四川省成都市石室中学2024届高三上学期期末考试数学

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参考答案
1．若复数满足（i是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】计算，再计算共轭复数即可.
【详解】，则，则.
故选：A
2.已知集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．C
【分析】根据指数函数单调性得到，解不等式求出，利用并集概念求出答案.
【详解】，故，
令，解得，故，
故.
故选：C
3．设等差数列的前项和为，且 ，则的值为
A．6B．7C．8D．9
【答案】选A
【解析】由，可得，则.
4.下图是2023年1~12月份品种能源生产当月同比增长率情况变化图.下列说法错误的是
A．4~7月，原煤及天然气当月同比增长率呈下降趋势
B．9~12月，原煤及天然气当月同比增长率总体呈上升趋势
C．7月份品种能源生产当月同比增长率最高的是原油加工量同比增长率
D．2023年分品种能源生产当月同比增长率波动最小的是发电量同比增长率
【答案】D
【解析】观察题中所给的折线图，可知：
4~7月，原煤及天然气当月同比增长率是下降的，呈下降趋势，所以A项正确；
9~12月，虽然天然气11月比10月偏低，但总体趋势仍为上升的，所以原煤及天然气当月同比增长率总体呈上升趋势，所以B正确；
图中7月份，只有原煤加工上升，其他品种能源均比6月份低，所以C项正确；
由图易知，相比发电量，原油的曲线波动幅度更小，所以D项错误；
5.函数部分图象如图所示，则
A．B．C．D．
【答案】选D
【解析】由函数的部分图象知，，，
解得，∴，又，可得，，
解得，，∵，∴可得，∴，
∴.
6．已知圆与中心在原点､焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
.A．B．3C．或D．或
【答案】D
【分析】分双曲线的焦点在x轴上和y轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径列式求解即可.
【详解】因为可化为，
则圆的圆心为，半径为2，
当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
由题意得，即，所以，
所以，
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
由题意得，即，所以，
则，
故选：D.
7. 已知函数是偶函数，当x<0时，，则曲线在x=1处的切线方程为
A．B．C．D．
【答案】选C
【解析】因为x<0，，，又由是偶函数，，
令，则，根据是偶函数，，
得到时，，所以，时，，，
故曲线在处的切线方程为，即.
8．已知一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先由三视图原几何体，再分别求得各面的面积相加即可得解.
【详解】由题知，该三视图对应的几何体的直观图如图所示，

其中半圆柱的底面半径为1、高为1，三棱锥中，在底面的射影为的中点，，，
∴，，
因为面，面，所以，
又，面，所以面，
又面，故，
∴，∴，∴，
∴该几何体的表面积为 .
故选：C.
9．执行如图所示的程序框图，若随机输入的，则输出的的概率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据可得，再根据循环结构可得当时均能得到，从而可得答案.
【详解】由框图可得若，则，解得.
故当，满足，可得输出；
当时，满足，可得输出；
当时，不满足，此时，故可得输出；
当时，不满足，此时；
不满足，此时，可得输出.
故当时均能得到，故输出的的概率为.
故选：B
10.若，，则下列选项正确的是
A．B．C．D．
【答案】选D
【解析】因为，，所以，
因为，，即,所以，所以A，B错误；
因为，所以，所以C错误；
因，所以D正确.
11. 已知长方体在球O的内部，球心O在平面ABCD上， 若球的半径为，，则该长方体体积的最大值是
A．4 B． 8 C．12D．18
【答案】选A
【解析】设长方体的高为h， 设a，则，所以.由勾股定理得 即得，
所以长方体的体积为，
设，其中0当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.所以函数在处取得极大值，亦即最大值，则.
因此该长方体的体积的最大值为.
12．曲线是平面内与三个定点和的距离的和等于的点的轨迹.给出下列四个结论：
①曲线关于轴、轴均对称；
②曲线上存在点，使得；
③若点在曲线上，则的面积最大值是1；
④曲线上存在点，使得为钝角.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ②③④ B. ②③ C. ③④ D. ①②③④
【答案】C ③④
【分析】①由已知表示出C的方程，观察方程的对称性可以判断结果；②假设结论成立，推理出曲线不存在，不合题意；③点P在椭圆上顶点时，满足题意，且面积最大；④寻找曲线C上的一个特殊点，验证为钝角.
【详解】设曲线上任意一点P(x，y)，由题意可知的方程为.
①错误,在此方程中用取代，方程不变，可知关于轴对称；同理用取代，方程改变，可知不关于轴对称，故①错误.
②错误,若，则曲线不存在，故②错误.
③正确, P应该在椭圆D：内(含边界)，曲线与椭圆D有唯一的公共点，此时当点P为点时，的面积最大，最大值是1；故③正确
④正确，由 ③可知，取曲线上点，此时，下面在曲线上再寻找一个特殊点P(0，y)，，则，
把两边平方，整理得，
解得，即或.
因为，则取点， 此时.故④正确．
故答案为：③④．
【点睛】易错点睛：与椭圆相关的综合问题，难度大，要注意：
(1)注意观察方程的特征，利用代数方法判断曲线的对称性；
(2)适当利用反向推理，假设成立，再反向推理看是否合理；
(3)椭圆焦点三角中，当点在椭圆上下顶点时，焦点三角形面积最大，椭圆上点与两个焦点的张角最大；
(3)验证存在性的问题，只需找到一个正例就可以说明其存在性；验证某个结论错误时，只需一个反例即可说明.
13. 若、满足约束条件，则的最大值为__________．
【答案】7
【解析】由题意可知，约束条件为，
根据约束条件可绘出可行域：
当目标函数经过点时取最大值，.
14. 设，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】由题意，函数，根据初等函数的性质，可得函数在定义域为单调递减函数，且，则不等式等价于，解得，所以不等式的解集为.
15．已知，则的值为__________．
【答案】
【分析】利用倍角公式和诱导公式求解即可.
【详解】
16．如图，在三棱锥中，平面，为线段的中点，分别为线段和线段上任意一点，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】先利用线面垂直的判定定理推得再利用面积相等在中推得，从而得到，由此得解.
【详解】因为平面，面，所以，
又，，
因为，平面，所以平面，
又平面，所以
.
又在中，，
在中，，
故，
则，
又，
所以，
即，当且仅当时，等号成立，
当时，为的中点，此时当时，为的中点，
综上所述的最小值是.
【点睛】关键点睛：本题的突破口是如何解决的系数问题，利用三角形面积公式与面积相等得到即可得解.
17．某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高（单位：）与父亲身高（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
参考数据及公式：，，，，，
(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程;
(2)小明的父亲身高178cm，请你利用回归直线方程预测小明成年后的身高。
【答案】(1)，规律见解析
(2)178cm
【详解】（1），……………………..2分
，，…………5分
故回归方程为：，………………………………………………………………….7分
（2）………………………………………………10分
…………………………………………..…………..…12分
18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面面，，，为的中点.
(1)求证：面面；
(2)若二面角的大小为，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）侧面面，,面面=AB
面
面面；…………………………………………..………………………………………6分
（2）………………………………………………………………………12分
19.（本小题满分12分）为加强学生劳动教育，成都石室中学北湖校区将一块四边形园地ABCD用于蔬菜种植实践活动. 经测量，边界AB与AD的长度都是14米，，.
(1)若的长为6米，求BC的长；
(2)现需要沿实验园的边界修建篱笆以提醒同学们不要随意进入，问所需要篱笆的最大长度为多少米
【解析】(1)连接BD，由题意△ABD是等边三角形，所以BD=14，
在中，由余弦定理得，
即，求解得
故BC的长为10米.5分
(2)设， ，
在中，，
所需篱笆的长度为.10分
12分
20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，抛物线在第一象限与椭圆C1交于点，点F为抛物线的焦点，且满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆C1交于P,Q两点，过 分别作直线的垂线，垂足为M、N，l与x轴的交点为T．若△PMT、△PQT、△QNT的面积成等差数列，求实数m的取值范围.
【解析】(1)由题意， ,则点 在椭圆上，
得，①即 ②
联立①②，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆C1的方程为；4分
(2)依题意，直线PQ与x轴不重合，故可设直线PQ的方程为x＝my+1．
联立，消去．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有△＞0，且．7分
设△PMT，△PQT，△QNT的面积分别为S1，S2，S3，
∵S1，S2，S3成等差数列，∴2S2＝S1+S3，即3S2＝S1+S2+S3，
则；
即3（t﹣1）＝2t﹣（x1+x2），得t＝3﹣（x1+x2），9分
又x1＝my1+1，x2＝my2+2，
于是，t＝3﹣（my1+my2+2）＝1﹣m（y1+y2），∴，解得．
21.（本小题满分12分）已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，设关于的不等式对恒成立时的最大值为，求的取值范围．
【解析】(1)的定义域为， ，1分
当时，，单调递增；
当时，，，
单调递增；单调递减；4分
综上，当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减.5分
(2)因为的不等式对恒成立,
则，对恒成立,6分
令，
即，令，即，
所以在上递增；7分
①当，即时，因为，所以，
当，，即，所以在上递增，
所以；8分
②当即时，因为，，即，
所以在上递减，所以；9分
③当，即时，因为在上递增，
所以存在唯一实数，使得，即，
则当时，，即；当时，，即，
故在上单减，上单增，所以，
设，则，
所以在上递增，所以．
综上所述， ．12分
22. [选修4－4：坐标系与参数方程]
已知圆C的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若直线的参数方程是(t为参数，为直线l的倾斜角)，l与C交于A，B两点，，求l的斜率.
【解析】(1)圆C的直角方程为将，
得.
故圆C的极坐标方程为4分
(2)在极坐标系中，直线l的极坐标方程为，
设A，B所对应的极径分别为.
将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得.
于是
得所以l的斜率为1.10分
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）绝对值不等式分类讨论求解即可得；
（2）双绝对值不等式恒成立问题，借助绝对值三角不等式，将原问题转化即可得.
【详解】（1）等价于或，
解得或，
即，即不等式的解集为；………………………………………………5分
（2）恒成立，即恒成立，
因为，
所以，解得或，
即的取值范围是.………………………………………………10分
父亲身高
160
170
175
185
190
儿子身高
170
174
175
180
186