2023-2024学年广西南宁重点中学八年级（上）1月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西南宁重点中学八年级（上）1月月考数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“思明拾光”系列短视频以中国“二十四节气”为主线，在自然与人文之间开启全新的阅读视角.请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“白露”的作品，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列计算中，正确的是( )
A. x3⋅x2=x6B. (x+y)(x−y)=x2+y2
C. (2xy)3=6x3y3D. 3xy2÷xy=3y
3.已知点M(2,a)与N(b,3)关于y轴对称，则ba的值为( )
A. 6B. −6C. 8D. −8
4.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪( )
A. 三条角平分线的交点处B. 三条中线的交点处
C. 三条高的交点处D. 三条边的垂直平分线的交点处
5.只用下列正多边形地砖中的一种，不能镶嵌的是( )
A. 正三角形B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形
6.已知x2+2mx+16是完全平方式，则m的值为( )
A. ±4B. 4C. ±8D. 8
7.在物联网时代的所有芯片中，14nm芯片已成为需求的焦点．已知nm即纳米，是度量单位，1nm=1×10−9m.将14nm用科学记数法表示正确的是( )
A. 1.4×10−8mB. 1.4×10−9mC. 14×10−9mD. 1.4×10−10m
8.一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
9.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. a2−b2=(a+b)(a−b)D. (a+2b)(a−b)=a2+ab−2b2
10.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC=16cm2，则阴影部分面积为( )
A. 2cm2
B. 4cm2
C. 6cm2
D. 8cm2
11.为了强健体魄，小军计划从学校出发跑步10千米的路程，在下午3时到达文峰塔，实际速度比原计划速度快30%，结果下午2时到达，求原计划行进的速度，设原计划的速度为x km/h，则可列方程为( )
A. 10x=10x+30%+1B. 10x=10x+30%−1
C. 10x=10x(1+30%)+1D. 10x=10x(1+30%)−1
12.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )
①AD平分∠BAC；
②∠ADC=60°；
③点D在AB的垂直平分线上；
④S△ABD=2S△ACD．
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.当x______时，分式3x−1x+3有意义．
14.分解因式：2ax2−8a=________________．
15.已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是 ．
16.若ax=3，ay=5，则代数式a3x−y的值为______．
17.如图，在锐角三角形ABC中，AC=6，△ABC的面积为12，CD平分∠ACB，若M、N分别是CD、BC上的动点，则BM+MN的最小值是______．
18.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了(a+b)n(n=1,2,3,4,…)的展开式的系规律(按a的次数由大到小的顺序)．

请根据规律，写出(x+1)2024的展开式中含x2023项的系数是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)2b(4a−b2)；
(2)(6x4−8x3)÷(−2x2).
20.(本小题6分)
先化简：(a+1a−2−1)÷a2−2aa2−4a+4，然后从0，2，3中选择一个合适的数代入求值．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,3)，B(−4,4)，C(−2,1)．
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
(2)请直接写出A1、B1、C1的坐标：A1______；B1______；C1______；
(3)尺规作图：在x轴上找一点P，使得PA=PC.(要求：保留作图痕迹，不写作法)
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC=AE，E是△ABC外一点，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE．
(1)求证：BC=DE；
(2)若∠BAD=30°，求∠B的度数．
23.(本小题10分)
综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．

【操作发现】
对折△ABC(AB>AC)，使点C落在边AB上的点E处，得到折痕AD，把纸片展平，如图1.发现四边形AEDC满足：AE=AC，DE=DC.查阅资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．
【初步应用】
(1)如图1，在△ABC中，若∠BAC=100°，∠B=30°，那么∠EDB= ______°.
【类比探究】
借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，小红对筝形AEDC的性质进行了探究.如图2，求证：
(2)△AED≌△ACD．
(3)AD垂直平分线段EC．
24.(本小题10分)
在求代数式值的问题中，有时通过观察式子的特点，可以找到较为简单的解法．
例如，若x满足(x−2)(x−5)=10，求(x−2)2−(x−5)2的值，可以按下列的方法来解：
解：设(x−2)=a，(x−5)=b，则ab=(x−2)(x−5)=10，a−b=(x−2)−(x−5)=3，
∴(a+b)2=(a−b)2+4ab=49，∴a+b=±7，
∴(x−2)2−(x−5)2=a2−b2=(a+b)(a−b)=±7×3=±21．
请仿照上面的方法求解下面的问题：
(1)若x满足(x−4)(x−9)=6，求(x−4)2+(x−9)2的值；
(2)将正方形ABCD和正方形EFGH按如图所示摆放，点F在BC边上，EH与CD交于点I，且ID=1，CG=2，长方形EFCI的面积为24，以CF为边作正方形CFMN.设AD=x，
①用含x的代数式直接表示EF和CF的长；
②求图中阴影部分的面积．
25.(本小题10分)
某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．(加工时接缝材料不计)
(1)该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度时原计划的1.5倍，这样提前2填超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个；
(2)若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
(3)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板50张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且12026.(本小题10分)
(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE．
(2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图(3)，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：四副作品其中是轴对称图形的是代表“立夏”的作品．
故选：B．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A、原式=x5，故此选项不符合题意；
B、原式=x2−y2，故此选项不符合题意；
C、原式=8x3y3，故此选项不符合题意；
D、原式=3y，故此选项符合题意；
故选：D．
利用同底数幂的乘法运算法则判断A，利用平方差公式判断B，利用积的乘方运算法则判断C，利用单项式除以单项式的运算法则判断D．
本题考查整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法(底数不变，指数相加)，积的乘方(ab)n=anbn运算法则和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵点M(2,a)与N(b,3)关于y轴对称，
∴a=3，b=−2，
则ba=(−2)3=−8．
故选：D．
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4.【答案】A
【解析】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以凉亭的位置应为△ABC三条角平分线的交点．
故选：A．
首先理解凉亭到草坪三条边的距离相等的意义，而角平分线上的点到角两边的距离相等，从而得出△ABC的角平分线交于三角形内一点，判断它到三角形各边的距离是否相等，问题即可解答．
本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
∴只用上面正多边形，不能进行平面镶嵌的是正五边形．
故选：C．
平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
本题考查了平面镶嵌(密铺)，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
6.【答案】A
【解析】解：∵x2+2mx+16=x2+2mx+42，
∴2mx=±2⋅x⋅4，
∴m=±4．
故选：A．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的定义是关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，n的值是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．
【解答】
解：14nm=14×1×10−9m=1.4×10−8m.
故选：A．
8.【答案】D
【解析】解：360°÷40°=9．
故选：D．
根据任意多边形的外角和是360°进行计算即可．
本题主要考查的是多边形的外角和定理，明确任意多边形的外角和是360°是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2−b2；第二个图形阴影部分是一个长是(a+b)，宽是(a−b)的长方形，面积是(a+b)(a−b)；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【解答】
解：∵图甲中阴影部分的面积=a2−b2，图乙中阴影部分的面积=(a+b)(a−b)，
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积=a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选C．
10.【答案】B
【解析】解：∵点D是BC的中点，S△ABC=16cm2，
∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC=12×16=8(cm2)，
∵点E是AD的中点，
∴S△BDE=12S△ABD=12×8=4(cm2)，S△CDE=12S△ACD=12×8=4(cm2)，
∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=8(cm2)，
∵点F是CE的中点，
∴S阴影=12S△BCE=12×8=4(cm2)，
故选：B．
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形分别计算即可．
本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：设原计划的速度为x km/h，则可列方程为
则可列方程为：10x=10x(1+30%)+1，
故选：C．
设原计划的速度为x km/h，根据实际比原计划少一小时，列出分式方程即可求解．
此题主要考查有实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程．
12.【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠ADC=90°−∠CAD=60°，所以②正确；
∵∠B=∠BAD，
∴DA=DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD中，∠CAD=30°，
∴CD=12AD，
∴BC=CD+BD=12AD+AD=32AD，S△DAC=12AC⋅CD=14AC⋅AD．
∴S△ABC=12AC⋅BC=12AC⋅32AD=34AC⋅AD，
∴S△DAC：S△ABC=14AC⋅AD：34AC⋅AD=1：3，
∴S△DAC：S△ABD=1：2.即S△ABD=2S△ACD，故④正确．
故选：D．
先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图−基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
13.【答案】≠−3
【解析】解：∵分式3x−1x+3有意义，
∴x+3≠0，即x≠−3．
故答案为：≠−3．
先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
14.【答案】2a(x+2)(x−2)
【解析】解：原式=2a(x2−4)
=2a(x+2)(x−2)．
故答案为：2a(x+2)(x−2)．
首先提公因式2a，再利用平方差进行二次分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
15.【答案】50°
【解析】解：∵两个三角形全等，
∴α=50°．
故答案为：50°．
根据全等三角形对应角相等解答即可．
本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，确定出对应角是解题的关键．
16.【答案】275
【解析】解：∵ax=3，ay=5，
∴a3x−y=(ax)3ay=335=275．
故答案为：275．
逆用幂的乘方法则可得a3x=(ax)3，再逆用同底数幂除法法则变形，最后把已知代入即可解答．
本题考查幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
17.【答案】4
【解析】解：在AC上取一点P，使得CP=CN，如图所示：
∵CD平分∠ACB，
∴∠PCM=∠NCM，
∵CP=CN，CM=CM，
∴△PCM≌△NCM(SAS)，
∴MN=MP，
∴BM+MN=BM+MP，
∵BM+MP≥BP，
∴当B、M、P三点共线，且BP⊥AC时，BM+MP有最小值，即此时BM+MN最小，最小值为BP的长，
∵△ABC的面积为12，
∴S△ABC=12AC⋅BP=12，
又∵AC=6，
∴BP=4，
∴BM+MN最小值为4，
故答案为：4．
在AC上取一点P，使得CP=CN，证明△PCM≌△NCM得到MN=MP，进而推出当B、M、P三点共线，且BP⊥AC时，BM+MP有最小值，即此时BM+MN最小，最小值为BP的长，里面面积法求出BP的长即可得到答案．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】2024
【解析】解：∵(a+b)1展开式中的第二项系数为1，
(a+b)2展开式中的第二项系数为2，
(a+b)3展开式中的第二项系数为3，
(a+b)4展开式中的第二项系数为4，
∴(a+b)n展开式中的第二项系数为n，
由图中规律可知：
含x2023的项是(x+1)2024的展开式中的第二项，
∴(x+1)2024的展开式中的第二项系数为2024，
故答案为：2024．
根据前四个展开式的系规律可知，含x2023的项是(x+1)2024的展开式中的第二项，从而得出(x+1)2024的展开式中含x2023项的系数．
本题考查了完全平方公式、数学常识、规律型：数字的变化类、多项式，掌握这几个知识点的综合应用，其中找出规律是解题关键．
19.【答案】解：(1)原式=8ab−2b3；
(2)原式=6x4÷(−2x2)−8x3÷(−2x2)
=−3x2+4x．
【解析】(1)直接利用单项式乘多项式计算得出答案；
(2)直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20.【答案】解：原式=(a+1a−2−a−2a−2)÷a(a−2)(a−2)2
=3a−2⋅a−2a
=3a，
∵a=0，a=2时，原式没有意义，
∴当a=3时，原式=33=1．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)(0,−3)，(−4,−4)，(−2,−1)；
(3)如图，点P为所作．
【解析】解：(1)见答案；
(2)A1(0,−3)，B1(−4,−4)，C1(−2,−1)．
故答案为：(0,−3)，(−4,−4)，(−2,−1)；
(3)见答案．
(1)(2)根据关于x轴对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，描点即可；
(3)利用网格特点作AC的垂直平分线交x轴于P点．
本题考查了作图−轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键(先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点)．
22.【答案】(1)证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和Rt△DAE∠BAC=∠DAEAC=AE∠C=∠E，
∴△BAC≌△DAE(ASA)，
∴BC=DE；
(2)解：∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，
∴∠B=∠BDA，
∵∠BAD=30°，∠BAD+∠B+∠BDA=180°，
∴∠B+∠BDA=150°，
∴∠B=75°．
【解析】(1)根据条件证△BAC≌△DAE即可求证；
(2)根据全等三角形的性质即可求解．
本题综合考查全等三角形的判定与性质．掌握相关定理是解题关键．
23.【答案】20
【解析】(1)解：∵∠BAC=100°，∠B=30°，
∴∠C=180°−∠B−∠BAC=50°，
∵AE=AC，DE=DC，AD=AD，
∴△ADE≌△ADC(SSS)，
∴∠AED=∠C=50°，
∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠EDB=20°，
故答案为：20；
(2)证明：在△AED和△ACD中，
AE=ACDE=DCAD=AD，
∴△AED≌△ACD(SSS)；
(3)证明：∵AE=AC，
∴点A在线段EC的垂直平分线上，
∵DE=DC，
∴点D在线段EC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分线段EC．
(1)根据三角形内角和定理求出∠C=50°，利用SSS证明△ADE≌△ADC，根据全等三角形的性质求出∠AED=∠C=50°，再根据三角形外角性质求解即可；
(2)利用SSS证明△ADE≌△ADC即可；
(3)根据线段垂直平分线的判定定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设(x−4)=a，(x−9)=b，则ab=(x−4)(x−9)=6，a−b=(x−4)−(x−9)=5，
∴(x−4)2+(x−9)2=a2+b2=(a−b)2+2ab=52+2×6=37；
(2)①根据题意可得，
EF=x−1，CF=x−3；
②∵长方形EFCI的面积为24，
∴(x−1)(x−3)=24，设x−1=a，x−3=b，则ab=24，a−b=(x−1)−(x−3)=2，
∴(a+b)2=(a−b)2+4ab=100，
∵a>0，b>0，
∴a+b=10，
∴S阴影=(x−1)2−(x−3)2=a2−b2=(a+b)(a−b)=10×2=20．
∴图中阴影部分的面积为20．
【解析】(1)根据题意设(x−4)=a，(x−9)=b，则可得出ab=(x−4)(x−9)=6，a−b=(x−4)−(x−9)=5，即可得出(x−4)2+(x−9)2=a2+b2=(a−b)2+2ab，代入计算即可得出答案；
(2)①根据题意进行计算即可得出答案；
②由长方形EFCI的面积，可得(x−1)(x−3)=24，即可设x−1=a，x−3=b，则可得出ab=24，a−b=2，由(a+b)2=(a−b)2+4ab=100，因为a>0，b>0，所以a+b=10，根据S阴影=(x−1)2−(x−3)2=a2−b2=(a+b)(a−b)代入计算即可得出答案．
本题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键．
25.【答案】解：(1)设原计划每天加工纸箱x个，则现在每天加工1.5x个，由题意得
200x−2=200+401.5x
解得x=20
经检验x=20是原分式方程的解，
答：原计划每天加工纸箱20个．
(2)设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，
依题意，得x+2y=10004x+3y=2000
解得：x=200y=400
答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个；
(3)设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，
依题意得：x+2y=504x+3y=a
∴y=40−a5，
∵y、a为正整数，
∴a为5的倍数，
∵120∴满足条件的a为：125，130，135．
当a=125时，x=20，y=15；
当a=130时，x=22，y=14；
当a=135时，x=24，y=13据符合题意，
∴a所有可能的值是125，130，135
【解析】(1)设原计划每天加工纸箱x个，则现在每天加工1.5x个，根据题意列出分式方程解答即可；
(2)折竖式纸盒，横式纸盒各加工x、y个，根据购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张，恰好能将购进的纸板全部用完列出方程组解答即可；
(2)设x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可列出方程组，再根据a的取值范围求出y的取值范围即可．
本题考查分式方程、二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题找出等量关系式解答即可．
26.【答案】解：(1)如图1，
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ADB和△CEA中，
∠BDA=∠AEC∠DBA=∠EACAB=CA,
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
(2)成立：DE=BD+CE．
如图2，
证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°−α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
∠BDA=∠AEC∠DBA=∠EACAB=CA．
∴△ADB≌△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
(3)如图3，
过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI，交HI的延长线于N．
∴∠EMI=∠GNI=90°，
由(1)和(2)同理可证△AEM≌△BAH，△AGN≌△CAH，
∴EM=AH=GN
∴EM=GN
在△EMI和△GNI中，
∠EIM=∠GIN∠EMI=∠GNIEM=GN,
∴△EMI≌△GNI(AAS)，
∴EI=GI
∴I是EG的中点．
【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD=AE、CE=AD是解题的关键．
(1)由条件可证明△ADB≌△CEA，可得DA=CE，AE=BD，可得结论；
(2)由条件可知∠BAD+∠CAE=180°−α，且∠DBA+∠BAD=180°−α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ADB≌△CEA，同(1)可得出结论；
(3)过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI，交HI的延长线于N.由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．