四川省成都市石室中学2024届高三上学期期末数学（文）试题（教师版）

这是一份四川省成都市石室中学2024届高三上学期期末数学（文）试题（教师版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1. 若复数满足（i是虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算，再计算共轭复数即可.
【详解】，则，则.
故选：A
2. 已知集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数单调性得到，解不等式求出，利用并集概念求出答案.
【详解】，故，
令，解得，故，
故.
故选：C
3. 设等差数列的前项和为，且 ，则的值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】先求得，再利用求解即可.
【详解】由，可得，
则.
故选：A.
4. 下图是2023年1~12月份品种能源生产当月同比增长率情况变化图.下列说法错误的是（ ）

A. 4~7月，原煤及天然气当月同比增长率呈下降趋势
B. 9~12月，原煤及天然气当月同比增长率总体呈上升趋势
C. 7月份品种能源生产当月同比增长率最高的是原油加工量同比增长率
D. 2023年品种能源生产当月同比增长率波动最小的是发电量同比增长率
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合统计相关知识逐项分析判断.
【详解】观察题中所给的折线图，可知：
4~7月，原煤及天然气当月同比增长率是下降的，呈下降趋势，所以A项正确；
9~12月，虽然天然气11月比10月偏低，但总体趋势仍为上升的，
所以原煤及天然气当月同比增长率总体呈上升趋势，所以B正确；
图中7月份，只有原煤加工上升，其他品种能源均比6月份低，所以C项正确；
由图易知，相比发电量，原油的曲线波动幅度更小，所以D项错误；
故选：D.
5. 函数部分图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数的部分图象知，，，结合，
求出，又根据，求得，即可求得解析式，代入计算即可.
【详解】由函数的部分图象知，，，
解得，∴，
又，
可得，，
解得，，
∵，∴可得，
∴，
∴.
故选：D.
【点睛】思路点睛：
利用三角函数的图象求三角函数的解析式，通常先结合图象看振幅、周期，求得A，，再利用特殊点（最高点、最低点、零点）求初相，即得解析式.
6. 已知圆与中心在原点､焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 3C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分双曲线的焦点在x轴上和y轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径列式求解即可.
【详解】因为可化为，
则圆的圆心为，半径为2，
当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
由题意得，即，所以，
所以，
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
由题意得，即，所以，
则，
故选：D.
7. 已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先由奇偶性求得时的解析式，再结合导数的几何意义求切线方程即可.
【详解】因为，，，
又由是偶函数，，
令，则，
根据是偶函数，，
得到时，，
所以，时，，，
故曲线在处的切线方程为，
即.
故选：C.
8. 已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由三视图原几何体，再分别求得各面的面积相加即可得解.
【详解】由题知，该三视图对应的几何体的直观图如图所示，

其中半圆柱的底面半径为1、高为1，三棱锥中，在底面的射影为的中点，，，
∴，，
因为面，面，所以，
又，面，所以面，
又面，故，
∴，∴，∴，
∴该几何体的表面积为 .
故选：C.
9. 执行如图所示的程序框图，若随机输入的，则输出的的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据可得，再根据循环结构可得当时均能得到，从而可得答案.
【详解】由框图可得若，则，解得.
故当，满足，可得输出；
当时，满足，可得输出；
当时，不满足，此时，故可得输出；
当时，不满足，此时；
不满足，此时，可得输出.
故当时均能得到，故输出的的概率为.
故选：B
10. 若，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数式与指数式互化公式，结合对数的单调性、基本不等式逐一判断即可.
【详解】因为，，所以，因为，，则，，
所以，，即，所以，所以A，B错误；
因为，所以，所以C错误；
因，所以D正确.
故选：D
11. 已知长方体在球的内部，球心在平面上， 若球的半径为，，则该长方体体积的最大值是（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的体积为，利用导数求最大值.
【详解】设长方体的高为h， 设a，则，
所以，
若要长方体体积最大，则平面内接与长方体，
所以得，
即得，
所以长方体的体积为，
设，其中，
则， 令，得，
当时，，上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，亦即最大值，
则
因此该长方体的体积的最大值为.
故选：A
12. 曲线是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹.给出下列四个结论：
①曲线关于轴、轴均对称；
②曲线上存在点，使得；
③若点在曲线上，则的面积最大值是1；
④曲线上存在点，使得为钝角.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ②③④B. ②③C. ③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得曲线的方程为，可判断①错误；②假设结论成立，推得曲线不存在；当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故③正确；在曲线上再寻找一个特殊点P（0，y），验证即可判断④正确．
【详解】设曲线上任意一点，由题意可知的方程为
.
①错误，在此方程中用取代，方程不变，可知关于轴对称；
同理用取代，方程改变，可知不关于轴对称，故①错误.
②错误，若，则
曲线不存在，故②错误.
③正确，
P应该在椭圆D：内（含边界），
曲线与椭圆D有唯一的公共点，此时
当点P为点时，的面积最大，最大值是1，故③正确；
④正确，由 ③可知，取曲线上点，此时，
下面在曲线上再寻找一个特殊点，，
则，
把两边平方，
整理得，
解得，即或.
因为，则取点，
此时.故④正确．
故答案为：C．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 若、满足约束条件，则的最大值为__________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据题意，作出，满足约束条件的可行域，由可行域即可求出结果.
【详解】根据约束条件可绘出可行域：
目标函数，即，
当目标函数经过点时取最大值，.
故答案为：7.
14. 设，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定函数的单调性，根据函数单调性把不等式转化为代数不等式求解.
【详解】由题意，函数，根据初等函数的性质，可得函数在定义域为单调递减函数，且，
则不等式等价于，
解得，所以不等式的解集为.
故答案为：
15. 已知，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由诱导公式结合二倍角公式化简求解即可.
【详解】
，
故答案为：.
16. 如图，在三棱锥中，平面，，，为线段的中点，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，证得平面，得到，根据，得到，进而得到，进而得到为的中点，且为的中点，即可求解.
【详解】因为平面，面，所以，
又因为，，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在中，可得，
在中，，
故，
则，
又因为，
所以，
即，当且仅当时，等号成立，
当时，为的中点，此时当时，为的中点，
综上所述，的最小值是.
故答案为：
三、解答题（本题共6道小题，共70分）
17. 某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高（单位：）与父亲身高（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
参考数据及公式：，，，，，.
（1）根据表中数据，求出关于的线性回归方程；
（2）小明的父亲身高，请你利用回归直线方程预测小明成年后的身高.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用最小二乘法求解；
（2）利用（1）结果，将代入求解.
【小问1详解】
解：，，
，，
故回归方程为：；
【小问2详解】
当时，，
.
18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面面，，，为的中点.
（1）求证：面面；
（2）若的大小为，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据侧面面，得到面，再利用面面垂直的判定定理证明；
（2）取AB的中点O，连接PO，易知为等边三角形，从而，然后根据E为PD的中点求解.
【小问1详解】
证明：侧面面，，面面=AB，
面，又平面PBC，
面面；
小问2详解】
如图所示：
取AB的中点O，连接PO，因为，的大小为，
所以为等边三角形，
则，因为侧面面，侧面面，
所以平面，
，
又因为E为PD的中点，
所以.
19. 为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地用于蔬菜种植实践活动. 经测量，边界与的长度都是14米，，.
（1）若的长为6米，求的长；
（2）现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米？
【答案】（1）10米 （2）米
【解析】
【分析】（1）连接，在中，应用余弦定理求出的长；
（2）设， ，在中，借助于正弦定理，求出的长，然后得到篱笆长的函数关系，得到答案.
【小问1详解】
连接BD，由题意是等边三角形，所以，
在中，由余弦定理得，，
即，求解得或（舍），
故BC的长为10米.
【小问2详解】
设， ，
在中，，
所需篱笆的长度为.
.
20. 已知椭圆的离心率为，抛物线在第一象限与椭圆交于点，点为抛物线的焦点，且满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足为、，与轴的交点为．若、、的面积成等差数列，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，，则点在椭圆上，代入椭圆方程可得，根据离心率可得，解方程组即可求出，，即可求出椭圆的方程；
（2）联立直线与椭圆方程，消元，利用韦达定理求出．根据、、的面积成等差数列，可得，化简可得，解此不等式即可求出结果．
【小问1详解】
由题意，，则点在椭圆上，
得①，，即 ②，
联立①②，解得，，
椭圆的方程为．
【小问2详解】
依题意，直线与轴不重合，故可设直线的方程为．
联立，消去得．
设,，,，则有，且．
设，，的面积分别为，，，
，，成等差数列，，即，
则；
即，得，
又，，
于是，，
，解得，即或．
所以实数的取值范围为．
【点睛】解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
21. 已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，设关于的不等式对恒成立时的最大值为，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，根据参数的不同取值范围确定函数的单调性.
（2）分离参数，转化为恒成立问题，再构造函数，求构造的函数在给定区间上的最值 .
【小问1详解】
的定义域为， ，
当时，因为，所以，即；
当时，因为，故恒成立，故；
所以当时，，单调递增；
当时，，，
单调递增；单调递减；
综上，当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减.
【小问2详解】
因为的不等式对恒成立，
则，对恒成立，
令，
即，令，即，
所以在上递增；
①当，即时，因为，所以，
当，，即，所以在上递增，
所以；
②当即时，因为，，即，
所以在上递减，所以；
③当，即时，因为在上递增，
所以存在唯一实数，使得，即，
则当时，，即；当时，，即，
故在上单减，上单增，所以，
设，则，
所以在上递增，所以．
综上所述， ．
【点睛】方法点睛：在第二问中，分离参数后，得到，设，.求这个函数的最小值，仍然要二次求导，三次求导，还要分类讨论.比较烧脑，属于难题.
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若直线的参数方程是（为参数，为直线的倾斜角），与交于A，两点， ，求的斜率.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据题意结合极坐标与直角坐标之间的关系运算求解；
（2）由题意可知：直线l的极坐标方程为，根据极坐标的定义结合韦达定理运算求解.
【小问1详解】
由题意可得：圆C的普通方程为，
将，代入普通方程，
得，
故圆C的极坐标方程为.
【小问2详解】
由题意可知：直线过坐标原点，倾斜角为的直线，
在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，
设A，B所对应的极径分别为.
将l极坐标方程代入C的极坐标方程得，
于是，
可得，则，
且，则，可得，即，
所以l的斜率为.
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）绝对值不等式分类讨论求解即可得；
（2）双绝对值不等式恒成立问题，借助绝对值三角不等式，将原问题转化即可得.
【小问1详解】
等价于或，
解得或，
即，即不等式的解集为；
【小问2详解】
恒成立，即恒成立，
因为，
所以，解得或，
即的取值范围是.
父亲身高
160
170
175
185
190
儿子身高
170
174
175
180
186