4.5.3 函数模型的应用5种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1、几类已知函数模型
2、应用函数模型解决问题的基本过程
（1）审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．
（2）建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．
（3）求模——求解数学模型，得出数学模型．
（4）还原——将数学结论还原为实际问题．
3、指数函数模型问题的求解策略
(1)对于人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解．
(2)函数y＝c·akx(a，c，k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数.
4、对数函数应用题的基本类型和求解策略
(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解．
(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．
5、建立拟合函数与预测的基本步骤
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
考点一 根据实际问题增长率选择合适的函数模型
考点二 指数型函数模型
考点三 对数型函数模型
考点四 指数、对数、幂函数模型的增长差异
考点五 建立拟合函数模型解决实际问题
考点一 根据实际问题增长率选择合适的函数模型
1．（2023·高一单元测试）下表显示出函数值随自变量变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为（ ）
A．一次函数模型B．二次函数模型
C．对数函数模型D．指数函数模型
2．（2023·全国·高一专题练习）若三个变量，，随着变量x的变化情况如下表.则关于x分别呈函数模型：，，变化的变量依次是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
3．（2023秋·高一单元测试）在一次数学实验中，某同学运用计算器采集到如下一组数据:
在以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023秋·高一课时练习）有一组实验数据如下:
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·高一专题练习）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·陕西西安·高二统考期中）某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）关于年数（年）的函数关系较为接近的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：
请从模型，模型中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过300元的月份为（ ）（参考数据：，）
A．8B．9C．10D．11
8．（2023秋·高一课时练习）某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型：①，②，③ (其中为正常数，且).若要较准确反映数学成绩与考试次序关系，应选 作为模拟函数(填序号)；若，则所选函数的解析式为 ．
9．（2023秋·浙江丽水·高一统考期末）某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用（单位：万元）与增加的销售量（单位：千件）满足下列数据：
为了描述广告投入费用与增加的销售量的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，，，，
(1)选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由；
(2)根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量为多少时，每千件的广告投入费用最少？
考点二 指数型函数模型
10．（2023秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）某地投资亿元进行基础建设，年后产生的社会经济效益为亿元，若该地投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的16倍，则（ ）
A．4B．8C．12D．16
11．【多选】（2023秋·甘肃天水·高三校考阶段练习）压缩袋（真空压缩袋）也叫PE拉链复合袋．在我们的日常生活中，各类大小的压缩袋不但能把衣柜解放出来，而且可以达到防潮、防虫咬、清洁保存的效果．其中抽气式压缩袋是通过外接抽气用具如抽气泵或吸尘器，来进行排气的．现选用某种抽气泵对装有棉被的压缩袋进行排气，已知该型号的抽气泵每次可以抽出压缩袋内气体的，则（ ）（参考数据：取）
A．要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽5次
B．要使压缩袋内剩余的气体少于原来的，至少要抽9次
C．抽气泵第4次抽出了最初压缩袋内气体的
D．抽3次可以使压缩袋内剩余的气体少于原来的
12．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200~400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等9部门联合发布《关于扎实推进污染物治理工作的通知》明确指出，2023年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过（ ）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据：，）
A．20B．16C．12D．7
13．（2024·安徽·校联考模拟预测）杨梅是杨梅科杨梅属常绿乔木植物，自古以来深受人们的喜爱，古诗《咏梅》就这样赞美杨梅：“颗颗黑珠树中藏，此物只在五月有．游人过此尝一颗，满嘴酸甜不思归．”根据杨梅单果的果型和颜色，可将其依次分为4个等级，其等级与其对应等级的市场销售单价（单位：元/千克）近似满足函数关系式．若花同样的钱买到的2级杨梅比4级杨梅多1倍，且1级杨梅的市场销售单价为4元/千克，则4级杨梅的市场销售单价最接近（ ））
A．5.66元/千克B．8.48元/千克
C．11.31元/千克D．16元/千克
14．（2023秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：）
A．5.32hB．6.23hC．6.93hD．7.52h
15．（2023秋·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%．经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
考点三 对数型函数模型
16．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中大于0的常数是听觉下限阈值，是实际声压.声压级的单位为分贝，声压的单位为帕.若人正常说话的声压约为，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大，则火箭发射时的声压约为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023秋·北京通州·高三潞河中学校考阶段练习）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（ ）
A．B．C．D．3
18．（2023秋·四川成都·高三四川省成都列五中学校考阶段练习）人们用分贝来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（ ）
A．1倍B．10倍C．100倍D．1000倍
19．（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）习近平总书记强调，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦.我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅.这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 （单位：）和燃料的质量（单位：）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系式是.若火箭的最大速度为，则燃料质量与火箭质量（除燃料外）的比值约为：（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
20．（2023秋·山东临沂·高三校考期中）在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾，2023年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办。会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平。香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比。若不改变带宽，而将信噪比从9提升至53，则最大信息传递率会提升到原来的（ ）
参考数据：．
A．2.4倍B．2.3倍C．2.2倍D．1.7倍
21．【多选】（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则（ ）
A．震级为2级的地震释放能量为焦耳
B．释放能量为焦耳的地震震级为3级
C．9级地震释放能量是8级地震释放能量的10倍
D．释放能量之比为的两场地震的震级相差2级
22．【多选】（2023秋·江西·高三赣州市第三中学校联考阶段练习）从到通信，网络速度提升了40倍.其中，香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.根据香农公式，以下说法正确的是（ ）（参考数据：）
A．若不改变信噪比，而将信道带宽增加一倍，则增加一倍
B．若不改变信道带宽和信道内信号的平均功率，而将高斯噪声功率降低为原来的一半，则增加一倍
C．若不改变带宽，而将信噪比从255提升至增加了
D．若不改变带宽，而将信噪比从999提升至大约增加了
23．（2023秋·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v（单位：）可以表示为，其中M表示鱼的耗氧量的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的倍时，它的游速是 .
考点四 指数、对数、幂函数模型的增长差异
24．（2023秋·高一课时练习）下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A．B．
C．D．
25．（2023秋·高一校考课时练习）下面对函数，与在区间上的衰减情况的叙述正确的是（ ）
A．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢
B．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变快
C．的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢，的衰减速度逐渐变慢
D．的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快，的衰减速度逐渐变快
26．【多选】（2023秋·高一单元测试）函数，，，在区间上（ ）
A．递减速度越来越慢B．递减速度越来越慢
C．递减速度越来越慢D．的递减速度慢于递减速度
27．（2023秋·高一课时练习）当时，试探究三个函数的增长差异，用“＞”把它们的大小关系连接起来为 ．
28．（2023秋·全国·高一随堂练习）三个变量随自变量的变化情况如下表：
则关于分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 ， ， .
29．（2023·全国·高三专题练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③.
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；
(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.
30．（2023·高一课时练习）若，则使成立的的取值范围是 ，使成立的的取值范围是 ．
考点五 建立拟合函数模型解决实际问题
31.（2023·高一课时练习）某大型家电商场，在一周内，计划销售、两种电器，已知这两种电器每台的进价都是万元，若厂家规定，一家商场进货的台数不高于的台数的倍，且进货至少台，而销售、的售价分别为元/台和元/台，若该家电商场每周可以用来进货、的总资金为万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售、电器的总利润（利润售价进价）的最大值为（ ）
A．万元 B．万元 C．万元 D．万元
32.（2023·高一课时练习）茶文化起源于中国，中国饮茶据说始于神农时代．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过．一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为，，给出三个茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：①；②；③．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（参考数据）（ ）
A．2.72分钟 B．2.82分钟 C．2.92分钟 D．3.02分钟
33.（2023·高一课时练习）某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算知渗水现象正在以每天的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修，已知每个工人平均每天可抢修渗水面积，每人每天所消耗的维修材料费25元，劳务费75元，另外给每人发放100元的服装补贴，每渗水的损失为75元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天．
（1）写出n关于x的函数关系式；
（2）要使总损失最小，应派多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）．
34.（2023·高一课时练习）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
（1）求的值及表达式
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
x
-2
-1
0
1
2
3
y

0.26
1.11
3.96
16.05
63.98
x
1
3
5
7
9
11
5
25
45
65
85
105
5
29
245
2189
19685
177149
5
6.10
6.61
6.95
7.2
7.6
x
1
2
3
y
0.24
0.51
2.02
3.98
8.02
t
1.99
3.00
4.00
5.10
6.12
V
1.5
4.04
7.5
12
18.01
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
月份
2
3
4
5
6
…
元
1.40
2.56
5.31
11
21.30
…
增加的销售量
0
1
2
4
5
广告投入费用
0.000
0.452
0.816
1.328
1.500