2024高考数学百日逐题计划“8+3+3”新结构选填专项（18）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
，
所以，
故选：C.
2.设复数在复平面内对应的点为，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，
所以，
故选：D
3.已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】函数，
当时，，故不存在的情况；
当时，，整理得，解得或；
∴“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
4.把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得图象是由的图象向左平移个单位长度，得，再将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得，即，
故选：D
5.设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以，所以，故排除A、B选项；
又，且，所以，
故选：D.
6.如图，矩形是圆柱的轴截面，且，其中在平面同侧，则异面直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，作，连接，
为与所成的角，
，，，
，．
又，
在中，，
即．
故选：．
7.双曲线的左焦点为F（﹣3，0），M（0，4），点P为双曲线右支上的动点，且△MPF周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】，，
，
周长的最小值为14，
的最小值为14，
即的最小值为，
设右焦点为，
则，
即，
则，
即，，三点共线时最小，
此时，
即最小值为，得，，
，
离心率，
故选：A．
8.关于的方程有三个不等的实数解，，，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，函数取得最大值，
函数的图象如图所示：
则，
由图象知：，
因为关于的方程有三个不等的实数解，，，
所以方程有两个不等的实数解，
由韦达定理得：，
所以，故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，随机观察了他所在地区的100天中的“日落云里走”的情况和后半夜天气情况，得到如下数据，
并计算得到，则小波对该地区天气的判断正确的是（ ）
A．后半夜下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为
C．有99%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关
D．若出现“日落云里走”，则后半夜有99%的可能会下雨
【答案】AC
【解析】对A，把频率看作概率，可得后半夜下雨的概率约为，故A判断正确：
对B，未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为，故B判断错误；
对C，由，知有99%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关，故C判断正确；
易知D判断错误.
故选：AC
10.在底面棱长为2侧棱长为的正三棱柱中，点E为的中点，，则以下结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，平面
C．存在使得平面D．四面体外接球的半径为
【答案】AD
【解析】由题意可知，
对于选项A，当时，，故选项A正确；
对于选项B，在正三棱柱中，有，又平面，平面，
则平面，若平面，
则平面平面，则与题意矛盾，故选项B错误；
对于选项C，因为点D在线段BC运动，
所以的最大值为，而，
所以不存在点D使得平面，故选项C错误；
对于选项D，设的外接圆圆心为，其半径为，四面体外接球球心为O，其半径为R，
则，解得，
设，则可得到，且，
解得，故选项D正确；
故选：AD.
11.已知双曲线：和点，，分别为双曲线左、右焦点，为双曲线上在第一象限内的点，点为的内心，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为25
B.
C.
D. 若，，则
【答案】BC
【解析】因为双曲线：，所以，，，则、，双曲线的渐近线为，因为，所以，所以，当且仅当、、在同一直线且在之间时取等号，故A错误；
设的内切圆的半径为，则，故B正确；
设在上的垂足为，根据双曲线的定义及切线长定理可得，又，所以，所以，记渐近线的倾斜角为，则，记，则，当，即，解得，所以，则，所以，故C正确；
延长交于点，由解得，由角平分线定理可知，所以，又由角平分线定理知，过点作交、分别于点、点，则，所以，所以，因为，所以又，解得，所以，故D错误；
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.的展开式中第6项的二项式系数最大，则n可以为______．
【答案】，10，11
【解析】由二项式系数性质知，当是偶数时，第项的二项式系数最大，，，
当是奇数时，第项和第项的二项式系数相等且最大，
，解得或．
故答案为：9，10，11．
13.我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：，则______．
【答案】2
【解析】
由题可得.
故答案为：2.
14.如图所示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正三角形的边长为4，取正三角形各边的四等分点，，，作第2个正三角形，然后再取正三角形各边的四等分点，，， 作第3个正三角形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案 .如图阴影部分，设三角形面积为，后续各阴影三角形面积依次为，，…，，….则___________，数列的前项和__________
【答案】 ①. ②.
【解析】设正三角形边长为，后续各正三角形边长依次为，，…，，
由题意，
，
由于，
所以，
于是数列是以为首项，为公比的等比数列
故答案为：；后半夜天气情况
“日落云里走”的情况
下雨
未下雨
总计
出现
25
5
30
未出现
25
45
70
总计
50
50
100