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重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一下学期开学学业质量联合调研抽测数学试题（含答案）
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这是一份重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一下学期开学学业质量联合调研抽测数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（分数：150分，时间：120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的（ ）倍．
A．B．C．D．
2．不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．或D．
3．已知函数，则下列结论正确的是
A．它是奇函数B．值域为C．不是周期函数D．定义域为
4．函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
5．若，且，则等于
A．4B．3C．2D．1
6．设函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知实数a，b满足，，则（ ）
A．B．C．D．
8．有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（ ）
A．7B．6C．5D．4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．下列函数中，既是奇函数又在区间是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．若非零实数，则下列不等关系中，一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，，，在上单调递增，则的取值可以是（ ）
A．1B．3C．5D．7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某工厂8年来的产品年产量y与时间t(单位：年)的函数关系如图所示，则下面四个结论，正确的是 (填序号).
①前3年的年产量增长速度越来越快；
②前3年的年产量增长速度越来越慢；
③3年后，这种产品停止生产；
④3年后，这种产品年产量保持不变.
13．已知点在线段上运动，则的最大值是 ．
14．已知是函数的零点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知，，均为正数，且，证明：
(1)；
(2)若，则.
16．已知函数.
(1)若的解集为，求，；
(2)若，，，求的最小值.
17．如果函数的定义域为，且存在常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”．
(1)已知具有“性质”，且当时，，求的解析式及在上的最大值；
(2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围．
18．已知函数（）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为
(1)求函数的解析式，并求其对称轴方程；
(2)将向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到，则可以用函数模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最大值．
19．已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.
条件①：；
条件②：.
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
2023-2024学年（下）期初（开学）学业质量联合调研抽测
高一数学答案
（分数：150分，时间：120分钟）
1．D2．A3．B4．A
5．D【解析】设，得到，再结合对数的运算公式，即可求得的值，得到答案.
6．D【解析】易知，，故是奇函数，原不等式转化为，再利用的单调性即可解决.
7．A【解析】根据对数的运算性质，结合基本不等式可证明 ，由此可证明，再构造函数，证明其值小于零，进而结合指数函数的单调性证明，可得答案.
8．A【解析】通过设出只持有股票的人数和只同时持有了和股票的人数，表达出持有不同股票的人数，通过持股的总人数即可求出只持有股票的股民人数.
9．BD【解析】根据函数的奇偶性和单调性的定义，对各选项的函数逐一判断即可．
10．AD【解析】对于A：利用作差法分析判断；对于BC：举例分析即可；对于D：分类讨论的符号，结合不等式性质分析判断.
11．AC【解析】根据，可确定，即可确定的取值情况，然后结合在上单调递增，进行验证即可确定答案.
12．①④
13．
14．2
15．（1）因为
，当且仅当时取等号，
所以，
又因为，，均为正数，所以.
（2）因为，由条件可得，即，
所以
，
当且仅当时取等号，此时，解得，
把和，代入，求得，
所以当且仅当，，时，取得等号.
16．（1）因为的解集为，可知，是方程的两根，
则，解得，.
（2）因为，即，
且，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当，时，的最小值为9.
17．（1）具有“性质”，
对恒成立，是偶函数.
当时，，
所以当时，则，
由得，当时
，
因为是增函数，在单调递增，
所以由复合函数的单调性可知函数在上单调递增，
因此，在上的最大值为.
（2）函数具有“性质”，则，
当时，，所以当时，，
于是，
如下图所示：
若有8个不同的实数解，令，
则有两个不等的实数根，，且，，
所以，所以.
所以t的取值范围为.
18．（1），所以，
因为相邻两条对称轴的距离为，所以半周期为，
故，
令，
（2）向右平移得到，将横坐标伸长为原来的倍，得到，
将纵坐标扩大为原来的25倍，得到，再将其向上平移60个单位，得到
游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了，
令，则，
则，，，，故，
当或或20时，
19．（1）当时，由，得，不符合题意，
所以不存在3元完备数对；
当时，当，，，时，
满足且，符合题意，
所以为4元完备数对.
（2）假设存在8元完备数对，
当时，令，则，且，
则有以下三种可能：①；②；③
当时，于是，即，
由，得或，
而，则有，
因此，，…，，分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1，
由得或，与已知矛盾，则当时，不存在8元完备数对；
当或时，同理不存在8元完备数对，
所以不存在8元完备数对.
（分数：150分，时间：120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的（ ）倍．
A．B．C．D．
2．不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．或D．
3．已知函数，则下列结论正确的是
A．它是奇函数B．值域为C．不是周期函数D．定义域为
4．函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
5．若，且，则等于
A．4B．3C．2D．1
6．设函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知实数a，b满足，，则（ ）
A．B．C．D．
8．有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（ ）
A．7B．6C．5D．4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．下列函数中，既是奇函数又在区间是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．若非零实数，则下列不等关系中，一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，，，在上单调递增，则的取值可以是（ ）
A．1B．3C．5D．7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某工厂8年来的产品年产量y与时间t(单位：年)的函数关系如图所示，则下面四个结论，正确的是 (填序号).
①前3年的年产量增长速度越来越快；
②前3年的年产量增长速度越来越慢；
③3年后，这种产品停止生产；
④3年后，这种产品年产量保持不变.
13．已知点在线段上运动，则的最大值是 ．
14．已知是函数的零点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知，，均为正数，且，证明：
(1)；
(2)若，则.
16．已知函数.
(1)若的解集为，求，；
(2)若，，，求的最小值.
17．如果函数的定义域为，且存在常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”．
(1)已知具有“性质”，且当时，，求的解析式及在上的最大值；
(2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围．
18．已知函数（）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为
(1)求函数的解析式，并求其对称轴方程；
(2)将向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到，则可以用函数模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最大值．
19．已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.
条件①：；
条件②：.
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
2023-2024学年（下）期初（开学）学业质量联合调研抽测
高一数学答案
（分数：150分，时间：120分钟）
1．D2．A3．B4．A
5．D【解析】设，得到，再结合对数的运算公式，即可求得的值，得到答案.
6．D【解析】易知，，故是奇函数，原不等式转化为，再利用的单调性即可解决.
7．A【解析】根据对数的运算性质，结合基本不等式可证明 ，由此可证明，再构造函数，证明其值小于零，进而结合指数函数的单调性证明，可得答案.
8．A【解析】通过设出只持有股票的人数和只同时持有了和股票的人数，表达出持有不同股票的人数，通过持股的总人数即可求出只持有股票的股民人数.
9．BD【解析】根据函数的奇偶性和单调性的定义，对各选项的函数逐一判断即可．
10．AD【解析】对于A：利用作差法分析判断；对于BC：举例分析即可；对于D：分类讨论的符号，结合不等式性质分析判断.
11．AC【解析】根据，可确定，即可确定的取值情况，然后结合在上单调递增，进行验证即可确定答案.
12．①④
13．
14．2
15．（1）因为
，当且仅当时取等号，
所以，
又因为，，均为正数，所以.
（2）因为，由条件可得，即，
所以
，
当且仅当时取等号，此时，解得，
把和，代入，求得，
所以当且仅当，，时，取得等号.
16．（1）因为的解集为，可知，是方程的两根，
则，解得，.
（2）因为，即，
且，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当，时，的最小值为9.
17．（1）具有“性质”，
对恒成立，是偶函数.
当时，，
所以当时，则，
由得，当时
，
因为是增函数，在单调递增，
所以由复合函数的单调性可知函数在上单调递增，
因此，在上的最大值为.
（2）函数具有“性质”，则，
当时，，所以当时，，
于是，
如下图所示：
若有8个不同的实数解，令，
则有两个不等的实数根，，且，，
所以，所以.
所以t的取值范围为.
18．（1），所以，
因为相邻两条对称轴的距离为，所以半周期为，
故，
令，
（2）向右平移得到，将横坐标伸长为原来的倍，得到，
将纵坐标扩大为原来的25倍，得到，再将其向上平移60个单位，得到
游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了，
令，则，
则，，，，故，
当或或20时，
19．（1）当时，由，得，不符合题意，
所以不存在3元完备数对；
当时，当，，，时，
满足且，符合题意，
所以为4元完备数对.
（2）假设存在8元完备数对，
当时，令，则，且，
则有以下三种可能：①；②；③
当时，于是，即，
由，得或，
而，则有，
因此，，…，，分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1，
由得或，与已知矛盾，则当时，不存在8元完备数对；
当或时，同理不存在8元完备数对，
所以不存在8元完备数对.
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