3.2.1 单调性与最大（小）值8种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

这是一份3.2.1 单调性与最大（小）值8种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册），文件包含321单调性与最大小值8种常见考法归类原卷版docx、321单调性与最大小值8种常见考法归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。

1、增函数与减函数的定义
注:（1）不是所有的函数在定义域上都具有单调性，如函数y＝x2，y＝eq \f(1,x)等．
（2）在增函数和减函数定义中，不能把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”，如对于函数y＝－x2，存在－4<2，且－(－4)2<－22，但y＝－x2不是增函数．
（3）单调性定义的等价形式:
①函数在区间上是增函数:
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
②函数在区间上是减函数:
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
2、函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
注：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D⊆定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
3、函数的最大值与最小值
注：（1）若函数f(x)≤M，则M不一定是函数的最大值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值．
（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上最大值为f(b)，最小值为f(a)．
4、求函数最值的常用方法
（1）图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．
（2）运用已学函数的值域．
（3）运用函数的单调性：
①若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
②若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
（4）分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．
5、函数单调性的性质
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
（1）与（C为常数）具有相同的单调性.
（2）与的单调性相反.
（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.
（4）若≥0，则与具有相同的单调性.
（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；
当时，与具有相同的单调性.
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
6、复合函数的单调性（同增异减）
一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数：
7、利用定义判断或证明函数单调性的步骤
8、求函数单调区间的方法
(1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．
(2)利用函数的图象，图象从左向右上升，则函数单调递增；图象从左向右下降，则函数单调递减．对于能作出图象的函数，都可应用图象法判断其单调性．图象法主要应用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断，或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象的函数单调性的判断．
提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．
9、利用单调性比较大小或解不等式的方法
(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．
(2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
10、由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件，
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性．
若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件．
(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．
注：已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法
(1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围；
(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围．
11、图象法求函数最值的一般步骤
12、利用函数的单调性求最值的关注点
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
13、解决函数最值应用题的方法
(1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．
(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．
14、分类讨论二次函数的最值
(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．
(2)利用二次函数图象，进行分类讨论，提升直观想象的数学素养．
前提条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I
条件
∀x1，x2∈D，x1都有f(x1)都有f(x1)>f(x2)
图示
结论
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
特殊情况
当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
∃x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
称M是函数y＝f(x)的最大值
称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标
：令：和
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
考点一 函数单调性的判断与证明
考点二 求函数的单调区间
（一）利用图象求函数的单调区间
（二）求复合函数的单调区间
考点三 函数单调性的应用
（一）比较大小
（二）解不等式
（三）根据函数的单调性求参数
考点四 图象法求函数的最值(值域)
考点五 利用函数的单调性求函数的最值
考点六 根据函数的最值求参数
考点七 分类讨论求二次函数的最值
考点八 恒成立与能成立问题
考点一 函数单调性的判断与证明
1．（2023秋·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数，且，.
(1)求的解析式；
(2)用函数单调性的定义证明：在上单调递减.
2．（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考期末）已知函数．
(1)当时，求的最值；
(2)当时，判断在区间上的单调性，并用定义法证明你的结论．
3．（2023秋·甘肃临夏·高一校考期中）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明.
4．（2023秋·高一校考课时练习）讨论函数，在上的单调性
5．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知函数．
(1)判断并且证明函数在上的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
6．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知的定义域为，对任意都有，当时，
(1)求；
(2)证明:在上是减函数；
(3)解不等式:.
考点二 求函数的单调区间
（一）利用图象求函数的单调区间
7．（2023·全国·高一假期作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（ ）
A．B．和
C．D．和
8．（2023秋·高一课时练习）已知函数的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1，则函数的单调递增区间有 ；函数的单调递减区间有 ．

9．（2023秋·河南濮阳·高一校考阶段练习）已知函数
(1)画出函数图象
(2)结合图象写出函数的单调增区间和的单调减区间.
10．（2023·海南海口·统考模拟预测）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
11．（2023秋·重庆·高一重庆市永川中学校校联考期中）已知函数
(1)画出的图象，写出单调递增区间；
(2)求的解集.
12．（2023秋·高一校考课时练习）函数的单调区间是 ．
（二）求复合函数的单调区间
13．（2023·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期中）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
14．（2023秋·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）函数的增区间为 ．
15．（2023秋·安徽六安·高一六安一中校考期中）函数的单调递减区间为 ．
16．（2023秋·高一课时练习）函数的单调减区间是（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，，试求的单调区间.
考点三 函数单调性的应用
（一）比较大小
18．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）若函数在上是减函数，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
19．（2023秋·湖南邵阳·高一校考期中）已知函数，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
20．（2023·全国·高一假期作业）已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．不确定
21．（2023·全国·高一假期作业）已知函数在上是递减函数，且，则有（ ）
A．B．
C．D．
22．（2023秋·江苏苏州·高三校考期中）已知函数的定义域为，且，对定义域内任意的，，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
（二）解不等式
23．（2023秋·陕西西安·高一校考期中）已知偶函数在区间上单调递增，若满足，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
24．（2023秋·浙江宁波·高一校联考期中）已知偶函数在上是减函数，且，则的解集为 .
25．（2023春·青海西宁·高二校考期末）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
26．（2023秋·云南红河·高一弥勒市一中校考阶段练习）已知奇函数在是增函数，且，则不等式的解集为 .
27．（2023春·天津蓟州·高二校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
（三）根据函数的单调性求参数
28．（2023秋·高一校考课时练习）若函数f(x)=在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
29．（2023秋·江苏南京·高一校考期末）若函数在区间上为单调减函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
30．（2023春·天津北辰·高一校考阶段练习）函数在上是增函数，则实数的范围是（ ）
A．B．
C．D．
31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
32．（2023秋·陕西延安·高一校考期末）已知函数．
(1)若函数在上具有单调性，求实数的取值范围；
(2)若，且函数的定义域为，求函数的值域．
33．（2023秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
34．（2023秋·辽宁营口·高一校考阶段练习）若函数在上是减函数，则a的取值范围是 .
35．（2023·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
36．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
37．（2023秋·福建福州·高一校考期中）已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点四 图象法求函数的最值(值域)
38．（2023·高一课时练习）如图是函数的图象．列出的若干区间，说明它在各区间上的增减性，并指出该函数的最大、最小值点及最值．
39．（2023·高一课时练习）已知在上的图像如图所示.
（1）指出的单调区间.
（2）分别指出在区间及上的最大、最小值.
40．（2023秋·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）已知函数，.
(1)画出函数的图象;
(2)求函数的最大值和最小值;
(3)求函数的单调区间.
考点五 利用函数的单调性求函数的最值
41．（2023·全国·高一课堂例题）已知奇函数在区间上单调递增且有最大值，则在区间上（ ）
A．单调递增，且最大值为B．单调递增，且最大值为
C．单调递减，且最大值为D．单调递减，且最大值为
42．（2023秋·贵州六盘水·高一校考阶段练习）已知函数.
(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明；
(2)若，求函数的最大值和最小值.
43．（2023春·江苏徐州·高二校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)用定义法证明：在上单调递增；
(3)求在上的最大值与最小值.
44．（2023秋·甘肃武威·高一校考期中）函数
(1)判断函数在上的单调性.
(2)求函数在上的最值.
考点六 根据函数的最值求参数
45．（2023秋·上海闵行·高一校考期末）已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值.
46．（2023·全国·高一专题练习）函数在时有最大值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
47．【多选】（2023秋·江苏常州·高一校考期末）已知函数的最小值为，则的可能取值是（ ）
A．1B．3C．5D．7
48．（2023·全国·高一专题练习）已知
(1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数
(2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值
考点七 分类讨论求二次函数的最值
49．（2023秋·陕西汉中·高一统考期末）已知函数．
(1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若，求时的最小值．
50．（2023秋·上海徐汇·高三南洋中学校考开学考试）已知函数.
(1)求的取值范围，使在闭区间上是单调函数；
(2)当时，函数的最小值是关于的函数.求的最大值及其相应的值.
51．（2023秋·陕西汉中·高一校联考期末）已知函数.
(1)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围；
(2)若，求函数的最小值.
52．（2023秋·北京门头沟·高一统考期末）已知二次函数．
(1)若，求在上的最值；
(2)若在区间是减函数，求实数a的取值范围；
(3)若时，求函数的最小值．
53．（2023秋·辽宁营口·高一校考阶段练习）已知二次函数的最小值为1，且
(1)求的解析式;
(2)若在区间上不单调，求实数的取值范围;
(3)若，试求的最小值.
54．（2023秋·浙江金华·高一校考期中）已知二次函数的最小值为，
(1)求的解析式；
(2)若在区间上不单调，求实数m的取值范围；
(3)若时，值域为，试求t的取值范围.
考点八 恒成立与能成立问题
55．（2023秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）若，且恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
56．（2023秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知函数，
(1)若对于任意的恒成立，求的取值范围；
(2)设，当时，若的最大值为，求的值.
57．（2023秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知函数.
(1)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围.
58．（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）函数.
(1)若当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若存在，使成立，求实数a的取值范围；
(3)若当时，恒成立，求实数x的取值范围.
59．（2023春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校联考期末）已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．