确的添加辅助线是解题的关键．
10．（2022秋·安徽·九年级校联考阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：
【探究证明】（1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：；
【拓展延伸】（2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明；
【思维提升】（3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：①；②．
【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）是定值，①；②．
【分析】（1）证明，推出，再根据角度的和差可得结论；
（2）如图2，在上取一点，使得，证明是等边三角形，然后证明，可得，利用线段的和差即可解决问题；（3）如图3，在上取一点，使得，证明，，，证明是等边三角形，所以，过点作，，垂足分别为，，根据，可得的面积的面积，根据，可得，根据，可得，所以，，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：如图1，设与交于点，
，都是等边三角形，，，，
，在和中，
，，，
，；
（2）解：，理由如下：如图2，在上取一点，使得，
是等边三角形，，，
是等边三角形，，，，
是外角平分线，，
，，
，，，
，，，
，，；
（3）解：①，②都是定值，证明如下：
如图3，在上取一点，使得，
和均为正三角形，，，三点共线，
，，由（1）知：，
，，，，
，是等边三角形，，
过点作，，垂足分别为，，
，的面积的面积，，，
，，
，，
①；
②，
，
，．
综上所述：①，②都是定值．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出图形寻找全等三角形．
11．（2023秋·河南驻马店·八年级统考期末）(1)阅读理解：
问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析
【分析】（1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证（2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证；
（3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证．
【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接，
平分，，在和中，，
，，，
，，
，，；
方法：延长到，使，连接，
平分，，在和中，，
，，，
，，
，，；
（2），，之间的数量关系为．
方法1：理由如下：如图，在上截取，连接，
由知，，
，，，
为等边三角形， ，，
，为等边三角形，，，
，，，．
方法：理由：延长到，使，连接，由知，
，是等边三角形， ，，
，，
，，为等边三角形，，，
，，即，
在和中，，，，
，；
（3）线段、、之间的数量关系为．
连接，过点作于点，
，，，
在和中，，，，，
在和中，，，，
，，
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
12．（2023·浙江衢州·校考一模）如图1，在中，，平分，连接，，．
(1)求的度数；
(2)如图2，连接，交于E，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G为的中点，连接交于点F，若，求线段的长．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）设．则，，由平分，得到，由三角形内角和定理，求得，进一步即可得到答案；
（2）先证明，则，则，又由得，即可得到结论；
（3）由O是的中点及得到，再证明，得到，则，又由，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1中，设．
∵，，∴，，
∵平分，∴，
∵，，∴，∴，
∴，，∴．
（2）证明：∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴．
（3）解：如图3中，连接，取O是的中点，
∵，∴或（舍去），由（1）、（2）及根据G是的中点可知：
，，，，∴，
∵，∴，
∴，∴，又，∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、角直角三角形的性质，熟练掌握三角形的全等和相似是解题的关键．
13．（2023春·广东·九年级专题练习）课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
【答案】(1)，证明见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论；
（2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论；（3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论．
【详解】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则，
∴，∵平分∴，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴．故答案为：．
（2）证明：如图3，在上截取，使，连接
∵分别平分，
∴，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴．
（3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则，
∴，∵，∴，
∵， ∴∴，∴，∴，
在和中，，∴∴，即平分．
【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
14．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°。（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF=EF-BD．
【分析】（1）先证明∠ACE=∠CBD，即可利用AAS证明△AEC≌△CDB；
（2）在直线l上位于C点左侧取一点E，使得∠AEC=60°，连接AE，由（1）可知△AEC≌△CDB，CE=BD，然后证明△FAE≌△HFG得到GH=EF，则CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；
（3）在直线l上位于C点右侧取一点E使得∠AED=60°，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N，先证明△BDM是等边三角形，得到∠DBM=∠DMB=60°，然后证明∠ACE=∠ABD=∠CBM，即可利用AAS证明△AEC≌△CMB得到CE=BM=BD；最后证明△AEF≌△FGH得到HG=EF，则EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCD=180°-∠ACB=120°，
∵∠BDC=60°，∴∠BCD+∠CBD=180°-∠BDC=120°，∴∠ACE=∠CBD，
在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS）
（2）如图所示，在直线l上位于C点左侧取一点E，使得∠AEC=60°，连接AE，
由（1）可知△AEC≌△CDB，∴CE=BD，
∵∠ACE=60°，∴∠AEF=120°，∴∠AEF=∠AFH=120°，
∴∠AFE+∠FAE=180°-∠AEF=60°，∠AFE+∠HFG=180°-∠AFH=60°，∴∠FAE=∠HFG，
在△FAE和△HFG中，，∴△FAE≌△HFG（AAS），
∴GH=EF，∴CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；
（3）如图所示，在直线l上位于C点右侧取一点E使得∠AED=60°，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N
∵∠BDC=60°，BM=BD，∴△BDM是等边三角形，∴∠DBM=∠DMB=60°，
∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=BC
∴∠ABM+∠CBM=∠ABM+∠ABD，∴∠ABD=∠CBM，
∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ANE=∠DNB，∴∠ACE=∠ABD=∠CBM，
∵∠CMB=180°-∠DMB=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°，∴∠CMB=∠AEC，
在△AEC和△CMB中，，∴△AEC≌△CMB（AAS），∴CE=BM=BD；
∵∠AFH=120°，∴∠AFC+∠GFH=60°，∵∠GFH+∠FHG=180°-∠HGF=60°，∴∠AFC=∠FHG，
在△AEF和△FGH中，，∴△AEF≌△FGH（AAS），∴HG=EF，
∴EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．故答案为：CF=EF-BD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
15．（2022·河南·模拟预测）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．某同学做了如下探究，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应该是______．（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出正确的结论，并说明理由．（3）如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）EF=BE+DF；（2）结论EF=BE+DF仍然成立；理由见解析；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里
【分析】（1）根据题意证明△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，可得EF=FG，根据FG=DG+DF=BE+DF，可得EF=BE+DF；（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，同（1）的方法证明即可；（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，应用（2）的结论可得EF=AE+BF进而气得的长，即两舰艇之间的距离
【详解】（1）EF=BE+DF，证明如下：
在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为 EF=BE+DF．
（2）结论EF=BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，如图②，
∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,∴∠B=∠ADG,
在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；
（3）如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，方位角的计算，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
16．（2022·河南·九年级期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1，在△ABC 中，若 AB＝5，AC＝3，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到 E，使得 DE＝AD，再连接 BE（或将△ACD 绕点 D 逆时针旋转 180°得到△EBD），把 AB、AC、2AD 集中在△ABE 中， 利用三角形的三边关系可得 2＜AE＜8，则 1＜AD＜4．
【感悟】解题时，条件中若出现中点、中线字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中 心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
【解决问题】受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图 2，在△ABC 中，D 是 BC 边上的中点， DE⊥DF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF．（1）求证：BE＋CF＞EF，
（2）若∠A＝90°，探索线段 BE、CF、EF 之间的等量关系，并加以证明．、
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），利用三角形的三边关系即可解决问题；
（2）若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，在Rt△EBG中，根据BE2+BG2=EG2，即可解决问题；
【详解】解：（1）延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF=BG，DF=DG，∵DE⊥DF，∴EF=EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
（2）若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，∴BE2+CF2=EF2；
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
17．（2022·山东东营·中考真题）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是________．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【答案】（1）；（2）仍然成立，证明见解析；（3）①仍然成立，证明见解析；②
【分析】（1）根据三角形全等可得；
（2）方法一：过点O作直线，交BD于点F，延长AC交EF于点E，证明即可，
方法二：延长CO交BD于点E，证明即可；
（3）方法一：过点O作直线，交BD于点F，延长CA交EF于点E，证明，
方法二：延长CO交DB的延长线于点E，证明；
【详解】（1）O是线段AB的中点
在和中
（2）数量关系依然成立．
证明（方法一）：过点O作直线，交BD于点F，延长AC交EF于点E．
∵∴
∴四边形CEFD为矩形∴，
由（1）知，∴，∴．
证明（方法二）：延长CO交BD于点E，
∵，，∴，∴，
∵点O为AB的中点∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴．
（3）数量关系依然成立．证明（方法一）：
过点O作直线，交BD于点F，延长CA交EF于点E．
∵∴∴四边形CEFD为矩形．∴，
由（1）知，∴，∴．10分
证明（方法二）：延长CO交DB的延长线于点E，
∵，，∴，∴，∴点O为AB的中点，∴，
又∵，∴，∴，∵，∴．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的性质与判定，直角三角形的性质，根据题意找到全等的三角形，证明线段相等，是解题的关键．
18．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析
【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明；（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到．
(1)证明：在和中，
，∴ ，∴ ，∴ ，
∵，∴．
(2)解：补全后的图形如图所示，，证明如下：
延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，
∵，CM＝CB，∴ 垂直平分BM，∴，在和中，
，∴ ，∴ ，，
∵，∴ ，∴ ，∵，∴ ，
∴ ，即，∵，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键．
19．（2022·内蒙古·中考真题）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．）。(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；
(2)如图1，若点是边上任意一点（不与、重合），其他条件不变．求证：；
(3)在（2）的条件下，连接，过点作，垂足为．设，当为何值时，四边形是平行四边形，并给予证明．
【答案】(1)AG=CE(2)过程见解析(3)，证明过程见解析
【分析】对于（1），根据点E是BC的中点，可得答案；
对于（2），取AG=EC，连接EG，说明△BGE是等腰直角三角形，再证明△GAE≌△CEF，可得答案；
对于（3），设BC=x，则BE=kx，则，，再利用等腰直角三角形的性质表示EP的长，利用平行四边形的判定得只要EP=FC，即可解决问题．
(1)解：∵E是BC的中点，∴BE=CE．∵点G是AB的中点，∴BG=AG，∴AG=CE．故答案为：AG=CE；
(2)取AG=EC，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°．
∵AG=CE，∴BG=BE，∴△BGE是等腰直角三角形，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°．
∵CF是正方形ABCD外角的平分线，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=90°+45°=135°．
∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△GAE≌△CEF，∴AE=EF；
(3)当时，四边形PECF是平行四边形．
如图．由（2）得，△GAE≌△CEF，∴CF=EG．
设BC=x，则BE=kx，∴，．
∵EP⊥AC，∴△PEC是等腰直角三角形，∴∠PEC=45°，
∴∠PEC+∠ECF=180°，．∴，
当PE=CF时，四边形PECF是平行四边形，∴，解得．
【点睛】这是一道关于四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定等知识．
20．（2022·江苏·九年级期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ．
A．SAS；B. SSS；C. AAS；D. HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
(3)【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证AE＝FE．
(4)【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)A(2)1＜AD＜7(3)见解析(4)BE2+CF2＝EF2，证明见解析
【分析】[问题情境](1)根据全等三角形的判定定理解答；(2)根据三角形的三边关系计算；
[初步运用]延长AD到M，使AD=DM，连接BM，证明△ADC≌△MDB，根据全等三角形的性质解答；
[灵活运用]延长ED到点G，使DG=ED，连接GF，GC，证明△DBE≌△DCG，得到BE=CG，根据勾股定理解答．
(1)解：在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故选：A；
(2)解：由(1)得：△ADC≌△EDB，∴AC=BE=6，
在△ABE中，AB−BE(3)解：延长AD到M，使AD=DM，连接BM，如图②所示：
∵AD是△ABC中线，∴CD=BD，在△ADC和△MDB中，
，∴△ADC≌△MDB(SAS)，∴BM=AC，∠CAD=∠M，
∵AC=BF，∴BM=BF，∴∠M=∠BFM，
∵∠AFE=∠BFM，∴∠BFM=∠CAD=∠M，∴AE=FE；
(4)解：线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2=EF2；
理由如下：延长ED到点G，使DG=ED，连接GF，GC，如图③所示：
∵ED⊥DF，DG=ED，∴EF=GF，∵D是BC的中点，∴BD=CD，
在△BDE和△CDG中，
，∴△DBE≌△DCG(SAS)，∴BE=CG，∠B=∠GCD，
∵∠A=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∴∠GCD+∠ACB=90°，即∠GCF=90°，
∴Rt△CFG中，由勾股定理得：CF2+GC2=GF2，∴BE2+CF2=EF2．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用等知识；熟练掌握三角形的三边关系和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
模型1.倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则；
2、中点型:如图2，为的中点.
证明思路：若延长至点，使得，连结，则;
若延长至点，使得，连结，则.
3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点.
证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则.
例1．（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解：
如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．
可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；
（2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见详解；（3），理由见详解
【分析】（1）根据旋转的性质可证明，，在中根据三角形三边关系即可得出答案；（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，可得出，根据垂直平分线的性质可得出，利用三角形三边关系即可得出结论；
（3）延长AB至N，使BN=DF，连接CN，可得，证明，得出，利用角的和差关系可推出，再证明，得出，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵
∴∴
在中根据三角形三边关系可得出：，即
∴故答案为：；
（2）延长FD至M，使DF=DM，连接BM，EM，
同（1）可得出，∵∴
在中，∴；
（3），理由如下：延长AB至N，使BN=DF，连接CN，
∵∴
∴∴
∵∴
∴（SAS）∴
∴∴．
【点睛】本题考查的知识点有旋转的性质、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．
例2．（2023·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析
【解析】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3．
∵AB-BE
（2）AC=BF，理由如下：延长AD至点G，使GD=AD，连接BG，
在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS）．∴BG=AC，∠G=∠DAC．．
∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE． ∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF．
【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD到点E，使DE=AD，构造全等三角形是解题的关键．
例3．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……
请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析
【分析】(1) 延长AD至M，使，连接MC，证明，结合等角对等边证明即可．
(2) 延长DF至点M，使，连接BM、AM，证明，△ABM是等边三角形，代换后得证．
【详解】（1）证明：延长AD至M，使，连接MC．
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，∵，∴，∴，∴．
（2）线段DF与AD的数量关系为：．
证明如下：延长DF至点M，使，连接BM、AM，如图2所示：
∵点F为BE的中点，∴
在和中，∵，∴
∴，，∴ ∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE
∴，，∴
∵是等边三角形∵，，∴
∵，∴
在和中，∵，∴
∴，，∴
∴是等边三角形，∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
例4．（2022·河南商丘·一模）阅读材料
如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
(1)类比迁移：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，求证：AC＝BF．
小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……请根据小明的思路完成证明过程．
(2)方法运用：如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；
【答案】(1)见解析(2)线段DF与AD的数量关系为：AD＝2DF，证明见解析；
【分析】（1）类比材料，运用倍长中线辅助线作法，证得结论．
（2）运用倍长中线辅助线作法，结合三角形全等证明及等边三角形性质，得出结论．
（1）证明：如图，延长AD至M，使MD＝FD，连接MC，
在△BDF和△CDM中，∵，
∴△BDF≌△CDM（SAS），∴MC＝BF，∠M＝∠BFM，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFM，∴∠M＝∠MAC，∴AC＝MC，∴AC＝BF；
（2）解：线段DF与AD的数量关系为：AD＝2DF，
证明如下：延长DF至点M，使DF＝FM，连接BM、AM，如图所示：
∵点F为BE的中点，∴BF＝EF，
在△BFM和△EFD中，∵，∴△BFM≌△EFD（SAS），
∴BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，∴BM∥DE，
∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，∴CD＝DE＝BM，∠BDE＝120°，
∴∠MBD＝180°﹣120°＝60°，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝60°+60°＝120°，
∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABM＝∠ACD，
在△ABM和△ACD中，∵，∴△ABM≌△ACD（SAS），
∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，∴∠MAD＝∠MAC+∠CAD＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，
∴△AMD是等边三角形，∴AD＝DM＝2DF；
【点睛】本题考查了倍长中线的辅助线作法，全等三角形的证明，在倍长中线构造全等三角形的基础上，综合运用相关知识是解题的关键．
模型2.截长补短模型
【模型解读】
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC； = 2 \* GB3 ②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例：如图，求证BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD； = 2 \* GB3 ②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE
例1．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
【答案】证明见解析
【分析】如图，在上截取证明再证明可得 从而可得结论.
【详解】证明：如图，在上截取
平分
平分
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键.
例2．（2023·广东肇庆·校考一模）课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
【答案】(1)，证明见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论；（2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论；（3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论．
【详解】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则，∴，∵平分∴，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴．故答案为：．
（2）证明：如图3，在上截取，使，连接
∵分别平分，
∴，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴．
（3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则，
∴，∵，∴，
∵， ∴，∴，∴，∴，
在和中，，∴∴，即平分．
【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
例3．（2023·广西·九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
(1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
【答案】(1)AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD，证明见解析．
【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC=FC，∠ACB=∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF=ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF=CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，从而可证得结论．
【详解】（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB．
∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．
∵C是BD边的中点，∴BC=CD，∴CF=CD．
∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD．
在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．
∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE．故答案为：AE=AB+DE；
（2）猜想：AE=AB+DE+BD．
证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．
∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，∴CG=CF．∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°，
∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等边三角形，∴FG=FC=BD．
∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+BD．
【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．
例4．（2023·广东·九年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）．
【分析】（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
（2）延长到点，使，连接，证明，可得，即
（3）连接，过点作于，证明，，进而根据即可得出结论．
【详解】解：（1）方法1：在上截，连接，如图．
平分，．在和中，，
，，．
，．．，．
方法2：延长到点，使得，连接，如图．
平分，．
在和中，，．，．
，．，，．
（2）、、之间的数量关系为：．（或者：，）．
延长到点，使，连接，如图2所示．
由（1）可知，．为等边三角形．，．
，．．
，为等边三角形．，．
，，即．
在和中，，．，
，．
（3），，之间的数量关系为：．（或者：，）
解：连接，过点作于，如图3所示．
，．．
在和中，，，，．
在和中，，．，
，．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
课后专项训练：
1．（2023秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．证△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝2，再利用三角形的三边关系求出AE的范围即可解决问题．
【详解】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝2，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，解得1＜AD＜3，故选：B．
【点睛】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键．
2．（2022·浙江湖州·二模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（ ）．
A．2B．C．D．3
【答案】C
【分析】延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长．
【详解】解：延长BE交CD延长线于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中，
∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5
又∵CD＝3，∴PD=2，∵∴∴BE＝BP＝．故选：C．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP．
3．（2022·广东湛江·校考二模）已知：如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，，，则的长为 ___________．
【答案】/
【分析】在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．想办法证明，推出，推出即可解决问题．
【详解】解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．
∵，，，
∴，∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴， ∴，∴，∴，
∵，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
4．（2023秋·江西九江·八年级校考期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，则BC的长为 ．
【答案】
【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE．先运用SAS证明△ADC≌△EDB，得出BE=13．再由勾股定理的逆定理证明出∠BAE=90°，然后在△ABD中运用勾股定理求出BD的长，从而得出BC=2BD．
【详解】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE．
在△ADC与△EDB中，， ∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=13．
在△ABE中，AB=5，AE=12，BE=13，∴AB2+AE2=BE2，∴∠BAE=90°．
在△ABD中，∠BAD=90°，AB=5，AD=6，∴BD=，∴BC=．故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，综合性较强，难度中等．题中延长中线的一倍是常用的辅助线的作法．
5．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________，中线的取值范围是___________；
（2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：；
（3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系．
【答案】（1），；（2）见解析；（3），
【分析】（1）通过证明，得到，在中，根据三角形三边关系可得：，即，从而可得到中线的取值范围；
（2）延长至点，使，连接，通过证明，得到，由，，得到，在中，由三角形的三边关系得：；
（3）延长于，使得，连接，延长交于，证明得到，证明得到，，在通过三角形内角和进行角度的转化即可得到．
【详解】（1）解：如图1，延长至，使，连接，
为边上的中线，，
在和中，，，，
在中，根据三角形三边关系可得：，即，
，，，故答案为：，；
（2）证明：如图2中，延长至点，使，连接，
点是的中点，，在和中，，
∴，∴，∵，，∴，
在中，由三角形的三边关系得：，∴；
（3）解：结论：，，
如图3，延长于，使得，连接，延长交于，
点是的中点，，在和中，，
，，
，，，
，，
在和中，，，
，，，
， ，，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三家形的判定与性质，三角形的三边关系以及三角形内角和定理，作出恰当的辅助线是解题的关键．
6．（2023·黑龙江大庆·统考三模）如图，四边形中，°，为边上一点，连接，，为的中点，延长交的延长线于点，交于点，连接交于点．
(1)求证；(2)若，，求证：四边形为矩形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）证明，则，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到；（2）由和都是等腰直角三角形得到，则可得到，，进而可得，，于是可判断四边形为平行四边形，加上，则可判断四边形为矩形．
【详解】（1）证明：∵∴∴，
∵为的中点，∴，
在和中，，∴
∴，∴为斜边上的中线∴
（2）由（1）知，又，，
∴，∴为等腰直角三角形．
又由（1）知，∴，，
又和都是等腰直角三角形．∴，
∴，，∴，，∴四边形为平行四边形，
∵∴平行四边形为矩形，
【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质、直角三角形斜边中线定理、矩形的判断，掌握矩形的证明步骤-先证明是平行四边形，再证明有直角是解题关键．
7．（2023·广东云浮·八年级统考期中）（1）阅读理解：如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______；
（2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：；
（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到可得，得出 ，然后根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而求得的取值范围；
（2）如图②：绕着点D旋转 得到可得，得出 ，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出 即可得出结论；
（3）将绕着点C按逆时针方向旋转得到可得，得出，证出 ，再由证明，得出，进而证明结论．
【详解】解：（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到
∴（），∴，,即
∵是边上的中线，∴，在中，由三角形的三边关系得：，
∴ ，即，∴；故答案为；
（2）证明：如图②：绕着点D旋转 得到
∴（），∴， ∵∴，
在中，由三角形的三边关系得： ，∴；
（3），理由如下：如图③，将绕着点C按逆时针方向旋转∴△DCF≌△BCH，
∴ ∴
∵ ∴，∴点A、B、H三点共线
∵，∴ ∴，
在和中，，∴（）∴，
∵∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.
8．（2023·江苏·九年级假期作业）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．
①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______；
（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF．
【答案】（1）①见解析；②1＜x＜4；（2）见解析
【分析】（1）由AD是△ABC的中线推出CD＝BD，再用SAS证明即可；
（2）由△ABD≌△ECD推出AB＝EC=5，由ED=AD推出AE=2x，由△ACE三边关系将已求代入解不等式即可；
（3）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．用SAS证明△CDF≌△BDG，△EDF≌△EDG，从而得到CF＝BG，EF＝EG，最后利用在△BEG的三边关系BE+BG＞EG得证．
【详解】（1）①∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，
在△ABD与△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）
②1＜x＜4， 理由如下：∵△ABD≌△ECD，AB＝5，∴AB＝EC=5，∵ED=AD，AD＝x，∴AE=2x．
由△ACE三边关系得：，
又∵AC＝3，∴，解得：1＜x＜4．故答案是：1＜x＜4．
（2）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
∵D是BC边上的中点，∴CD＝DB．
在△CDF与△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS）．∴CF＝BG，
∵DE⊥DF，∴．
在△EDF与△EDG中，，∴△EDF≌△EDG．∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的性质与判定，根据题意画辅助线是解题的关键．
9．（2022秋·北京昌平·九年级校联考期中）如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的长；
（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．
【答案】（1）2；（2），理由见解析
【分析】（1）由已知条件∠BOE＝∠BAO，且公共角，证明△OBE∽△ABO，进而列出比例式，代入数值即可求得；（2）延长OE到点F，使得，连接AF，FB，证明△AOF≌△DOC，进而可得，即
【详解】（1）解：∵∠BOE＝∠BAO，，∴△OBE∽△ABO，∴，
∵AB＝，E为AB的中点，∴∴，∴（舍负）.
（2）线段OE和CD的数量关系是：，理由如下，
证明：如图，延长OE到点F，使得，连接AF，FB.
∵∴四边形AFBO是平行四边形，∴，，∴，
∵∠AOB+∠COD＝，∴，∵OB＝OC，∴，
在△AOF和△DOC中，，∴△AOF≌△ODC，∴∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，第（2）小问中，根据题意正确的添加辅助线是解题的关键．
10．（2022秋·安徽·九年级校联考阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：
【探究证明】（1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：；
【拓展延伸】（2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明；
【思维提升】（3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：①；②．
【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）是定值，①；②．
【分析】（1）证明，推出，再根据角度的和差可得结论；
（2）如图2，在上取一点，使得，证明是等边三角形，然后证明，可得，利用线段的和差即可解决问题；（3）如图3，在上取一点，使得，证明，，，证明是等边三角形，所以，过点作，，垂足分别为，，根据，可得的面积的面积，根据，可得，根据，可得，所以，，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：如图1，设与交于点，
，都是等边三角形，，，，
，在和中，
，，，
，；
（2）解：，理由如下：如图2，在上取一点，使得，
是等边三角形，，，
是等边三角形，，，，
是外角平分线，，
，，
，，，
，，，
，，；
（3）解：①，②都是定值，证明如下：
如图3，在上取一点，使得，
和均为正三角形，，，三点共线，
，，由（1）知：，
，，，，
，是等边三角形，，
过点作，，垂足分别为，，
，的面积的面积，，，
，，
，，
①；
②，
，
，．
综上所述：①，②都是定值．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出图形寻找全等三角形．
11．（2023秋·河南驻马店·八年级统考期末）(1)阅读理解：
问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析
【分析】（1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证（2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证；
（3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证．
【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接，
平分，，在和中，，
，，，
，，
，，；
方法：延长到，使，连接，
平分，，在和中，，
，，，
，，
，，；
（2），，之间的数量关系为．
方法1：理由如下：如图，在上截取，连接，
由知，，
，，，
为等边三角形， ，，
，为等边三角形，，，
，，，．
方法：理由：延长到，使，连接，由知，
，是等边三角形， ，，
，，
，，为等边三角形，，，
，，即，
在和中，，，，
，；
（3）线段、、之间的数量关系为．
连接，过点作于点，
，，，
在和中，，，，，
在和中，，，，
，，
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
12．（2023·浙江衢州·校考一模）如图1，在中，，平分，连接，，．
(1)求的度数；
(2)如图2，连接，交于E，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G为的中点，连接交于点F，若，求线段的长．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）设．则，，由平分，得到，由三角形内角和定理，求得，进一步即可得到答案；
（2）先证明，则，则，又由得，即可得到结论；
（3）由O是的中点及得到，再证明，得到，则，又由，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1中，设．
∵，，∴，，
∵平分，∴，
∵，，∴，∴，
∴，，∴．
（2）证明：∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴．
（3）解：如图3中，连接，取O是的中点，
∵，∴或（舍去），由（1）、（2）及根据G是的中点可知：
，，，，∴，
∵，∴，
∴，∴，又，∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、角直角三角形的性质，熟练掌握三角形的全等和相似是解题的关键．
13．（2023春·广东·九年级专题练习）课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．
【答案】(1)，证明见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论；
（2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论；（3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论．
【详解】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则，
∴，∵平分∴，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴．故答案为：．
（2）证明：如图3，在上截取，使，连接
∵分别平分，
∴，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴．
（3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则，
∴，∵，∴，
∵， ∴∴，∴，∴，
在和中，，∴∴，即平分．
【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．
14．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°。（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF=EF-BD．
【分析】（1）先证明∠ACE=∠CBD，即可利用AAS证明△AEC≌△CDB；
（2）在直线l上位于C点左侧取一点E，使得∠AEC=60°，连接AE，由（1）可知△AEC≌△CDB，CE=BD，然后证明△FAE≌△HFG得到GH=EF，则CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；
（3）在直线l上位于C点右侧取一点E使得∠AED=60°，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N，先证明△BDM是等边三角形，得到∠DBM=∠DMB=60°，然后证明∠ACE=∠ABD=∠CBM，即可利用AAS证明△AEC≌△CMB得到CE=BM=BD；最后证明△AEF≌△FGH得到HG=EF，则EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCD=180°-∠ACB=120°，
∵∠BDC=60°，∴∠BCD+∠CBD=180°-∠BDC=120°，∴∠ACE=∠CBD，
在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS）
（2）如图所示，在直线l上位于C点左侧取一点E，使得∠AEC=60°，连接AE，
由（1）可知△AEC≌△CDB，∴CE=BD，
∵∠ACE=60°，∴∠AEF=120°，∴∠AEF=∠AFH=120°，
∴∠AFE+∠FAE=180°-∠AEF=60°，∠AFE+∠HFG=180°-∠AFH=60°，∴∠FAE=∠HFG，
在△FAE和△HFG中，，∴△FAE≌△HFG（AAS），
∴GH=EF，∴CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；
（3）如图所示，在直线l上位于C点右侧取一点E使得∠AED=60°，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N
∵∠BDC=60°，BM=BD，∴△BDM是等边三角形，∴∠DBM=∠DMB=60°，
∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=BC
∴∠ABM+∠CBM=∠ABM+∠ABD，∴∠ABD=∠CBM，
∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ANE=∠DNB，∴∠ACE=∠ABD=∠CBM，
∵∠CMB=180°-∠DMB=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°，∴∠CMB=∠AEC，
在△AEC和△CMB中，，∴△AEC≌△CMB（AAS），∴CE=BM=BD；
∵∠AFH=120°，∴∠AFC+∠GFH=60°，∵∠GFH+∠FHG=180°-∠HGF=60°，∴∠AFC=∠FHG，
在△AEF和△FGH中，，∴△AEF≌△FGH（AAS），∴HG=EF，
∴EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．故答案为：CF=EF-BD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
15．（2022·河南·模拟预测）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．某同学做了如下探究，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应该是______．（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出正确的结论，并说明理由．（3）如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）EF=BE+DF；（2）结论EF=BE+DF仍然成立；理由见解析；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里
【分析】（1）根据题意证明△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，可得EF=FG，根据FG=DG+DF=BE+DF，可得EF=BE+DF；（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，同（1）的方法证明即可；（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，应用（2）的结论可得EF=AE+BF进而气得的长，即两舰艇之间的距离
【详解】（1）EF=BE+DF，证明如下：
在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为 EF=BE+DF．
（2）结论EF=BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，如图②，
∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,∴∠B=∠ADG,
在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；
（3）如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，方位角的计算，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
16．（2022·河南·九年级期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1，在△ABC 中，若 AB＝5，AC＝3，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到 E，使得 DE＝AD，再连接 BE（或将△ACD 绕点 D 逆时针旋转 180°得到△EBD），把 AB、AC、2AD 集中在△ABE 中， 利用三角形的三边关系可得 2＜AE＜8，则 1＜AD＜4．
【感悟】解题时，条件中若出现中点、中线字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中 心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
【解决问题】受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图 2，在△ABC 中，D 是 BC 边上的中点， DE⊥DF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF．（1）求证：BE＋CF＞EF，
（2）若∠A＝90°，探索线段 BE、CF、EF 之间的等量关系，并加以证明．、
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），利用三角形的三边关系即可解决问题；
（2）若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，在Rt△EBG中，根据BE2+BG2=EG2，即可解决问题；
【详解】解：（1）延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF=BG，DF=DG，∵DE⊥DF，∴EF=EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
（2）若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，∴BE2+CF2=EF2；
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
17．（2022·山东东营·中考真题）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是________．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【答案】（1）；（2）仍然成立，证明见解析；（3）①仍然成立，证明见解析；②
【分析】（1）根据三角形全等可得；
（2）方法一：过点O作直线，交BD于点F，延长AC交EF于点E，证明即可，
方法二：延长CO交BD于点E，证明即可；
（3）方法一：过点O作直线，交BD于点F，延长CA交EF于点E，证明，
方法二：延长CO交DB的延长线于点E，证明；
【详解】（1）O是线段AB的中点
在和中
（2）数量关系依然成立．
证明（方法一）：过点O作直线，交BD于点F，延长AC交EF于点E．
∵∴
∴四边形CEFD为矩形∴，
由（1）知，∴，∴．
证明（方法二）：延长CO交BD于点E，
∵，，∴，∴，
∵点O为AB的中点∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴．
（3）数量关系依然成立．证明（方法一）：
过点O作直线，交BD于点F，延长CA交EF于点E．
∵∴∴四边形CEFD为矩形．∴，
由（1）知，∴，∴．10分
证明（方法二）：延长CO交DB的延长线于点E，
∵，，∴，∴，∴点O为AB的中点，∴，
又∵，∴，∴，∵，∴．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的性质与判定，直角三角形的性质，根据题意找到全等的三角形，证明线段相等，是解题的关键．
18．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析
【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明；（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到．
(1)证明：在和中，
，∴ ，∴ ，∴ ，
∵，∴．
(2)解：补全后的图形如图所示，，证明如下：
延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，
∵，CM＝CB，∴ 垂直平分BM，∴，在和中，
，∴ ，∴ ，，
∵，∴ ，∴ ，∵，∴ ，
∴ ，即，∵，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键．
19．（2022·内蒙古·中考真题）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．）。(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；
(2)如图1，若点是边上任意一点（不与、重合），其他条件不变．求证：；
(3)在（2）的条件下，连接，过点作，垂足为．设，当为何值时，四边形是平行四边形，并给予证明．
【答案】(1)AG=CE(2)过程见解析(3)，证明过程见解析
【分析】对于（1），根据点E是BC的中点，可得答案；
对于（2），取AG=EC，连接EG，说明△BGE是等腰直角三角形，再证明△GAE≌△CEF，可得答案；
对于（3），设BC=x，则BE=kx，则，，再利用等腰直角三角形的性质表示EP的长，利用平行四边形的判定得只要EP=FC，即可解决问题．
(1)解：∵E是BC的中点，∴BE=CE．∵点G是AB的中点，∴BG=AG，∴AG=CE．故答案为：AG=CE；
(2)取AG=EC，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°．
∵AG=CE，∴BG=BE，∴△BGE是等腰直角三角形，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°．
∵CF是正方形ABCD外角的平分线，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=90°+45°=135°．
∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△GAE≌△CEF，∴AE=EF；
(3)当时，四边形PECF是平行四边形．
如图．由（2）得，△GAE≌△CEF，∴CF=EG．
设BC=x，则BE=kx，∴，．
∵EP⊥AC，∴△PEC是等腰直角三角形，∴∠PEC=45°，
∴∠PEC+∠ECF=180°，．∴，
当PE=CF时，四边形PECF是平行四边形，∴，解得．
【点睛】这是一道关于四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定等知识．
20．（2022·江苏·九年级期中）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ．
A．SAS；B. SSS；C. AAS；D. HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
(3)【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证AE＝FE．
(4)【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)A(2)1＜AD＜7(3)见解析(4)BE2+CF2＝EF2，证明见解析
【分析】[问题情境](1)根据全等三角形的判定定理解答；(2)根据三角形的三边关系计算；
[初步运用]延长AD到M，使AD=DM，连接BM，证明△ADC≌△MDB，根据全等三角形的性质解答；
[灵活运用]延长ED到点G，使DG=ED，连接GF，GC，证明△DBE≌△DCG，得到BE=CG，根据勾股定理解答．
(1)解：在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故选：A；
(2)解：由(1)得：△ADC≌△EDB，∴AC=BE=6，
在△ABE中，AB−BE
∵AD是△ABC中线，∴CD=BD，在△ADC和△MDB中，
，∴△ADC≌△MDB(SAS)，∴BM=AC，∠CAD=∠M，
∵AC=BF，∴BM=BF，∴∠M=∠BFM，
∵∠AFE=∠BFM，∴∠BFM=∠CAD=∠M，∴AE=FE；
(4)解：线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2=EF2；
理由如下：延长ED到点G，使DG=ED，连接GF，GC，如图③所示：
∵ED⊥DF，DG=ED，∴EF=GF，∵D是BC的中点，∴BD=CD，
在△BDE和△CDG中，
，∴△DBE≌△DCG(SAS)，∴BE=CG，∠B=∠GCD，
∵∠A=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∴∠GCD+∠ACB=90°，即∠GCF=90°，
∴Rt△CFG中，由勾股定理得：CF2+GC2=GF2，∴BE2+CF2=EF2．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用等知识；熟练掌握三角形的三边关系和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
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