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专题12 全等模型-角平分线模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用）
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这是一份专题12 全等模型-角平分线模型-备战2024年中考数学常见模型题型归纳与总结高分突破（全国通用），文件包含专题12全等模型-角平分线模型原卷版docx、专题12全等模型-角平分线模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作.
结论：、≌.
图1 图2
常见模型1（直角三角形型）
条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作.
结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.）
图3
常见模型2（邻等对补型）
条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。
结论：①；②；③.
例1．（2022·北京·中考真题）如图，在中，平分若则____．
【答案】1
【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，作于点F，
∵平分，，，∴，
∴．故答案为：1．
【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边的高是解题的关键．
例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【答案】C
【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案.
【详解】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键．
例3．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、，，，则①平分；②；③；④．上述结论中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③④D．①②③④
【答案】D
【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理即可判断①结论；证明，，得出，，进而得到，再利用四边形内角和，即可判断②结论；根据角平分线的定义和三角形的外角性质，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，即可判断④结论．
【详解】解：①如图，过点作于，
平分，，，，
平分，，，，，
，，平分，①结论正确；
②，，，，
在和中，，，
，同理可得，，，
，
，，
，②结论正确；③平分， ，
，，，
平分，，，，③结论正确；
④由②可知，，，，，
，，④结论正确，
正确的结论是①②③④，故选：D
【点睛】本题考查了角平分线的平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的判定和性质，四边形内角和，三角形的外角性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．
例4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；
（2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论．
【详解】（1）证明：过点作于，
∵，平分，∴，
∵点为的中点，∴，∴，又∵，∴平分；
（2）证明：在和中，
，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴；
（3）证明：∵，∴，
∵，∴，∵，∴．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
例5．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．
（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析
【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）结论：CF=CG；
证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）CF=CG．理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，
∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°，
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60°（角平分线的性质），
∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°，∴∠MCO=90°-60° =30°，∠NCO=90°-60° =30°，
∴∠MCN=30°+30°=60°，∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，∴△MCF≌△NCG（ASA），
∴CF=CG（全等三角形对应边相等）．
【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．
模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1，为的角平分线，，
结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。
图1 图2 图3
条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F.
结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。
例1．（2023·山东淄博·校考二模）如图，点在内部，平分，且，连接．若的面积为，则的面积为 ．
【答案】4
【分析】延长交于，由证明，得出，根据三角形中线的性质即可求解．
【详解】解：延长交于，如图所示：
平分，垂直于，，，
在和中，，)，，
，∴，
∵的面积为，∴的面积为，故答案为：．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，中线的性质，证明三角形全等得出是解题关键．
例2．（2022秋·湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 ．
【答案】
【分析】延长和相交于点，构造出，从而求出的值；根据当时， 有最大值求解即可；
【详解】解：延长和相交于点，如图：
∵ 是 的角平分线∴ ∵ ∴
，
当时， 有最大值；此时，
即：
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；通过角平分线构造全等三角形是解题关键．
例3．（2022·绵阳市·九年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．
（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）BD=2CE，理由见解析；（3）FM=2CE．
【分析】(1) 由BD平分∠ABC，可得∠ABE=∠FBE，可证△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°即可；（2）延长CE，交BA的延长线于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可证△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可证△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可．
【详解】证明(1) ∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE，∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=× 180°=90°，∴BD垂直平分AF．
（2）BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G，
∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE，∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA，
又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，
（3）FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，
∴FN=MN，MH=FH=FM，∴∠NMH=∠NBH，
∵∠EFC=∠ABC=22.5°，∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC，
∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN，
∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE，
又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线，三角形外角性质，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线是解题关键．
例4．（2022·安徽黄山·九年级期中）如图，在中，，，是边上一动点，于．（1）如图（1），若平分时，①求的度数；
②延长交的延长线于点，补全图形，探究与的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图（2），过点作于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）①，②BD=2EC，理由见详解；（2）BE=CE+2AF，理由见详解．
【分析】（1）①由题意易得∠ABC=∠ACB=45°，则有∠CBD=∠ABD=22.5°，进而可求∠ECD=∠DBA，则问题得解；②由题意易得CE=EF，则可证△ABD≌△ACF，进而可得BD=CF，最后根据线段的数量关系可求解；
（2）在BE上截取BH=CE，连接AH，则易证△BHA≌△CEA，则有AE=AH，∠BAH=∠CAE，进而可得∠HAE=90°，然后根据线段的数量关系可求解．
【详解】解：（1）∵，，∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=22.5°，
①∵∠ABD+∠BDA=∠CDE+∠ECD=90°，∠CDE=∠BDA，∴∠ABD=∠ECD=22.5°；
②BD=2EC，理由如下：如图所示：
∵，∴∠CEB=∠FEB=90°，∵BE=BE，∴△CEB≌△FEB（ASA），∴CE=FE，
∵∠DBA+∠F=90°，∠FCA+∠F=90°，∴∠DBA=∠FCA，
∵∠BAD=∠CAF=90°，AB=AC，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，∴BD=2CE；
（2）BE=CE+2AF，理由如下：在BE上截取BH=CE，连接AH，如图，由（1）易得∠HBA=∠ECA，
∵AB=AC，∴△BHA≌△CEA（SAS），∴AH=AE，∠BAH=∠CAE，
∵∠BAH+∠HAC=90°，∴∠EAC+∠HAC=90°，即∠HAE=90°，
∵AF⊥BE，∴AF=HF=FE，∵BE=BH+HF+FE，∴BE=CE+2AF．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形斜边中线定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）
【模型解读与图示】
条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结.
结论：≌，CB=CA。
条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结.
结论：≌，≌，AB+CD=BC。
例1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．
【答案】（1）；（2），见解析；（3）44°或104°；详见解析．
【分析】（1）根据等边对等角，可得，，再根据三角形外角的性质求出，由此即可解题；
（2）在AC边上取一点M使AM=AB，构造，根据即可得出答案；
（3）画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得，可得，设，则；根据∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，可得，可证（SAS），得出，利用还有 ，列方程；当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB， 可得，得出，设，则；∠BAC＝24°，根据AD为△ABC的角平分线，得出，证明（SAS），得出，利用三角形内角和列方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴，，
∵，，∴，
∵AD为△ABC的角平分线，即，∴；∴
（2）如图2，在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，
在和中， ，∴（SAS），∴，
∵，，∴，∴；
（3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，
∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，设，则；
又∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴，
又∵，∴，，∴，
在和中， ，∴（SAS），∴，
又∵，∴，解得：，∴；
当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；
如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，
∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，设，则；
又∵∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴，
又∵，∴，，∴，
在和中， ，∴（SAS），
∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度数为44°或104°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．
例2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数．
【答案】40°
【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，再通过证明，即可求得
【详解】解：如图，在上截取，连接，是的平分线，，
在和中，，，，
∴DE=DF，，又，，
，，
在和中，，故．
【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
例3．（2022·北京九年级专题练习）在四边形中，是边的中点．
（1）如图（1），若平分，，则线段、、的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）；（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋BD，证明见解析．
【分析】（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论；
（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF＝CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG＝CG＝BD，从而可证得结论．
【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．
∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．
∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD．
∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．
在△CEF和△CED中，∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．
∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE；
（2）AE＝AB＋DE＋BD．
证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG．
∵C是BD边的中点，∴CB＝CD＝BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴CF＝CB，∠BCA＝∠FCA．
同理可证：△ECD≌△ECG∴CD＝CG，∠DCE＝∠GCE．∵CB＝CD，∴CG＝CF．
∵∠ACE＝120°，∴∠BCA＋∠DCE＝180°−120°＝60°．∴∠FCA＋∠GCE＝60°．∴∠FCG＝60°．
∴△FGC是等边三角形．∴FG＝FC＝BD．∵AE＝AF＋EG＋FG，∴AE＝AB＋DE＋BD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．
例4．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
【答案】（1）；证明见解析；（2）；证明见解析．
【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC＋CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求得AC＋AB＝CD．
【详解】（1）猜想：．
证明：如图②，在上截取，连结，
∵为的角平分线时，∴，∵，
∴，∴，，
∵，∴．
∵，∴，∴，∴．
（2）猜想：．
证明：在的延长线上截取，连结．
∵平分，∴．
在与中，，，，
∴．∴，．∴．
又，，．
∴．∴．∴．
【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
课后专项训练
1．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（ ）
A．①③B．①②③C．①③④D．②③
【答案】B
【分析】如图作于点E，于点F，只要证明，即可一一判断．
【详解】解：如图所示：作于点E，于点F，
，，，，
，，
平分，，，，
在和中，， ，，
在和中，，，
，故①正确，
，定值，故③正确，
定值，故②正确，
的位置是变化的，之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．（2022·江苏常州·一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（ ）
A．B．9C．6D．7．2
【答案】B
【分析】要求值，主要求出AE和BE的长即可，注意到AC是角平分线，于是作CF⊥AD交AD的延长线于点F，可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和BE的长，从而解决问题．
【详解】解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CFD=90°，
∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°， ∴∠CFD=∠CEB=90°，
∵∠BAC=∠DAC， ∴AC平分∠BAD， ∴CE=CF，
∵四边形ABCD对角互补， ∴∠ABC+∠ADC=180°，
又∵∠CDF+∠ADC=180°， ∴∠CBE=∠CDF，
在△CBE和△CDF中，， ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴BE=DF，
在△AEC和△AFC中，， ∴△AEC≌△AFC（AAS）， ∴AE=AF，
设BE=a，则DF=a， ∵AB=15，AD=12， ∴12+2a=15，得，
∴AE=12+a=，BE=a=， ∴， 故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造全等三角形进而得出等量关系．
3．（2023·成都·中考模拟）已知，如图，BC=DC，∠B+∠D=180°． 连接AC，在AB，AC，AD上分别取点E，P，F，连接PE，PF． 若AE=4，AF=6，△APE的面积为4，则△APF的面积是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】作于点，于点，延长，取，连接，先证明，由全等三角形对应边相等、对应角相等，得到，结合等边对等角得到，再由角平分线的性质证得，最后根据三角形面积公式解题即可.
【详解】解：如图，作于点，于点，延长，取，连接，
故选：C.
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键.
4．（2023·福建厦门·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（ ）
A．①③B．①②③C．①③④D．②③
【答案】B
【分析】如图作于点E，于点F，只要证明，即可一一判断．
【详解】解：如图所示：作于点E，于点F，
，，
，，
，，
平分，，，，
在和中，， ，，
在和中，，，
，故①正确，，定值，故③正确，
定值，故②正确，
的位置是变化的，之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
5．（2022·安徽合肥·一模）如图，中，AD平分，E是BC中点，，，，则DE的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】延长BD交AC于点F，先证明，得到BD=DF，D是BF的中点，再由中位线的性质解答即可．
【详解】解：延长BD交AC于点F，如图
AD平分，
D是BF的中点，
E是BC中点，故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形判定与性质、中位线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
6．（2022·福建·福州一模）如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点B，交CD于点F，H是BC边的中点，连接DH交BE于点G，现给出以下结论：①△ACD≌△FBD；②AE=CE；③△DGF为等腰三角形；④S四边形ADGE=S四边形GHCE．其中正确的有_________（写出所有正确结论序号）．
【答案】①②③
【分析】证明△ACD≌△FBD（AAS），由全等三角形的性质得出AC＝BF．则①正确；证明△ABE≌△CBE（ASA），由全等三角形的性质得出AE＝CE，则可得出②正确；证出∠DGF＝∠DFG，由等腰三角形的判定可得出③正确．过G作GM⊥BD于点M，由直角三角形的性质及全等三角形的性质得出S四边形ADGE＜S四边形GHCE，故④错误．
【详解】解：①∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDF＝90°，∠DBF＋∠DFB＝180°−∠BDF＝90°，
又∵BE⊥AC，∴∠BEA＝90°，∴∠DBF＋∠DAC＝180°−∠BEA＝90°，∴∠DAC＝∠DFB，
又∵∠ABC＝45°，∴∠DCB＝180°−∠ABC−∠BDF＝45°，△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，∴在△ACD和△FBD中，，∴△ACD≌△FBD（AAS），故①正确；
②∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴在△ABE和△CBE中，
，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，故②正确；
③∵∠HBG＋∠BGH＝180°−∠GHB＝90°，∠DBF＋∠DFG＝180°−∠BDF＝90°，∠HBG＝∠DBF，
∴∠BGH＝∠DFG，∵∠BGH＝∠DGF，∴∠DGF＝∠DFG，
∴△DGF为等腰三角形．故③正确；④如图所示，过G作GM⊥BD于点M，
∵H为等腰直角△BCD斜边BC的中点，∴DH⊥BC，即∠GHB＝90°，
又∵BE平分∠ABC，GM⊥BD，∴GM＝GH，
又∵BD＞BH，∴S△BDG＞S△BGH，又∵△ABE≌△CBE，∴S△ABE＝S△CBE，
∴S四边形ADGE＝S△ABE−S△BDG，S四边形GHCE＝S△CBE−S△BGH，
∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE，故④错误；综上所述：正确的有①②③．故答案为：①②③．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，证明△ABE≌△CBE是解题的关键．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】如下图，先构造并证明，从而得出，再根据可推导出，最后在Rt△ACM中求解．
【详解】解析：连接，过点作于点，于点，
，，
，，，
，，
，．设，则，
．．
设，则，，，
在中，由勾股定理得解得．．
【点睛】本题考查了构造并证明全等三角形、勾股定理的运用，解题关键是利用进行角度转化，得到边．
8．（2023·达州·校考一模）如图，已知四边形中，平分，，求证：．
【答案】见解析
【分析】过分别作，交的延长线于点，作于点，则由角平分线的性质得AE=AF，再证Rt△AED≌Rt△AFB(HL)，得∠EDA=∠B，再由邻补角性质可得出结论．
【详解】证明：过分别作，交的延长线于点，作于点，
∵CA平分，，，，
在和中，， ∴Rt△AED≌Rt△AFB(HL)，∴∠EDA=∠B，
∵∠EDA+∠ADC=180°∴∠B+∠ADC=180°．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过分别作，交的延长线于点，作于点，构造全等三角形是解题的关键．
9．（2022·安徽芜湖·九年级期中）如图，已知，是的平分线，且交的延长线于点E．求证：．
【答案】见解析
【分析】延长与的延长线相交于点F，可以证明，再证明，得到，即可得出结论．
【详解】证明：如图，延长与的延长线相交于点F，
∵，∴，
在和中，，∴，∴，
∵是的平分线，∴．
在和中，，∴，∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线性质，全等三角形判定和性质，能够想到延长CE、BA相交于点F，构造全等三角形是解决本题的关键．
10．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，分别平分，交于点．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
【答案】(1)见详解(2)84
【分析】（1）由平行四边形的性质证即可求证；
（2）作，由即可求解；
（1）证明：在中，∵，∴，
∵分别平分，，∴，
在和中，∵∴，
∴，∴．
（2）如图，作，
∵的周长为56，∴，∵平分，∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
11．（2022秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于点H．
(1)求证：；(2)若AD＝3，AB＝8，求AH的长．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证；
（2）过点作于点，先根据全等三角形的性质可得，设，则，，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，据此建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，
∵平分，，∴，
在与中，，∴，，
，．
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）已证：，，
设，则，
，，
在和中，，，
，，解得，即的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
12．（2023·宁夏银川·校考二模）问题提出
（1）如图①，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点C，画射线，连接，则图①中与全等的是___________；
问题探究（2）如图②，在中，平分，过点D作于点M，连接，，若，求证：；
问题解决（3）如图③，工人刘师傅有块三角形铁板，，他需要利用铁板的边角裁出一个四边形，并要求，．刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作出的平分线交于点D，作的平分线交于点E，交于点F，得到四边形．请问，若按上述作法，裁得的四边形是否符合要求？请证明你的结论．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）裁得的四边形符合要求，理由见解析
【分析】（1）利用证明即可求解；
（2）过点D作交的延长线于点N，证明，推出，结合已知推出，再证明，据此即可求解；
（3）作出如图的辅助线，利用角平分线的定义结合四边形的内角和定理推出，证明，据此即可证明结论．
【详解】解：（1），理由如下：由作法知，，，又，
∴，故图①中与全等的是，故答案为：；
（2）如图，过点D作交的延长线于点N，
∵平分，，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，即，
∵，，∴，
∴，∴；
（3）符合要求，证明：如图，过点F分别作于点G，作于点H，作于点K，
∵分别是的平分线，∴，
∵，∴在四边形中，
∵，，
在中，，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴裁得的四边形符合要求．
【点睛】本题考查了角平分线性质定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形的解题的关键．
13．（2022·江苏·一模）如图，已知，AE，BD是的角平分线，且交于点P．
（1）求的度数．（2）求证：点在的平分线上．（3）求证：①；②．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）①见解析，②见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的性质即可得解；
（2）根据角平分线上的点到两边的距离相等，作，，分别垂直于，，，即可得解；（3）①根据（2）所做图像，证明全等即可得解；②在AB上取，证明，，得到，证明，得到，证明，得到，再结合图像即可证明．
【详解】解：（1）已知，，
又 AE，BD是的角平分线，，
；
（2）作，，分别垂直于，，如图，
AE，BD是的角平分线，，在的平分线上；
（3）①：如图所示，在四边形中，
，（对顶角），
，，
又，，，；
②：在AB上取，
，，
同理可证，，，
又，，，，
又，，
又
，．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质；掌握好相关的基本性质定理，熟练地使用全等三角形的性质是关键．
14．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)AD⊥CB′；；(2)①∠BAC=2∠DAE，理由见解析；②BE=CD+DE，理由见解析
【分析】（1）先证明∠ADC=90°，再过点A作AF⊥BC于点F，根据角平分线的性质，证明△ADC≌△AFC(HL)，即可求解；（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形内角和定理得到α=90°-∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°-∠DAE=α，进一步计算即可求解；
②在BC上截取BG=CD，先后证明△ABG≌△ACD(SAS)，△GAE≌△DAE (SAS)，即可求解．
（1）解：∵点E与点C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，∴AD⊥CB′；
过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，∴CF=BF=BC=，
∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，∴AF= AD，∴△ADC≌△AFC(HL)，
∴CD=CF=，故答案为：AD⊥CB′；；
（2）解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下：
设∠ACB′=∠ACB=α=∠B，∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°-∠BAC，
∵∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ACD=90°-∠DAE=α，
∴90°-∠BAC=90°-∠DAE，∴∠BAC=2∠DAE；
②BE=CD+DE，理由如下：在BC上截取BG=CD，
在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD(SAS)，∴AG=AD，∠BAG=∠CAD，
∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，∴∠BAC=∠GAD，
∵∠BAC=2∠DAE，∴∠GAD=2∠DAE，∴∠GAE=∠DAE，
在△GAE和△DAE中，，∴△GAE≌△DAE (SAS)，
∴GE=DE，∴BE=BG+GC=CD+DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
15．（2022·重庆·二模）已知：如图1，四边形ABCD中，，连接AC、BD，交于点E，．
(1)求证：；(2)如图2，过点B作，交DC于点F，交AC于点G，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，若，求线段GF的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）过点A作AP⊥BD于点P，AF⊥BC，交CB的延长线于点F，可证四边形APBF是正方形，可得AP＝AF，根据“HL”可证，可得∠DAP＝∠FAC，即可得∠DAC＝90°；
（2）过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥BD于点N，过点C作CP⊥BF于点P，在BD上截取DH＝BC，连接AH，根据角平分线的性质可得FN＝FM，根据S△DBF＝2S△CBF，可得BD＝2BC，即BH＝DH＝BC，通过全等三角形的判定和性质可得AG＝GC；
（3）由全等三角形的性质可得BG＝PG＝，根据勾股定理可求GC，DC，PF的长，即可求GF的长．
(1)解：如图，过点A作AP⊥BD于点P，AF⊥BC，交CB的延长线于点F，
∵AP⊥BD，AF⊥BC，BD⊥BC∴四边形APBF是矩形
∵∠ABC＝135°，∠DBC＝90°，∴∠ABP＝45°，且∠APB＝90°，
∴AP＝PB，∴四边形APBF是正方形∴AP＝AF，且AD＝AC，
∴，∴∠DAP＝∠FAC，
∵∠FAC+∠PAC＝90°∴∠DAP+∠PAC＝90°∴∠DAC＝90°
(2)如图，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥BD于点N，过点C作CP⊥BF于点P，在BD上截取DH＝BC，连接AH，
∵∠ABC＝135°，∠ABF＝90°，∴∠CBF＝45°，且∠DBC＝90°，
∴∠DBF＝∠CBF，且FN⊥BD，FM⊥BC，∴FN＝FM，
∵S△DBF＝2S△CBF，∴×2，
∴BD＝2BC，∴BH＝BD﹣DH＝BD﹣BC＝BC，
∵∠AED＝∠BEC，∠DAC＝∠DBC＝90°，
∴∠ADH＝∠ACB，且AD＝AC，DH＝BC，∴△ADH≌△ACB（SAS），
∴∠AHD＝∠ABC＝135°，AH＝AB，∴∠AHB＝∠ABD＝45°，∴∠HAB＝90°，
∵BC＝BH，∠HAB＝∠BPC，∠AHB＝∠FBC＝45°，∴△AHB≌△PBC（AAS），∴AB＝PC，
∵AB＝PC，且∠ABP＝∠BPC，∠AGB＝∠CGP，∴△AGB≌△CGP（AAS），∴AG＝GC
(3)解：如图，
∵AB＝3＝PC，∠PBC＝45°，PC⊥BF，∴BP＝PC=3，
∵△AGB≌△CGP，∴BG＝PG＝，
在中，CG＝＝，∴AG＝GC＝
∴AC＝AD＝2AG＝3 在中，CD＝＝，
∵S△DBF＝2S△CBF，∴DF＝2FC∵DF+FC＝DC∴FC＝
在中，PF＝＝1∴FG＝PG+PF＝1+ ＝．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是添加恰当的辅助线构造全等三角形．
16．（2022·陕西西安·一模）如图，△ABD和△BCE都是等边三角形，∠ABC＜105°，AE与DC交于点F．
（1）求证：AE＝DC；（2）求∠BFE的度数；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．
【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）18.23cm
【分析】（1）由等边三角形的性质可知∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE．从而可证∠DBC＝∠ABE．即可利用“SAS”可证明△DBC≌△ABE，得出结论AE＝DC．
（2）过点B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．由△DBC≌△ABE可知∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF．再结合等边三角形的性质可求出∠FDA+∠DAF＝120°，进而求出∠DFA＝180°-120°＝60°，即求出∠DFE＝180°-60°＝120°．即可利用“AAS”证明△BEH≌△BCN，得出结论BH＝BN，即得出BF平分∠DFE，即可求出∠BFE＝60°．
（3）延长BF至Q，使FQ＝AF，连接AQ．根据所作辅助线可知∠AFQ＝∠BFE＝60°，即证明△AFQ是等边三角形，得出结论AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°．又可证明∠DAF＝∠BAQ．利用“SAS”可证明△DAF≌△BAQ，即得出DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，最后即可求出CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．
【详解】（1）证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE，
∴∠DBA+∠ABC＝∠EBC+∠ABC，即∠DBC＝∠ABE，
∵在△DBC和△ABE中，，
∴△DBC≌△ABE（SAS），∴AE＝DC；
（2）解：如图，过点B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．
∵△DBC≌△ABE，∴∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF，
∵△ABD是等边三角形，∴∠BDA+∠BAD＝120°，
∴∠FDA+∠DAF＝120°，∴∠DFA＝180°-120°＝60°，
∴∠DFE＝180°-60°＝120°，在△BEH和△BCN中，
，∴△BEH≌△BCN（AAS），
∴BH＝BN，∴BF平分∠DFE，∴∠BFE＝∠DFE＝×120°＝60°；
（3）解：如图，延长BF至Q，使FQ＝AF，连接AQ．则∠AFQ＝∠BFE＝60°，
∴△AFQ是等边三角形，∴AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°，
∵△ABD是等边三角形，∴AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴∠DAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAQ，即∠DAF＝∠BAQ，
在△DAF和△BAQ中，，
∴△DAF≌△BAQ（SAS），∴DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，
∴CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．
【点睛】本题为三角形综合题．考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及角平分线的判定和性质．正确的作出辅助线也是解答本题的关键．
17．（2022·自贡市九年级月考）根据图片回答下列问题．
(1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．
(2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．
【答案】（1）=；（2）见解析；
【分析】（1）利用HL判断出△ADC≌△ADC，即可得出结论；
（2）先构造出△ACD≌△AED，得出DC=DE，∠AED=∠C，在判断出DE=DB，即可得出结论；
【详解】解：证明：（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，∴∠C=90°，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAD，∵AD=AD，∴△ACD≌△ABD（AAS），∴BD=CD；
（2）如图②，在AB边上取点E，使AC=AE，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，
∵AD=AD，AC=AE，∴△ACD≌△AED（SAS），∴DC=DE，∠AED=∠C，
∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°，∴∠DEB=∠B，∴DE=DB，∴DB=DC；
【点睛】本题是四边形综合题，考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
18．（2023·山东·九年级专题练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容．
已知：如图13.5.4，是的平分线，P是上任意一点，，垂足分别为点D和点E．
求证：．
分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得
【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明的过程．
【类比探究】（1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点分别在和上，连接和，若，求证： ；（2）如图③，的周长是12，分别平分和于点D，若 ，则的面积为 ．
【答案】【问题解决】见解析；【类比探究】（1）见解析；（2）18
【分析】[问题解决]利用角角边定理证明，根据全等三角形的性质证明结论；
[类比探究]（1）过点P作于于F，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过O作与于F，利用角平分线的性质可得，然后再利用面积的计算方法可得答案．
【详解】[问题解决]证明：∵∴
在和中，,
∴(AAS)，∴；
[类比探究]（1）证明：如图②，过点P作于E，于F，
∵是的平分线，，∴，
∵，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）过O作与E，于F，
∵分别平分和，∴，
∵，∴，∵的周长是，∴ ，
∴的面积：，故答案为：18．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19．（2023·安徽·九年级期末）如图，在中，，平分．
（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数；
（3）如图3，若，求证：．
【答案】（1）见详解；（2）108°；（3）见详解
【分析】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，由 CA＝CB，，得是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到AC＝AM，于是得到结论；
（2）如图2，设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠KAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠AKD＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根据等腰三角形的性质得到DH＝BH，于是得到结论．
【详解】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，∴在中，， ∴∠ABC＝45°，
∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，∴CD＝MD， ∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∴BM＝DM，∴BM＝CD，
在RT△ADC和RT△ADM中，，∴RT△ADC≌RT△ADM（HL），
∴AC＝AM，∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，即AB＝AC＋CD；
（2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，如图2，
∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK∴BK＝BD，∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠KAD，
在△CAD和△KAD中， ∴△CAD≌△KAD（SAS），
∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°−α，∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°−α，
∴在△BDK中，180°−α＋180°−α＋90°−α＝180°，∴α＝108°，∴∠ACB＝108°；
（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∵AD是角平分线，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°，
在AB上截取AK＝AC，连接DK，由（1）得，△CAD≌△KAD，
∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD，
∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝∠DHK -∠CBA =40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD，
∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．（2023·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）（情景呈现）画，并画的平分线．
（I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，（如图1）．则；若把三角尺绕点旋转（如图2），则________．（选填：“<”、“>”或“=”）
（理解应用）（2）在（1）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3．
①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线）；②猜想，，之间的关系为________．
（拓展延伸）（3）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由．
【答案】（1）=；（2）①3；②；（3）相等，理由见解析
【分析】（1）PE=PF，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论；
（2）①根据等腰直角三角形的性质得到OP=PG=PH，证明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案；②根据勾股定理，全等三角形的性质解答；
（3）作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，证明△PGE≌△PHF，根据全等三角形的性质证明结论．
【详解】（1）如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，
∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，
∵OC是∠AOB的平分线，∴PM=PN，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，
在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE=PF，故答案为：=；
（2）①∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=45°，
∵GH⊥OC，∴∠OGH=∠OHG=45°，∴OP=PG=PH，
∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，∴∠GPE=∠OPF，
在△GPE和△OPF中，，∴△GPE≌△OPF（ASA），同理可证明△EPO≌△FPH，
∵，∴△GPO≌△OPH（SAS），∴全等三角形有3对，故答案为：3；
②GE2+FH2=EF2，理由如下：∵△GPE≌△OPF，∴GE=OF，∵△EPO≌△FPH，∴FH=OE，
在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，∴GE2+FH2=EF2，故答案为：GE2+FH2=EF2；
（4）如图，作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，
在△OPG和△OPH中，，∴△OPG≌△OPH，∴PG=PH，
∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，∴∠GPH=120°，
∵∠EPF=120°，∴∠GPH=∠EPF，∴∠GPE=∠FPH，
在△PGE和△PHF中，，∴△PGE≌△PHF，∴PE=PF．
【点睛】本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作.
结论：、≌.
图1 图2
常见模型1（直角三角形型）
条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作.
结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.）
图3
常见模型2（邻等对补型）
条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。
结论：①；②；③.
例1．（2022·北京·中考真题）如图，在中，平分若则____．
【答案】1
【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，作于点F，
∵平分，，，∴，
∴．故答案为：1．
【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边的高是解题的关键．
例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【答案】C
【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案.
【详解】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键．
例3．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、，，，则①平分；②；③；④．上述结论中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③④D．①②③④
【答案】D
【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理即可判断①结论；证明，，得出，，进而得到，再利用四边形内角和，即可判断②结论；根据角平分线的定义和三角形的外角性质，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，即可判断④结论．
【详解】解：①如图，过点作于，
平分，，，，
平分，，，，，
，，平分，①结论正确；
②，，，，
在和中，，，
，同理可得，，，
，
，，
，②结论正确；③平分， ，
，，，
平分，，，，③结论正确；
④由②可知，，，，，
，，④结论正确，
正确的结论是①②③④，故选：D
【点睛】本题考查了角平分线的平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的判定和性质，四边形内角和，三角形的外角性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．
例4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；
（2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论．
【详解】（1）证明：过点作于，
∵，平分，∴，
∵点为的中点，∴，∴，又∵，∴平分；
（2）证明：在和中，
，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴；
（3）证明：∵，∴，
∵，∴，∵，∴．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
例5．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．
（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析
【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）结论：CF=CG；
证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）CF=CG．理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，
∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°，
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60°（角平分线的性质），
∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°，∴∠MCO=90°-60° =30°，∠NCO=90°-60° =30°，
∴∠MCN=30°+30°=60°，∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，∴△MCF≌△NCG（ASA），
∴CF=CG（全等三角形对应边相等）．
【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．
模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1，为的角平分线，，
结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。
图1 图2 图3
条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F.
结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。
例1．（2023·山东淄博·校考二模）如图，点在内部，平分，且，连接．若的面积为，则的面积为 ．
【答案】4
【分析】延长交于，由证明，得出，根据三角形中线的性质即可求解．
【详解】解：延长交于，如图所示：
平分，垂直于，，，
在和中，，)，，
，∴，
∵的面积为，∴的面积为，故答案为：．
【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，中线的性质，证明三角形全等得出是解题关键．
例2．（2022秋·湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 ．
【答案】
【分析】延长和相交于点，构造出，从而求出的值；根据当时， 有最大值求解即可；
【详解】解：延长和相交于点，如图：
∵ 是 的角平分线∴ ∵ ∴
，
当时， 有最大值；此时，
即：
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；通过角平分线构造全等三角形是解题关键．
例3．（2022·绵阳市·九年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．
（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）BD=2CE，理由见解析；（3）FM=2CE．
【分析】(1) 由BD平分∠ABC，可得∠ABE=∠FBE，可证△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°即可；（2）延长CE，交BA的延长线于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可证△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可证△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可．
【详解】证明(1) ∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE，∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=× 180°=90°，∴BD垂直平分AF．
（2）BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G，
∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE，∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA，
又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，
（3）FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，
∴FN=MN，MH=FH=FM，∴∠NMH=∠NBH，
∵∠EFC=∠ABC=22.5°，∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC，
∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN，
∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE，
又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线，三角形外角性质，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线是解题关键．
例4．（2022·安徽黄山·九年级期中）如图，在中，，，是边上一动点，于．（1）如图（1），若平分时，①求的度数；
②延长交的延长线于点，补全图形，探究与的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图（2），过点作于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）①，②BD=2EC，理由见详解；（2）BE=CE+2AF，理由见详解．
【分析】（1）①由题意易得∠ABC=∠ACB=45°，则有∠CBD=∠ABD=22.5°，进而可求∠ECD=∠DBA，则问题得解；②由题意易得CE=EF，则可证△ABD≌△ACF，进而可得BD=CF，最后根据线段的数量关系可求解；
（2）在BE上截取BH=CE，连接AH，则易证△BHA≌△CEA，则有AE=AH，∠BAH=∠CAE，进而可得∠HAE=90°，然后根据线段的数量关系可求解．
【详解】解：（1）∵，，∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=22.5°，
①∵∠ABD+∠BDA=∠CDE+∠ECD=90°，∠CDE=∠BDA，∴∠ABD=∠ECD=22.5°；
②BD=2EC，理由如下：如图所示：
∵，∴∠CEB=∠FEB=90°，∵BE=BE，∴△CEB≌△FEB（ASA），∴CE=FE，
∵∠DBA+∠F=90°，∠FCA+∠F=90°，∴∠DBA=∠FCA，
∵∠BAD=∠CAF=90°，AB=AC，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，∴BD=2CE；
（2）BE=CE+2AF，理由如下：在BE上截取BH=CE，连接AH，如图，由（1）易得∠HBA=∠ECA，
∵AB=AC，∴△BHA≌△CEA（SAS），∴AH=AE，∠BAH=∠CAE，
∵∠BAH+∠HAC=90°，∴∠EAC+∠HAC=90°，即∠HAE=90°，
∵AF⊥BE，∴AF=HF=FE，∵BE=BH+HF+FE，∴BE=CE+2AF．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形斜边中线定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）
【模型解读与图示】
条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结.
结论：≌，CB=CA。
条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结.
结论：≌，≌，AB+CD=BC。
例1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．
【答案】（1）；（2），见解析；（3）44°或104°；详见解析．
【分析】（1）根据等边对等角，可得，，再根据三角形外角的性质求出，由此即可解题；
（2）在AC边上取一点M使AM=AB，构造，根据即可得出答案；
（3）画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得，可得，设，则；根据∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，可得，可证（SAS），得出，利用还有 ，列方程；当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB， 可得，得出，设，则；∠BAC＝24°，根据AD为△ABC的角平分线，得出，证明（SAS），得出，利用三角形内角和列方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴，，
∵，，∴，
∵AD为△ABC的角平分线，即，∴；∴
（2）如图2，在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，
在和中， ，∴（SAS），∴，
∵，，∴，∴；
（3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，
∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，设，则；
又∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴，
又∵，∴，，∴，
在和中， ，∴（SAS），∴，
又∵，∴，解得：，∴；
当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；
如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，
∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，设，则；
又∵∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴，
又∵，∴，，∴，
在和中， ，∴（SAS），
∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度数为44°或104°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．
例2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数．
【答案】40°
【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，再通过证明，即可求得
【详解】解：如图，在上截取，连接，是的平分线，，
在和中，，，，
∴DE=DF，，又，，
，，
在和中，，故．
【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
例3．（2022·北京九年级专题练习）在四边形中，是边的中点．
（1）如图（1），若平分，，则线段、、的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）；（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋BD，证明见解析．
【分析】（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论；
（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF＝CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG＝CG＝BD，从而可证得结论．
【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．
∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．
∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD．
∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．
在△CEF和△CED中，∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．
∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE；
（2）AE＝AB＋DE＋BD．
证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG．
∵C是BD边的中点，∴CB＝CD＝BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴CF＝CB，∠BCA＝∠FCA．
同理可证：△ECD≌△ECG∴CD＝CG，∠DCE＝∠GCE．∵CB＝CD，∴CG＝CF．
∵∠ACE＝120°，∴∠BCA＋∠DCE＝180°−120°＝60°．∴∠FCA＋∠GCE＝60°．∴∠FCG＝60°．
∴△FGC是等边三角形．∴FG＝FC＝BD．∵AE＝AF＋EG＋FG，∴AE＝AB＋DE＋BD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．
例4．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
【答案】（1）；证明见解析；（2）；证明见解析．
【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC＋CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求得AC＋AB＝CD．
【详解】（1）猜想：．
证明：如图②，在上截取，连结，
∵为的角平分线时，∴，∵，
∴，∴，，
∵，∴．
∵，∴，∴，∴．
（2）猜想：．
证明：在的延长线上截取，连结．
∵平分，∴．
在与中，，，，
∴．∴，．∴．
又，，．
∴．∴．∴．
【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
课后专项训练
1．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（ ）
A．①③B．①②③C．①③④D．②③
【答案】B
【分析】如图作于点E，于点F，只要证明，即可一一判断．
【详解】解：如图所示：作于点E，于点F，
，，，，
，，
平分，，，，
在和中，， ，，
在和中，，，
，故①正确，
，定值，故③正确，
定值，故②正确，
的位置是变化的，之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．（2022·江苏常州·一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（ ）
A．B．9C．6D．7．2
【答案】B
【分析】要求值，主要求出AE和BE的长即可，注意到AC是角平分线，于是作CF⊥AD交AD的延长线于点F，可以证得两对全等三角形，结合已知数据可以求得AE和BE的长，从而解决问题．
【详解】解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CFD=90°，
∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°， ∴∠CFD=∠CEB=90°，
∵∠BAC=∠DAC， ∴AC平分∠BAD， ∴CE=CF，
∵四边形ABCD对角互补， ∴∠ABC+∠ADC=180°，
又∵∠CDF+∠ADC=180°， ∴∠CBE=∠CDF，
在△CBE和△CDF中，， ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴BE=DF，
在△AEC和△AFC中，， ∴△AEC≌△AFC（AAS）， ∴AE=AF，
设BE=a，则DF=a， ∵AB=15，AD=12， ∴12+2a=15，得，
∴AE=12+a=，BE=a=， ∴， 故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是巧妙构造全等三角形进而得出等量关系．
3．（2023·成都·中考模拟）已知，如图，BC=DC，∠B+∠D=180°． 连接AC，在AB，AC，AD上分别取点E，P，F，连接PE，PF． 若AE=4，AF=6，△APE的面积为4，则△APF的面积是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】作于点，于点，延长，取，连接，先证明，由全等三角形对应边相等、对应角相等，得到，结合等边对等角得到，再由角平分线的性质证得，最后根据三角形面积公式解题即可.
【详解】解：如图，作于点，于点，延长，取，连接，
故选：C.
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键.
4．（2023·福建厦门·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（ ）
A．①③B．①②③C．①③④D．②③
【答案】B
【分析】如图作于点E，于点F，只要证明，即可一一判断．
【详解】解：如图所示：作于点E，于点F，
，，
，，
，，
平分，，，，
在和中，， ，，
在和中，，，
，故①正确，，定值，故③正确，
定值，故②正确，
的位置是变化的，之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
5．（2022·安徽合肥·一模）如图，中，AD平分，E是BC中点，，，，则DE的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】延长BD交AC于点F，先证明，得到BD=DF，D是BF的中点，再由中位线的性质解答即可．
【详解】解：延长BD交AC于点F，如图
AD平分，
D是BF的中点，
E是BC中点，故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形判定与性质、中位线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
6．（2022·福建·福州一模）如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点B，交CD于点F，H是BC边的中点，连接DH交BE于点G，现给出以下结论：①△ACD≌△FBD；②AE=CE；③△DGF为等腰三角形；④S四边形ADGE=S四边形GHCE．其中正确的有_________（写出所有正确结论序号）．
【答案】①②③
【分析】证明△ACD≌△FBD（AAS），由全等三角形的性质得出AC＝BF．则①正确；证明△ABE≌△CBE（ASA），由全等三角形的性质得出AE＝CE，则可得出②正确；证出∠DGF＝∠DFG，由等腰三角形的判定可得出③正确．过G作GM⊥BD于点M，由直角三角形的性质及全等三角形的性质得出S四边形ADGE＜S四边形GHCE，故④错误．
【详解】解：①∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDF＝90°，∠DBF＋∠DFB＝180°−∠BDF＝90°，
又∵BE⊥AC，∴∠BEA＝90°，∴∠DBF＋∠DAC＝180°−∠BEA＝90°，∴∠DAC＝∠DFB，
又∵∠ABC＝45°，∴∠DCB＝180°−∠ABC−∠BDF＝45°，△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，∴在△ACD和△FBD中，，∴△ACD≌△FBD（AAS），故①正确；
②∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴在△ABE和△CBE中，
，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，故②正确；
③∵∠HBG＋∠BGH＝180°−∠GHB＝90°，∠DBF＋∠DFG＝180°−∠BDF＝90°，∠HBG＝∠DBF，
∴∠BGH＝∠DFG，∵∠BGH＝∠DGF，∴∠DGF＝∠DFG，
∴△DGF为等腰三角形．故③正确；④如图所示，过G作GM⊥BD于点M，
∵H为等腰直角△BCD斜边BC的中点，∴DH⊥BC，即∠GHB＝90°，
又∵BE平分∠ABC，GM⊥BD，∴GM＝GH，
又∵BD＞BH，∴S△BDG＞S△BGH，又∵△ABE≌△CBE，∴S△ABE＝S△CBE，
∴S四边形ADGE＝S△ABE−S△BDG，S四边形GHCE＝S△CBE−S△BGH，
∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE，故④错误；综上所述：正确的有①②③．故答案为：①②③．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，证明△ABE≌△CBE是解题的关键．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】如下图，先构造并证明，从而得出，再根据可推导出，最后在Rt△ACM中求解．
【详解】解析：连接，过点作于点，于点，
，，
，，，
，，
，．设，则，
．．
设，则，，，
在中，由勾股定理得解得．．
【点睛】本题考查了构造并证明全等三角形、勾股定理的运用，解题关键是利用进行角度转化，得到边．
8．（2023·达州·校考一模）如图，已知四边形中，平分，，求证：．
【答案】见解析
【分析】过分别作，交的延长线于点，作于点，则由角平分线的性质得AE=AF，再证Rt△AED≌Rt△AFB(HL)，得∠EDA=∠B，再由邻补角性质可得出结论．
【详解】证明：过分别作，交的延长线于点，作于点，
∵CA平分，，，，
在和中，， ∴Rt△AED≌Rt△AFB(HL)，∴∠EDA=∠B，
∵∠EDA+∠ADC=180°∴∠B+∠ADC=180°．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过分别作，交的延长线于点，作于点，构造全等三角形是解题的关键．
9．（2022·安徽芜湖·九年级期中）如图，已知，是的平分线，且交的延长线于点E．求证：．
【答案】见解析
【分析】延长与的延长线相交于点F，可以证明，再证明，得到，即可得出结论．
【详解】证明：如图，延长与的延长线相交于点F，
∵，∴，
在和中，，∴，∴，
∵是的平分线，∴．
在和中，，∴，∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线性质，全等三角形判定和性质，能够想到延长CE、BA相交于点F，构造全等三角形是解决本题的关键．
10．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，分别平分，交于点．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
【答案】(1)见详解(2)84
【分析】（1）由平行四边形的性质证即可求证；
（2）作，由即可求解；
（1）证明：在中，∵，∴，
∵分别平分，，∴，
在和中，∵∴，
∴，∴．
（2）如图，作，
∵的周长为56，∴，∵平分，∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
11．（2022秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于点H．
(1)求证：；(2)若AD＝3，AB＝8，求AH的长．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证；
（2）过点作于点，先根据全等三角形的性质可得，设，则，，再根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，据此建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，
∵平分，，∴，
在与中，，∴，，
，．
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）已证：，，
设，则，
，，
在和中，，，
，，解得，即的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
12．（2023·宁夏银川·校考二模）问题提出
（1）如图①，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点C，画射线，连接，则图①中与全等的是___________；
问题探究（2）如图②，在中，平分，过点D作于点M，连接，，若，求证：；
问题解决（3）如图③，工人刘师傅有块三角形铁板，，他需要利用铁板的边角裁出一个四边形，并要求，．刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作出的平分线交于点D，作的平分线交于点E，交于点F，得到四边形．请问，若按上述作法，裁得的四边形是否符合要求？请证明你的结论．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）裁得的四边形符合要求，理由见解析
【分析】（1）利用证明即可求解；
（2）过点D作交的延长线于点N，证明，推出，结合已知推出，再证明，据此即可求解；
（3）作出如图的辅助线，利用角平分线的定义结合四边形的内角和定理推出，证明，据此即可证明结论．
【详解】解：（1），理由如下：由作法知，，，又，
∴，故图①中与全等的是，故答案为：；
（2）如图，过点D作交的延长线于点N，
∵平分，，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，即，
∵，，∴，
∴，∴；
（3）符合要求，证明：如图，过点F分别作于点G，作于点H，作于点K，
∵分别是的平分线，∴，
∵，∴在四边形中，
∵，，
在中，，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴裁得的四边形符合要求．
【点睛】本题考查了角平分线性质定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形的解题的关键．
13．（2022·江苏·一模）如图，已知，AE，BD是的角平分线，且交于点P．
（1）求的度数．（2）求证：点在的平分线上．（3）求证：①；②．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）①见解析，②见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的性质即可得解；
（2）根据角平分线上的点到两边的距离相等，作，，分别垂直于，，，即可得解；（3）①根据（2）所做图像，证明全等即可得解；②在AB上取，证明，，得到，证明，得到，证明，得到，再结合图像即可证明．
【详解】解：（1）已知，，
又 AE，BD是的角平分线，，
；
（2）作，，分别垂直于，，如图，
AE，BD是的角平分线，，在的平分线上；
（3）①：如图所示，在四边形中，
，（对顶角），
，，
又，，，；
②：在AB上取，
，，
同理可证，，，
又，，，，
又，，
又
，．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质；掌握好相关的基本性质定理，熟练地使用全等三角形的性质是关键．
14．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)AD⊥CB′；；(2)①∠BAC=2∠DAE，理由见解析；②BE=CD+DE，理由见解析
【分析】（1）先证明∠ADC=90°，再过点A作AF⊥BC于点F，根据角平分线的性质，证明△ADC≌△AFC(HL)，即可求解；（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形内角和定理得到α=90°-∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°-∠DAE=α，进一步计算即可求解；
②在BC上截取BG=CD，先后证明△ABG≌△ACD(SAS)，△GAE≌△DAE (SAS)，即可求解．
（1）解：∵点E与点C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，∴AD⊥CB′；
过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，∴CF=BF=BC=，
∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，∴AF= AD，∴△ADC≌△AFC(HL)，
∴CD=CF=，故答案为：AD⊥CB′；；
（2）解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下：
设∠ACB′=∠ACB=α=∠B，∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°-∠BAC，
∵∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ACD=90°-∠DAE=α，
∴90°-∠BAC=90°-∠DAE，∴∠BAC=2∠DAE；
②BE=CD+DE，理由如下：在BC上截取BG=CD，
在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD(SAS)，∴AG=AD，∠BAG=∠CAD，
∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，∴∠BAC=∠GAD，
∵∠BAC=2∠DAE，∴∠GAD=2∠DAE，∴∠GAE=∠DAE，
在△GAE和△DAE中，，∴△GAE≌△DAE (SAS)，
∴GE=DE，∴BE=BG+GC=CD+DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
15．（2022·重庆·二模）已知：如图1，四边形ABCD中，，连接AC、BD，交于点E，．
(1)求证：；(2)如图2，过点B作，交DC于点F，交AC于点G，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，若，求线段GF的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）过点A作AP⊥BD于点P，AF⊥BC，交CB的延长线于点F，可证四边形APBF是正方形，可得AP＝AF，根据“HL”可证，可得∠DAP＝∠FAC，即可得∠DAC＝90°；
（2）过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥BD于点N，过点C作CP⊥BF于点P，在BD上截取DH＝BC，连接AH，根据角平分线的性质可得FN＝FM，根据S△DBF＝2S△CBF，可得BD＝2BC，即BH＝DH＝BC，通过全等三角形的判定和性质可得AG＝GC；
（3）由全等三角形的性质可得BG＝PG＝，根据勾股定理可求GC，DC，PF的长，即可求GF的长．
(1)解：如图，过点A作AP⊥BD于点P，AF⊥BC，交CB的延长线于点F，
∵AP⊥BD，AF⊥BC，BD⊥BC∴四边形APBF是矩形
∵∠ABC＝135°，∠DBC＝90°，∴∠ABP＝45°，且∠APB＝90°，
∴AP＝PB，∴四边形APBF是正方形∴AP＝AF，且AD＝AC，
∴，∴∠DAP＝∠FAC，
∵∠FAC+∠PAC＝90°∴∠DAP+∠PAC＝90°∴∠DAC＝90°
(2)如图，过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥BD于点N，过点C作CP⊥BF于点P，在BD上截取DH＝BC，连接AH，
∵∠ABC＝135°，∠ABF＝90°，∴∠CBF＝45°，且∠DBC＝90°，
∴∠DBF＝∠CBF，且FN⊥BD，FM⊥BC，∴FN＝FM，
∵S△DBF＝2S△CBF，∴×2，
∴BD＝2BC，∴BH＝BD﹣DH＝BD﹣BC＝BC，
∵∠AED＝∠BEC，∠DAC＝∠DBC＝90°，
∴∠ADH＝∠ACB，且AD＝AC，DH＝BC，∴△ADH≌△ACB（SAS），
∴∠AHD＝∠ABC＝135°，AH＝AB，∴∠AHB＝∠ABD＝45°，∴∠HAB＝90°，
∵BC＝BH，∠HAB＝∠BPC，∠AHB＝∠FBC＝45°，∴△AHB≌△PBC（AAS），∴AB＝PC，
∵AB＝PC，且∠ABP＝∠BPC，∠AGB＝∠CGP，∴△AGB≌△CGP（AAS），∴AG＝GC
(3)解：如图，
∵AB＝3＝PC，∠PBC＝45°，PC⊥BF，∴BP＝PC=3，
∵△AGB≌△CGP，∴BG＝PG＝，
在中，CG＝＝，∴AG＝GC＝
∴AC＝AD＝2AG＝3 在中，CD＝＝，
∵S△DBF＝2S△CBF，∴DF＝2FC∵DF+FC＝DC∴FC＝
在中，PF＝＝1∴FG＝PG+PF＝1+ ＝．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是添加恰当的辅助线构造全等三角形．
16．（2022·陕西西安·一模）如图，△ABD和△BCE都是等边三角形，∠ABC＜105°，AE与DC交于点F．
（1）求证：AE＝DC；（2）求∠BFE的度数；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．
【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）18.23cm
【分析】（1）由等边三角形的性质可知∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE．从而可证∠DBC＝∠ABE．即可利用“SAS”可证明△DBC≌△ABE，得出结论AE＝DC．
（2）过点B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．由△DBC≌△ABE可知∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF．再结合等边三角形的性质可求出∠FDA+∠DAF＝120°，进而求出∠DFA＝180°-120°＝60°，即求出∠DFE＝180°-60°＝120°．即可利用“AAS”证明△BEH≌△BCN，得出结论BH＝BN，即得出BF平分∠DFE，即可求出∠BFE＝60°．
（3）延长BF至Q，使FQ＝AF，连接AQ．根据所作辅助线可知∠AFQ＝∠BFE＝60°，即证明△AFQ是等边三角形，得出结论AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°．又可证明∠DAF＝∠BAQ．利用“SAS”可证明△DAF≌△BAQ，即得出DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，最后即可求出CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．
【详解】（1）证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE，
∴∠DBA+∠ABC＝∠EBC+∠ABC，即∠DBC＝∠ABE，
∵在△DBC和△ABE中，，
∴△DBC≌△ABE（SAS），∴AE＝DC；
（2）解：如图，过点B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．
∵△DBC≌△ABE，∴∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF，
∵△ABD是等边三角形，∴∠BDA+∠BAD＝120°，
∴∠FDA+∠DAF＝120°，∴∠DFA＝180°-120°＝60°，
∴∠DFE＝180°-60°＝120°，在△BEH和△BCN中，
，∴△BEH≌△BCN（AAS），
∴BH＝BN，∴BF平分∠DFE，∴∠BFE＝∠DFE＝×120°＝60°；
（3）解：如图，延长BF至Q，使FQ＝AF，连接AQ．则∠AFQ＝∠BFE＝60°，
∴△AFQ是等边三角形，∴AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°，
∵△ABD是等边三角形，∴AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴∠DAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAQ，即∠DAF＝∠BAQ，
在△DAF和△BAQ中，，
∴△DAF≌△BAQ（SAS），∴DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，
∴CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．
【点睛】本题为三角形综合题．考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及角平分线的判定和性质．正确的作出辅助线也是解答本题的关键．
17．（2022·自贡市九年级月考）根据图片回答下列问题．
(1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．
(2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．
【答案】（1）=；（2）见解析；
【分析】（1）利用HL判断出△ADC≌△ADC，即可得出结论；
（2）先构造出△ACD≌△AED，得出DC=DE，∠AED=∠C，在判断出DE=DB，即可得出结论；
【详解】解：证明：（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，∴∠C=90°，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAD，∵AD=AD，∴△ACD≌△ABD（AAS），∴BD=CD；
（2）如图②，在AB边上取点E，使AC=AE，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，
∵AD=AD，AC=AE，∴△ACD≌△AED（SAS），∴DC=DE，∠AED=∠C，
∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°，∴∠DEB=∠B，∴DE=DB，∴DB=DC；
【点睛】本题是四边形综合题，考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
18．（2023·山东·九年级专题练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容．
已知：如图13.5.4，是的平分线，P是上任意一点，，垂足分别为点D和点E．
求证：．
分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得
【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明的过程．
【类比探究】（1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点分别在和上，连接和，若，求证： ；（2）如图③，的周长是12，分别平分和于点D，若 ，则的面积为 ．
【答案】【问题解决】见解析；【类比探究】（1）见解析；（2）18
【分析】[问题解决]利用角角边定理证明，根据全等三角形的性质证明结论；
[类比探究]（1）过点P作于于F，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过O作与于F，利用角平分线的性质可得，然后再利用面积的计算方法可得答案．
【详解】[问题解决]证明：∵∴
在和中，,
∴(AAS)，∴；
[类比探究]（1）证明：如图②，过点P作于E，于F，
∵是的平分线，，∴，
∵，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）过O作与E，于F，
∵分别平分和，∴，
∵，∴，∵的周长是，∴ ，
∴的面积：，故答案为：18．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19．（2023·安徽·九年级期末）如图，在中，，平分．
（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数；
（3）如图3，若，求证：．
【答案】（1）见详解；（2）108°；（3）见详解
【分析】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，由 CA＝CB，，得是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到AC＝AM，于是得到结论；
（2）如图2，设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠KAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠AKD＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根据等腰三角形的性质得到DH＝BH，于是得到结论．
【详解】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，∴在中，， ∴∠ABC＝45°，
∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，∴CD＝MD， ∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∴BM＝DM，∴BM＝CD，
在RT△ADC和RT△ADM中，，∴RT△ADC≌RT△ADM（HL），
∴AC＝AM，∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，即AB＝AC＋CD；
（2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，如图2，
∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK∴BK＝BD，∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠KAD，
在△CAD和△KAD中， ∴△CAD≌△KAD（SAS），
∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°−α，∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°−α，
∴在△BDK中，180°−α＋180°−α＋90°−α＝180°，∴α＝108°，∴∠ACB＝108°；
（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∵AD是角平分线，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°，
在AB上截取AK＝AC，连接DK，由（1）得，△CAD≌△KAD，
∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD，
∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝∠DHK -∠CBA =40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD，
∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
20．（2023·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）（情景呈现）画，并画的平分线．
（I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，（如图1）．则；若把三角尺绕点旋转（如图2），则________．（选填：“<”、“>”或“=”）
（理解应用）（2）在（1）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3．
①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线）；②猜想，，之间的关系为________．
（拓展延伸）（3）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由．
【答案】（1）=；（2）①3；②；（3）相等，理由见解析
【分析】（1）PE=PF，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论；
（2）①根据等腰直角三角形的性质得到OP=PG=PH，证明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案；②根据勾股定理，全等三角形的性质解答；
（3）作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，证明△PGE≌△PHF，根据全等三角形的性质证明结论．
【详解】（1）如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，
∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，
∵OC是∠AOB的平分线，∴PM=PN，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，
在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE=PF，故答案为：=；
（2）①∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=45°，
∵GH⊥OC，∴∠OGH=∠OHG=45°，∴OP=PG=PH，
∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，∴∠GPE=∠OPF，
在△GPE和△OPF中，，∴△GPE≌△OPF（ASA），同理可证明△EPO≌△FPH，
∵，∴△GPO≌△OPH（SAS），∴全等三角形有3对，故答案为：3；
②GE2+FH2=EF2，理由如下：∵△GPE≌△OPF，∴GE=OF，∵△EPO≌△FPH，∴FH=OE，
在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，∴GE2+FH2=EF2，故答案为：GE2+FH2=EF2；
（4）如图，作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，
在△OPG和△OPH中，，∴△OPG≌△OPH，∴PG=PH，
∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，∴∠GPH=120°，
∵∠EPF=120°，∴∠GPH=∠EPF，∴∠GPE=∠FPH，
在△PGE和△PHF中，，∴△PGE≌△PHF，∴PE=PF．
【点睛】本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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