山东省德州市宁津县2023-2024学年八年级（上）学期期末数学试卷（含解析）

这是一份山东省德州市宁津县2023-2024学年八年级（上）学期期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、单选题
1．下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5B．5，6，10C．1，1，3D．3，4，9
3．若分式有意义， 则应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
4．已知点A的坐标为，则点A关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，△ACE≌△DBF，AD=8，BC=2，则 AC=（ ）
A．2B．8C．5D．3
6．下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，中，，且，垂直平分，交于点F，交于点E，若周长为，，则的长为（ ）
A．5B．8C．9D．10
8．若边长为a，b的长方形周长为10，面积为5，则的值是（ ）
A．10B．15C．18D．20
9．某班组织学生去距学校16千米的科技馆参观，一部分同学骑自行车先走，走了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的平均速度是骑车同学的3倍，设骑车同学的平均速度是x千米/时，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形．
A．6B．7C．8D．9
11．如图，在中，，，点D是的中点，点E是边上的动点，连接，过点D作交于点F，连接，下列结论：
①；②；③长度不变；④；其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（n为非负整数）当，1，2，3，…时的展开情况如下所示：
…
观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了下面的表：
这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据这个表，你认为展开式中所有项系数的和应该是（ ）
A．128B．256C．512D．1024
二、填空题
13．计算结果是 ．
14．如图，在中，是的角平分线，在射线上，于，，，则 度．
15．乐乐为了测量建筑物墙壁的高度，采用了如图所示的方法：
①把一根足够长的竹竿的顶端对齐建筑物顶端A，末端落在地面C处；
②把竹竿顶端沿下滑至点D，使，此时竹竿末端落在地面E处；
③测得的长度，就是的高度．
以上测量方法直接利用了全等三角形的判定方法 （用字母表示）．
16．若关于x的分式方程有增根，则 ．
17．如图，点D是内的定点且，若点C、E分别是射线、上异于点A的动点，且周长的最小值是2时，的度数是 ．

18．如图，为等边三角形，F，E分别是上的一动点，且，连结交于点H，连接．
给出下列四个结论：
①；②若，则AE平分；
③；④若，则．
其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．如图，点D在上，点E在上，、相交于点O．
(1)若，，，求的度数；
(2)试猜想与之间的关系，并证明你猜想的正确性．
21．如图，在中，，．

(1)尺规作图：作的角平分线，与边交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
22．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
(1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？
(2)超市销售这种干果共盈利多少元？
23．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，，是筝形的对角线．
(1)下列结论正确的是______（填序号）．
①；②；③平分；④垂直平分．
(2)从（1）中选择一个正确的结论，并证明；
(3)通过探究，再找到一条筝形的性质，直接写出结果．
24．探究与发现：我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：，，，
(1)设a为整数，且，请用含a的等式写出一般的规律______；
(2)小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程：，，，；
①观察相乘的两位数，可以发现，两位数的十位上的数字______，个位上的数字的和等于______；
②根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位数的个位上的数字为______（其中m，n为小于10的正整数）．则以上两位数相乘的规律是______（用含m、n的等式表示）；
③利用发现的规律计算：______；
④请用所学知识证明②中规律的正确性．
25．如图，向外作和等边，连接．
(1)如图1，当也是等边三角形时，连接，交于点．
①试猜想、的关系，并说明理由；
②连接，问是否平分，为什么？
(2)如图2，当是直角三角形时，若，．
求证：．
参考答案：
1．A
【分析】根据轴对称图形的概念判断各项即可．
【详解】A. 是轴对称图形，符合题意；
B. 不是轴对称图形，不符合题意；
C. 不是轴对称图形，不符合题意；
D. 不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形．
2．B
【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A.，不能组成三角形；
B.，能组成三角形；
C.，不能组成三角形；
D.，不能组成三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”．
3．D
【分析】分式有意义的条件是分母不为0，即x-2≠0，解得x的取值范围．
【详解】∵分式有意义
∴x-2≠0，
x≠2．
故选D．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
4．A
【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标．根据在平面直角坐标系中，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，关于轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，关于原点对称时，横纵坐标都为相反数，即可解答本题．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，
∴点A关于轴对称的点的坐标是．
故选：A．
5．C
【分析】根据全等三角形的性质可得AC=DB，再由AB+BC=DC+BC进行求解即可．
【详解】解：∵△ACE≌△DBF，
∴AC=DB，
∴AB+BC=DC+BC，即AB=DC，
∵AD=8，BC=2，
∴AB+BC+DC=8，
∴2AB+2=8，
∴AB=3，
∴AC=AB+BC=5，
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，线段的和差，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质．
6．D
【分析】本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念判断即可．
【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，不符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、是最简分式，符合题意．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等；以及等腰三角形的“三线合一”性质，熟记相关结论得出，是解题关键.
【详解】解：∵，且，
∴
∵垂直平分，
∴
∵周长
∴
即：
∴
故选：A
8．B
【分析】本题考查完全平方公式的变形应用．根据题意可知，，由进行计算即可．
【详解】解：边长为，的长方形周长为10，面积为5，即，，
．
故选：B．
9．B
【分析】关键描述语：“过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间−乘车同学所用时间＝．
【详解】解：设骑车学生的平均速度为x 千米/时，则汽车的平均速度为3x 千米/时．
根据题意，列方程得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10．B
【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
【详解】解：五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，
则∠1=360°-108°×3=360°-324°=36°，
360°÷36°=10，
∵已经有3个五边形，
∴10-3=7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
11．C
【分析】先证明出，再根据全等三角形的性质推出其他选项，即可得到答案．
【详解】解：由题意：易证为等腰直角三角形，
∵点D是的中点，
∴，平分，且，
∴，
又，
∴，
∴，
①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
②正确；
∵
，
又，
∴，
∴，
但很明显是变化的，
∴也是变化的，
∴③不正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴④正确，
即正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形三线合一，勾股定理，解题关键是证明出和全等．
12．C
【分析】由“杨辉三角”得到：（a+b）n（n为非负整数）展开式的项系数和为2n．
【详解】解：当n=0时，展开式中所有项的系数和为1=20，
当n=1时，展开式中所有项的系数和为2=21，
当n=2时，展开式中所有项的系数和为4=22，
•••
当n=9时，展开式的项系数和为=29=512，
故选：C．
【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解．
13．
【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法．根据幂的乘方和同底数幂的除法法则“底数不变，指数相减”求解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
14．22
【分析】本题考查了三角形内角和定义、三角形的外角性质以及垂线．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由于，可得出，再利用三角形的外角性质，可求出的度数．
【详解】解：在中，，，
，
又平分，
．
于，
．
是的外角，是的外角，
，
，
．
故答案为：22．
15．
【分析】根据题意，将的长度转化为的长度，证明即可求解．
【详解】解：由③可得将的长度转化为的长度，即证明，
证明：∵，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了证明三角形全等，全等三角形的性质，掌握的性质与判定是解题的关键．
16．
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出x的值，最后再代入整式方程求出k的值即可．
【详解】解：
去分母，得：．
由分式方程有增根，得到，
解得：．
把代入整式方程，得：
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的增根．解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17．/30度
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质和判定，作D点分别关于、的对称点G、H，连接分别交、于、，连接，，利用轴对称的性质得，利用两点之间线段最短判断此时周长最小为，可得是等边三角形，进而可得的度数．熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．
【详解】解：如图，作D点分别关于、的对称点G、H，连接分别交、于、，连接，，

此时周长最小为，
根据轴对称的性质，得，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
18．①②④
【分析】证明，利用全等三角形的性质可以判断①③，利用垂直平分线的判定可以判断②，利用等腰三角形和全等三角形可以判断④．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴
又∵
∴
∴
∴
故①正确；
∵
∴是的垂直平分线，
∴平分
故②正确；
∵
∴，
∴
即
故③不正确；
如图，在上截取，连接，
∵
∴
∴，
又∵
∴，
∵
∴
∴，
∴
∴
∴
故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
19．(1)；
(2)
【分析】此题考查了分式的混合运算，多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
（1）原式利用完全平方公式，以及多项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．(1)；
(2),理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，解题关键是灵活应用三角形外角的性质．
（1）由三角形的外角性质可求得，再由三角形的外角性质即可求解；
（2）由三角形的外角性质可得，，从而可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）根据三角形内角和求出，根据角平分线得出，继而利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边求出，，继而可得结果．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的作法，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，解题的关键是掌握角平分线的作法，熟连运用相关知识进行角和边的转化．
22．(1)该种干果的第一次进价是每千克5元
(2)超市销售这种干果共盈利5820元
【分析】（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解；
（2）根据利润=售价−进价，可求出结果．
【详解】（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元．
（2）第一次购进（千克），
第二次购进（千克）．
（元）．
答：超市销售这种干果共盈利5820元．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系列出相应的方程求解．
23．(1)①③④；
(2)①，证明见解析；
(3)筝形是轴对称图形．
【详解】（1）解：在和中，，∴，
，
BD平分
故①③正确，②错误；
，
垂直平分，故④正确．
故答案为：①③④．
（2）解：①，证明如下：
在和中，，∴，
∴．
（3）解：筝形是轴对称图形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟知全等三角形的判定方法是解题的关键．
24．(1)
(2)①相同，10；②，；③4221；④证明见解析
【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点．
（1）根据题目给出的等式，即可发现规律；
（2）①根据题目给出的等式，即可发现规律；
②根据题目给出的等式，即可发现规律；
③运用②中的规律得出计算结果即可；
④运用整式的乘法运算即可证得结论．
【详解】（1）解：设为整数，且，
，
故答案为：；
（2）解：①观察等式：，，，；
发现：两位数的十位上的数字相同，个位上的数字的和等于10；
故答案为：相同，10；
②根据①发现的规律，设一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，则另一个两位数的个位上的数字为，（其中，为小于10的正整数）．
则以上两位数相乘的规律是；
故答案为：，；
③，
故答案为：4221；
④
，
故．
25．(1)①猜想：，理由见解析；②平分，理由见解析；
(2)见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）①证明，从而得出；
②作于点，作于点．由①结论可得：，从而，从而推出，进而得出结果；
（2）向外作等边，连接，由（1）①的结论可得：，可证得点、点、点点共线，从而得出是线段的垂直平分线，进一步得出结论．
【详解】（1）解：①，且，理由如下：
和都是等边三角形，
，，，
∴
，
∴；
②如图1，
平分，
理由：作于点，作于点．
由①结论可得：，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图2，
向外作等边，连接，
由（1）①的结论可得：，
是等边三角形，
，
，
，
，，，
，
点、点、点点共线，
是线段的垂直平分线，
，
．